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Es una ecuación que involucra derivadas de una función
desconocida de una o más variables. Si la función
desconocida depende solo de una variable la ecuación
se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin
embargo, si la función desconocida depende de más de
una variable la ecuación se llama una ecuación
diferencial parcial
El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al
de la derivada de mas alto orden que aparece en la
ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones
diferenciales ordinarias de segundo orden. El orden de una
ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es
el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por
ejemplo:
d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex
dx2 dx
es una ecuación diferencial de segundo orden.
Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada
de mayor orden. La ecuación debe tener una forma
polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es
decir:
• Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna
potencia distinta de uno o cero.
• En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo
interviene la variable independiente.
• Una combinación lineal de sus soluciones es también
solución de la ecuación.
Clasificación según su tipo:
Si una ecuación contienen solo derivadas
ordinarias de una o más variables dependientes
con respecto a una sola variable dependiente se
dice que es una ecuación diferencial ordinaria
por ejemplo:
Una ecuación con derivadas parciales de
una o más variables dependientes de dos
o mas variables independientes se le
llama ecuación diferencial parcial
Por ejemplo
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO
o EDP) es el orden de la derivada mayor en la
ecuación por ejemplo:
En símbolos, la ecuación diferencial ordinaria de
n-esimo orden de una variable dependiente,
se puede expresar mediante la forma
general:
F(x, y, y’, … )
Segundo
ordenPrimer
orden
Grado de una ecuación diferencial
Existe si la función incógnita se puede expresar como un
polinomio en los distintos órdenes, el grado de la
ecuación diferencial se considera el grado mayor en que
aparece el orden mayor. Pueden ser de primer y
segundo grado como aparece en el siguiente ejemplo
Primer grado:
Homogénea de segundo grado:
Hay tres tipos de soluciones:
: una solución de tipo genérico,
expresada con una o más constantes. La solución
general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud
de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante
corresponde a una familia simplemente infinita, dos
constantes a una familia doblemente infinita, etc). En
caso de que la ecuación sea lineal, la solución general
se logra como combinación lineal de las soluciones
(tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación
homogénea (que resulta de hacer el término no
dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más
una solución particular de la ecuación completa.
: Si fijando cualquier punto
P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente
la solución de la ecuación diferencial, existe un
único valor de C, y por lo tanto de la curva
integral que satisface la ecuación, éste recibirá
el nombre de solución particular de la ecuación
en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de
condición inicial. Es un caso particular de la
solución general, en donde la constante (o
constantes) recibe un valor específico.
una función que verifica la
ecuación, pero que no se obtiene
particularizando la solución general
Interpretación geométrica de la derivada parcial
Recordemos que la gráfica de representa una superficie .
Si , entonces el punto está sobre la superficie . El plano
vertical interseca a la superficie en la curva (es decir, es la
traza de la superficie sobre el plano . De manera
semejante, el plano vertical interseca a la superficie en la
curva . Ambas curvas pasan por el punto .
Observe que la curva es la gráfica de la función de manera
que la pendiente de su recta tangente en el punto es La
curva es la gráfica de la función así que la pendiente de
su tangente en el punto.
Observación : si es una función de dos variables e ,
entonces sus derivadas parciales y también son
funciones de dos variables, de modo que podemos
considerar sus derivadas parciales y , las cuales se
llaman segundas derivadas parciales de Si.
La notación o significa que primero derivamos con
respecto a y luego con respecto a , mientras que para
calcular el orden se invierte.
En ingeniería a menudo el problema geométrico de
encontrar una familia de curvas (trayectoria ortogonal)
que intersequen ortogonalmente en cada punto a una
familia dada de curvas. Por ejemplo, es posible que se
den las líneas de fuerza y se pida obtener la ecuación
de las líneas equipotenciales. Consideremos la familia
de curvas descrita por la ecuación F(x, y, y’)=0, la
ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a
ella, es otra familia de la forma F(x,y,1/y’)
Para obtener las trayectorias octogonales de una ecuacion
diferencial se toma :
Mi= = f(x, y), M2= - 1/m1
M2= = dada la trayectoria ortogonal a la
primera ecuación
Cuando un problema de valor inicial modela
matemáticamente una situación física, la existencia y
unicidad de la solución es de suma importancia, pues,
con seguridad se espera tener una solución, debido a
que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se
supone que la solución sea única, pues si repetimos el
experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los
mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea
determinantico. Por lo tanto, al considerar un problema
de valor inicial es natural preguntarse por:
Existencia: ¿Existirá una solución al problema ?
Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ?
Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la
determinamos ?
En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras
interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la
determinación de solución para el próximo capítulo.
Teorema:
Sea R[a,b] x [c,d] c tal que . Si f(x, y) y son
continuas en R , entonces existe un intervalo abierto I,
centrado en XD y una función f(y) definida en I , que
satisface el problema de valor inicial
Suponga que nos da la ecuación diferencial F(x, y)
Donde f(x, y) satisface las condiciones del teorema de
existencia-unicidad. En cada punto (a, b) de la región R
podemos construir una línea corta, llamada un elemento
lineal, con pendiente F(a, b). Si hacemos esto para un
gran número de puntos, obtenemos un grafico tal como
se muestra en la figura siguiente, llamado campo de
direcciones de la ecuación diferencial. Los elementos de
la línea representan líneas tangentes a las curvas
solución en estos puntos
Pedro Damian Segoviano Aguilar 9310367
salon 209
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