calculo vectorial: examen parcial y solucionario 2008-1
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Universidad Nacional de Ingeniería P.A 2008 I Facultad de Ingeniería Mecánica 03/06/2008 Dpto de Ciencias Básicas y Humanidades MB148
Los Profesores 1
EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO VECTORIAL
Nombre:__________________________Código:________ Secc: ____ ***************************************************************************
PREGUNTA 1 Dada la siguiente función
=
≠+=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;2),( 44
22
yx
yxyx
yxyxf
a) Calcule las funciones D1f (x, y) y D2f (x, y) si es que existen.
b) ¿La función f es diferenciable en (0, 0)?
SOLUCION
a)
( )
=
≠+
−
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;44),( 244
256
1
yx
yxyx
yxyxyxfD
( )
=
≠+
−
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;44),( 244
526
2
yx
yxyx
yxyxyxfD
b) Primero veremos que pasa con la continuidad en (0, 0)
Consideremos el conjunto S: y = m x, ε R
( )
( )4
2
)0,0(),(
44
42
00),(
)0,0(),()0,0(),(
12),(lim
12lim),(lim),(lim),(lim
mmyxf
mxxmxmxfyxfyxf
yx
xxSyx
yxyx
+=
+===
→
→→∈→→
el Limite no es único (depende del valor de m) por tanto no existe.
La función no es continua en (0, 0).
La función no es diferenciable en (0, 0).
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Universidad Nacional de Ingeniería P.A 2008 I Facultad de Ingeniería Mecánica 03/06/2008 Dpto de Ciencias Básicas y Humanidades MB148
Los Profesores 2
PREGUNTA 2: Calcule la razón de cambio de f (x, y, z) = y2 + x z en el punto (2, 4, 8) siguiendo la dirección de la curva C: x = t, y = t2, z = t3. SOLUCION
Calculamos el gradiente de f en el punto (2, 4, 8)
)1,4,4(2)8,4,2(),2,(),,(
=∇=∇
fxyzzyxf
Considerando la curva ( )32 ,,)(: ttttC =r , para x = 2, y = 4, z = 2 se tiene t = 2.
( )
( )
)12,4,1(1611
)2()2(
161)2(;12,4,1)2(
3,2,1)( 2
=′′
=
=′=′
=′
rrU
rr
r ttt
El vector unitario U fija la dirección de la curva C
16164)8,4,2()8,4,2( =⋅∇= UffDU
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