capitulo iii cinematica de una particula.ppt
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Universidad Nacional Tecnológica del Sur Universidad Nacional Tecnológica del Sur UNTECSUNTECS
Ingeniería Electrónica Y TelecomunicacionesIngeniería Electrónica Y Telecomunicaciones
FISICA IFISICA I
CAPITULO-IIICAPITULO-III
CINEMÁTICA DE UNA PARTICULACINEMÁTICA DE UNA PARTICULA
CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA:CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA:
Movimiento Mecánico - Bases para su estudio Movimiento Mecánico - Bases para su estudio Método Vectorial Método Vectorial Método De Coordenadas Cartesianas Método De Coordenadas Cartesianas Método de Coordenadas Intrínsecas o Natural. Método de Coordenadas Intrínsecas o Natural. Movimiento Unidimensional ,MRU,MRUV Movimiento Unidimensional ,MRU,MRUV Movimiento Bidimensional ,Caída Libre Movimiento Bidimensional ,Caída Libre Movimiento Compuesto ,Parabólico Movimiento Compuesto ,Parabólico Movimiento Circular.Movimiento Circular. Aplicaciones .Aplicaciones .
Cinemática:Cinemática: Rama de laRama de la Mecánica Mecánica que se dedica a la descripción del que se dedica a la descripción del movimiento mecánico movimiento mecánico sin interesarse sin interesarse por las causaspor las causas que lo provocan. que lo provocan.
Dinámica:Dinámica: Rama de laRama de la Mecánica Mecánica que se dedica a que se dedica a investigar las causasinvestigar las causas que provocan el movimiento que provocan el movimiento mecánico. mecánico.
Movimiento Mecánico:Movimiento Mecánico: Cambio de Cambio de posición de posición de un cuerpoun cuerpo respecto respecto a otrosa otros, , tomados como referencia.tomados como referencia.
Carácter: Carácter: RelativoRelativo
Definir sistema Definir sistema bajo estudiobajo estudio
Definir Definir Sistema de Sistema de Referencia Referencia
(SR)(SR)
SRISRI:: Cuerpos que se toman como referencia para Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio . Que en describir el movimiento del sistema bajo estudio . Que en ausencia de otros cuerpos se mueve con MRU.ausencia de otros cuerpos se mueve con MRU.
Bases para el estudio del Bases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico
y(t)y(t)
z(t)z(t)
x(t)x(t)
Se le asocia Se le asocia
• ObservadorObservador
• Sistema de Sistema de CoordenadasCoordenadas
z
y
x
• RelojReloj
)(tr
Magnitudes Físicas Magnitudes Físicas
CinemáticasCinemáticas
Posición, Posición, Velocidad, Velocidad,
Aceleración Aceleración
Dinámicas Dinámicas
Fuerza, Torque Fuerza, Torque
ModelosModelos
De Partícula: De Partícula: el cuerpo puede el cuerpo puede ser considerado como un objeto ser considerado como un objeto puntual.puntual.
De Cuerpo Rígido: De Cuerpo Rígido: Las Las distancias entre los distancias entre los diferentes puntos del diferentes puntos del cuerpo no varían.cuerpo no varían.
Rotación pura de cuerpo sólidoRotación pura de cuerpo sólido
Traslación puraTraslación pura
ObjetivoObjetivo
Determinación de las Leyes del Determinación de las Leyes del MovimientoMovimiento
Posición r(t), Velocidad v(t), Aceleración a(t)
Describir el Describir el Movimiento Movimiento
mecánicomecánico
Métodos UsadosMétodos Usados•Vectorial : Vectorial : (Es (Es conciso, conciso, elegante)elegante)•De Coordenadas:De Coordenadas: Mayor número de Mayor número de
ecuacionesecuaciones•Natural:Natural: Coordenadas curvilíneasCoordenadas curvilíneas
Solución deSolución de
problemas de problemas de la cinemáticala cinemática
Posición (t)Posición (t)
VelocidadVelocidad (t)(t)
AceleraciónAceleración (t)(t)
P. D
irectoP
. Directo P
. In
vers
oP
. In
vers
o
Con
d. I
nic
iale
sC
ond.
In
icia
les
ttr
tr
)(: trposición
ttV
tV
dtdV
tanaceleració )(:
mV r
t
tVttVanaceleració m
:media
Método Método Vectorial:Vectorial:dr
ktzjtyitxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
)()(: trttrrentodesplazami
ttrttr
tr
Vmediavelocidad m
)()(
:
dtrd
velocidadt
tr
limv:ainstantane 0
y
x
t1
t2
A
B
r
r(t1)
r(t2)
r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2
Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo [t1 , t2] esta dado por:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para hallar el vector desplazamiento?
)t()t( 12rrr
B
t1
t2No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo
A
r
Vector velocidad media
Se define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t1 , t2] como:
sm
tt
rr
tr
V12
ttm
12
y
x
t1
t2
A
B
rmV
r//Vm
)(t1r
)(t2r
La velocidad media apunta en la misma dirección del vector desplazamiento
Y(m)
x(m)
t1
t2Δl
:Δl Distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [t1 , t2]
r
Rapidez mediaLa rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado
tl
empleadotiemporecorridadistancia
v~m
• La rapidez media no es un vector
• la rapidez media no es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo)
mm Vv
t2
t'2
t"2
t1
B
A
Y(m)
x(m)
v
r1
r
r2
mV
r2'
r'
mV
r2"
r"
mV
t3A
Y(m)
x(m)
“El vector velocidad instantánea es tangente a la
trayectoria que describe la partícula”
t2
t1
)v(t1 )v(t2)v(t3
vv
La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto del tiempo
Velocidad instantánea
dtdr
tr
limv(t) 0t
Esta expresión podemos expresarla en función de sus componente rectangulares
dtdx(t)
vx dt
dy(t)vy
dtdz(t)
vz
dtdr
tr
limv(t) 0t
)(tx
)(ty
)(tz
)(),(),(: tztytxposición
,)(:dtdx
tVvelocidad x
dtdy
tVy )(
dtdz
tVz )(
dt
dVtanaceleració x
x )(:
dt
dVta y
y )(
dtdV
ta zz )(
y
x
z
zyxentodesplazami ,,:
Método de Coordenadas :Método de Coordenadas :
Rapidez instantánea
La rapidez instantánea es igual al modulo de la velocidad instantánea
dtdr
tr
limv~ 0t(t)
)t((t) vv~
Al modulo de la velocidad instantánea se le conoce como rapidez instantánea
VelocidadLa velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto son: m/s cm/s o Km / h etc...
La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto son: m/s cm/s o Km / h etc...
A
Y(m)
x(m)
t2t1
12
12m tt
)V(t)V(ta
)v(t1)v(t2
Aceleración media
Se define la aceleración media como la rapidez de cambio de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo
212
12m
s
mtt
)V(t)V(ta
Cuando la velocidad de un objeto cambia con el tiempo, se dice que el objeto experimenta una aceleración.
La aceleración Instantánea es la tasa de cambio de la velocidad instantánea por unidad de variación de tiempo , cuando por ejemplo un conductor aprieta el pedal del acelerador de su coche ,espera cambiar su velocidad ,de lo contrario si después de alcanzar una alta velocidad imprime los frenos ,estará desacelerando , disminuyendo su velocidad.
tV
lima ot(t)
Y(m)
x(m)
La aceleración en este pequeño intervalo de tiempo apunta hacia la concavidad
de la trayectoria
t)v(t
t1 )v(t1
v
v atV
lima ot(t)
a
Aplicaciones:Aplicaciones:
Problema : La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por la relación:
Determine y grafique :
(a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0;
(b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s;
(c) la posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ;
(d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s.
2 36x t t
Solución• La ecuaciones de movimiento son
• Las cantidades solicitadas son
326 ttx 2312 tt
dt
dxv
tdt
xd
dt
dva 612
2
2
• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2
dtˆd
vdtdv
ˆa
La aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo ( t ):
(t)a dt
ˆvddtdV
nv
v
ˆdtdv
anaˆaa n
dtdv
a
2
nv
a
2n
2 aaa
Cálculos de radio de curvatura:A)Si se define una curva por las ecuaciones para métricas : x=x(t), y=y(t)Entonces la curvatura será :
Curvatura :
B) Si se define a la curva por la ecuación : y = y(x),entonces la expresión para calcular la curvatura es de la forma :
Curvatura :
Cuando una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular ,la curvatura es 1/R , donde R es el radio del circulo.
Ecuaciones de Y En Componentes Tangencial y Normal :
Sea la velocidad :
La aceleración será :
yx
xyyx
22
12/3
dxdy
xdyd
/ 21
/12/3
22
v a
evesv tt ˆˆ
es
setsetsetsrva nˆˆˆˆ
Velocidad y aceleración:Velocidad y aceleración:
De la ecuación anterior se tiene :
De donde :
Y la magnitud de velocidad :
La magnitud de la aceleración tangencial y normal:
ev
etsa nˆˆ2
aaa nt
esa tt ˆ ev
a nn ˆ2
Centro de curvatura
C=r(t)
enˆ
etˆsv
sat
v
an2
sv
sat v
an2
La aceleración podemos expresar como :
y como , entonces multiplicando vectorialmente la ecuación ,tenemos:
entonces :ya que v y at tienen la dirección tangencial.Otra ecuación para hallar radio de Curvatura de una curva plana:
enaetaa nt ˆˆ
etvv ˆ
axvaaxvaxv ntn )(
v
axvfinalmente
vv
axvandespejando
anvsenavaxvaxv nn
3
2
1
º90
Movimiento Curvilíneo General Movimiento Curvilíneo General :La aceleración se descompone en coordenadas radial y tangencial.
La aceleración radial se debe al cambio de dirección del vector velocidad.
La aceleración tangencial proviene del cambio en la magnitud de la velocidad.
= radio de curvatura at
aar
ara
at
v
v
TN
z
y
x
,)(: Vdtds
tVvelocidad
dtdV
taT )(
Ta
a
22
TNaaa
n
0s0s
nv
dtd
vtanaceleració N 2
)(:
Na
Método de Coordenadas Método de Coordenadas Naturales (Curvilíneas):Naturales (Curvilíneas):
)()(: Vdtd
dtdV
tanaceleració
n
)(: tsposición
0s
aaa TN
Descripción intrínseca del movimiento : Descripción intrínseca del movimiento :
Componentes intrínsecas de la aceleración.
dtud
udtd
udtd
dtd
a ttt
Componente sobre una dirección tangente a la trayectoria. Mide el cambio en magnitud de la velocidad.
Componente sobre una dirección normal a la trayectoria. Mide el cambio en dirección de la velocidad.
dirección tangente
dirección normal
ant uu
dtd
dtd
a 2
• Puede demostrarse:
curvatura de radio :
Aceleración tangencial: tt udtd
a dtd
at
Aceleración normal: nn ua 2
2
na 22nt aaa
ta
na
.
.
X
Y
O
i
j
C
P
.
Demostración: nt u
dtud
nutu
jiut
sencos
jdtd
idtd
dtud t cossen
ds
d
dtds
dtd 1
jdtd
idtd
dtud t cossen
dtd
ji
cossen nt u
dtud
nu
d
d
ds
11
curvaturaderadiods
dcurvatura
En coordenadas polares :En coordenadas polares :
ruu
r)
y
xi
j
El vector de posición es :
Sea :Se definen los vectores unitarios como
Por lo tanto el vector de posición será:
La velocidad será :
La aceleración será :
jrsenirtr ˆˆcos)(
jisenrr
jsenir
r
r
r
u
u r
ˆcosˆ/
ˆˆcos/
uu
uu
r
r
d
dd
d
urr r
u rrr
uu rrdt
rdv
r ˆˆ
urrurrdt
vda r
22
Problema 2.-Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo a la ley ax=0, ay=2cos(πt/2) m/s2. En el instante inicial t=0, x=0, y= - 8/π2, vx=2, vy=0. Encontrar: a)El vector posición y el vector velocidad en función del tiempo. b)La ecuación de la trayectoria, representarla .c)Representar la aceleración, aceleración tangencial y normal sobre la trayectoria en los instantes t=1 y t=2s.
Problema 1.-El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v= (3t-2) i+(6t²-5)j m/s. Si la posición del móvil en el instante t=1 s es r=3i-2j m. Calcular :a)El vector posición del móvil en cualquier instante. b)El vector aceleración. c)Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. d)Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.
Aplicaciones :
Problema 3.-Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo con la ley ax = 0, ay=4cos(2t) m/s2. En el instante t=0, el móvil se encontraba en x=0, y= -1 m, y tenía la velocidad vx=2, vy=0 m/s. a)Hallar las expresiones de r(t) y v(t). b)Dibujar y calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=π/6 s.
Problema 4.-Un móvil se mueve en el plano XY con las siguientes aceleraciones: ax=2, ay=10 m/s2. Si en el instante inicial parte del origen con velocidad inicial vx=0 y vy=20 m/s.
a)Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración, y b) El radio de curvatura en el instante t=2 s
Aplicación:
Movimiento en una
dimensión
ivvix(t)r (t)(t)(t)
iaa )t()t(
x)(to
v
(t)v
)(tor
(t)r
Para el movimiento en el eje X las ecuaciones se reducen a:
0ta
X(t)
t
p
Q
R 0v
0v
0v
dt
dxv (t)
Velocidad instantánea
lim
x
tdx
dt
t
0
tti tf
t
a > 0a = 0
a < 0
Aceleración instantánea
dt
dva (t)
tti tf
t
En toda gráfica (v) versus (t) el área bajo la curva es igual al desplazamiento del móvil
curvalabajoarea2
1
t
t
vdtΔxv
dtdx
6.-Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0. a)Dibujar una gráfica de la aceleración en función del tiempo.b)Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t=8s.c) Escribe la expresión de la posición (x), x=x(t) del móvil en función del tiempo t, en los tramos AB y BC
7.-La gráfica de la figura describe en función del tiempo ,la aceleración de un objeto que baja rodando por una pendiente ,habiendo partido del reposo .
8
2
0 2 4 8
a)Determine el cambio de velocidad del objeto entre t=2,5s y t=7,5s .b)Dibuje una gráfica de la velocidad del objeto en función del tiempo .
a(m/s)
t(s)
2 4 8 12 16 t(s)
V(t)En la gráfica velocidad versus tiempo, haga un análisis del tipo de movimiento e indique en que tramos el movimiento es acelerado o desacelerado
Dada la aceleración del móvil hallar el Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidadcambio de velocidad::
Dado un registro de la velocidad : v=v(t),podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 en entre los instantes t y to ,a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo como : a = dv/dt → dv = adt → usando la integral definida tenemos :
∫dv = ∫adt → v-v0 =
La expresión anterior :
v-v0 es igual al área bajo la curva (a-t) .
Como
Entonces ,obtenemos una expresión para la aceleración ; cuando la aceleración es una constante ó es una función de (x) :
t
to
adt a
t
V-v 0
to tV0 vdx
dvv
dtdx
dxdv
dtdv
a
vdvadx
Movimiento rectilíneo como función de la velocidadMovimiento rectilíneo como función de la velocidad
Dada una partícula que se mueve con movimiento rectilíneo ,en un medio resistente ,la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad ,por lo que su aceleración se expresa como a =-kv²,donde k cte>o .Si para el instante t0=o ,X0=0,v =v0 . Hallar la velocidad : a) v = v(x) ,b) v=v(t).Solución : a)v=v(x) ? → partimos de la expresión : vdv = adx = -kv²dx→separamos variables e integramos :
→Log(v/v0) = - kx →
b)v=v(t)?→partimos de la expresión : a= dv/dt = -kv²→separamos variables e
integramos :∫dv/v² = -∫kdt →tenemos :1/v = kt + c → de las condiciones
iniciales dadas se obtiene : c= 1/v0 → 1/v = kt + 1/v0 , por lo tanto tenemos :
V (t) = v0 / ( 1+v0kt) .
xv
v
kdxvdv
0e
kxvxv
)(
EjemploUn proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil.
SoluciónVelocidad: Usando el sistema de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuación a = dv/dt para determinar la velocidad como función del tiempo esto es
POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t), la posición se determina a partir de la ecuación v = dS/dt
Diremos que un movimiento rectilíneo es uniforme variado si la aceleración del móvil permanece constante en todo momento.
Supongamos que una partícula parte de la posición xo en el instante t0=0 , con una velocidad vo
x
t
0
v
v
adtdvo
aov (t)vox
(t)xt=0
Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de integrar
tvv o(t) a Velocidad instantánea
Problema inverso
Podemos ahora determinar la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo t
t
t0
(t)dtvdxx
xo
t
t0
oo )dtt-t(v(dx ax
xo
)t-t(vv 0o(t) a
200oo(t) )t-t(
2
1)t-(tvxx a
x
aov (t)vox
(t)xt=0
Hallaremos ahora una expresión para determinar la velocidad media en el intervalo de tiempo [0, t]:
ΔtΔx
Vm t
x-xV o(t)
m
x
aov (t)vox
(t)xt=0
t
x-xV o(t)
m
2oo(t) t
21
tvxx at
v-va o(t)
Y usando las ecuaciones anteriormente deducidas para t0=0
x
aov (t)vox
(t)xt=0
2
vv
t
x-xV o(t)o(t)
m
Finalmente obtenemos
x
aov (t)vox
(t)xt=0
Δx2vv 2
0
2
(t)a
También se puede demostrar:
Donde : 0(t) xxΔx Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo [0 , t]
Δx2vv 2
0
2
(t)a
Resumen
0(t) xxΔx
[0 , t]
tvv o(t) a2
oo(t) t21
tvxx a
2
vv
t
x-xV o(t)o(t)
m
2
vv
tt
x-xV )(t)(t
12
)(t)(t
m1212
[t1 , t2 ]
ctea MRUADespejando t en la 1ra y sustituyendo
en la 2da, se obtiene la 3ra
Movimiento Uniformemente AceleradoMovimiento Uniformemente Acelerado
tvv o(t) a
at
tt
Pendiente =
a
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
2
oo(t) t21
tvxx a
O t
a
aPendiente = 0
a
Pendiente de las gráficas ( e-t )Podemos deducir las características de un movimiento analizando la forma y la de las gráficas posición-tiempo (e-t). La pendiente de una gráfica ( e-t ) representa la velocidad del móvil. Si el movimiento es uniforme, la gráfica e-t es una recta ya que en tiempos iguales se producen desplazamientos iguales. Comprueba en el siguiente simulador que la pendiente de la gráfica representa la velocidad.
Si el movimiento es acelerado, la gráfica ( e-t ) es una curva ya que en tiempos iguales se producen desplazamientos diferentes. En el siguiente simulador puedes comprobar que la aceleración representa el ritmo con que varía la velocidad.
Movimientos de caída libre:Movimientos de caída libre:
La histórica Torre de Pisa(Italia) ,en donde Galileo Galilei hizo algunas de sus pruebas para verificar sus hipótesis.
Movimiento vertical :Si soltamos una piedra desde cierta altura ,observamos que describe una trayectoria vertical mientras desciende con una rapidez aumentativa ;es decir su movimiento hacia abajo es acelerado .En cambio si la lanzamos verticalmente hacia arriba ,apreciaremos que su rapidez disminuye conforme asciende hasta que se hace cero ,es decir su movimiento hacia arriba es desacelerado.
Aceleración de la caída libre :Galileo Galilei a través de sus observaciones experimentales sobre el movimiento de los proyectiles en caída libre había llegado a la conclusión de que :“Todos los cuerpos que se dejan caer desde la misma altura llegaría simultáneamente al piso independientemente de que sean pesados y livianos”.Hipótesis comprobada cuando se inventó la bomba de vacio.
Paracaidista en caída libre ,sufre resistencia del aire.
Equipo de medición experimental de caída libre en el laboratorio.
ECUACIONES DE MOVIMIENTO:
vvttvv
vt
bajsub
bajsub
bajsub
lanzsub g
,
ghf
gt
vv
vv f
2022
0
tgtvh
tvv
hf
20
0
2
1
2
El movimiento vertical de caída libre es un MRUV por lo que las ecuaciones de movimiento son : donde a=g y d=h.
A un mismo nivel : Las ecuaciones se utilizaran con el
signo(+)cuando el cuerpo desciende(acelerado) y el signo( - ) cuando asciende (movimiento desacelerado).
v0 -v0
V =0
Haga click en la bolita verde
jga jvv
00
y
0
gtvv0
2gt21
tvyy00
yg2vv 20
2
av
x
t t
t
v0
-v0-g
tvtv/2
tv
H
jga
gtvv0
2gt21
tvyy00
Movimiento de proyectilesPara el movimiento de proyectiles supondremos que la aceleración es constante y dirigida hacia abajo, además despreciaremos la resistencia del aire.
INSTRUMENTOS DE LANZAMIENTO DE PROYECTILES:
ga
Ecuaciones de movimiento:y
x
R
hmax
(x,y)vo
)
voy
vox
j
i
El vector de posición : Toma la siguiente forma:
De la figura deducimos:
Este resultado se ha obtenido ,considerando un MRU en el eje X y un MRUV en el eje Y.
),( yxr
jg
tyyitvjyixr toox
)2
(2
0
senvvvv oyox 00 ,cos
jg
tsenvyitvjyixr t )2
(cos2
000
Ecuaciones del movimiento
Las ecuaciones del movimiento de un proyectil en cualquier tiempo son:
vx = vx0 = v0 cos = const.
vy = vy0 – gt = v0 sen – gt
x = vx0t = v0 (cos )t
y = vy0t – ½gt2 = v0 (sen )t – ½ gt2
Trayectoria de un proyectil
Trayectoria de un proyectil arrojado con una velocidad inicial v0.
Vector desplazamiento en el tiro parabólico :
El vector desplazamiento r puede escribirse como: r = v0t + ½gt2
TrayectoriaDe las ecuaciones para x y y podemos obtener la ecuación de la trayectoria.
x = vx0t = v0 (cos )t ……………………(1)
y = vy0t – ½gt2 = v0 (sen )t – ½ gt2 ………(2)
Despejando (t) de la ecuación(1) y reemplazan en (2) se tiene :
tiempo de vuelo
00 cosvx
t
2
000000 cos2
1cos
sen
vx
gv
xvy
2
022
00 cos2
tan xv
gxy
Esta Ecuación Representa una parábola
Algunos parámetros del tiro parabólico
gv
h2
senmax 0
220
gv
Rx 020sen2
max
altura máxima : se logra cuando vy=0,se obtiene el tiempo de ascenso ta :
, para t=ta,y=hmax , se
tiene :
alcance máximo : para t=2tael proyectil intersecta al eje x por segunda vez ,es decir x=R
g
senvta
0
Máximo alcanceTrayectorias de un proyectil con diferente ángulo inicial
Ejemplo1.-Un golfista golpea una pelota en un acantilado a la orilla del mar con una velocidad de 48 m/s y un ángulo de 36°. El acantilado tiene una altura de 52 m. Encontrar la distancia total que avanza la pelota y el tiempo total de vuelo.
Ejemplo (cont.)
Podemos calcular la coordenada x en que la pelota choca con el mar resolviendo la ecuación de la trayectoria para y = –52 m, 0 = 36°, v0 = 48 m/s.
Sustituyendo obtenemos la siguiente ecuación:
–0.00325x2 + 0.72654x + 52 = 0
Las soluciones son:
x = –57.0272487 y x = 280.6225766
La raíz aceptable es la segunda. El tiempo de vuelo lo calculamos con:
t = 7.23 s
2
022
00 cos2
tan xv
gxy
00 cosvx
t
Ejemplos :2.-Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20m/s , desde la azotea de un edificio de 50 m de altura .La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con aceleración de 2m/s² (tomar :g= 10m/s²). Calcular:
a)La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto . b)La altura máxima . c)Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=3s.
3.-Se dispara un proyectil desde lo alto de una colina de 300 m de altura, haciendo un ángulo de 30º por debajo de la horizontal.
a)Determinar la velocidad de disparo para que el proyectil impacte sobre un blanco situado a una distancia horizontal de 119 m, medida a partir de la base de la colina.
b)Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración cuando el proyectil se encuentra a 200 m de altura.
Aplicaciones:
4.-Un cañón está situado sobre la cima de una colina de 500 m de altura y dispara un proyectil con una velocidad de 60 m/s, haciendo un ángulo de 30º por debajo de la horizontal.
a)Calcular el alcance medido desde la base de la colina. b)Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración 3 s después de efectuado el disparo. c)Dibujar un esquema en los que se especifique los vectores velocidad, aceleración y sus componentes tangencial y normal en ese instante. (Tómese g=10 m/s2)
5.-Se lanza un objeto desde una altura de 300 m haciendo un ángulo de 30º por debajo de la horizontal. Al mismo tiempo se lanza verticalmente otro objeto con velocidad desconocida v0 desde el suelo a una distancia de 100 m. a)Determinar, la velocidad v0, el instante y la posición de encuentro de ambos objetos. b)Dibujar la trayectoria de ambos objetos hasta que se encuentran. c)Calcular las componentes tangencial y normal del primer objeto en el instante de encuentro. ( g=9,8 m/s²)
Aplicaciones :6.-Un bloque de 0.5 kg de masa de radio comienza a descender por una pendiente inclinada 30º respecto de la horizontal hasta el vértice O en el que deja de tener contacto con el plano. a)Determinar la velocidad del bloque en dicha posición. b)Hallar el punto de impacto de la esfera en el plano inclinado 45º, situado 2 m por debajo de O, tal como se indica en la figura. c)Hallar el tiempo de vuelo T del bloque (desde que abandona el plano inclinado hasta el punto de impacto). d)Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante T/2.
7.-Calcular el ángulo de tiro con que se ha de apuntar un cañón para que dé en el blanco situado a 200 m de distancia horizontal y 100 m de altitud sobre el cañón, sabiendo que la velocidad de disparo es de 60 m/s. Justifíquese la respuesta.
Z
X
Y
R
r
s
Movimiento circular. cteR • Magnitudes angulares
Desplazamiento angular :Rs 1
Velocidad angular:
kωdtd , 1t
Aceleración angular:
kdtd
kdtd
dtd
2
2
, 2t
Movimientos curvilíneos (an 0) en el plano.
ECUACIONES DE MOVIMIENTO CIRCULAR :ECUACIONES DE MOVIMIENTO CIRCULAR :
dtd
Rdtds
vLa velocidad es :
RRv
Movimientos curvilíneos en el plano.
Movimiento circular.
Z
X
Y
r
r
sR
cteR • Relaciones entre magnitudes lineales y angulares.
r ra
rat na
MCU 0ta
cteT /20
00 tt
MCUA cteat 00 tt cte
20000 2
1tttt
/TνT 1 , periódico mov.
CONTINUACION:CONTINUACION:
Periodo y frecuenciaPeriodo y frecuencia
Al tiempo en que tarda un objeto en dar una vuelta completa se le llama periodo (T) está dado por
2R = vT
222 RR
vR
T
La frecuencia es el recíproco del periodo
f = 1/T = /2
La frecuencia es el número de revoluciones por segundo, se mide en hertz (Hz) que se define como un ciclo por segundo (cps).
Otra unidad es las revoluciones por minuto rev/min o rpm.
EjemploCalcule la rapidez angular, la rapidez, la frecuencia, el periodo y la aceleración correspondiente en un punto del ecuador de la tierra.
El periodo es 24 h o sea
T = 24h (60 min/h)(60 s/min) = 86,400 s
La frecuencia es
f = 1/T = 1.16 x 10–5 Hz
El radio de la tierra es R = 6.4 x 106 m, la velocidad es
v = 2R/T = (2)(6.4 x 106)/86,400 = 465 m/s
La rapidez angular es
= 2f = 2(1.16 x 10–5) = 7.3 x 10–5 Hz
La aceleración es
a = v2/R = (465)/(6.4 x 106) = 0.034 m/s2
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