capitulo 2 - densidad espectral y correlación

Comunicaciones Analógicas

Densidad espectral y correlación

Densidad espectral de energía

• Teorema de Parseval => relación entre f (t) y F(ω), energía de una señal.

∫∫∞

−∞=

−∞===

ωωω

πdFdttfE

22 )(21)(

• |F(ω)|2 => densidad espectral de energía, permite calcular la energía en una banda de frecuencias

• F(-ω)=F(ω)* => |F(-ω)|2= |F(ω)|2 => |F(ω)|2 es par

• Atenuación de la energía de una señal al pasar por un sistema

222 )()()()()()( ωωωωωω HFYHFY =⇒=

∫∞

−∞==

ωωωω

πdFHEY

22 )()(21

• Energía en la salida:

h(t))(tf )(ty

• Si el filtro es un pasabandas estrecho:

2/0 ωω Δ±2/0 ωω Δ±−

2 21 ( ) ( )2YE H F d

ωω ω ω

=−∞= ∫

/ 2 / 22 2

/ 2 / 2

1 1( ) ( )2 2YE F d F d

ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ωω ω ω ω

π π− +Δ +Δ

=− −Δ = −Δ= +∫ ∫

• Si el filtro es un pasabandas estrecho:

2/0 ωω Δ±2/0 ωω Δ±−

∫Δ+

Δ−==

)(1 ωω

ωωωωω

πdFEY

• Si Δω pequeño:∫

Δ−==

)(1 ωω

ωωωωω

πdFEY

ωωπ

Δ= 20 )(1 FEY

• Densidad espectral de energía: se grafica usando un banco de filtros pasabanda

Pasabanda #1 Medidor de energía

Pasabanda #N Medidor de energía•••

•••

21)(ωF

22 )(ωF

23 )(ωF

2)( NF ω

2)(ωF

• Ej: Una señal f(t) se aplica a un filtro pasabajosideal, de ganancia de 1 y ancho de banda 5 [rad/s]. Determinar la energía de la señal a la entrada y a la salida.

5( ) ( )tf t e u t−= ( )H ω

5( ) ( )tf t e u t−= 5

tF e dt

ω∞ − −

=⇒ = =

1( ) ( ) * ( ) ( ) ( )25

F F F F Fω ω ω ω ωω

⇒ = = − =+

2 1 [ 5,5]( )

0 otro casoH

∈ −⎧⇒ = ⎨

( )H ω

2)(ωF 2)(ωY2)(ωH

251)( 2

ωωF 2 1 [ 5,5]

( )0 otro caso

ω∈ −⎧

= ⎨⎩

( )25 5

1( ) ( )10

t tF t

f t e u t E e dt∞− −

== ⇒ = =∫

Energía de la señal de entrada

1 1 1 1 1 1tan (1) 0.0525 5 5 4 20YE d

πωπ ω π π

== = = = =

Energía de la señal de salida

1 [ 5,5]1( ) , ( )025

F Hfuera

ωω ω

ω∈ −⎧

= = ⎨+ ⎩

1 ( ) ( )YE F H dω

ω ω ωπ =

Densidad espectral de potencia

• No todas las señales tienen energía finita• Algunas de ellas tienen potencia media finita =>

señales de potencia

)()(1lim 22/

2 tfdttfT

Tt== ∫−∞→

• Se puede definir una densidad espectral de potencia:

∫∞

∞−= ωω

πdSP f )(

• Cálculo de Sf: Supongamos que se tiene una señal f(t), y cortamos un trozo

)(tf )(tfT

/2 2 2/2

1( ) ( )2T

E f t dt F dω ωπ

− −∞= =∫ ∫

/2 2 2/2

1 1 1( ) ( )2T

P f t dt F dT T

ω ωπ

− −∞= =∫ ∫

∫∫∞

∞−∞→−∞→== ωω

2 )(121lim)(1lim

∫∫∞

∞−∞→

∞−==⇒ ωω

πωω

TdSP TTf

2)(121lim)(

)(tfT)(tf

∫∫∞

∞− ∞→

∞− ⎟⎟

⎜⎜

⎛==⇒ ω

ωωπ

FdSP T

2)(lim

∫∫ ∞− ∞→∞−−∞ ⎟⎟

⎜⎜

⎛==⇒ 00

21 ωω

ω ωω

πωω

2)(lim)(

∞→=

= Espectro de potencia de f(t)Se puede estimar usando T grande

• Si se usa un trozo de largo T para aproximar Sf => la resolución en frecuencia es del orden de 1/T

• Se requieren T grandes para buena resolución de Sf.

)2/()()()/()()(

TSaTFFTtrecttftf

ωωω ∗= =

Filtro pasabajos, baja la resolución en frecuencia.El espectro se “aplana” y pierde detalles

• Ej: Cálculo de Sf para señal periódica

La transformada de Fourier es:

( ) ojn tn

nf t F e ω

=−∞

( )0( ) 2 nn

F F nω π δ ω ω∞

=−∞

= −∑

Para obtener ft(t) se multiplica f(t) por una función pulso

Recordar que en freq. es una convolución:

( ) ( ) ( )T Tf t G t f t=

1( ) ( )2 2T

TF T Sa Fωω ωπ

⎛ ⎞= ⋅ ∗⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )TG tℑ

1( ) ( )2 2T

TF T Sa Fωω ωπ

⎛ ⎞= ⋅ ∗⎜ ⎟⎝ ⎠

( )01( ) 2

2 2T nn

TF T Sa F nωω π δ ω ωπ

=−∞

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ∗ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ( )02 nn

TT Sa F nω δ ω ω∞

=−∞

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ∗ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )02nn

TT F Sa nω δ ω ω∞

=−∞

⎛ ⎞= ⋅ ∗ −⎜ ⎟⎝ ⎠

n TT F Sa

ω ω∞

=−∞

⎛ − ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

( )2 02lim 2nT n

n TT F Sa

ω ω∞

→∞=−∞

⎛ − ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Por lo tanto se tiene:

2( )( ) lim T

ω→∞

( )20( ) 2f n

nS F nω π δ ω ω

=−∞

= −∑

• Ej: Hallar la Sf y la potencia promedio para un coseno:

)cos()( 0 θω += tAtf

Solución: descomponiéndolo en exponenciales:

0 0( )2 2

j t j tj jA Af t e e e eω ωθ θ −−= +

1 1, , 0 para otro n2 2

A AF e F e Fθ θ−−= = =

0 02 ( ) 2 ( )4 4fA AS π δ ω ω π δ ω ω= − + +

( )20( ) 2f n

nS F nω π δ ω ω

=−∞

= −∑

1 1 1 2 2 4j jA A AF F F e eθ θ∗ −⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠2

21 1 1 2 2 4

j jA A AF F F e eθ θ∗ −− − −

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )20 0

1 ( ) ( )2fS Aπ δ ω ω δ ω ω= − + +

( )2 20 0

1 1( ) ( ) ( )2 2

f t A dπ δ ω ω δ ω ω ωπ

−∞= − + +∫

Finalmente, se tiene la potencia promedio

2 2 2 21 1 1( )4 4 2

f t A A A= + =

1 ( )2 fP S dω ωπ

−∞= ∫

• Ej 2: Encontrar, para T finito e infinito, la expresión para la densidad espectral de potencia de:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=TtrectAetf tj 0)( ω

Solución:

t TF A rect A T SaT

ωω ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ℑ = ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

0 0( )( )2

j tt TF A rect e A T SaT

ω ω ωω ⎧ ⎫ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ℑ = ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

22 2 0( ) ( )

2F TA T Sa

Tω ω ω−⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

• La densidad espectral de potencia es:

Funciones de correlación

2)(1lim)( ωω TTf FT

S∞→

• Se desea encontrar su representación en el tiempo:

∫∞

∞− ∞→

− ==ℑ ωωπ

τω ωτ deFT

RS jTTff

21 )(1lim21)()}({

∫∞

∞−∞→= ωωω

πτ ωτ deFF

TTTf )()(*211lim)(

( )( )1 2

/ 2 / 2

1 1 2 2/ 2 / 2

1 1( ) lim *( ) ( )2

T Tj t j t jf t T t TT

R f t e dt f t e dt e dT

ω ω ωτ

ωτ ω

π∞ −

=−∞ =− =−→∞= ∫ ∫ ∫

/ 2 / 2 ( )1 2 2 1/ 2 / 2

1 1( ) lim * ( ) ( )2

T T j t tf t T t TT

R f t f t e d dt dtT

ωτ ω

π∞ − +

=− =− =−∞→∞= ∫ ∫ ∫

/ 2 / 2

1 2 1 2 2 1/ 2 / 2

1( ) lim *( ) ( ) ( )T T

f t T t TTR f t f t t t dt dt

Tτ δ τ

=− =−→∞= − + ∫ ∫

1 1 1/ 2

1( ) lim *( ) ( )T

f t TTR f t f t dt

Tτ τ

=−→∞= +∫

ττ +=⇒=+− 1221 0 tttt

1( ) lim *( ) ( )T

f TTR f t f t dt

Tτ τ

−→∞⇒ = +∫

/ 2 / 2

1 2 1 2 2 1/ 2 / 2

1( ) lim *( ) ( ) ( )T T

f t T t TTR f t f t t t dt dt

Tτ δ τ

=− =−→∞= − + ∫ ∫

• Función de autocorrelación de f:

)()}({,)()(*1lim)(2/

2/ωτττ ff

TTf SRdttftfT

R =ℑ += ∫−∞→

• Nueva forma de calcular Sf.• La autocorrelación también equivale a la

convolución de f(t) con f(-t) para señales reales.

• En promedio, el signo de f(t) es igual al signo de f(t+ Δt) para Δt pequeño (por continuidad por tramos de la función), pero puede ser distinto para Δt grande

)(tf0t

10 tt Δ+

20 tt Δ+

)()(*)( ττ += tftfRf

)(tf0t

10 tt Δ+

20 tt Δ+

)()(*)( ττ += tftfRf

En promedio, f(t) y f(t+t0) tienen el mismo signo

⇒> 0)( 0τfR

⇒< 0)( 1τfR En promedio, f(t) y f(t+t1) tienen signo opuesto

Correlación: entre f(t) y f(t+τ)Para f(·) real

• Ej: Encontrar la autocorrelación para:

)cos(2)( 00 θω += ttf

0 0 0/ 2

1( ) lim 2cos( )cos( )T

f TTR t t dt

Tτ ω θ ω ω τ θ

−→∞= + + +∫

Notar que se pierde la información de la fase

/ 2 / 2

0 0 0/ 2 / 2

1 1( ) lim cos( ) lim cos(2 2 )T T

f T TT TR dt t dt

T Tτ ω τ ω ω τ θ

− −→∞ →∞= + + +∫ ∫

( )0( ) cosfR τ ω τ=

• En general, los ruidos n(t) cambian de signo rápidamente con el tiempo

=> Rn(τ) es positiva para τ muy pequeño

• Tiene un “peak” grande en t=0 => permite separar la señal del ruido

• Ejemplo: Una señal de onda periódica cuadrada con ruido aleatorio.

Aunque el ruido sea tal que no permita distinguir la señal, al usar la correlación se puede “ver”.

• Para separar (y no sólo distinguir) la señal del ruido se debe definir otro promedio para señales: la correlación cruzada.

∫−∞→+=

2/)()(*1lim)(

TTfg dttgtfT

R ττ

( )( )

)()()()()()()()(

)()()()(

ττττ

+++++++=

tntntstntntststs

tntstnts

si s, n1, n2 no correlacionados (generados por fuentes independientes)

• Veamos el caso de una señal con ruido aditivo:

( )( )1 2 ( ) ( ) ( ) ( )s t n t s t n tτ τ= + + + +

si s, n1, n2 no correlacionados (generados por fuentes independientes)

( ) ( ) ( )f t s t n t= +

Analicemos*( ) ( ) ( )fR f t f tτ τ= +

2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t s t s t n t n t s t n t n tτ τ τ τ= + + + + + + +

( ) ( )s t s t τ= +

• Simetría:

)()'(*1lim)(

)()(*1lim)(

dttftfT

−=−

−∞→

• Parte real par, imaginaria impar

• Valor cuadrático medio:

PtfdttftfT

dttftfT

−∞→

)()()(*1lim)0(

)()(*1lim)(

2/ττ

• Periodicidad:

)()()()( tRTtRtfTtf ff =+⇒=+

• Valor promedio: Sean f(t), g(t) dos señales. Sea f(t)=x(t)+m1, g(t)=y(t)+m2; x(t), y(t) con media cero.

1 2/ 2

1( ) lim [ ( ) ]* [ ( ) ]T

fg TTR x t m y t m dt

Tτ τ

−→∞= + + +∫

1 2/ 2

1( ) lim *( ) ( )T

fg TTR x t y t dt m m

Tτ τ

−→∞= + +∫

'/ 2 / 2

1 2'/ 2 / 2'

1 1( ) lim lim * ( ) ( )'

fg T t TT TR x t y t dt d m m

T Tττ τ τ

=− =−→∞ →∞= + +∫ ∫

1lim)(*1lim)(

)()(*1lim'

1lim)(

mmdtdtyT

mmddttytxTT

∫ ∫

∫∫

−= −=∞→∞→

−=∞→−=∞→

τττ

• El valor medio de la correlación cruzada de f(t) y g(t) es el producto de sus valores medios.

• =>El valor medio de la autocorrelación de f(t) es el cuadrado de su valor medio.

• Valor máximo: es el máximo de )0(fR )(τfR

• Idea: desigualdad de Schwarz

iiii babababa ΣΣ≤Σ⇒≤•

)0()0()(

)(*1lim)(1lim)()(*1lim

dttftfT

+≤+ ∫∫∫ −∞→−∞→−∞→

• Aditividad:

( )( )( ) * ( ) * ( ) ( ) ( )x yR x t y t x t y tτ τ τ+ = + + + +

• Si x e y no correlacionadas entre si:

)()()( τττ yxyx RRR +=+

( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( )x yR x t x t x t y t y t x t y t y tτ τ τ τ τ+ = + + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x xy yx yR R R R Rτ τ τ τ τ+ = + + +

Correlación para señales de energía finita

• Extensión para señales de energía finita

∫∫∞

∞−

∞−+= += dttgtfrdttftfr fgf )()(*)(,)()(*)( ττττ

• Para señales reales, se parece a la convolución con una de las funciones “dada vuelta” horizontalmente:

( ) ∫∞

∞−−=∗ dttgtfgf )()()( ττ

• La transformada de Fourier de la correlación para energía finita da.

Correlación para señales de energía finita

2)()}({

)()(*)}({

τττ

dteFtfr

dtdetftfr

dedttftfr

∫∫ ∫

∫∫

−∞=

−∞

−∞=

−∞

−∞=

Ruido promediado en el tiempo

• Ruidos: poco predecibles, contaminan la señal, fluctuaciones erráticas

• Se pueden describir de forma estadística, pero no analítica.

• Algunos promedios para ruidos de potencia:

∫−∞→=

2/)(1lim)(

TTdttn

∫−∞→=

22 )(1lim)(T

TTdttn

/ 2 22

1( ) lim ( )T

TTn t n t dt

T −→∞= ∫

( ) ( ) ( )t n t n tσ = −

- Valor medio:

-Valor cuadrático medio:

-Raíz cuadrática media (rms):

-Componente alterna (ca):(no es un promedio)

• Notar que los promedios (que tienen la barra arriba) son constantes y no funciones de t

)(tn )(tσ

/ 2 22

1( ) lim ( )T

Ttn t n t dt

T −→∞= ∫

1( ) lim ( ) ( )T

Ttn t n t t dt

−→∞= +∫

2/ 2 / 2 / 2 22

/ 2 / 2 / 2

1 1 1( ) lim ( ) 2lim ( ) ( ) lim ( )T T T

T T Tt t tn t n t dt n t t dt t dt

T T Tσ σ

− − −→∞ →∞ →∞= + +∫ ∫ ∫

22 2( ) ( ) ( )n t n t tσ= +

• Ejemplo: Calcular el valor medio, la potencia de ca y el valor rms para:

)cos(1)( 0ttv ω+=

Solución

)cos(1)( 0ttv ω+=

( )/ 2

0 0/ 2

1( ) 1 cos( ) 1 cos( ) 1T

Tv t t t dt

Tω ω

−= + = + =∫

/ 22 20/ 2

1 1( ) cos ( )2

Tt t dt

Tσ ω

−= =∫

22 2 3( ) ( ) ( )2

v t v t tσ= + =

2 3( )2RMSv v t= =

• Razón señal a ruido:

)(/)( 2 tntsNS 2=

• En decibeles:

( )210log ( ) / ( ) [ ]S s t n t dBN

Potencia de la señal limpia

Ruido blanco de banda limitada

• Ruido blanco ideal(RB): su espectro de potencia contiene todas las frecuencias.

cteSn ==2

)( ηω

• No se puede generar físicamente (voltaje, corriente, etc) ya que:

∞== ∫∞

∞−ωω

πdSP n )(

• => ¡tiene potencia media infinita!

• Además, su correlación es:

)( 1 τδηητ =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ℑ= −

• Recordar que, en promedio, f(t) y f(t+Dt) tienen el mismo signo si f es continua por tramos.

• En el caso de ruido blanco caso, Rn(t)=0 para todo t>0

⇒¡El ruido blanco varía infinitamente rápido! (es discontinuo en todo punto del eje real), “nube” de puntos, no es realizable ni siquiera usando un computador.

• Utilidad del ruido blanco ideal: Cualquier señal de potencia (ruido) se puede modelar como ruido blanco filtrado.

• Si se desea un ruido f(t) con un espectro de potencia Sf(ω), se puede obtener filtrando ruido blanco, el filtro debe tener el espectro deseado:

)()()( thtntf ∗=

• Se puede usar este método con una aproximación al ruido blanco ideal.

)( ωηω HS f =⇒

• Ruido blanco de banda limitada(RBBL): Tiene un espectro constante, pero con un ancho de banda B finito (pero grande)

Bn ηωηπ

π== ∫−

• Su valor cuadrático medio (potencia) es:

• Usualmente se crea usando un generador de números aleatorios, o bien mediante ruido térmico

Correlación de n(k) )(2

)( τδητ =nRn(k)=nº al azar en [-2,2]

Se “parecen”

RBBL RBidealRBBL

Corrrbbl.txt

• También se puede usar para generar ruidos con un espectro de potencia arbitrario simplemente filtrándolo:

)()()( thtntf ∗=2)(

2)( ωηω HS f =⇒

• Condición: el ancho de banda del RBBL debe ser mayor que el ancho de banda del filtro => el filtro lo “ve” como ruido blanco ideal.

• Otro posible uso del RBBL es identificar respuestas en frecuencia de filtros. Si H(w) es desconocido:

)()()( thtntf ∗=

)()( ωω fSH =)(2)( 2 ω

ηω fSH =⇒

• Es decir, la respuesta en frecuencia del filtro se puede identificar analizando la señal de salida.

• Al pasar ruido blanco por un sistema lineal, la potencia de salida es:

∫∞

∞−

ωωπη

ωωηπ

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