cálculo de ceros de funciones de r n –> r n : supongamos una función que asigna una n-tupla a...

Cálculo de ceros de funciones de Rn–> Rn :

Supongamos una función que asigna una n-tupla a una n-tupla, es decir:

f : Rn → Rn

x → y = f (x )

donde:

x =(x1, x2, K , xn) con xi ∈Rv y =(y1, y2, K , yn) con yi ∈R

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ ∀i

Podemos entender la función de Rn en Rn como una función de n componentes, siendo cada una de esas n componentes una función de Rn en R:

yi = fi(x1, x2, K , xn) i =1, 2, K , n

fi : Rn → R

x → yi = fi(x )

donde:

Si queremos encontrar un cero de la función de Rn en Rn tendremos quebuscar una n-tupla (x1, x2, …, xn) de la siguiente forma:

f (x1, x2, K , xn) =(0, 0, K , 0) f (x ) =(0 )

Lo anterior es equivalente a resolver el siguiente sistema de n ecuaciones (que, pueden ser no lineales) con las n incognitas x1, x2, …, xn:

f1(x1, x2, K , xn) =0

f2(x1, x2, K , xn) =0

M

fn(x1, x2, K , xn) =0

⎫

⎬

⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪

↔fi(x1, x2, K , xn)=0

i =1, 2, K , n

Si las ecuaciones son lineales, el problema se puede solucionar con losprocedimientos usuales; por ejemplo, con la regla de Cramer si la matrizde los coeficientes es regular (es decir, si la solución existe y es única).

Cuando las ecuaciones no son todas lineales, vamos a ver unprocedimiento numérico, llamado método de Newton-Raphson, que nos va a permitir obtener soluciones numéricas aproximadas.

Método de Newton-Raphson: Este procedimiento se basa en la extensión del método de Newtonque vimos para funciones de R en R, para su aplicación en funciones deRn en Rn .

De la misma manera que en el método de Newton, en una dimensión, aproximábamos el comportamiento local de la función en un punto inicial adecuado, x0, truncando el desarrollo en la primera derivada:

f (x) ≅ f(x0)+f'(x0)(x −x0)

ahora en n dimensiones, aproximaremos las funciones, fi(x1, x2, …, xn) de Rn en R en una n-tupla inicial adecuada, (x10, x20, …, xn0) truncando eldesarrollo en las primeras derivadas parciales:

fi (x1, x2, K , xn) ≅ fi(x10, x20, K , xn0) +∂fi (x10, x20, K , xn0)

∂x1

x1 −x10( )+

+∂fi(x10, x20, K , xn0)

∂x2

x2 −x20( )+K∂fi(x10, x20, K , xn0)

∂xn

xn −xn0( )

Tomando las siguientes abreviaturas:

fi (x10, x20, K , xn0) =fi0∂fi(x10, x20, K , xn0)

∂xj

=∂ j fi0

nos queda que:

fi (x1, x2, K , xn) ≅ fi0 + ∂ jj=1

n

∑ fi0 xj −xj0( )

i =1, 2, K , n

que constituyen el siguiente sistema de n aproximaciones:

f1(x1, x2, K , xn) ≅ f10+ ∂ jj=1

n

∑ f10 xj −xj0( )

f2(x1, x2, K , xn) ≅ f20 + ∂ jj=1

n

∑ f20 xj −xj0( )

M

fn(x1, x2, K , xn) ≅fn0 + ∂ jj=1

n

∑ fn0 xj −xj0( )

⎫

⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

que se pueden escribir matricialmente del siguiente modo:

f (x ) ≅f (x 0)+J (x −x 0)

f (x ) =

f1(x1, x2, K , xn)

f2(x1, x2, K , xn)

M

fn(x1, x2, K , xn)

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

f (x 0) =

f1(x10, x20, K , xn0)

f2(x10, x20, K , xn0)

M

fn(x10, x20, K , xn0)

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

J =

∂1 f1 ∂2 f1 K ∂n f1∂1f2 ∂2 f2 K ∂n f2

M M M

∂1fn ∂2 fn K ∂n fn

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

x −x 0 =

x1 −x10

x2 −x20

M

xn −xn0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

y = f (x 0) +J (x −x 0)

Buscamos ahora una n-tupla, (x11, x21, …, xn1) para la que el hiperplanotangente a la función se anule:

y (x 1) =0 ↔ y

x11

x21

M

xn1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

=

0

0

M

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

v 0 = f (x 0)+J (x 1 −x 0)

Por tanto, la n-tupla (x11, x21, …, xn1) en la que el hiperplano tangente se hace cero es:

v 0 = f (x 0)+J (x 1 −x 0)

J (x 1 −x 0)=−f (x 0)

x 1 −x 0 =−J−1

f (x 0)

x 1 =x 0 −J−1

f (x 0)

x 1 =x 0 −J−1

f (x 0)

x 1 =

x11

x21

M

xn1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

x 0 =

x10

x20

M

xn0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

f (x 0) =

f1(x10, x20, K , xn0)

f2(x10, x20, K , xn0)

M

fn(x10, x20, K , xn0)

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

donde:

y donde J−1

es la matriz inversa de J ,

siendo J el jacobiano en el punto x 0

Es decir, partiendo de una n-tupla adecuada, (x10, x20, …, xn0),usamosla fórmula:

x 1 =x 0 −J−1

f (x 0)

para obtener otra n-tupla (x11, x21, …, xn1) más aproximada al cero de la función. Esta nueva n-tupla se puede usar como punto de partida para obtener otra n_tupla (x12, x22, …, xn2) que sea una mejor aproximación al cero mediante la siguiente expresión:

x 2 =x 1 −J−1

f (x 1)donde ahora, J

−1es la matriz inversa del jacobiano calculado en la

n-tupla x 1Así, mediante este proceso iterativo, nos iríamos aproximando al cero.

Partiendo del punto x = 1, y = 1/2, resolver el siguiente sistema:

senyx

−12

=0

lnxy+x =0

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

Lo anterior es equivalente a:

f1(x,y) =0

f2(x,y) =0

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ con

f1(x,y) =seny

x−

12

f2(x,y) =lnxy+x

f1(1,12

)=sen

12

1−

12

≅−0.0205745

f2(1,12

)=ln12

+1≅0.306853¡¡¡E

N RADIANES!!!

∂f1(x,y)∂x

=−senyx2 ;

∂f1(x,y)∂y

= cosy

x

∂f2(x,y)∂x

=1x

+1 ; ∂f2(x,y)

∂y=

1y

∂f1(1,12)

∂x=−

sen12

12 ; ∂f1(1,

12

)

∂y=

cos12

1

∂f2(1,12)

∂x=2 ;

∂f2(1,12)

∂y=2

∂f1(1,12)

∂x=−0.479426 ;

∂f1(1,12

)

∂y= 0.877583

∂f2(1,12)

∂x=2 ;

∂f2(1,12)

∂y=2

f1(x, y) ≅ f1(1, 12)+

∂f1(1, 12)

∂x(x−1)+

∂f1(1, 12)

∂y(y−

12)

f2(x, y) ≅f2(1, 12)+

∂f2(1, 12)

∂x(x−1)+

∂f2(1, 12)

∂y(y−

12)

⎫

⎬

⎪ ⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪ ⎪

0=−0.0205745−0.479426(x1 −1)+0.877583(y1 −12)

0=0.306853+2(x1 −1)+2(y1 −12)

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

Haciendo f1(x1,y1) = f2(x1,y1) = 0, se obtiene (x1,y1):

f1(x,y) ≅−0.0205745−0.479426(x−1)+0.877583(y−12)

f2(x,y)≅0.306853+2(x−1)+2(y−12)

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

0

0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

−0.0205745

0.306853

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +

−0.4794260.877583

2 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x1 −1

y1 −12

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

112

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ −

−0.479426 0.877583

2 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−1 −0.0205745

0.306853

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

1

0.5

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−2.714018

2 −0.877583

−2 −0.479426

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−0.0205745

0.306853

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

1

0.5

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +

−0.1143831

−0.0390433

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x 1 =x 0 −J−1

f (x 0)

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.8856169

0.4609566

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x1,y1)

f2(x1,y1)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.00225449

−0.0103053

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x 2 =x 1 −J−1

f (x 1)

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.8856169

0.4609566

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

−0.567124 1.0113

2.12916 2.1694

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−1 0.00225449

−0.0103053

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.8856169

0.4609566

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−3.3835383

2.1694 −1.0113

−2.12916 −0.567124

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

0.00225449

−0.0103053

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.8856169

0.4609566

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +

4.52557 10−3

3.08672 10−4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.8901424

0.4612652

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x2,y2)

f2(x2,y2)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

1.15004 10−5

−1.35593 10−5

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x 3 =x 2 −J−1

f (x 2)

x3

y3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.8901424

0.4612652

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

−0.567121 1.0061

2.12342 2.16795

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−11.15004 10−5

−1.35593 10−5

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x3

y3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.8901424

0.4612652

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−3.3541559

2.16795 −1.0061

−2.12342 −0.567121

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−11.15004 10−5

−1.35593 10−5

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x3

y3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.8901424

0.4612652

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +

1.150045 10−5

−5.0097 10−6

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x3

y3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.8901539

0.4612601

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x3,y3)

f2(x3,y3)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−8.99205 10−8

−1.96705 10−7

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Partiendo del punto x1 = 0.4, x2 = 3.0, encontrar los ceros de:

f1(x1,x2)=sen(x1x2)

2−

x2

4π−

x1

2

f2(x1,x2) = 1−1

4π

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ e2x1 −e( ) +

ex2π

−2ex1

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 1, y =1:

x−sen(x+y) =0

y−cos(x−y) =0

⎫ ⎬ ⎭

Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 3, y =1:

lnxy

−1=0

cos(xy)+1=0

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

Partiendo del punto x1 = 0.4, x2 = 3.0, encontrar los ceros de:

f1(x1,x2)=sen(x1x2)

2−

x2

4π−

x1

2

f2(x1,x2) = 1−1

4π

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ e2x1 −e( ) +

ex2π

−2ex1

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

f1(0.4,3.0) =0.0272871 ; f2(0.4,3.0) =−0.0323873

∂f1(x1,x2)∂x1

=x2 cosx1x2( )−1

2 ;

∂f1(x1,x2)∂x2

= −1

4π+

x1 cosx1x2( )2

∂f2(x1,x2)∂x1

=−2e+ 2−1

2π⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ e2x1 ;

∂f2(x1,x2)∂x2

=eπ

¡¡¡EN R

ADIANES!!!

x 1 =x 0 −J−1

f (x 0)

x11

x21

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.4

3.0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

0.0435366−0.00710592

−1.33969 0.8652559

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−1 0.0272871

−0.0323873

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x11

x21

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.4

3.0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

10.0281506

0.86525590.00710592

1.33969 0.0435366

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

0.0272871

−0.0323873

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x11

x21

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.4

3.0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

0.83054

1.24851

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x11

x21

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.43054

1.75149

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x11,x21)

f2(x11,x21)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.266422

1.74325

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x 2 =x 1 −J−1

f (x 1)

x12

x22

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.43054

1.75149

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

0.138329 −0.236487

−4.65843 0.8652559

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−1 −0.266422

1.74325

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x12

x22

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.24547

0.733166

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x12,x22)

f2(x12,x22)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.0251087

0.0302671

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x12

x22

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.43054

1.75149

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−0.981967

0.86525590.236487

4.65843 0.138329

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−0.266422

1.74325

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x12

x22

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.43054

1.75149

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

−0.18507

1.01833

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x 3 =x 2 −J−1

f (x 2)

x13

x23

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.24547

0.733166

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

−0.139338 −0.20033

−4.30987 0.8652559

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−1 −0.0251087

0.0302671

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x13

x23

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.261387

0.618901

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x13,x23)

f2(x13,x23)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

9.0893 10−4

2.81271 10−4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x13

x23

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.24547

0.733166

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−0.98396

0.8652559 0.20033

4.30987 −0.139338

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−0.0251087

0.0302671

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x13

x23

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.24547

0.733166

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

0.0159173

0.114265

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x 4 =x 3 −J−1

f (x 3)

x14

x24

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.261387

0.618901

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

−0.139338 −0.20033

−4.30987 0.8652559

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−19.0893 10−4

2.81271 10−4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x14

x24

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.260601

0.622525

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x14,x24)

f2(x14,x24)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

1.5572 10−6

2.32513 10−6

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x14

x24

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.261387

0.618901

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−1.07462

0.8652559 0.20033

4.30987 −0.139338

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

9.0893 10−4

2.81271 10−4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x14

x24

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−0.261387

0.618901

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

7.86436 10−4

3.62428 10−3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 1, y =1:

x−sen(x+y) =0

y−cos(x−y) =0

⎫ ⎬ ⎭

f1(x0,y0) =x0 −sen(x0 +y0) =0.0907026

f2(x0,y0) =y0 −cos(x0 −y0) =0¡¡¡E

N RADIANES!!!

∂f1(x,y)∂x

=1−cos(x +y) ; ∂f1(x,y)

∂y= −cos(x+y)

∂f2(x,y)∂x

=sen(x −y) ; ∂f2(x,y)

∂y=1−sen(x−y)

x 1 =x 0 −J−1

f (x 0)

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

1

1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1.41615 0.416147

0 1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−1 0.0907026

0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

1

1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

11.41615

1 −0.416147

0 1.41615

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

0.0907026

0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

1

1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

0.0640488

0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.935951

1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x1,y1)

f2(x1,y1)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

1.88267 10−3

2.05043 10−3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x 2 =x 1 −J−1

f (x 1)

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.935951

1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1.35709 0.357094

−0.06400511.06401

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−11.88267 10−3

2.05043 10−3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.935085

0.998021

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x2,y2)

f2(x2,y2)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

3.7834 10−6

6.17818 10−7

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.935951

1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

11.46881

1.06401 −0.357094

0.0640051 1.35709

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1.88267 10−3

2.05043 10−3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

0.935951

1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

8.66487 10−4

1.97921 10−3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 3, y =1:

lnxy

−1=0

cos(xy)+1=0

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

f1(x0,y0) =lnx0

y0

−1=0.0986123

f2(x0,y0) =cos(x0y0) +1=0.0100075¡¡¡EN R

ADIANES!!!

∂f1(x,y)∂x

=1x

; ∂f1(x,y)

∂y= −

1y

∂f2(x,y)∂x

=−ysen(xy) ; ∂f2(x,y)

∂y=−xsen(xy)

x 1 =x 0 −J−1

f (x 0)

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

3

1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1/ 3 −1

−0.14112 −0.42336

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−1 0.0986123

0.0100075

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.88754

1.06113

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x1,y1)

f2(x1,y1)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

1.07464 10−3

3.00565 10−3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

3

1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−0.28224

−0.42336 1

0.14112 1/3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

0.0986123

0.0100075

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x1

y1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

3

1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

0.112461

−0.0611253

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x 2 =x 1 −J−1

f (x 1)

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.88754

1.06113

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

0.346316 −0.942396

−0.0822099 −0.22371

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−11.07464 10−3

3.00565 10−3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.90427

1.06841

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x2,y2)

f2(x2,y2)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

6.76042 10−6

7.46225 10−4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.88754

1.06113

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−0.154949

−0.22371 0.942396

0.08220990.346316

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1.07464 10−3

3.00565 10−3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x2

y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.88754

1.06113

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

−0.0167288

−0.0072879

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x 3 =x 2 −J−1

f (x 2)

x3

y3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.90427

1.06841

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

0.344321 −0.935967

−0.0412675−0.112177

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−16.76042 10−6

7.46225 10−4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x3

y3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.9133

1.07174

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x3,y3)

f2(x3,y3)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.96337 10−6

1.86095 10−4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x3

y3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.90427

1.06841

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−0.0772501

−0.1121770.935967

0.04126750.344321

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

6.76042 10−6

7.46225 10−4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x3

y3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.90427

1.06841

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

−0.0090315

−0.0033297

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x 4 =x 3 −J−1

f (x 3)

x4

y4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.9133

1.07174

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

0.343253 −0.933062

−0.0206753−0.0562014

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−12.96337 10−6

1.86095 10−4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x4

y4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.9178

1.0734

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ →

f1(x2,y2)

f2(x2,y2)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

−1.2731 10−6

4.63309 10−5

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x4

y4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.9133

1.07174

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−0.0385826

−0.05620140.933062

0.0206753 0.343253

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2.96337 10−6

1.86095 10−4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

x4

y4

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

2.9133

1.07174

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

−0.0044961

−0.00165719

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟