capitulo 1 a 4.- series numéricas, integral indefinida, integral definida, integral impropia
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MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
1
CAPÍTULO 1: SERIES NUMÉRICAS
Estudiaremos a continuación, las series numéricas, que no son más que sumas de
infinitos números reales
1.1 Series Numéricas Infinitas
Mientras que es posible sumar dos números, tres números, un centenar de números, o
incluso un millón de números, resulta imposible sumar una infinidad de números. La
teoría de las series infinitas surge del intento de salvar esta imposibilidad.
Para formar una serie infinita, empezamos considerando una sucesión infinita de
números reales a1, a2, …, an, … de término general an.
A partir de la sucesión anterior definimos una nueva sucesión de término general Sn que
corresponde a las sumas parciales:
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
aaaaaS
aaaaS
aaaS
aaS
1
321
3
1
3213
2
1
212
1
1
11
Definición de Serie Convergente y Divergente
Si la sucesión {Sn} de las sumas parciales converge a un límite finito S, entonces la
serie
1n
na converge. El límite S recibe el nombre de suma de la serie.
naaaS 21
Si {Sn} presenta un límite infinito, entonces la serie diverge y si no existe, la serie es
oscilante.
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2
Converge (suma finita) [3]
Procedimientos de sumación
nn
n
n Slíma
1
Diverge (suma infinita) [1]
Oscilante (no tiene suma) [2]
[1] La serie:
nan
n 3211
tiene suma infinita y verifica que al ser una progresión aritmética sus sumas parciales
son:
2
1321
nnnSn
por tanto
n
nSlím
.
[2] La serie
1
11111111
n
nn
no tiene suma pues la sucesión de las sumas parciales tiene la forma:
01111
1111
011
1
4
3
2
1
S
S
S
S
Donde se observa dos puntos de acumulación para la sucesión de sumas parciales {0, 1}
lo que equivale a la no existencia del nn
Slím
, y por lo tanto de la suma de la serie. A
las series anteriores se les denomina oscilantes.
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3
[3] La serie
1 2
1
2
1
4
1
2
11
nnn
es una progresión geométrica en la
que la razón 12
1r , y por tanto su suma es finita siendo por ello convergente. Su
suma (ver apéndice) viene dada por:
2
2
11
1
1
1
r
aS
Otro modo de verlo es mediante el término general de la sucesión de sumas parciales
correspondientes a una progresión geométrica:
n
n
n
nr
raaS
2
12
211
)2121(1
1
1
2
n
nSlím
Nota:
En general el análisis de las series no se puede realizar a través de la sucesión de
sus sumas parciales, ya que salvo casos muy concretos determinar su término
general supone grandes dificultades.
Criterio del término n-ésimo para la convergencia
El siguiente teorema establece que si una serie converge, el límite de su término n-
ésimo debe ser cero.
Teorema
Si la serie
1n
na es convergente entonces 0
nn
alím
Demostración
Suponga que LSlíma nn
n
n
1
.
Entonces, como nnn aSS 1 y LSlímSlím nn
nn
1
Se sigue que
nn
nn
nn
nnn
nn
alímLalímSlímaSlímSlímL
11 )(
Lo cual implica que {an} converge a cero.
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4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Veamos que la condición establecida por este teorema es una condición necesaria pero
no suficiente.
Utilizamos para ello la denominada serie armónica:
4
1
3
1
2
11
1
1 n
En esta serie se tiene que 01
nan conforme n , no obstante se demuestra a
continuación que la serie armónica es divergente.
Demostración
Para esta serie en particular resulta conveniente considerar las sumas parciales
,,,,, 3216842 SSSSS y demostrar que se convierten en crecientes
2
41
2
1
2
1
2
1
2
11
16
1
16
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
11
16
1
9
1
8
1
5
1
4
1
3
1
2
11
2
31
2
1
2
1
2
11
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
11
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
2
21
4
1
4
1
2
11
4
1
3
1
2
11
2
11
16
8
4
2
S
S
S
S
De igual forma, 2
5132 S ,
2
6164 S y en general ,
21
2
nS n
Esto demuestra que nS2
cuando n , con lo que {Sn}es divergente, y por tanto
la serie armónica diverge.
En conclusión la serie
1
1
n n es divergente pese a verificar la condición necesaria de
convergencia
0
1
nlímn
lo que pone de manifiesto que “No es condición
Suficiente”.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
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5
Criterio del término n-ésimo para la divergencia
Este criterio del término n-ésimo para la divergencia establece que si el límite del
término n-ésimo de una serie no converge a cero, la serie diverge.
Teorema
Si 0
nn
alím , entonces
1n
na diverge
Ejemplo
La serie
1 13
2
n n
n es una serie no convergente dado que
3
2
13
2
n
nlímn
es distinto de cero.
Consideraciones algebraicas
Proposición
Si las series
1n
na y
1n
nb
son convergentes, entonces para todo par de números reales , , la serie
1n
nn ba es convergente y
111 n
n
n
n
n
nn baba .
Demostración:
Basta tomar un número finito de términos k, para los que se verifica:
k
n
n
k
n
n
k
n
nn baba111
Tomando límites cunado k ∞ y considerando que
1n
na y
1n
nb
son convergentes se verifica la proposición.
Proposición.
Si en una serie se intercalan (suprimen) un número finito de términos cuya suma es A,
la serie obtenida tiene el mismo carácter, convergente o divergente, que la inicial.
Si San
n
1
, la nueva tiene por suma S + A (respectivamente S – A)
Demostración
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Considerando la suma parcial correspondiente a los p primeros términos, en la que
estarán considerados todos los términos intercalados y n términos de la serie original:
np SAU
Tomando límites cuando p ∞ y considerando que también n ∞:
nn
pp
SlímAUlím
La convergencia o divergencia de la nueva serie depende de la convergencia o
divergencia de la serie original y caso de ser ésta convergente y de suma S, la nueva
serie sumará A + S.
1.2 Series de términos positivos
Definición
Diremos que la serie
1n
na de números reales es de términos positivos si an 0 para
todo número natural n. Diremos que es de términos estrictamente positivos si an > 0
para todo
n 1
Proposición
Las series de términos positivos convergen o divergen a +∞.
Demostración
La sucesión de sumas parciales será monótona creciente, si esta acotada tendrá límite y
la serie será convergente, si no esta acotada será divergente a + ∞.
1.2.1 CRITERIOS GENERALES DE COMPARACIÓN
Los criterios de comparación que vamos a estudiar a continuación, reducen el estudio de
la convergencia de una serie dada al de ciertas series de referencia, series tipo cuya
convergencia o divergencia nos es conocida.
Criterio de Comparación de Gauss
Serie mayorante
Diremos que la serie
1n
na es mayorante de
1n
nb si para todo n n0 se verifica
que an bn
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Proposición
Si la serie
1n
na es de términos positivos convergentes y mayorante que
1n
nb
entonces la serie
1n
nb es convergente.
Serie minorante
Diremos que la serie
1n
na es minorante de
1n
nb si para todo n n0 se verifica que
an bn
Proposición
Si la serie
1n
na es de términos positivos, divergente y minorante de
1n
nb entonces la
serie
1n
nb es divergente.
Ejemplos
a) La serie
1
1
n n es divergente y al ser n
n para todo n 1 con < 1 será
minorante de la serie
1
1
n n; siendo
1
1
n n divergente, con < 1.
b) La serie
1
1
n n con > 1 cumplirá que:
12
2
2
11
1
2
1
8
8
4
4
2
21
8
1
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
11
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
1
1
1
01
nn
Suma que corresponde a la de una progresión geométrica (ver apéndice) de razón menor
que la unidad y por tanto convergente.
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Así pues, la serie
1
1
n n con > 1, está mayorada por una serie convergente y por
tanto es convergente.
En resumen:
divergente
econvergent
nn 1
11
1
Criterio de comparación por cociente
Dadas las series de términos positivos
1n
na y
1n
nb para las que:
n
n
n b
alím
a) Si 0 y finito entonces las dos series tienen el mismo carácter.
b) Si = 0 y
1n
nb converge, entonces
1n
na converge.
c) Si = +∞ y
1n
nb diverge, entonces
1n
na diverge.
Ejemplo
Sea
11 24
3
nn
n
na y
11 2
1
nn
n
nb que es una progresión geométrica
convergente.(ver apéndice)
Al ser: 03
2
124
3
n
n
nlím y finito, las dos series tienen el mismo carácter y por
tanto
1n
na es convergente también.
Ejemplo
Sea
11 1
1
nn
nn
a y
11
1
nn
nn
b que es divergente.
Al ser
n
nlímn 1
1
1
, se cumple que
1n
na es divergente.
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1.2.2 CRITERIOS PARTICULARES DE CONVERGENCIA
Los criterios que se estudian aquí derivan de los de comparación y son en esencia, casos
concretos de aquéllos. No es ahora necesario buscar series de referencia con las que
comparar la serie dada.
Criterio de D’Alembert o del cociente
Si
1n
na es una serie de términos estrictamente positivos y existe
n
n
n a
alím 1
Si < 1 la serie es convergente.
Si > 1 la serie es divergente.
Si = 1 el criterio no decide.
Criterio de Cauchy o de la raíz
Si
1n
na es una serie de términos positivos y existe
nn
nalím
Si < 1 la serie es convergente.
Si > 1 la serie es divergente.
Si = 1 el criterio no decide.
Nota: Se recuerda que cuando existe n
n
n a
alím 1
éste coincide con n
nn
alím
, por tanto si al
aplicar el criterio de D’Alembert (resp. Cauchy) el criterio no decide tampoco decidirá
al aplicar el criterio de Cauchy (resp. D’Albembert).
Criterio logarítmico
Si
1n
na es una serie de términos estrictamente positivos y
n
alím
n
n ln
1ln
Si > 1 la serie es convergente.
Si < 1 la serie es divergente.
Si = 1 el criterio no decide.
Criterio de Raabe
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10
Si
1n
na es una serie de términos estrictamente positivos y existe
n
n
n a
anlím 11
Si > 1 la serie es convergente.
Si < 1 la serie es divergente.
Si = 1 el criterio no decide.
1.3 EJERCICIOS RESUELTOS: SERIES TÉRMINOS POSITIVOS
Ejercicio
Estudiar la convergencia de la serie: 3125
16
256
8
27
4
4
21
Solución
Termino general: ;2 1
n
n
nn
a
n = 1, 2, 3, …
Aplicamos el Criterio de CAUCHY:
10222
1
11
1
nlím
nlím
n
n
nn
n
n
Convergente.
Ejercicio
Determinar el carácter de la serie: 12753 2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
n
Solución
Aplicamos D’Alembert
eConvergent 14
1
22
22
32
32
2
32
3
2
12
12
12
12
121
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
nlímlímlím
a
alím
También podamos calcular su suma
12753 2
1
2
1
2
1
2
1
2
13
n .
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11
La expresión contenida en el paréntesis es una serie geométrica de razón 22
1 cuya suma
es:
3
2
23
4
2
32
1
2
11
2
1
122
1
r
aS
La suma total de la serie será: 23
23
Concluimos por tanto que la serie es convergente
Ejercicio
Estudiar el carácter de las siguiente serie: ∑
Solución:
Estudiaremos la serie por el criterio logarítmico.
la serie es, por lo tanto convergente.
Ejercicio
Determinar el carácter de la serie
!1
1
!3
1
!2
1
!1
11
n
Solución:
Aplicamos D’Alembert
0!1
!1
!
!1
!1
1!
1
1
nn
nlím
n
nlím
n
nlíma
alím
nnnn
n
n
La serie es convergente
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12
Ejercicio
Estudiar el carácter de la serie de término general 122
1
nnan
Solución:
Aplicamos el criterio de D’Alembert
1264
24
1222
12
1
122
11212
1
2
2
1
nn
nnlím
nn
nnlím
nn
nnlím
a
alím
nn
nn
n
n
Dudosa por D’Alembert
Aplicamos Raabe
12264
28
264
24264
264
241
2
2
2
22
2
2
nn
nnlím
nn
nnnnnlím
nn
nnnlím
nnn
La serie es convergente
Ejercicio
Estudiar la convergencia de la serie:
78118951
4676852
1713951
1411852
951
852
1
2
nn
nn
Solución
Serie de términos positivos: Aplico el criterio de D’Alembert
eConvergent Serie164
36
7714464
286636
78)118(158951106136852
1581989514676106852
7181118951416716852
781189514676852
2
2
1
nn
nnlím
nnnnn
nnnnnlím
nnnn
nnnnlím
a
alím
n
n
nn
n
n
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13
Ejercicio
Determinar el carácter de la serie nln
1
Solución:
armónica serie 11
4
1
3
1
2
1
1
1
ln
1
4ln
1
2ln
1
1ln
1
nnn
n
1 es divergente
nln
1 es divergente.
Ejercicio
Determinar el carácter de la serie 65432 2
6
2
1
2
4
2
1
2
2
2
1
Solución
De la suma de los n términos impares resulta la subserie: n2
1
Y al aplicar el Criterio de Cauchy obtenemos: 12
1
2
1
nnn
lím Convergente
Si nn
na
2par
De la suma de los n términos pares resulta la subserie: n
n
2
Aplicando el Criterio de Cauchy:
1
2
1
22 1
1
nn
n
n
nnn
nlím
nlím Convergente
Por tanto la serie es convergente al serlo las dos subseries que la integran
Ejercicio
Determinar el carácter de la serie n n
1
Solución
Aplicamos comparación
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14
nnn
1
4
1
3
1
2
1
1
11
4
1
3
1
2
1
1
143
n
1 es la serie armónica que es divergente n n
1 también es divergente.
También se puede resolver por el criterio logarítmico
101
ln
ln1
ln
ln
ln
1ln
nlím
n
nnlím
n
nlím
n
alím
nn
n
n
n
n Divergente.
Ejercicio
Estudiar el carácter de la serie de término general nn
n
na
!
Solución
Aplicamos el criterio de D’Alembert
11
11
1
1
1
1!11
!1
!1
!11
1
e
n
lím
n
nlím
n
nlím
n
n
nn
nnlím
n
n
n
nlím
a
alím
nnnn
n
n
n
n
nn
n
nnn
n
n
La serie es convergente.
Ejercicio
Estudiar el carácter de las siguiente serie: ∑
√
Solución
Aplicamos el criterio logarítmico
√
la serie es divergente.
1.4 SUMA DE SERIES
Para determinados tipos de series numéricas se dispone de fórmulas que proporcionan el
valor de su suma. A continuación se detallan algunas de ellas.
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15
Series aritmético-geométricas
Son las series de la forma n
n
n ba
1
en donde:
geométrica progresión
aritmética progresión11
1
1
n
n
n
rbb
dnaa
Convergencia: La analizaremos mediante la utilización del criterio de D’Alembert:
1])1([
)(1
1
1111
r
rdna
rbdnalím
ba
balím
n
n
nnn
nn
n
Luego es convergente cuando lo es la progresión geométrica es decir si r < 1, siendo
divergente en los demás casos.
Suma: Consideremos la suma de un número finito de términos:
nnnn
nnnnnn
nnnnn
nnnnn
bbdbabarS
baaabaabaabbarS
bababababaSr
bababababaS
2111
1123312211
11433221
11332211
1
1
Tomando límites cuando n ∞ y considerando que si r < 1 la serie es convergente y
por tanto el 0
nnn
balím
r
rbdba
r
bdbarS
1101 1
112
11
Por tanto:
12
11
1
1
.
111b
r
rd
r
a
r
rda
r
bS
Ejemplo
Suma la serie
1 3
1
nn
n
Solución:
Se trata de una serie aritmético-geométrica en la que:
3
1,
3
1,1,1 rybdna
nnn
Convergencia: 13
1r serie aritmético-geométrica convergente.
Suma: 4
5
3
1.
3
11
3
1.1
3
11
2
1
.
1 212
1
b
r
rd
r
aS
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16
Ejemplo
Suma la serie:
1 2nn
n
Solución:
Puede observarse que la serie propuesta es aritmético-geométrica pues es el termino
enésimo de una progresión aritmética de diferencia 1 y primer término igual a 1; además
es el termino enésimo de una progresión geométrica de razón
y primer termino
igual a
.
Convergencia: 12
1r serie aritmético-geométrica convergente
Así pues, la suma de la serie resulta: ∑
(
(
) )
Series hipergeométricas
Son aquellas series
1n
na en que la razón de un sumando respecto al anterior, en vez de
ser constante, como ocurre en las series geométricas, vale:
n
n
a
a
n
n 1 (1)
Nota:
Si α = 0, la serie hipergeométrica se transforma en geométrica al quedar
n
n
a
a 1
(razón constante). En consecuencia, una serie geométrica es un caso particular de una
serie hipergeométrica.
Convergencia:
Criterio de D’Alembert: 11
n
nlím
a
alím
nn
n
n no decide
Criterio de Raabe:
111
n
nnlím
a
anlím
nn
n
n
Luego la serie hipergeométrica será convergente si verifica que: 1
Suma:
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17
Considerando (1) en la forma an+1 (·n + ) = an( · n + ), igualdad que ponemos de la
forma:
11 ..)(.)1( nnnn aanaan
Con lo que dando a” n” los valores 1,2,3,…,n-1 se tendrá:
nnnn aanaan
aaaan
aaaan
aaan
..)1().(.)2(
................
..3.23
..2.2
..1
11
4433
3322
221
Sumando miembro a miembro:
)()1()2(...2
))(()2(...2
1132
132
aSananaa
aSanaa
nnn
nnn
De donde
1.....)( aaanaaS nnnnn
Con lo que resulta:
0....)( 1 aaanaS nnnn
Y por consiguiente:
1.)( aan
S nn
Como
1
n
nnn
aSlím , y dado que los límites de na y de
n
ana n
n 1 son necesariamente
nulos (si alguno de ellos no lo fuese la serie sería divergente), resulta:
1lima
SS nn
Ejemplo
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18
Sumar la serie:
21
1
543
1
432
1
321
1
nnn
La serie propuesta es hipergeométrica pues:
3
21
1
321
1
21
1
1
1
n
n
nnn
nnn
a
a
nnnn n
n
Con = 1 ; = 0 ; = 3
Convergencia:
13
convergente.
Suma:
4
11
aS
Ejemplo
Estúdiese el carácter y súmese, en caso de convergencia, la siguiente serie:
∑
( )( )
Solución:
Si es el término general de la serie, calculamos el cociente
( )( )
( )( )
y tenemos una serie hipergeométrica con que converge, puesto
que
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19
Para una serie de este tipo la suma viene dada por
1a
S
(
)
1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Estudiar el carácter de la serie ∑ de término general:
( )( ) ( )
Solución: Por el criterio del cociente si a<1, la serie es divergente; si a>1, la
serie es convergente. Cuando a=1 sustituimos el vslor en ls serie dada resultando
divergente.
2. Estudiar el carácter de la serie ∑ de término general:
( )( )
Solución: Por el criterio de D’Alembert es divergente.
3. Estudiar el carácter de la serie ∑ de término general (
) .
Solución: Por el criterio de Cauchy es convergente.
4. Estudiar el carácter de la serie ∑ de término general
( )
Solución: Por el criterio logarítmico es convergente.
5 Estudiar el carácter de la serie ∑ de termino general
Solución: Por el criterio de comparación con la serie armónica, es divergente.
6 Hallar el mayor valor entero que debe tomar para que la serie ∑ de termino
general
( )( )( ) sea convergente.
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20
Solución: Por el criterio logarítmico se concluye que el mayor valor entero que
hace la serie convergente es .
7 Sumar la serie
Solución: Serie aritmético-geométrica con suma: S=2
8 Sumar la serie
Solución: Serie hipergeométrica con suma: S=8
9 Sumar la serie 7
12
1
nn
n
Solución: Serie aritmático-geométrica con suma: S= 5/9
10 Estudiar el carácter y hallar la suma de la serie: ∑
.
Solución: Serie aritmático-geométrica. Por el criterio de D’Alembert la serie es
convergente. Su suma es: S=
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21
APÉNDICE
Serie aritmética
Una serie cuyos términos son de la forma:
dnadaa
dadaa
daa
aa
nn
1
2
11
122
12
11
Esta serie es divergente siempre, salvo el caso trivial a1 = 0, d = 0.
Suma
Para sumar un número finito de términos procederemos del modo siguiente:
nnnnnn
nnnn
nnnn
aanaaaaaaaaS
aaaaaaS
aaaaaaS
1121121
12321
12321
2
2
1 n
n
aanS
Serie geométrica
Una serie cuyos términos son de la forma:
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22
1
11
2
122
12
11
n
nn raraa
raraa
raa
aa
Donde r recibe el nombre de razón de la serie geométrica
En definitiva se trata de la serie
1
1
1
n
nra que al aplicarla el criterio de D’Alambert
11
1
1
rra
ralím
n
n
n converge.
Por tanto es convergente para el caso r < 1, siendo divergente en los demás casos.
Suma
La suma de un número finito de términos es: nnn aaaaaS 1321
Si a cada uno de los componentes de la ecuación anterior lo multiplicamos por la razón
r resulta:
nnn rarararararS 1321
Restando la segunda ecuación de la primera resulta finalmente:
nnn
nnn
nnn
raaraaSr
rarararararS
aaaaaS
11
1321
1321
001
De modo que la suma parcial n-ésima será r
raaS n
n
1
1
Cuando r < 1 la serie es convergente, verificando por tanto la condición necesaria de
convergencia.
Pasando al límite se obtiene finalmente-;
r
aSlímS n
n
1
1 siempre que r < 1.
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23
Ejemplo
Obtener la suma de la serie
0 5
43
nn
nn
Solución
Descomponiendo en la forma:
0 00 5
4
5
3
5
43
n nn
n
n
n
nn
nn
S
Se obtienen dos series geométricas:
0 5
3
nn
n
15
3r convergente
2
5
5
31
110
Aa
0 5
4
nn
n
15
4r convergente 5
5
41
110
Bb
Obteniéndose la suma de la serie pedida: 2
155
2
5 BAS
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24
CAPÍTULO 2: INTEGRAL INDEFINIDA
La integración tiene dos interpretaciones distintas; es un procedimiento inverso de la
diferenciación y es un método de determinar el área debajo de una curva. Cada una de
estas interpretaciones tiene numerosas aplicaciones en economía.
Como una operación, la integración es la inversa de la diferenciación. Así, si una
función es diferenciada y luego se integra la función obtenida, el resultado es la función
original.
Como se discute posteriormente, esto es exactamente verdadero sólo si se especifica en
alguna forma la constante de integración; de otra manera el resultado puede diferir de la
función original por una constante.
En este contexto, la integración es el proceso de hallar una función cuando se conoce su
derivada (o razón de cambio).
También puede definirse la integración como el proceso de hallar el valor límite de una
suma de términos cuando el número de términos crece infinitamente y el valor numérico
de cada término se aproxima a cero.
Este es el contexto en que la integración se interpreta como la determinación del área
bajo una curva. En efecto, el cálculo integral se desarrolló como el propósito de evaluar
áreas, suponiéndolas divididas en un número infinito de partes infinitesimalmente
pequeñas, cuya suma es el área requerida
Los casos más sencillos de integración se llevan a cabo invirtiendo las correspondientes
formulas de la diferenciación; los casos más complicados se manejan utilizando tablas
de la forma estándar, con varios procesos de sustitución y, si es necesario, con métodos
numéricos (aproximación).
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25
2.1 Integración Inmediata
Si )(xF es una integral con respecto a x de la función )(xf , la relación entre ellas se
expresa: CxFdxxf )()(
Nótese que si )(xF es una integral de )(xf con respecto a x, entonces )(xF +C es
también dicha integral, en la cual C es una constante cualquiera, puesto que la derivada
de cualquier constante es cero.
Geométricamente CxFy )( , representa una familia de curvas mutuamente
paralelas.
Así, esta familia de curvas tiene la propiedad de que, dado cierto punto ),( 00 yx existe
una y sólo una curva de la familia, que pasa por este punto particular que específica el
valor de C, es decir C = y0 – F(x0)
Con C determinada en esta forma, se obtiene una función definida que expresa a y en
función de x, es decir, la constante de integración se determina únicamente si se
especifica un punto por el cual pase la curva que representa a la integral.
Esta especificación se conoce como una condición inicial, porque la evaluación de la
constante de integración se hizo primeramente en conexión con problemas de mecánica,
en los cuales se especifican velocidades o posiciones iniciales de los cuerpos en
movimiento.
Ejemplo:
Hallar la solución general de la ecuación 2
1)(
xxf
Y calcular la solución particular que satisface la condición inicial F(1) = 2.
Solución: Para hallar la solución general, tenemos
C
xC
xdxxdx
xdxxf
1
1
1)(
12
2
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26
Ahora bien, puesto que F(1) = 2, escribimos 321
1 CCxF
Por tanto, la solución particular es 31
xxF
La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede ser vista por el hecho de
que mediante la sustitución de F´(x) por f(x) en esta definición, obtenemos
CxFdxxF )( La integración es la inversa de la derivación
Además, si CxFdxxf , entonces
xfxF
CxFdx
ddxxf
dx
d
'
La derivación es la inversa de la integración
Esta característica de inversas nos permite obtener fórmulas de integración directamente
a partir de las fórmulas de derivación.
A continuación probamos dos teoremas que simplificaran el álgebra de integración.
TEOREMA 1. La integral del producto de una constante por una función de x es igual
a la constante por la integral de la función.
Esto es, si C es constante.
dxxfCdxxfC
Como resultado de este teorema, se sigue que podemos sacar cualquier constante
multiplicativa del interior del signo de integral.
TEOREMA 2. La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus
integrales.
dxxgdxxfdxxgxf )(
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27
Este resultado puede extenderse a la diferencia de dos funciones o a cualquier suma
algebraica de un número finito de dos funciones.
Expresamos a continuación una tabla de integrales inmediatas, la cual se obtiene
recordando las derivadas de las funciones de uso más generalizado.
Esta tabla utilizada de derecha a izquierda puede servir como una tabla de derivadas
como consecuencia del mismo concepto de integral indefinida.
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
Tipos generales Tipos particulares
I. Tipo potencial
1 ··· 1 nCxfdxxfxfn nn
1 1
·1
nCn
xdxx
nn
II. Tipo exponencial
1
0 ··ln·
a
aCadxaaxf xfxf
Cedxexf xfxf ··
III. Tipo logarítmico
0 ln·
xfCxfdxxf
xf
Cxdxx ln·1
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28
Tipos generales Tipos particulares
IV. Tipo funciones directas trigonométricas
Cxfdxxfxf sen ··cos
Cxdxx sen ·cos
Cxfdxxfxf cos·sen · Cxdxx cos·sen
Cxfxf
dxxf
tg
cos
·2
Cxx
dx tg
cos 2
Cxfxf
dxxf
cotg
sen
·2
Cxx
dx cotg
sen 2
Cxfxf
dxxfxf
cosec
sen
·cos·2
Cxx
dxx cosec
sen
· cos2
V. Tipo funciones inversas trigonométricas
Cxf
xf
dxxf
sen arc
1
·'
2
Cxx
dx
sen arc
1 2
Cxf
xf
dxxf
cos arc
1
·'
2 Cx
x
dx
cos arc
1 2
Cxfxf
dxxf
tgarc
1
·2
Cxx
dx
tgarc
1 2
Nota: Las integrales pertenecientes a la columna que hemos denominado Tipos
particulares son los mismos tipos generales, donde f(x) = x, siendo su derivada
1)( xf
A continuación analizamos con más detenimiento la manera de resolver los tres
primeros tipos de integrales inmediatas presentadas en la tabla anterior.
2.1.1 INTEGRALES “INMEDIATAS” DE TIPO POTENCIAL
Cuando bajo el símbolo integral tengamos una función elevada a una constante, si lo
que la multiplica es al menos en su parte variable la derivada de la función, se podrá
ajustar con constantes, obteniéndose una integral inmediata de tipo potencial.
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29
Ejemplo:
dxxx ·86 31
2
Para asimilar la integral propuesta al tipo de inmediata potencial:
cfdxfxfn n
x
n
x
1··
tiene que ser posible realizar la siguiente identificación:
31
21 86 xf n
x
de donde se tiene que f(x)=6x2+8
y por tanto f’(x)=12x,
por otro lado tenemos que 3
2
3
11 nn , por tanto necesitamos tener bajo el
signo integral la expresión:
dxxx
nxf
xfn
1
31
2
'
86 · 12 · 3
2
Así pues operando con constantes en la integral del ejemplo tenemos:
cxdxxxdxxxnxf
32
2
potencial tipoinmediata Integral
31
231
2 8624
38612·
3
2
12
1·
2
386
2.1.2 INTEGRALES “INMEDIATAS” DE TIPO EXPONENCIAL
Cuando bajo el símbolo integral tengamos una constante elevada a una función, si lo
que la multiplica es al menos en su parte variable la derivada de la función, se podrá
ajustar con constantes, obteniéndose una integral inmediata de tipo exponencial.
Ejemplo:
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30
Calcular dxx x 33 4
5
Para asimilar la integral propuesta al tipo inmediata exponencial:
caadxaxf xfxf ln
necesitamos que: f(x) = x4 + 3, por tanto 34)( xxf
De este modo, operando con constantes en la integral tenemos:
cdxxxdxx xx
334333 44
5·5ln4
15·ln5·4
5ln
1·
4
15
2.1.3 INTEGRALES “INMEDIATAS” DE TIPO LOGARÍTMICO
Cuando bajo el símbolo integral tengamos un cociente, si el numerador es al menos
en su parte variable la derivada del denominador, se podrá ajustar con constantes,
obteniéndose una integral inmediata de tipo logarítmico.
Ejemplo
Calcular dxe
ex
x
·31
Solución:
Para asimilar la integral propuesta al tipo de inmediata logarítmica:
cxfdxxf
xf
ln·
Tiene que cumplirse que la derivada del denominador se encuentre en el numerador
f(x) = 1-3ex, y xexf 3)(
Por tanto ajustando con constantes ((-3) en este caso) en la integral dada.
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31
Cedxe
edx
e
e x
x
x
x
x
31ln3
1
31
3
3
1·
31
Son también integrales “inmediatas” de tipo logarítmico aquellas que tienen la forma:
xf
xf
dx
·'
1
ya que son equivalentes a:
dxxf
xf·
'
Ejemplo:
Calcular xx
dx
ln
Solución:
cxx
x
dx
xx
dxlnln
lnln
Donde:
xxfx
xfxxf ´
1,
1´,ln
2.1.4 INTEGRALES “INMEDIATAS” DE TIPO INVERSA Y DIRECTA TRIGONOMÉTRICA”
Los tipos de integrales de “funciones inversas trigonométricas” y funciones directas
trigonométricas, no se analiza de forma detallada, la resolución de las que aquí
trataremos, es una extensión directa de los modelos anteriores, respecto a lo que a la
manera de preparar la integral dada se refiere (mediante el empleo de constantes) para
su posterior resolución.
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32
Ejemplo:
Función Inversa trigonométrica 461 x
xdx
Para asimilar la integral propuesta al tipo de inversa trigonométrica:
Cxf
xf
dxxf
sen arc
1
·´
2
necesitamos:
42 6xxf , por tanto 26xxf y finalmente xxf ·62´
De este modo operando con constantes en la integral dada:
Cx
x
dxx
x
xdx 2
44·6arcsen
62
1
61
62
62
1
61
2.2 Aplicaciones Económicas
En economía la variación de una cantidad “y” con respecto a otra cantidad “x” se
analiza normalmente en términos de la variación marginal. Así pues de igual forma en
que la variación marginal puede obtenerse diferenciando una función, dicha función
(exceptuando una constante) puede obtenerse al integrar su variación marginal.
Renta nacional, consumo y ahorros:
Si la función consumo viene dada por: c = f(x)
en la cual c es el consumo nacional total y x es la renta nacional total, entonces la
propensión marginal a consumir es la derivada de la función consumo con respecto a x.
xfdx
dc'
y, suponiendo que x = c+s, donde s son los ahorros, entonces la propensión marginal a
ahorrar es
dx
dc
dx
ds1
El consumo nacional total es la integral con respecto a x de la propensión marginal a
consumir,
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
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33
Cxfdxxfc '
Debe especificarse una condición inicial para obtener una única función de consumo al
integrar la correspondiente propensión marginal a consumir.
Ejemplo:
La propensión marginal a consumir en billones de euros es: xdx
dc 2.07.0
Cuando la renta es cero, el consumo es 8 billones de euros. Hallar la función de
consumo.
Solución
La función de consumo será: Cxxdxx
dxdx
dcc
4.07.0
2.07.0
Si x = 0, c = 8, se deduce C = 8 y se tienen xxc 4.07.08
2.3 Integración por cambio de variable
No todas las integrales pueden evaluarse en forma directa usando las integrales estándar
expuestas en la sección previa. Sin embargo, muchas veces la integral dada puede
reducirse a una integral estándar ya conocida mediante un cambio en la variable de
integración. Tal método se conoce como método de sustitución o cambio de variable.
Según lo dicho hasta aquí, se trata de calcular la integral: dxxgI
la cual resulta ser una integral complicada.
Buscamos por tanto una función u = u(x) tal que:
g(x)=fu(x)u’(x) para una función f.
Entonces si F es una primitiva de f, tenemos por la regla de la cadena
xuxufxuFdx
d'
Por tanto Fu(x) es la buscada primitiva de g, siendo:
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34
CxuFdxxuFdx
ddxxuxufdxxgI ' (1)
Si tenemos en cuenta que al ser u = u(x), entonces du = u’(x) dx la ecuación se puede
escribir:
CxuFCuFduuFduufdxxgI ' (2)
En principio, según queda reflejado en la ecuación (2), se trata de encontrar una función
u = u(x) de manera que la función f(u) que aparece dentro de la integral tenga una
primitiva F conocida.
¿Cómo se encuentra esa función u = u(x) ó cambio de variable adecuado?
El método de sustitución, presenta una gran variedad de sustituciones posibles, según el
tipo de función que aparezca bajo el signo integral, no obstante la sustitución debe ser la
recomendada para el tipo concreto, dado que el error al utilizar una sustitución
inadecuada conducirá frecuentemente a integrales de incluso mayor dificultad que la
propia propuesta.
La expresión R que aparece bajo el signo integral en los distintos tipos de integrales que
propondremos a continuación para su sustitución, indica función racional de los
elementos que le preceden bajo el paréntesis, es decir, que estos están relacionados entre
sí por las operaciones racionales: adición, sustracción, multiplicación y división.
TABLA DE LOS TIPOS DE SUSTITUCIÓN
Tipo de integral Sustitución Cálculo de elementos para sustitución
dxaR x · ax=u a
x = u ln a
x = ln u x·ln a = ln u
ó u
ax ·ln
ln
1
uadu
dx 1·
ln
1
dxaxR x ·, du
uadx ·
1·
ln
1
dxeR x · ex = u e
x = u ln e
x = ln u x·ln e = ln u
ó
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35
dxexR x ·, x = ln u
udu
dx 1 , dx = du/u
dxxxR ·ln, ln x = u ln x = u x = e
u
uedu
dx ,dx = e
u·du
dxxxR · tgarc , arc tg x = u u = tg u du
udx ·
cos
12
dxxxR ·sen arc, arc sen x = u x = sen u dx = cos u·du
dxxxR · cos arc, arc cos x = u x = cos u dx = - sen u·du
En realidad, hablamos propiamente de un cambio de variable cuando trabajamos con
aplicaciones biyectivas es decir, cuando tenemos x = f(u) y u =g(x), de manera que a
cada x le corresponde un único u y a cada u un único x.
Veamos a continuación algunos ejemplos resueltos mediante este método de cambio
variable.
Ejemplo:
Calcular
dxe
ex
x
·1 2
Solución:
Hacemos el cambio de variable
duu
dxuxue x 1ln
Resulta por tanto
Cuuduu
duu
duu
duuu
udx
e
ex
x
1ln
2
11ln
2
1
1
21
1
21
1
11·
11 222
Deshaciendo finalmente el cambio de variable
Ceedxe
e xx
x
x
1ln2
11ln
2
1
1 2
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36
Ejemplo:
Calcular
dxxx ln1
1
Solución:
Hacemos el cambio de variable: duedxexux uu ln
Resulta por tanto:
CxCudu
udue
uedx
xx
u
u
ln1ln1ln1
1
1
1
ln1
1
Ejemplo:
Calcular 4
2sen arc
2x
dxx
Solución:
Hacemos el cambio de variable: ux
2sen arc x =2 sen u duudx cos2
Nota:
Esto es así, debido a que u = arc sen x si y sólo si sen u = x. En el caso que nos
ocupa tendremos por tanto u
x
2
sen arc si y solo sí ux
sen 2
es decir x = 2 sen u.
Resulta por tanto:
Cx
Cu
ududuu
uu
u
uduu
x
dxx
22
22 2sen arc
2
1
2cos
cos
1sen2
cos2·
4
2sen arc
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37
Nota:
Adviértase que el denominador de la integral inicial, una vez realizado el cambio de variable se
transforma en:
12
sen242
sen442
uux
2.4 Integración por partes
Cuando una expresión que incluye productos o logaritmos no puede evaluarse
directamente con el uso de formas “estándar”, una de las técnicas más útiles para
transformarla en una forma “estándar”, es la fórmula de integración por partes, la cual
se basa en la inversión de la fórmula para la derivación de un producto.
Si u y v son funciones de x (u=f(x), v=g(x)), por la fórmula de la diferencial de un
producto de funciones, tendremos:
d(u·v) = u·dv + v·du, despejando u·dv
u·dv =d(u·v) - v·du, integrando en ambos miembros.
duvvuddvu )(
con lo que nos quedará la fórmula de integración por partes:
duvvudvu ···
Donde:
u = f(x) dxxfduxfdx
du· ,
v = g(x) dxxgdvxgdx
dv·' ,'
Sustituyendo esta forma de expresión en la fórmula de integración por partes
anteriormente hallada, nos quedará en la forma siguiente:
dxxfxgxgxfdxxgxf ····'·
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38
El método consiste fundamentalmente en descomponer la integral original en producto
de dos funciones, de tal forma que al aplicar la fórmula, la nueva integral sea más
sencilla que la original.
A continuación damos unos métodos generales que sirven para descomponer la integral
dada en productos de dos funciones.
Métodos generales de funciones integrables por partes.
Partimos del supuesto de que cualquier función se puede expresar como producto de dos
que denominaremos u = f(x) y v = g(x).
De esta manera tenemos: dxxgxfudv '·
Por tanto siempre que bajo el símbolo integral aparezca alguno de los siguientes casos
se procederá a realizar las identificaciones que a continuación se indican.
CASO 1
Cuando bajo el símbolo integral tengamos el producto de una función trigonométrica
inversa multiplicada por la unidad o cualquier constante, entonces:
Función trigonométrica inversa f(x) f(x) = u
La unidad o cualquier constante g gdx = dv
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral dxx· arctg
Solución:
xvdxdvdxdv
x
dxdu
xdx
duxu
g
1caso esteen que ya
22 11
1arctg
En este caso nos limitamos a escribir g en lugar de g(x) puesto que la unidad o cualquier
constante, no depende de la variable x.
De este modo tenemos:
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39
Cxxxx
xdxxx
x
dxxxxdxx
2
221ln
2
1 arctg
1
2
2
1 arctg
1 arctg · arctg
CASO 2
Cuando bajo el símbolo integral tengamos el producto de una función trigonométrica
inversa o función logarítmica multiplicada por un polinomio o función racional en x,
entonces:
Función trigonométrica inversa o función logarítmica f(x) f(x) = u
Polinomio en x o función racional en x g(x) g(x)dx = dv
Ejemplo:
Calcular xdxx ln
Solución: Se eligen convenientemente u y dv.:
2
1ln
2xvxdxdvxdxdv
x
dxdu
xdx
duxu
Por tanto,
Cx
xx
dxx
xx
dxx
xx
xxdxx 4
ln22
ln2
1
2ln
2ln
22222
Ejemplo:
Calcular xdxx arctg
Solución: Se eligen convenientemente u y dv.:
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40
2
11
1 arctg
2
22
xvxdxdvxdxdv
x
dxdu
xdx
duxu
Por tanto,
dxx
xx
x
x
dxxx
xxdxx
racionalfunción
2
22
2
22
12
1 arctg
212 arctg
2 arctg
Al ser el grado del numerador de la función racional a integrar, igual que el grado del
numerador, se realiza la división
donde de
22
2
1
11
1 xx
x
De este modo
Cxxxx
x
dxdxx
xxdxx
artg
2
1 arctg
212
1·1
2
1 arctg
2 arctg
2
2
2
CASO 3
Cuando bajo el símbolo integral tengamos el producto de una función trigonométrica o
función exponencial multiplicada por un polinomio o función racional en x, entonces:
Polinomio en x o función racional en x f(x) f(x) = u
Función trigonométrica o función exponencial g(x) g(x)dx = dv
Ejemplo:
Calcular xdxx sen 2
Solución: Se eligen convenientemente u y dv.:
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41
xvxdxdvxdxdv
xdxduxdx
duxu
cossen sen
222
por tanto
xdxxxxxdxxxxxdxx cos2 cos 2 cos cos sen 222
La última integral la resolvemos aplicando de nuevo la integración por partes.
Llamando
xvxdxdvxdxdv
dxdudx
duxu
sen coscos
1
entonces
Cxxxxdxxxxdxx cossen sen sen cos
Así pues finalmente: Cxxxxxxdxx cossen 2cossen 22
CASO 4
Cuando bajo el símbolo integral tengamos el producto de una función exponencial
multiplicada por una función trigonométrica, entonces:
Función exponencial f(x) f(x) = u
Función trigonométrica g(x) g(x)dx = dv
También se puede proceder asignando a la función exponencial la función g(x), y a la
función trigonométrica la función f(x).
Por cualquiera de los dos procedimientos saldrá una integral en la que habrá que
integrar por partes nuevamente, en esta segunda integración deberá aplicarse el mismo
procedimiento que se aplicó en la primera.
Es habitual que dentro de esta clase de integrales se presenten los denominados
Integrales Cíclicas, que son aquellos en lo que mediante la integración por partes, se
llega nuevamente a la integral original la cual se pasará al primer miembro, despejando
finalmente el resultado.
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
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42
Ejemplo:
Calcular xdxe xsen
Solución:
xvxdxdvxdxdv
dxeduedx
dueu xxx
cossen sen
por tanto
dxxexexdxe xxx coscossen
La última integral la resolvemos aplicando nuevamente la integración por partes.
Llamando
xvxdxdvxdxdv
dxeduedx
dueu xxx
sen cos cos
Así pues
dxxexedxxe xxx sen sen cos
Sustituyendo este resultado en la integral inicial:
dxxexexexdxe xxxx sen sen cossen
pasando esta última integral al primer miembro
xexexdxe xxx sen cossen 2
de donde la integral pedida:
Cxexexdxe xxx sen cos2
1sen
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
43
2.5 Integración de funciones racionales
Una función racional, es como sabemos una función de la forma xQ
xPxf , en donde
P(x) y Q(x) son polinomios.
Se trata por tanto de hallar la integral
dxxQ
xP .
Se puede suponer que el grado del polinomio P(x) es menor que el grado de Q(x), ya
que si no fuera así basta dividir P(x) por Q(x), obteniéndose
xCxR
xQxP
De donde P(x) = Q(x) ·C(x) + R(x) dividiendo ambos miembros por Q(x) tenemos
finalmente:
xQ
xRxC
xQ
xP
y la integral se puede escribir
dx
xQ
xRdxxCdx
xQ
xRxCdx
xQ
xP
teniendo la seguridad de que el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x).
Según sean las raíces de Q(x) = 0 se distinguirán varios casos:
CASO 1: Raíces Reales Simples
Es decir,
naxaxaxxQ 21
siendo las ai distintas.
En este caso se puede descomponer xQ
xP en la forma,
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
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44
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
2
2
1
1
en donde A1, A2, ..., An son números reales que se pueden calcular sumando las
fracciones anteriores e identificando los coeficientes de las potencias de igual grado de
los numeradores del primer y segundo miembro.
Así pues una vez que se hayan determinado las Ai, nuestra integral es la suma de n
integrales inmediatas:
nn
n
n
axAaxAaxA
dxax
A
ax
A
ax
Adx
xQ
xP
lnlnln 2211
2
2
1
1
Ejemplo:
Calcular
dx
xx
xxI
65
122
3
Solución:
Puesto que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se efectúa la
división,
65
29215
65
1222
3
xx
xx
xx
xx
por tanto la integral inicial, se transforma en:
dx
xx
xx
xdx
xx
xx
32
29215
265
29215
2
2
Descomponiendo en fracciones simples:
32
23
32
23
3232
2921
2121
2121
xx
AAxAA
xx
xAxA
x
A
x
A
xx
x
Identificando coeficientes:
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
45
34 ,132923
2121
21
21
AA
AA
AA
y
dx
xdx
xdx
xx
x
3
34
2
13
23
2921
luego:
Cxxxx
I 3·ln342·ln1355
2
CASO 2: Raíces Reales Múltiples
Si el polinomio Q(x) tiene una raíz a, de orden de multiplicidad “m”, además de
distintas raíces sencillas b1, ..., bn, esto es:
n
mbxbxbxaxxQ 21
entonces xQ
xP se descompone como sigue:
n
n
m
m
bx
B
bx
B
bx
B
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
2
2
1
1
2
21
los coeficientes A1, ..., Am , B1,..., Bn se hallan del modo antes expuesto.
Ejemplo:
Calcular
112
xx
dxI
Solución:
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
46
11
2
11
1111
11111
1
2
12112
2
11
2
2
121
1
2
21
2
xx
BAAxBAxBA
xx
xBxAxxA
x
B
x
A
x
A
xx
Se identifican coeficientes:
4
1 ,
2
1 ,
4
1
1
02
0
121
121
12
11
BAA
BAA
BA
BA
luego:
Cxx
x
dxx
dxx
dxx
I
1ln4
1
1
1·
2
11ln
4
1
1
4
1
1
2
1
1
4
1
2
CASO 3: Factor Cuadrático
Si en el denominador Q(x) aparece un factor de la forma ax2 + bx + c, que no posee
raíces reales, se toma una fracción de la forma:
cbxax
BAx
2
y se calculan A y B de modo análogo a como se hizo anteriormente.
Ejemplo:
Calcular 56 24 xx
xdx
Solución:
dx
x
BxA
x
BxA
xx
xdx
xx
xdx
1515
56 2
22
2
11
2224
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
47
2121
2
21
3
21
2
22
2
11
55
51
BBxAAxBBxAA
xBxAxBxAx
por lo tanto
05
15
0
0
21
21
21
21
BB
AA
BB
AA
0
4
1
4
1
21
1
2
BB
A
A
finalmente,
Cx
x
Cxx
x
xdx
x
xdx
xx
xdx
5
1ln
8
1
1ln8
15ln
8
1
14
1
54
1
15
2
2
22
2222
CASO 4: Factor Cuadrático Repetido
Si en Q(x) aparece un factor (ax2 + bx + c)
r , donde ax
2 + bx + c, no posee raíces reales,
se toma una suma de fracciones de la forma:
rrr
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
2
1
22
22
2
11
Ejemplo:
Calcular
dx
x
xx22
3
2
138
Solución: Incluimos una fracción simple por cada potencia de (x2 + 2), y
expresamos
22
22
2
11
22
3
222
138
x
BxA
x
BxA
x
xx
Multiplicando por el mínimo común denominador, (x2 + 2), llegamos a la ecuación
básica
22
2
11
3 2138 BxAxBxAxx
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
48
Desarrollando la ecuación básica y agrupando términos del mismo orden, tenemos
2121
2
1
3
1
3
221
2
11
3
1
3
22138
22138
BBxAAxBxAx
Agrupando
BxABxBxAxAxx
Ahora podemos igualar los coeficientes de los términos del mismo grado a ambos lados
de la igualdad.
8 = A1
13 = 2 A1 + A2
2121
2
1
3
1
23 2201308 BBxAAxBxAxxx
0 = 2B1 + B2
0 = B1
Introduciendo los valores ya conocidos A1 = 8 y B1 = 0, se tiene,
0 0220
382213
2221
2221
BBBB
AAAA
Finalmente concluimos que
Cx
x
dxx
x
x
xdx
x
xx
22
32ln4
2
3
2
8
2
138
2
2
22222
3
MÉTODO DE HERMITE
El cálculo de una integral racional en x, dxxQ
xP· , en el caso de que la ecuación
Q(x) = 0 admita parejas de soluciones complejas múltiples es muy laborioso utilizando
la técnica de descomposición en fracciones simples ya vista.
En estos casos es aconsejable recurrir al método de HERMITE que a continuación
describimos:
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
49
Tratamos de calcular I = dxxQ
xP· , suponemos que ya el grado del polinomio
denominador es mayor que el polinomio numerador.
El integrando se descompone de la forma:
xC
xc
xQ
xq
dx
d
xQ
xP
*
Donde:
Q*(x) es el máximo común divisor de Q(x) y su derivada Q’(x).
El polinomio q(x), con coeficientes indeterminados, tiene su grado inferior en una
unidad a Q*(x).
Por último, C(x) = Q(x) / Q*(x), y c(x) es un polinomio con coeficientes indeterminados
y grado inferior en una unidad a C(x).
Se deriva q(x) / Q*(x), se hallan los coeficientes indeterminados y se obtiene:
dxxC
xc
xQ
xqdx
xQ
xP
*
El problema se reduce al cálculo de esta última integral.
Ejemplo:
Calcular
229 x
dxI
Solución:
El denominador no tiene raíces reales. Se va a utilizar el método de Hermite:
2
2
22
9',...*
2·9·2'
9
xxQxQdcmxQ
xxxQ
xxQ
Por tanto:
2222 999
1
x
DCx
x
BAx
dx
d
x
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
50
Derivando 29 x
BAx
e identificando coeficientes:
0 ,18
1
199
092
0
0
CBDA
DA
CB
DA
C
Resultando:
C
x
x
x
x
dx
x
xI
3
tgarc54
1
918918
1
918 222
2.6 Ejercicios resueltos.
1. Calcular: ∫
( )
Solución:
∫
( ) ∫ ( )
∫ ( )
( )
( )
2. Resolver: ∫
Solución:
Integral por partes, para solucionarla realizamos la identificación:
{ ( )
}
Obteniéndose:
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
51
∫
∫
∫
3. Calcular ∫
Solución:
Integral por partes, para solucionarla realizamos la identificación:
{
}
Obteniéndose:
∫
∫
∫
Nuevamente necesitamos resolver una integral por partes. Realizamos la identificación:
{
}
[
∫ ]
[
]
4. Calcular: ∫
Solución:
Integral por partes, para solucionarla realizamos la identificación:
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
52
{
}
Obteniéndose:
∫
∫
∫
Nuevamente necesitamos resolver una integral por partes. Realizamos la identificación:
{
}
[
∫
( ) ]
∫
Esta última integral por resolver es igual a la dada en el enunciado, de este modo
si la denominamos con la letra A = ∫ resulta:
∫
[
]
5. Resolver: ∫
Solución:
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
53
Haciendo el cambio de variable:
resulta que:
∫
∫
∫
∫
⁄
∫
⁄
| |
| |
| |
| |
6. Resuélvase: ∫
√
Solución:
∫
√
√
√
Hacemos el cambio:
{
}
∫
√
∫
√
√
√ (
√ )
√
√ (
√ )
2.7 Ejercicios propuestos.
1. Calcule ∫
Solución: | |
( )
( )
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
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54
2. Calcule ∫
Solución:
3. Resolver: ∫
Solución:
*
(
)+
4. Calcular: ∫
Solución:
( )
5. Calcular: ∫
Solución: ( ) [ ]
6. Calcular: ∫
Solución:
( )
7. Calcular ∫
Solución: (
)
8. Resolver: ∫
Solución: ( )
9. Calcular: ∫
Solución:
10. Calcule: ∫
√
Solución: ⁄
√
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
55
APÉNDICE
Determinación de raíces racionales de una función polinomial
Una función polinomial no puede tener más raíces que el valor de su grado.
La demostración se basa en el teorema del factor. Si r es una raíz de una función
polinomial f , entonces f ( r ) = 0 y , x - r es un factor de f( x) . Por tanto, cada
raíz corresponde a un factor de grado uno.
El siguiente teorema, llamado Regla de los signos de Descartes, proporciona
información acerca del número y localización de las raíces de una función polinomial,
de modo que sepamos dónde buscarlas.
Esta regla supone que el polinomio está escrito en potencias descendentes de x, y
necesita que contemos el número de variaciones de signo de los coeficientes de
f ( x) y f ( -x) .
Ejemplo:
La siguiente función polinomial tiene dos variaciones en el signo de los coeficientes:
1234312343)( 247247
xxxxxxxxxfaa
Adviértase que ignoramos los coeficientes cero en 356 00,0 xyxx al contar el número
de variaciones en el signo de )(xf .
Reemplazando a continuación x por –x obtenemos :
12343)( 247
a
xxxxxf
que tiene una variación de signo.
Teorema regla de los signos de descartes:
El número de raíces positivas de f es igual al número de variaciones en el signo de los
coeficientes de )(xf , o es igual que ese número menos un entero par.
El número de raíces negativas de f es igual al número de variaciones en el signo de
los coeficientes de )( xf , o es igual a ese número menos un entero par.
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
56
Teorema de las raíces racionales:
Sea una función polinomial de grado 1 o superior de la forma:
0,0)( 001
1
1
aaaxaxaxaxf n
n
n
n
n
donde cada coeficiente es un entero.
Si q
p , sin factores comunes, es una raíz racional de f , entonces p debe ser un
factor de 0a y q un factor de na .
Ejemplo
Determinar las posibles raíces reales de la siguiente función polinomial
67112)( 23 xxxxf
Respuesta:
1) Habrá un máximo de tres raíces, ya que el polinomio es de grado tres.
2) Por la regla de los signos de Descartes, hay una raíz positiva.
Además como 67112)( 23 xxxxf , hay dos raíces o ninguna negativas.
3) Determinación de los enteros p que son factores de 60 a y de los enteros q que
son factores de 23 a :
2,1:
6,3,2,1:
q
p
A continuación construimos todas las razones posibles q
p
2
3,
2
1,6,3,2,1:
qp
Si f tiene una raíz racional ha de encontrarse en esta lista, que contiene 12
posibilidades.
Elegimos probar el posible cero racional “1” utilizando la división sintética ( ruffini)
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
57
1 2 11 -7 -6
2 13 6
2 13 6 0
El residuo es cero. Por tanto “1” es una raíz y x-1 es un factor de f.
Así pues podemos factorizar )(xf quedándonos:
)6132)(1(67112)( 223 xxxxxxxf
Ahora cualquier solución de la ecuación 06132 2 xx será a su vez una raíz de f.
A causa de esto, llamamos a la ecuación 06132 2 xx , ecuación reducida de f, la
cual es una ecuación cuadrática con discriminante
01214816942 acb ,
por tanto, tiene dos soluciones reales.
Mediante el empleo de la fórmula cuadrática:
2/1
6
2
42
a
acbbx
Se concluye que las raíces son -6, -1/2 y 1
Podemos por último escribir la función f en forma factorizada como:
)6)(12)(1(67112)( 23 xxxxxxxf
Funciones Polinomiales Complejas con Coeficientes Reales
Una función polinomial compleja de coeficientes reales f de grado n tiene la forma
( )
Donde son números reales, , y n es un entero no negativo.
Aquí, recibe el nombre de coeficiente principal de f .
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
58
Un número complejo r es una raíz de f si ( ) , de modo que
Teorema para Conjugados
Sea ( ) una función polinomial compleja cuyos coeficientes son reales.
Si es una raíz de f , entonces el complejo conjugado ̅ también
es una raíz de f .
Es decir, para funciones polinomiales complejas cuyos coeficientes son números reales,
las raíces aparecen en pares conjugados.
Corolario
Una función polinomial compleja f de grado impar con coeficientes reales tiene al
menos una raíz real.
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
59
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
60
CAPÍTULO 3: INTEGRAL DEFINIDA
En la geometría elemental se demuestra que el área de un rectángulo es igual al
producto de su anchura por su altura, y según esto, por métodos geométricos
elementales se obtienen las áreas de otras figuras limitadas por segmentos de líneas
rectas. Sin embargo, estos métodos no son directamente aplicables a figuras limitadas
(en todo o en parte) por líneas curvas.
En general, para hallar áreas de figuras curvilíneas debe usarse el método de los límites;
por ejemplo, en geometría se obtiene el área de un círculo considerándolo como el
límite común del conjunto de polígonos regulares inscritos y circunscritos, cuando su
número de lados crece indefinidamente. Este uso del método de los límites conduce a la
interpretación de la integral definida como el área debajo de una curva.
3.1 La integral definida como área bajo una curva
Si queremos medir el área encerrada por una curva y el eje de las x entre dos puntos a y
b del dominio, debemos en primer lugar, dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos.
La figura (a) muestra cuatro de estos subintervalos, siendo el primero [x1, x2] y el
último [x4, x5]. Puesto que cada uno de éstos representa un variación en x, podemos
referirnos a ellos como Δx1 , ...., Δx4, respectivamente.
Si sobre los subintervalos construimos bloques rectangulares, de tal modo que la altura
de cada uno de ellos es igual al valor más alto alcanzado por la función en ese bloque
(en este caso eso sucede en el lado izquierdo de cada rectángulo), se obtiene que el área
total A* de este conjunto de bloques es la suma:
n
i
ii xxfA1
* )(
No obstante, es evidente que ésta no es el área encerrada por la curva que buscamos,
sino una aproximación muy imperfecta.
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
61
Lo que hace que A* se desvíe del verdadero valor de A son las porciones no sombreadas
de los rectángulos; éstas hace que A* sea una sobreestimación de A. Sin embargo, si
reducimos la porción no sombreada y la hacemos tender a cero, el valor aproximado de
A* se acercará al verdadero valor de A.
Este resultado se obtendrá cuando hagamos cada vez más fina la segmentación del
intervalo [a, b], de modo que n aumente y Δxi se reduzca indefinidamente. Entonces los
bloques serán más delgados (cuanto más numerosos) y el excedente por encima de la
curva disminuirá, como puede verse en la siguiente figura (b).
Llevada hasta el límite, esta operación de “refinamiento” nos dará:
AAlímxxflímn
i
n
i
in
área*1
Esta ecuación constituye la definición formal del área encerrada bajo una curva.
Nota
Cuando Δx es infinitesimal, podemos reemplazarlo por el símbolo dx.
La notación
n
i 1
representa la suma de un número finito de términos. Cuando hacemos
n y tomamos el límite de esa suma, necesitamos sustituirla por la expresión b
a,
donde el símbolo integral indica una suma, y las variables a y b sirven para especificar
los límites superior e inferior de esta suma.
Por tanto, la integral definida es una abreviatura para la expresión del límite de una
suma, es decir:
i
n
i
in
b
axxflímdxxf
1
área A
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
62
3.2 Propiedades fundamentales
De la definición dada de la integral de Riemann se deducen fácilmente las siguientes
propiedades1.
1. La integral conserva las desigualdades, es decir, si tenemos dos funciones f y g
en un intervalo [a, b], de manera que f(x) g(x) en todos los puntos x del
intervalo
[a, b], entonces: b
a
b
adxxgdxxf
2. La integral es aditiva respecto del intervalo, es decir, si tenemos una función f
en un intervalo [a, b] y un punto c entre a y b, entonces:
b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf
3. La integral de la suma es la suma de las integrales, es decir, si tenemos dos
funciones f y g en un intervalo [a, b], entonces:
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf
4. La integral de un número por una función es el producto del número por la
integral de la función, es decir, si tenemos una función f en un intervalo [a, b] y
un número real , entonces.
b
a
b
adxxfdxxf
Las propiedades 3 y 4 se pueden combinar y quedan resumidas de la siguiente forma:
Linealidad
5. Dadas dos funciones f y g en el intervalo [a, b] y dos números reales y ,
entonces
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf
Las dos propiedades que siguen son consecuencias muy sencillas de las anteriores.
1 Aunque las propiedades son válidas para funciones que toman valores reales cualesquiera, en principio
todo es más claro si consideramos funciones que toman valores mayores o iguales que 0. Esto es lo que
haremos.
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
63
6. Sea f una función en un intervalo [a, b], entonces se cumple que el valor
absoluto de la integral, es menor o igual que la integral del valor absoluto de la
función.
dxxfdxxfb
a
b
a
De forma gráfica
b
a
b
adxxfSSRRRRdxxf 21 ÁreaÁreaÁreaÁreaÁreaÁrea
7. Si f es una función en un intervalo [a, b], y M, m son dos números reales tales
que
Mxfm
Esta propiedad afirma que el área que se encuentra bajo la función f(x), está
comprendida entre las áreas de dos rectángulos. Uno está contenido en nuestro
recinto y el otro contiene a nuestro recinto.
Nota
En muchas ocasiones es imposible, o muy difícil, saber cuál es el valor exacto de
b
adxxf
y las desigualdades anteriores nos sirven para obtener valores aproximados.
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
64
3.3 Teorema fundamental del cálculo integral
Este teorema establece la relación entre b
adxxf e dxxf , entre la integral definida
y la indefinida. Lo podemos enunciar como sigue:
Si f(x) es una función continua en [a, b] y F(x) es una primitiva de f(x), entonces:
xfxFaFbFxFdxxf
b
a
b
a ; )()(
La igualdad anterior se conoce con el nombre de Regla de Barrow y da el
procedimiento para calcular una integral definida.
Ejemplo: 2
10
2
11
2
1
2
1 22
1
0
21
0
xxdx
3.4 Aplicaciones al cálculo de áreas
Los problemas que pueden presentarse son los siguientes:
Área comprendida entre una curva y = f(x), el eje OX y las rectas de ecuación x = a
y x = b
Si f(x) 0 en [a, b]: b
adxxfA
Ejemplo
Hallar el área limitada por la curva: 422 xyx el eje x, y las rectas x = 2 y x = 4
Solución:
1221444
14 4
2
14
2 2
4
2 2
2
xxdxx
dxx
xA
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
65
Ejemplo
Hallar el área limitada por la curva 23 3xxy , el eje x, y las rectas x = 0 y x = 2 .
Solución:
124
3
2
0
34
2
0
23
x
xdxxxA
Interpretación de áreas negativas
En la definición del área, dada anteriormente: b
adxxfA , se ha supuesto que f(x)
es una función continua y positiva entre a y b.
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66
Si f(x) es negativa, es decir, si la curva y = f(x) queda debajo del eje x, entre a y b, el
valor de la integral
b
adxxfA
es entonces negativo. Tales áreas situadas bajo el eje x se llaman áreas negativas; el
área total absoluta entre una curva, el eje x, y dos ordenadas, está dada por
Área total = (área positivas) - (áreas negativas).
Nota: Lo anterior equivale a decir que el área es igual al valor absoluto de la integral, y
éste es siempre positivo.
De este modo y según la exposición anterior:
Si f(x) 0 en [a, b]; dxxfAb
a
Si f(x) corta el eje OX en el punto c [a, b]:
b
c
c
adxxfdxxfAAA 21
El punto c se halla resolviendo la ecuación f(x) = 0
Ejemplo
Hallar el área limitada por la curva 322 xxxy , el eje x, y las rectas x = -1 y x = 1
Solución:
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2
3
negativa área menos positiva área12
5
12
13
4
1
3
1100
4
1
3
11
434322
0
1
43
2
1
0
43
20
1
321
0
32
xx
xxx
xdxxxxdxxxxA
Área Entre dos Curvas y1 = f(x) e y2 = g(x)
Supóngase que el área que se va a calcular está entre las curvas y1 = f(x) e y2 = g(x) y
entre las rectas x = a y x = b, y que (para mayor precisión) f(x) g(x) para a x b .
dxxfxgAb
a
Nótese que esta fórmula incluye áreas negativas (con signos adecuados dentro del área
total comprendida entre las curvas.
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68
Si f(x) y g(x) se cortan en el intervalo [a, b]; se determina el punto –o puntos de corte- y
la función que es mayor en cada trozo . Los puntos de corte se hallan resolviendo el
sistema: y = f(x) ; y = g(x)
b
c
c
adxxfxgdxxgxfS
Ejemplo
Calcular el área limitada por el eje de abscisas y las curvas .
Solución
Al igual que en el ejemplo anterior tenemos:
Puntos de corten {
Ecuación de segundo grado cuyas dos soluciones son:
x = 2 y = 0
√
x= -1 y = 3
Adicionalmente, la curva corta al eje de abscisas en el punto: x= -2; y = 0
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69
Por tanto el área buscada será:
∫ ( ) *
+
* ( )
( )
( )
( )+=
∫ ( ) *
+
* ( )
( )
( )+
3.5 Teorema del cambio de variable
Para las integrales definidas, tenemos la siguiente formula de cambio de variable:
duufdxxgxgf
bg
ag
b
a '
Esta fórmula se verifica siempre que f y g’ sean ambas continuas. Para ser más precisos,
g’ ha de ser continua en un intervalo que una a y b, y f ha de ser continua en el
conjunto de los valores tomados por g.
Ejemplo: Evaluar:
5
1 12dx
x
xA
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70
Solución: Para calcular esta integral, sea 12 xu . Entonces
duudxu
xxu 2
112
22
Región antes de la sustitución
Antes de sustituir, cambiamos los límites de integración
superior e inferior.
Límite inferior Límite superior
Cuando x = 1, 112 u Cuando x = 5,
3110 u
Ahora, sustituimos y obtenemos
3
161
3
139
2
1
32
1
12
1
1
12
3
1
3
3
1
23
1
25
1
uu
duuduuu
udx
x
x
Región tras la sustitución
Nota. Geométricamente, podemos interpretar la ecuación
3
1
25
1 2
1
12du
udx
x
x
como que las dos regiones diferentes mostradas en las
Figuras tienen en el mismo área.
3.6 El Teorema del Valor Medio
Estamos familiarizados con el concepto de media de unos cuantos valores. Por ejemplo,
la media de las calificaciones de una asignatura sabemos que corresponde a la nota que
tendríamos “en el caso en que todas las calificaciones hubieran sido iguales”. Este
concepto lo podemos trasladar a funciones y nos queda de la siguiente forma:
Sea f una función definida en un intervalo [a, b], llamaremos valor medio o media
de f en [a, b] al valor:
dxxfab
b
a
1 (1)
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71
Para ver porqué llamamos a este el valor medio de f, supongamos que partimos [a,
b] en n subintervalos de igual longitud x=(b-a)/n. Si i es un punto cualquiera del
i-ésimo subintervalo, entonces el promedio aritmético (o media) de los valores de la
función en los i viene dado por
nn fffn
a 21
1Promedio de f( i ), ..., f ( n )
Multiplicando y dividiendo por (b - a), podemos expresar el promedio como
n
i
i
n
i
i
n
i
in xfabn
abf
abab
abf
na
111
111
Finalmente, haciendo el límite cuando n , obtenemos el valor promedio de f en
el intervalo [a, b] tal como aparece en (1).
Ejemplo:
Hallar el valor promedio de f(x) = 3x2 – 2x en el intervalo [1, 4].
Solución:
El valor promedio viene dado por:
163
48111664
3
1
3
123
3
11 4
1
234
1
2 xxdxxxdxxf
ab
b
a
Nota. En la Figura el área de la región es igual al área del rectángulo cuya altura es el
valor promedio.
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3.7 Ejercicios resueltos
1. Calcular el área encerrada entre las curvas .
Solución
Puntos de corte :
Ecuación de segundo grado cuyas dos soluciones son: x = 2 y = 0
√
x= -1 y = 3
∫ ( ) ∫ ( ) *
+
*
+
( )
( ) (
( )
( ))
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2. Calcular el área limitada por las curvas
Solución
Comenzamos hallando los puntos de corte:
)
2) Despejando la variable y de la segunda ecuación obtenemos:
,
Si sustituimos a continuación el resultado anterior en la primera ecuación
resulta: (
)
= 4x ( ) Obtenemos dos puntos de corte:
El área que queremos calcular será por tanto:
∫ (√
)
[ ⁄
]
3. Calcular el área A delimitada por la curva y las rectas , siendo .
Explicar como varía el área calculada A, en función de los distintos valores que
puede tomar el parámetro t.
Solución
La función dada , para los valores negativos de x es negativa, debemos
integrar dicha función entre los valores de y .
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74
Puesto que el resultado de esta integración será un número negativo, y la función que
mide el área debe ser positiva, debemos tomar valor absoluto o cambiar de signo, que
hace a la función positiva en el intervalo [ ].
Entonces se tiene ∫
,. integral por partes, para solucionarla realizamos
la identificación:
∫
Obteniéndose:
∫ *
∫
+
[
+
(
)
( )
( ( ))
Para se obtiene un valor de , y a medida que el valor de "se
desplaza" hacia la izquierda, el valor de aumenta.
4 Calcular el área limitada por las curvas ⁄ .
Solución:
Comenzamos hallando, dos a dos, los puntos de corte de las tres funciones:
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75
y = 0
( ) y = 1
( ) y = 0
y = 4
Una vez delimitado el recinto, podemos calcular su área:
∫ *
+ ∫ *
+ ∫
∫ ∫
*
+
*
+
*
+
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5 Calcular el área limitada por la curva: y la recta
Solución:
Puntos de corte
( ) 0
x = 2 y = - 2
√
x =
y = 1
M( ½, 1)
N( 2, -2)
Por tanto:
∫ √ √ ⁄
∫ ⁄ √
⁄
[ ⁄
⁄+
⁄
√
(
⁄ )
|∫ ( √
) |
| √ [
⁄
⁄]
|
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3.8 Ejercicios Propuestos
1. Calcúlese el área S comprendida entre la función , el eje de abscisas y las
rectas y .
Solución:
∫ [ ]
( )
2. Hállese el área del recinto del primer cuadrante limitado por el eje de las , la
parábola y la recta .
Solución:
∫ √
∫ ( ) *
( )
⁄ +
[
+
3. Determínese el área de la región limitada por las funciones:
para
Solución:
A = ∫ [( ) ( )] ∫ [ ( )]
4. Determínese el área del recinto cerrado que determinan las funciones:
Solución:
*∫ √
⁄
∫ √
⁄
+
5. Calcule el área comprendida entre la curva
y la recta .
Solución:
∫ ∫
[
+
[
+
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78
6. Calcule el área comprendida entre las curvas e
.
Solución:
∫ (
)
√
√
7. Halle el área limitada por la curva y la recta .
Solución:
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
8. Determinar el área limitada por la curva √ , el eje horizontal y las
rectas y .
Solución:
∫ √
∫ ( ) ⁄
9. Calcular el área limitada por el eje de abcisas y las curvas {
Solución:
∫ ( ) ∫ ( )
10. Calcular el área limitada por la curva , el eje de abscisas, y las
rectas .
Solución:
( )
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79
CAPÍTULO 4: INTEGRAL IMPROPIA
Las integrales impropias se utilizan, por ejemplo, en estadística teórica para calcular
funciones de distribución a partir de funciones de densidad. También surgen en otras
aplicaciones de ámbitos variados.
Se dice que la integral b
adxxf es una integral impropia, si el intervalo de integración
[a, b] es infinito, cuando la función subintegral f(x) no está acotada en algún o algunos
puntos de dicho intervalo, o cuando se dan ambos casos a la vez.
4.1 Integrales impropias de primera especie
Dada una integral impropia, diremos que lo es de primera especie si tiene infinito su
intervalo de integración. Por consiguiente:
dxxfdxxfdxxfb
a
son las tres formas en que pueden presentarse estas integrales.
De forma gráfica:
a b
adxxf
a b
b
dxxf
a c b
dxxf
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80
Definición de Integrales Impropias con límites de Integración Infinitos
1) Si f es continua en el intervalo [ ) entonces:
∫ ( ) ∫ ( )
2) Si f es continua en el intervalo ( ] entonces:
∫ ( )
∫ ( )
3) Si f es continua en el intervalo ( ) entonces:
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
donde c es cualquier número real
Nota
1) En cada caso si el límite existe, se dice que la integral impropia converge; de lo
contrario, la integral impropia diverge. Esto significa que en el tercer caso la
integral diverge si una cualquiera de las dos integrales de la derecha diverge.
2) Como los resultados que obtendremos en el intervalo [a, ] son análogos a los
del (-, b] (hágase el cambio x = -t), y puesto que
c
c
dxxfdxxfdxxf
limitaremos este estudio a la primera integral.
3) Dado que podemos dividir cualquier intervalo en zonas donde la función f(x) es
siempre no negativa o siempre no positiva, y puesto que si ( ) en [ ) podrá tomarse la determinación positiva mediante la relación
∫ ( )
∫ ( )
limitaremos nuestro estudio a integrales de funciones no negativas.
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81
4.1.1 Criterios de Convergencia
Estudiaremos las distintas formas de analizar la convergencia de una integral impropia.
1) Criterio de la Primitiva
Suponiendo que la función f tiene una primitiva F expresable mediante funciones
elementales, entonces el cálculo de la integral impropia se reduce a un sencillo cálculo
de límites.
Veámoslo:
Consideremos la integral impropia
a
dxxfI1
con f(x) acotada en el intervalo [a, ).
y escribamos
aFbFlímxFlímdxxflímdxxfIb
b
ab
b
aba
)(1 (1)
En estas condiciones diremos que la integral I1 es:
Convergente, si existe el límite (1) y éste es finito.
Divergente, cuando el límite (1) es infinito
Oscilante o que la integral no tiene sentido, si no existe dicho límite.
Ejemplo:
La distribución exponencial en estadística tiene como función de densidad, por
definición,
f(x) = e-x
(x 0; es una constante positiva)
Probar que el área bajo la gráfica de f en [0, ) vale 1.
Solución:
Para b > 0, el área bajo la gráfica de f sobre [0, b] es igual a
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82
100
bbx
bx eedxe
Cuando b se tiene que –e-b
+1 tiende a 1. Por tanto,
1100
b
b
bx
b
x elímdxelímdxe
El área A tiene base no acotada pero la altura tiende a 0 tan rápidamente que el área total
es 1.
................................................................................................
En el anterior ejercicio, dada la integral impropia de primera especie
0dxxf , hemos
calculado
00
dxxflímdxxfb
.
Este procedimiento no es aplicable en todos los casos, ya que necesitamos expresar el
segundo miembro como función de b, es decir es imprescindible el conocimiento de la
función primitiva, lo que no siempre es posible.
Los criterios de convergencia que a continuación formulamos consisten en condiciones
suficientes para establecer la convergencia o divergencia de una integral impropia sin la
necesidad de tener que calcular su resultado.
2) Criterios de Comparación
Criterio de comparación por mayorante
La idea de este criterio consiste en comparar el carácter de la integral de partida con el
de otra integral conocida.
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
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83
Sean las funciones f (función a estudiar) y g ( función que utilizamos para
comparar) integrables en cualquier intervalo [a, b], siendo b > a, entonces:
a) Si 0 f(x) g(x) para todo x a, y si dxxg
0 converge, entonces
dxxfa
también converge.
b) Si 0 g(x) f(x) para todo x a, y si dxxg
0 diverge, entonces
dxxfa
también diverge
De forma gráfica
Criterio de comparación mediante límite
Sean f(x) 0 y g(x) 0 (no negativas) para todo x a y ambas integrables en
cualquier intervalo [a, b], tales que:
Lxg
xflímx
Entonces se tiene que
Si L , las dos integrales
adxxg , dxxf
a
tienen el mismo carácter.
Si L = 0, y la integral
adxxg converge, entonces dxxf
a
converge también.
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
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84
La eficacia de los criterios analizados exige el conocimiento de algunas integrales cuyo
carácter esté ya establecido y que llamaremos integrales patrón. Entre este tipo de
integrales las principales son:
0 ,1
axa r
Calcularemos la primitiva de esta integral en un intervalo [a, b]
1 cuando1
1 cuandoln1
1
rr
x
rx
dxx
b
a
r
b
ab
a r
a) Para r = 1 calculamos el límite:
ablímdx
xlím
b
b
ablnln
1
por tanto, es divergente.
b) Para r 1
Diverge1 cuando
Converge1 cuando1
11
1
1
11
r
rr
a
r
a
r
blímdx
xlím
r
rr
b
b
a rb
dxea
tx
Igual que en el primer caso calcularemos la primitiva en un intervalo [a, b]:
Diverge0 cuando
Converge0 cuando1
11
11
t
tet
et
et
límdxelím
et
dxett
dxe
ta
tatb
b
b
a
tx
b
b
a
txb
a
txb
a
tx
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
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85
Ejemplos de Aplicación del criterio de comparación por mayorante
Ejemplo: Hallar el carácter de la integral,
2
3ln
1dx
x
Solución: Se compara xx
1con
ln
1 resultando:
xx
1
ln
1
Nota:
Gráficamente:
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86
La integral
2
3
1dx
xya sabemos que es divergente pues que r = 1, por lo tanto, como la
otra es mayor, aplicando el criterio de comparación por mayorante
2
3ln
1dx
x resulta
también divergente.
Ejemplo: Estudiar el carácter de la integral
0 1xe
dx
Solución:
La integral dxe
dxx
0 1 es convergente puesto que
xx ee
1
1
1
y al ser
0
xe
convergente se cumple que la integral dada converge cuando x .
Ejemplos de Aplicación del criterio de comparación mediante límite.
Ejemplo: Estudiar el carácter de la integral
0 1xe
dx
Solución:
Aplicando el criterio de comparación mediante límite, haciendo uso de la función
g(x) = e-x
tenemos:
1
1
11
x
x
xx
x
xx e
elím
e
elím
xg
xflím
y como dxe x
0 es convergente también lo es
0 1xe
dx
………………………………………………………………………….
Del criterio de convergencia mediante el límite y de la convergencia de la integral
a rx
1 se deduce el siguiente resultado:
Sea f: [a, +)R una función no negativa integrable en un intervalo cerrado [a, b], con
b a. Si existe una constante r >1 tal que
( )
Siendo l un número finito, entonces la integral impropia ∫ ( )
es convergente.
De igual forma si r y el límite l es no nulo, la integral será divergente.
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87
Ejemplo: Hallar el carácter de la siguiente integral:
2 4 1
dxx
x
Solución: Es divergente, ya que si multiplicamos la función subintegral por:
y calculamos el límite , obtenemos:
114
x
xxlím
x
4.2 Integrales impropias de segunda especie
Se dice que una integral impropia lo es de segunda especie si la función subintegral f(x)
no está acotada en algún o algunos puntos de su intervalo de integración.
Nota
Una función f es no acotada en un punto c si toma valores arbitariamente grandes en un
entorno de c.
La versión geométrica de este hecho es que la recta sea asíntota vertical a la
gráfica de la función.
4.2.1 Criterios de Convergencia
Dado que todos los conceptos y denominaciones son análogos a los anteriormente
vistos, haremos aquí un breve estudio de estas integrales, y por el mismo motivo que en
las de primera especie, limitaremos dicho estudio a integrales de funciones no negativas.
1) Criterio de la Primitiva
Suponiendo que la función f tiene una primitiva F expresable mediante funciones
elementales, entonces el cálculo de la integral impropia se reduce a un sencillo cálculo
de límites.
En el caso general de que f(x) no esté acotada en varios puntos c, d, ... [a, b],
particionando dicho intervalo en la forma
b
d
d
p
p
c
c
a
b
a
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
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88
lograremos reducir este estudio a integrales donde la función subintegral f(x) se hace
únicamente infinita, o en el extremo superior o en el inferior de cada intervalo.
Por consiguiente de la observación de la anterior gráfica, podemos escribir:
f (x) no acotada en el extremo superior del intervalo:
aFxFlímdxxflímdxxfAcx
x
acx
c
a
11
1
1
1
f (x) no acotada en el extremo inferior:
12111
xFbFlímdxxflímdxxfAdx
b
xdx
b
d
E igualmente diremos que la integral en cuestión es convergente, divergente, o no tiene
sentido; si el límite correspondiente existe y es finito, existe y es infinito, o no existe.
En el caso de que una integral I se particione en varias, siendo alguna de éstas
divergente, entonces se dará que la integral I también lo es.
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
89
Ejemplo: Analice la integral impropia
2
0 32
12
1dx
x
Solución: Esta integral impropia corresponde a la región sombreada en la figura
adjunta.
El integrando tiene una discontinuidad infinita en el punto 2
1c dentro del intervalo de
integración por lo que escribimos:
∫
( ) ⁄
∫
( ) ⁄ ∫
( ) ⁄
⁄
⁄
y analizando por separado las dos integrales impropias de la derecha.
Vemos entonces:
,
2
3112
2
3
122
3
12
1
12
1
31
31
21
0
31
210 32
21
21
0 32
tlím
xlímdxx
límdxx
t
t
t
t
t
y
33
13
1
21
2
31
21
2
32
21
2
21
32
32
3123
2
3
122
3
12
1
12
1
tlím
xlímdxx
límdxx
t
tttt
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
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90
por tanto:
32
0 32
312
3
12
1
dx
x
Así como para integrales impropias de primera especie hemos establecido criterios de
comparación para el estudio de la naturaleza de estas integrales en los casos en los que
no es posible hallar la función primitiva de las mismas, a continuación lo haremos
para integrales cuya única causa de impropiedad es la no acotación de la función
subintegral en el extremo superior o inferior del intervalo de integración , es decir
estableceremos criterios para el estudio de integrales impropias de segunda especie.
Consideramos por tanto la integral impropia: ∫ ( )
con ( ) no acotada en
el intervalo finito [ ], y localmente integrable.
2) Criterios de Comparación
Criterio de comparación por mayorante
Discontinuidad en : (extremo inferior del intervalo)
Sean las funciones f (función a estudiar) y g ( función que utilizamos para
comparar) ,localmente integrables ambas.
Entonces:
a) Si 0 f (x ) g (x) para todo a < x b, y dxxgb
a converge, entonces
dxxfb
a también converge.
b) Si 0 g (x ) f (x) para todo a < x b, y dxxgb
a diverge, entonces
dxxfb
a también diverge.
Discontinuidad en b: (extremo superior del intervalo)
Sean las funciones f (función a estudiar) y g ( función que utilizamos para
comparar) , localmente integrables ambas.
Entonces:
a) Si 0 f (x ) g (x) para todo a x <b, y dxxgb
a converge, entonces
dxxfb
a también converge.
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
91
b) Si 0 g (x ) f (x) para todo a x <b, y dxxgb
a diverge, entonces
dxxfb
a también diverge.
Criterio de comparación mediante límite
Discontinuidad en
Si f (x ) 0 y g (x) 0 para todo x tal que a < x b, y localmente integrables ambas ;
si se cumple que:
,Lxg
xflím
ax
entonces se tiene que:
Si L 0 las dos integrales dxxfb
a y dxxgb
a tienen el mismo carácter,
convergente o divergente ambas.
Si L 0 y la integral dxxgb
a es convergente, entonces también lo es dxxfb
a
Discontinuidad en
Si f (x ) 0 y g (x) 0 para todo x tal que a x b, y localmente integrables ambas ;
si se cumple que:
,Lxg
xflím
bx
entonces se tiene que:
Si L 0 las dos integrales dxxfb
a y dxxgb
a tienen el mismo carácter,
convergente o divergente ambas.
Si L 0 y la integral dxxgb
a es convergente, entonces también lo es dxxfb
a
También en este caso la eficacia de los criterios depende del conocimiento del alumno
de integrales de comparación (patrón). Veamos las más importantes:
Discontinuidad en a:(extremo inferior del intervalo)
dx
ax
b
a r
1
Para r = 1 calculamos el límite.
MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012
UNED
92
axablímdxax
límax
b
xax1lnln
1
111
,
por tanto es divergente.
Para r 1
Diverge1 cuando
Converge1 cuando1
11
1
1
1
1
1
111
r
rr
ab
r
ax
r
ablímdx
axlím
r
rr
ax
b
xax
por tanto,
Diverge 1 Si
Converge 1 Si
r
rdx
ax
xb
a r
Discontinuidad en b (extremo superior del intervalo):
dx
xb
b
a r
1
Calcularemos la primitiva de esta integral en un intervalo [a, x1]
Para r = 1 calculamos el límite.
abxblímdxxb
límbx
x
abxlnln
11
1
1
1
,
por tanto es divergente.
Para r 1
Diverge1 cuando
Converge1 cuando1
11
1
1
11
1
1
1
1
r
rr
ab
r
ab
r
xblímdx
xblím
r
rr
bx
x
a rbx
Por tanto
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Diverge 1 Si
Converge 1 Si
r
rdx
xb
xb
a r
Ejemplo de Aplicación del criterio de comparación por mayorante:
Para estudiar el carácter de
dxx
x
2
1 22
observemos que x [1, 2), x 1 y, por
tanto, 22
2
1
2 xx
x
Como
dxx
2
1 22
1 es divergente (r = 2 > 1) entonces, por el criterio de comparación,
dx
x
x
2
1 22
es divergente.
Ejemplo de Aplicación del criterio de comparación mediante el límite
Estudiar la naturaleza de la integral:
8
2 32
32 8xx
dxI
Se trata de una integral impropia de segunda especie; con una única causa de
impropiedad que es la no acotación de la función subintegral en x = 2.
Tomamos como integral patrón
8
2 2rg
x
dxI es decir;
rx
xg2
1
Calculamos
13
2 si ,
4·4
1
2
2·
2
1
22
2
8
2
21
81
34
322
342232222
32322
3232
2
r
x
xlím
xxlím
xxx
xlím
xx
xlím
x
xxlím
r
xx
r
x
r
xr
x
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94
Luego
8
2 32
2x
dxI g convergente y por tanto
8
2 32
32 8xx
dxI también es
convergente.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Sea la función ( ) , con , determínese el valor de k para que se
verifique que
∫
Solución: Realizamos el cálculo de la integral impropia:
∫
∫
∫ ( )
* ]
( )
Por tanto para cualquier valor de k, la integral dada vale 1
2. Demostrar que la integral impropia ∫
con , es convergente si
y divergente si es .
Solución: En el caso de que sea se tiene:
∫
∫
*
( ) ]
(
)
De donde se obtiene:
si
(
)
( ) . Convergente.
si
(
) . Divergente.
Por último:
si
∫
[ ]
. Divergente.
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3. Hallar el carácter de la integral: ∫
√
.
Solución:
Se trata de una integral impropia de segunda especie, puesto que la función
subintegral no está acotada en el punto x = 1, ya que se anula el denominador
para ese valor de la variable x.
Por otro lado, para todo ( ] se cumple que: , de donde:
; tomando raíces cuadradas en ambos lados: √ √ .
Y de aquí finalmente se concluye que:
√
√
Puesto que la integral ∫
√
es convergente, por ser del tipo ∫
( )
con r < 1 , por el criterio de comparación por mayorante, la integral dada es
convergente.
4. Determinar el valor del área del recinto comprendido por la función
( )
( ) y el eje de abscisas en el intervalo [ ].
Solución:
Calculamos en primer lugar una primitiva de la función ( )
( ) :
∫
( ) {
} ∫
Aplicando la definición de integral impropia de primera especie, se tiene que:
∫
( )
∫
( )
*
]
(
)
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96
Integral convergente.
5. Estudiar la convergencia de la integral: ∫
Solución:
El denominador sólo se anula en que no pertenece al intervalo de integración, por
lo que es una integral impropia de primera especie.
Descomponemos la integral dada en dos:
∫
∫
∫
Ambas integrales son convergentes pues en virtud del criterio de comparación por
mayorante:
Ya que como pudimos ver en el ejercicio 2, la integral ∫
es convergente cuando
,
Podíamos haber llegado al mismo resultado aplicando el criterio de comparación
mediante límite:
Al ser el numerador de primer grado y el denominador de grado tres, comparamos la
función subintegral dada con
, resultando:
( )
De modo que ambas integrales tienen el mismo carácter, y puesto que ∫
es
convergente, la integral pedida es convergente.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Estudiar la convergencia de la integral ∫
( )( )
Solución: Integral divergente
2. Estudiar la convergencia de la siguiente integral: ∫
Solución: Integral convergente; su valor es:
(
)
3. Estúdiese la convergencia de la integral: ∫
Solución: La integral es divergente.
4. Estudiar la convergencia de la integral: ∫
Solución: Integral convergente; su valor es: ( )⁄
5. Estudiar la convergencia de la integral: ∫
Solución: Integral divergente.
6. Hállese la convergencia de la integral ∫
Solución: Integral divergente
7. Estudiar la convergencia de la integral: ∫
Solución: Integral convergente; su valor es:
8. Estudiar la convergencia de la integral ∫
Solución: Integral convergente; su valor es:
9. Determinar el valor de C para que sea convergente la integral impropia:
∫ (
)
Hallar el valor de dicha integral.
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Solución: C=1/2; el valor de la integral dada es:
10. Estudiar la convergencia de la integral: ∫
Solución: Integral convergente; su valor es 1
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