capitulo 2 solidos 2
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Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles
2. TORSIÓN EN BARRAS RECTAS
2.1. Barras Rectas de Sección Circular
Suposiciones
Secciones planas permanecen planas (no existe alabeo de las secciones)
La deformación se reduce a un giro “θ” por unidad de largo entre dos secciones.
Figura 2.1: Barra recta de sección circular.
El ángulo de torsión a la distancia “x” del extremo izquierdo de la barra de la figura es:
αθϕ += xx ·)(
Que es la ecuación de una Hélice Cilíndrica.
Para ángulos pequeños:
R··· θφ ≈ ⇒ R·θφ ≈
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2-1
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En un elemento de largo “dx”:
Figura 2.2: Elemento de largo dx.
La fibra AA’ sufre una distorsión angular:
θθγ ···'
' '1 r
dxdxr
AAAA
===
Y la tensión de corte es:
θγτ ···)( rGGr == (2.1)
Ahora, equilibrando los momentos torsores externo e interno, se tiene:
Figura 2.3: Equilibrio de momentos torsores.
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2-2
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∫=A
T dArrM )·(·τ
Incorporando (2.1):
∫∫ ==AA
T dArGdArGrM 2····· θθ ⇒ pT IGM ··θ= (2.2)
Entonces: p
T
IGM·
=θ (2.3)
Donde Ip es el momento de inercia polar de la sección circular (2
4RI pπ
= )
En el caso de las secciones circulares se cumple que: Ip= IT
Donde IT es la inercia torsional de la sección.
Se define la rigidez a la torsión como: G·Ip
Por lo tanto, el esfuerzo de corte es: rI
Mrp
T=)(τ (2.4)
Y el esfuerzo de corte máximo: RI
M
p
Tmáx =τ (2.5)
El módulo resistente a la torsión: RI
W pT = (2.6)
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2-3
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Figura 2.4: Líneas de falla en una sección circular sometida a torsión.
2.2. Torsión en barras rectas de sección maciza
Suposiciones
Secciones planas no permanecen planas (existe alabeo de las secciones). Este alabeo es
igual en todas las secciones de la barra.
La deformación es un giro constante “θ” por unidad de largo entre dos secciones junto
al alabeo de la sección.
Figura 2.5: Barra recta de sección cuadrada. Se observa el alabeo de las secciones.
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2-4
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Figura 2.6: Barra recta de sección no circular maciza.
Los desplazamientos de cualquier punto de la barra son (ecuaciones 2.7):
),(· zyux Ψ=θ
zxxru y ···cos·· θαθ −=−=
yxxruz ···sin·· θαθ ==
En donde se ha incluido la función Ψ(y,z), que es la función de alabeo de la sección.
θ),(
),(zyu
zy x=Ψ (2.8)
Esta función de alabeo es una función que sólo depende de la forma de la sección (es
función de la geometría) y no depende de la torsión.
Las deformaciones son (ecuaciones 2.9):
0=∂∂
=x
uxxxε
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2-5
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0=∂
∂=
yu y
yyε
0=∂∂
=z
uzzzε
−
∂Ψ∂
=∂
∂+
∂∂
= zyx
uy
u yxxy θε
[ ] 0=+−=∂∂
+∂
∂= xx
yu
zu zy
yz θε
+∂Ψ∂
=∂∂
+∂∂
= yzz
ux
u xzzx θε
Y las tensiones son (ecuaciones 2.10):
0=xxσ
0=yyσ
0=zzσ
−
∂Ψ∂
= zy
Gxy θσ ·
0=yzσ
+∂Ψ∂
= yz
Gzx θσ ·
Recordando la ecuación de equilibrio de tensiones:
0=∂∂
+∂
∂
zyxzxy σσ
(2.11)
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2-6
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Reemplazando las expresiones (2.10) en (2.11) y desarrollando queda:
0),(2
2
2
2
=∆Ψ=∂Ψ∂
+∂Ψ∂ zy
zy (2.12)
En la que se ha incluido el Operador de Laplace: 2
2
2
2
zy ∂∂
+∂∂
=∆
Si se introduce la Función de Torsión “T”, definida como (ecuaciones 2.13):
zzyTGxy ∂
∂=
),(··2 θσ
yzyTGxz ∂
∂−=
),(··2 θσ
De las ecuaciones (2.9):
θεε
2−=∂∂
−∂
∂
yzxzxy (2.14)
Como se sabe: G
xyxy
σε = y
Gxz
xzσ
ε =
θσσ
Gyz
xzxy 2−=∂∂
−∂
∂ (2.15)
Reemplazando (2.13) en (2.15):
1),(2
2
2
2
−=∆=∂∂
+∂∂ zyT
zT
yT (2.16)
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Que es una ecuación diferencial de Poisson o de Laplace inhomogénea.
En algunas oportunidades se trabaja con una función de torsión de Airy “Φ”, que es
parecida a la anterior. En esos casos, se define “Φ” como:
),(·2),( zyTGzy θ=Φ
Y: θGzyzy
2),(2
2
2
2
−=∆Φ=∂Φ∂
+∂Φ∂
En el borde de la sección: y=y(s) y z=z(s)
Figura 2.7: Análisis en el borde de la sección.
Además: )()(
sdzsdy
xz
xy =σσ
⇒ 0=− dydz xzxy σσ
Reemplazando (2.13):
0==∂∂
+∂∂ dTdy
yTdz
zT (2.17)
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Lo que significa que T=ctte. en el borde de la sección.
A partir de lo cual se puede elegir T=0 en el borde, ya que de T sólo interesan las
derivadas.
Además, verificando el equilibrio de momentos torsores en la sección:
Figura 2.8: Equilibrio de momentos torsores en la sección.
[ ]dAzyMA
xyxzT ··∫ −= σσ
Y desarrollando se llega a:
dAzyTGMA
T ∫= ),(4 θ (2.18)
En analogía con la torsión de barras de sección circular:
T
T
IGM·
=θ (2.19)
Donde se ha cambiado Ip por IT que es el momento de inercia torsional de la sección.
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T
Tmáx W
M=τ (2.20)
Donde nuevamente WT es el módulo resistente a la torsión.
Reemplazando (2.19) en (2.18):
dAzyTIA
T ∫= ),(4 (2.21)
Finalmente:
máxxzxymáx22 σστ +=
máx
máx yT
zTG
22
2
∂∂
+
∂∂
= θτ
máxmáxTGradG .2 θτ =
Reemplazando (2.19): máx
T
T
máxTGrad
IM
.2=τ
Comparando con (2.20): máx
TT TGrad
IW.2
1= (2.22)
Ejemplo 2.1
Analizar el problema de torsión de la sección elíptica dada. Datos: a, b, G, MT.-
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2-10
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Figura 2.9: Ejemplo 2.1 (sección elíptica).
Solución
La ecuación del borde de la elipse es:
01),(22
=−
+
=
az
byzyf
Y en el interior: 0),( ≤zyf
Aplicando el Operador Laplaciano:
.112),( 222
2
2
2
ctteabz
fy
fzyf =
+=
∂∂
+∂∂
=∆
Si se elige: ),(·),( zyfzyT λ= ⇒ ),(·),( zyfzyT ∆=∆ λ
En donde λ es una constante.
Como se debe cumplir que: 1),( −=∆ zyT
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Entonces: )(2112
122
22
22ba
ba
ab+
−=
+
−=λ
Por lo tanto:
−
+
+−= 1
)(2),(
22
22
22
az
by
babazyT
Además, las tensiones son:
zba
bGz
zyTGxy )(2),(··2 22
2
+−=
∂∂
= θθσ
yba
aGy
zyTGxz )(2),(··2 22
2
+=
∂∂
−= θθσ
A partir de las líneas de tensiones tangenciales:
yazb
dzdy
xz
xy2
2
−==σσ
⇒ 0·· 22 =+ dzzbdyya
Integrando la expresión anterior:
122 ·· Cdzzbdyya =+ ∫∫
1
22
22
22Czbya =+
22
2
2
2
Caz
by
=+
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Que es la ecuación de una elipse concéntrica semejante a la inicial.
De las expresiones anteriores se ha podido apreciar que las tensiones σxy y σzy son
lineales.
Figura 2.10: Distribución de tensiones en la elipse.
22
2
2ba
baGmáxxzmáx +
== θστ
La inercia torsional es: π22
33
),(4ba
badAzyTIA
T +== ∫
El giro por unidad de longitud: π
θ 33
22
· baba
GM
IGM T
T
T +==
Como T
Tmáx W
M=τ , entonces:
2·· 2baWT
π=
Para determinar la función de alabeo se hace lo siguiente:
zTGz
yGxy ∂
∂=
−
∂Ψ∂
= θθσ 2·
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yTGy
zGzx ∂
∂−=
+∂Ψ∂
= θθσ 2·
De cada una de las expresiones anteriores, se despeja:
zzT
y+
∂∂
=∂Ψ∂ 2
yyT
z−
∂∂
−=∂Ψ∂ 2
Como ya se definió, para una elipse:
−
+
+−= 1
)(2),(
22
22
22
az
by
babazyT
zba
bzT
22
2
+−=
∂∂ y y
baa
yT
22
2
+−=
∂∂
Entonces:
zbabazz
babz
zT
y 22
22
22
2
22+−
=++
−=+∂∂
=∂Ψ∂ (1)
ybabayy
baay
yT
z 22
22
22
2
22+−
=−+
=−∂∂
−=∂Ψ∂ (2)
Integrando (1): )(·),( 22
22
zfyzbabazy +
+−
=Ψ
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Integrando (2): )(·),( 22
22
ygzybabazy +
+−
=Ψ
Comparando estos dos últimos resultados: .)()( ctteygzf ==
Y la función de alabeo resulta: zybabazy ·),( 22
22
+−
=Ψ
Figura 2.11: Forma de alabear de la sección.
Ejemplo 2.2
Analizar el problema de torsión de la rectangular delgada dada. Datos: b, h, G, MT.-
Figura 2.12: Ejemplo 2.2 (sección rectangular delgada).
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Solución
Como la sección es delgada, se puede considerar que para z=0:
σxy=0 y σxz=τ(y)
Y además, que σxz es lineal con respecto a y, o sea:
σxz=τ(y)=2Gθ·y
Comparando con y
zyTGxz ∂∂
−=),(··2 θσ
Entonces: yy
zyT−=
∂∂ ),(
Considerando que: 02
=
±=
byT
∫∫−−
−=y
b
yT
bT
dyydT2/
)(
)2/(
·
−−=
−=≈
− 421
21)(),(
22
2/
2 byyyTzyTy
b
−−≈
22 218
),(bybzyT
La inercia torsional es:
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∫∫∫−−
−===
2/
2/
222/
2/
218
4·)·,(4),(4b
b
b
bAT dy
byhbdyhzyTdAzyTI
3
3hbIT =⇒
El giro por unidad de largo es:
T
T
IGM·
=θ hGb
M T3
3=⇒θ
El esfuerzo de corte máximo:
bGbGmáxxzmáx
·2
2 θθστ ==≈ hb
M Tmáx 2
3=⇒ τ
El módulo resistente a la torsión:
máx
TT
MWτ
= 3
2hbWT =⇒
Para determinar la función de alabeo se procede de manera análoga a la sección
elíptica. La función de torsión es:
−−≈
22 218
),(bybzyT
0=∂∂
zT y
yT
−=∂∂
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Entonces:
zzzT
y=+
∂∂
=∂Ψ∂ 2 (1)
yyyT
z=−
∂∂
−=∂Ψ∂ 2 (2)
Integrando (1): )(·),( zfyzzy +=Ψ
Integrando (2): )(·),( ygzyzy +=Ψ
Comparando estos dos últimos resultados: .)()( ctteygzf ==
Y la función de alabeo resulta: zyzy ·),( =Ψ
Figura 2.13: Forma de alabear de la sección.
Los resultados obtenidos anteriormente son válidos sólo si la sección rectangular es
delgada ( 10/ ≈bh ). En el caso de que esta relación sea distinta, se pueden usar los factores de
corrección indicados en la Tabla 2.2 para calcular τmáx y θ, teniendo en cuenta que se ha
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cambiado “a” por “h”. Para calcular la Inercia Torsional (IT) y el Módulo Resistente a Torsión
(WT), se debe tener en cuenta que 2abWT ⋅= α y que 3abIT ⋅= β .
La solución analítica de la mayoría de las secciones macizas es bastante complicada.
Por lo anterior, a continuación se muestra la Tabla 2.1 en donde se indican los valores de τmáx
y θ para algunos prismas mecánicos comunes.
Tabla 2.1: Valores de τmáx y θ para algunos prismas mecánicos comunes.
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El Módulo Resistente a Torsión y la Inercia Torsional se calculan con:
máx
TT
MWτ
= θ⋅
=GMI T
T
Para la sección rectangular de la Tabla 2.1, los coeficientes α y β son los indicados en
la Tabla 2.2.
Tabla 2.2: Valores de coeficientes α y β para secciones rectangulares.
a/b α β
1,0 0,208 0,141
1,5 0,231 0,196
2,0 0,246 0,229
2,5 0,256 0,249
3,0 0,267 0,263
4,0 0,282 0,281
6,0 0,299 0,299
10,0 0,312 0,312
∞ 0,333 0,333
La distribución de esfuerzos cortantes en secciones rectangulares y triangulares es
aproximadamente la siguiente:
Figura 2.14: Distribución de los esfuerzos cortantes en secciones rectangulares y triangulares.
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Al respecto, se puede comentar que los esfuerzos máximos siempre ocurren en el punto
del borde de la sección más cercano al centro de la misma y que en las esquinas de la sección
los esfuerzos de corte son nulos.
2.3. Analogía con la sección elíptica
Se puede resolver de manera aproximada cualquier sección maciza, transformándola en
una elipse equivalente, de igual área A e inercia polar Ip.
De esta forma, se calcula para la sección maciza en estudio su área A y su inercia polar
Ip y se constituye un sistema de ecuaciones en donde se buscan los valores de a y b de los
semiejes mayor y menos de una elipse equivalente.
En general, el procedimiento es el siguiente:
Para una sección cualquiera se calcula A* e Ip*.
Por otro lado, se sabe que para una elipse cualquiera:
π··baA =
( )π·4· 22 babaI p +=
Entonces, se constituye el sistema de ecuaciones:
*·· Aba =π
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( ) *22 ·4·
pIbaba=+ π
Del cual se obtienen los valores de a y b, con los cuales se evalúa:
π)( 22
33
babaIT +
=
GM
baba T
πθ 33
22 )( +=
Tmáx Mab π
τ 2
2=
2
2πabWT =
La ubicación de τmáx se determina de la misma forma indicada anteriormente.
Evidentemente, a través de este método no es posible determinar otros valores
asociados a la sección.
Ejemplo 2.3
Resolver la sección cuadrada de la figura usando la analogía con la sección elíptica.
Figura 2.15: Ejemplo 2.3.
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Solución
Para el cuadrado de la figura: A=100 cm2
Ip=1.666,67 cm4
El sistema de ecuaciones es:
1) 100·· =πba π·
100b
a =⇒ (*)
2) ( ) 67,666.1·4· 22 =+ πbaba
Reemplazando (*) en (2):
0212,013.1667,66 24 =+− bb
Ó: 0212,013.1667,662 =+− uu
Resolviendo: u1=43,228 ⇒ b=±6,575
u2=23,439 ⇒ b=±4,841
Con b=6,575 resulta a=4,841.
Con b=4,841 resulta a=6,575.
Por lo tanto, la elipse equivalente tiene semiejes mayor y menor iguales a:
a=6,575
b=4,841
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2-23
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Con estos valores se obtiene: IT=1.519,633 cm4
θ=6,58·10-4 G
M T
τmáx=4,132·10-3 MT
WT=242,039 cm3
Comparando estos valores con los de la Tabla 2.1, para un cuadrado:
θ=7,11·10-4 G
M T (ε=7,4%)
τmáx=4,81·10-3 MT (ε=14,1%)
2.4. Perfiles de pared delgada
Para este apartado se adopta el siguiente sistema coordenado:
Figura 2.16: Sistema coordenado en perfiles de pared delgada.
Se definen las coordenadas de contorno ξ (coincidentes con el medio espesor), las
coordenadas transversas al contorno η y el espesor de la pared δ(ξ).
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2-24
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Los perfiles de pared delgada se pueden clasificar en:
Cerrados de una celda
Cerrados de varias celdas
Abiertos sin ramificaciones
Abiertos con ramificaciones
Mixtos
A continuación se desarrolla la teoría para algunos de las clasificaciones anteriores.
Perfiles Cerrados
Para una celda, se tiene:
Figura 2.17: Perfil cerrado de una celda.
Suposiciones:
)(ξτσ ξ =x
0=ησ x
),(),,( ξxuzyxu =
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2-25
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Se define el flujo de corte: ∫−
=2/
2/
·)(δ
δξ ησξ dt x
Y para perfiles delgados: )()·()( ξδξτξ =t
Haciendo el análisis para un elemento diferencial de perfil:
Figura 2.18: Elemento diferencial de perfil.
Haciendo sumatoria de fuerzas en dirección de x:
[ ] 0·)()·( =ξξδξτξ
ddd
0)( =ξξ
tdd
.)( cttett ==ξ
Tomando un elemento de contorno:
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2-26
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Figura 2.19: Tensiones en un elemento de contorno.
Es importante notar que uξ y τ(ξ) tienen la misma dirección (tangente al contorno del
perfil).
Haciendo equilibrio de momentos torsores y considerando que a(ξ) es la distancia
perpendicular desde el centroide de la figura hasta la línea de acción del elemento diferencial
de fuerza del punto en análisis:
∫= ξξδξτξ daM T )·()·()·(
∫= ξξ datM T )·(·
Pero: ∆= Areada ·2)·( ξξ
Entonces: mAda ·2)·( =∫ ξξ
Donde Am es el área de la superficie encerrada por la línea media del perfil de pared
delgada cerrado.
tAM mT ··2= )()·(·2
ξδξτ==⇒m
T
AMt
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2-27
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)(··2
)(ξδ
ξτm
T
AM
=⇒ (2.23)
Y el esfuerzo de corte máximo: mínm
Tmáx A
M)(··2 ξδ
τ = (2.24)
Que es la Primera Fórmula de Bredt (1896).
Se puede deducir además que: mínmT AW )(··2 ξδ= (2.25)
En cuanto a los desplazamientos se tiene que:
)(· ξθ Ψ=xu
αξθξ )·cos(·· rxu =
)(·· ξθξ axu =
Figura 2.20: Desplazamientos en un elemento de contorno.
Las deformaciones son:
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2-28
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x
uuxx ∂
∂+
∂∂
= ξξ ξ
ε
)(· ξθξ
ε ξ aux
x +∂∂
=
∫∫ = ξεξξτ ξ dGd x ·)·(
Reemplazando (2.24) en la expresión anterior:
+= ∫ ∫∫ ξξθξ
ξξ
ξδdad
ddu
GdA
M x
m
T )·(··)(
12
(*)
Pero: ∫∫ == 0· xx dud
ddu
ξξ
Y: mAda 2)·( =∫ ξξ
Por lo tanto: mm
T AGdA
M 2··)(
12
θξξδ∫ =
Entonces: ∫= ξξδ
θ dGAM
m
T ·)(
14 2 (2.26)
Que es la Segunda Fórmula de Bredt.
Además:
∫=
ξξδ
d
AI m
T
·)(
14 2
(2.27)
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2-29
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Si las integrales no son cerradas en la ecuación (*):
[ ])0()()0()(·0
Ψ−Ψ=−=∫ ξθξξξ
ξ
xxx uud
ddu
+Ψ−Ψ= ∫∫
ξξ
ξξξθξξδ 00
)·()0()(·)(
12
daGdA
M
m
T
De (2.26):
∫=
ξξδ
θ d
AGA
M m
m
T
·)(
12
2
Entonces:
∫∫
∫+Ψ−Ψ=
ξ
ξ
ξξξξ
ξδ
ξξδ
0
0 )·()0()(·
)(1
·)(
1
2 dad
dAm
Finalmente:
∫∫
∫−+Ψ=Ψ
ξ
ξ
ξξξ
ξδ
ξξδ
ξ0
0 )·(·
)(1
·)(
1
2)0()( dad
dAm (2.28)
Ejemplo 2.4
Para el perfil de pared delgada dado se pide determinar: τmáx, IT, θ, Ψ(ξ).
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Figura 2.21: Ejemplo 2.4.
Solución
Am=b·h
WT=2Am·δmín=2·b·h·δ
δ
τ···2 hb
MWM T
T
Tmáx ==
∫=
ξξδ
d
AI m
T
·)(
14 2
δ
ξξδ
)·(2·)(
1 hbd +=∫
)(
2 22
hbhbIT +
=⇒δ
T
T
IGM·
=θ δ
θ 22
)(21
hbhb
GM T +
=⇒
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Función de alabeo:
∫∫
∫−+Ψ=Ψ
ξ
ξ
ξξξ
ξδ
ξξδ
ξ0
0 )·(·
)(1
·)(
1
2)0()( dad
dAm
La función de alabeo se determina por tramos, en este caso cuatro tramos, aunque es
suficiente con definir los dos primeros por la antisimetría con respecto a la diagonal.
Para el tramo 1 (tramo superior)
ξδ
ξξδ
ξ 1·)(
1
0
=∫ d ha21)( =ξ 0)0( =Ψ
Entonces:
∫−+
=Ψξ
ξ
δ
ξδξ
01 2
1)(2
1
··2)( dhhb
hb ξξξ hhb
hb21
)(·)(1 −+
=Ψ⇒
Para el tramo 2 (tramo vertical)
ξδ
ξξδ
ξ 1·)(
1
0
=∫ d ba21)( =ξ
)()(
21)()0( 1 hb
hbbhb+−
==Ψ=Ψ ξ
Entonces:
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∫−+
++−
=Ψξ
ξ
δ
ξδξ
02 2
1)(2
1
··2)()(
21)( db
hbhb
hbhbbh
ξξξ bhb
bhhbhbbh
21
)()()(
21)(2 −
++
+−
=Ψ⇒
Se demuestra que Ψ2(ξ=h)=0.
Perfiles Abiertos
Los perfiles de pared delgada abiertos se consideran como una serie de perfiles
rectangulares delgados solidariamente unidos, los cuales en conjunto asumen el momento
torsor aplicado y giran un mismo ángulo θ.
Figura 2.22: Perfil de pared delgada abierto.
Suposiciones:
)(ξτσ ξ =x
0=ησ x
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),(),,( ξxuzyxu =
El flujo de corte es: 0)( =ξt
La inercia torsional es: ∑=
=n
iiiT hI
1
3 ·3
δβ (2.29)
El coeficiente β depende de la forma del perfil, por ejemplo:
Forma L T C H
β 1,00 1,12 1,12 1,30
θ·GI
MdI
dMI
M
T
T
T
T
Ti
Ti ===
iT
Ti
T
Ti
Ti
Tiii I
MdI
dMI
MG δδδδθτ ==== ·· (2.30)
Y τmáx se obtiene con δmáx.
O sea: máx
TT
IWδ
= (2.31)
La función de alabeo es igual a la de la sección cerrada pero con Am=0:
∫−Ψ=Ψξ
ξξξ0
)·()0()( da (2.32)
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Análisis comparativo entre un tubo circular cerrado y uno abierto
Se comparan en torsión dos tubos circulares de radio R y espesor δ, uno cerrado y el
otro abierto. En este caso la relación se calcula considerando δ/R=0,1.
Figura 2.23: Tubos de pared delgada cerrado y abierto.
Propiedad Cerrado Abierto Relación
IT δπ
ξξδ
32
2·
)(14
Rd
Am =
∫ 3
2
0
3
32
31 δπξδ
π
RdR
=∫
300
WT δπδ 222 RAm = 2
32 δπ
δRIT =
30
τmáx δπ 22 R
MWM T
T
T = 223
δπRM
WM T
T
T = 1/30
Alabeo 0)( =Ψ ξ ξξ R−Ψ=Ψ )0()( --
Para el perfil abierto el corrimiento longitudinal entre ambos extremos es:
[ ] RRuRu xx πθπθπ 2·)0()2()0()2( =Ψ−Ψ=−
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Cálculo de Perfiles de Pared Delgada de Varias Celdas
La resolución de los problemas de perfiles de pared delgada de varias celdas se realiza
usando las fórmulas correspondientes a los perfiles de una celda haciendo las siguientes
consideraciones:
Los giros de todas las celdas son iguales porque se encuentran solidariamente unidas.
El momento torsor aplicado a la sección es igual a la suma de los momentos torsores de
cada una de las celdas.
Es importante indicar que existen varias formas de usar las fórmulas dadas
anteriormente para resolver el problema de varias celdas. Dependiendo de cómo se consideren
las incógnitas del problema, pueden ser los flujos de corte en cada celda, las tensiones de corte
de cada rama o los momentos torsores de cada celda.
Para entender mejor lo anterior, a continuación se muestra un ejemplo de aplicación
considerando los flujos de corte como incógnitas.
Ejemplo 2.5
Para el perfil de pared delgada de varias celdas dado se pide determinar: τmáx, IT, θ.
Datos: MT, G, δ=1.
Figura 2.24: Ejemplo 2.5.
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Solución
Considerando los flujos de corte en cada celda t1, t2 y t3 como las incógnitas del
problema:
Las áreas medias de cada celda son: Am1=Am3=100
Am2=200
Los perímetros que rodean cada celda son: s1=s3=52,36
s2=64,72
Los giros en cada celda son:
−
++=
δδδδθ 36,2236,221020
100··21
211 ttG
211 ·1118,0·2618,0· ttG −=θ (1)
−−
++=
δδδδδθ 36,2236,2236,222036,22
200··21
3122 tttG
3122 ·0559,0·0559,0·1618,0· tttG −−=θ (2)
−
++=
δδδδθ 36,2236,221020
100··21
233 ttG
233 ·1118,0·2618,0· ttG −=θ (3)
Además: [ ]321 ·100·200·1002 tttM T ++=
321 ·200·400·200 tttM T ++= (4)
Como los giros deben ser iguales, se puede hacer, por ejemplo:
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θ1=θ3 y θ2=θ3
Con estas dos igualdades además de la ecuación (4), se determinan:
TMt 001057,01 =
TMt 001443,02 =
TMt 001057,03 =
De alguna de las ecuaciones 1, 2 o 3 se puede determinar el giro: G
M T000115,0=θ
La inercia torsional: θG
MI TT = 65,695.8=⇒ TI
Y el esfuerzo de corte máximo: mín
máxmáx
tδ
τ = Tmáx M001443,0=⇒τ
Este mismo problema se puede resolver usando las alternativas de incógnitas antes
indicadas. A continuación se muestran las ecuaciones de las alternativas para el caso de que se
consideren los momentos torsores “MTi” en cada celda “i” del perfil como las incógnitas.
El giro de cada celda se calcula con: ∑ ⋅⋅
=i mii
iTi
mjj A
sMAG δ
θ··41
El momento torsor total es: ∑=i
TiT MM
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El trámite del problema es idéntico al del caso con los flujos de corte. Con los valores
de “MTi” determinados se puede calcular el giro unitario, la inercia torsional, los flujos de
corte por celda, las tensiones de corte por rama y el módulo resistente a torsión de la sección.
Cálculo de Perfiles de Pared Delgada Abiertos y Ramificados
La resolución de los problemas de perfiles de pared delgada abiertos y ramificados se
realiza usando las fórmulas correspondientes a una sección rectangular delgada y haciendo las
siguientes consideraciones:
Los giros de todas las ramas son iguales porque se encuentran solidariamente unidas.
El momento torsor aplicado a la sección es igual a la suma de los momentos torsores de
cada una de las ramas.
Figura 2.25: Perfil de pared delgada abierto ramificado.
El giro por unidad de largo es: ∑=
= n
iii
T
hGM
1
3 ·
13
δβθ
La Inercia Torsional: ∑=
=n
iiiT hI
1
3 ·3
δβ
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Y el esfuerzo de corte en cada celda: ∑=
== n
iii
jTj
T
Tj
h
MI
M
1
3 ·
13
δβδ
δτ
Lo que define la falla en la rama de mayor espesor.
2.5. Restricción de alabeo en secciones tipo “I”
A continuación se estudia el comportamiento de una barra recta de sección “I”
empotrada en un extremo y sujeta a la acción de un momento torsor en su extremo libre. Esta
situación genera tensiones adicionales a las ya estudiadas en los apartados anteriores porque
implica la aparición del fenómeno de restricción de alabeamiento, el cual se produce debido a
la imposibilidad de la sección de deformarse en las proximidades del extremo empotrado.
Figura 2.26: Sección “I” empotrada en un extremo y sujeta a la acción de un momento torsor
en el otro.
El momento torsor en la barra se descompone en dos términos, uno asociado al
momento torsor puro (MT*) y otro asociado al momento necesario para vencer la restricción de
alabeamiento (MT**), es decir:
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)()( *** xMxMM TTT +=
El momento torsor puro e define exactamente igual que en la secciones anteriores con
la sola excepción de que el giro por unidad de largo ya no es constante sino que varía con la
distancia al empotramiento.
)(··)(* xIGxM TT θ=
Para determinar el momento torsor asociado a la restricción de alabeamiento se hace lo
siguiente:
Figura 2.27: Esfuerzos y desplazamientos de la sección “I”.
A partir de lo indicado en la figura:
∫=x
dxxx0
)·()( θϕ
hxwIEhxQxM AT )·('''··)·()(** −==
Donde IA es el momento de inercia del ala con respecto al eje z.
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zzA II21
≈
Además:
2
)·()( hxxw ϕ≈ 2
)·()(' hxxw θ=⇒
2
)·(''2
)·(''')(''' hxhxxw θϕ ==
)(''··)(''4
·)(2
** xCExhIExM TzzT θθ −=−=
En que: 4
··2hIECE zzT =
Es la resistencia al alabeamiento de la sección.
)()( *** xMxMM TTT +=
)(''··)(·· xCExIGM TTT θθ −=
Las condiciones de borde del problema son:
0)0(2
)0(' == θhw 0)0( =⇒θ
0)(''·· =− wIE A 0)(' =⇒ θ
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La solución de la parte homogénea es:
)·cosh()·sinh()( kxBkxAx +=θ
Donde: T
T
CEIGk
··
=
La solución particular es: T
T
IGM
x·
)( =θ
La solución completa es:
T
T
IGMkxBkxAxxx·
)·cosh()·sinh()()()( ++=+= θθθ
)·sinh(·)·cosh(·)(' kxkBkxkAx +=θ
De las condiciones de borde:
0·
)0( =+=T
T
IGMBθ
T
T
IGMB·
−=⇒
0)·sinh(··
)·cosh(·)(' =−= kkIG
MkkAT
Tθ )tanh(·
kIG
MAT
T=⇒
Por lo tanto:
[ ])sinh()tanh()cosh(1·
)( kxkkxIG
MxT
T +−=θ
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Reordenando:
[ ])sinh()tanh()cosh(1)()(·· *
kxkkxM
xMM
xIG
T
T
T
T +−==θ
Si se grafica esta ecuación resulta lo siguiente:
Figura 2.28: Gráfica T
T
MxM )(*
versus x.
Finalmente, las tensiones que aparecen son:
1.- Tensiones tangenciales de corte por torsión pura, debido al momento:
)(··)(* xIGxM TT θ=
2.- Tensiones normales en las alas, debido a la restricción de alabeamiento:
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yxhEyI
xwIEyxA
Axx )·('·
2·)(''··),( θσσ −=
−==
3.- Tensiones de corte en las alas, debido a la restricción de alabeamiento:
−−==
221)(''··4·
23
·)()·(),(
byxh
AIE
IySxQyx
A
zz
A
θδ
τ
La restricción de alabamiento tiene efectos apreciables en secciones con alas. En
secciones macizas esta restricción puede considerarse despreciable si las dimensiones de la
sección son pequeñas en comparación con el largo de la pieza.
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