calculo 1 virginio gomez
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D E P A R T A M E N T O
CÁLCULO I D E C I E N C I A S B Á S I C A S
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1
Indice
Contenido Página
Unidad Nº1: Números Reales
Números reales Intervalos reales Inecuacionesa) simples b) con paréntesis c) con denominador numérico d) Inecuaciones con denominador algebraico Valor absoluto Inecuaciones con valor absoluto
Unidad Nº2: Geometría Analítica
Sistema de Coordenadas en el plano Distancia entre dos puntos del plano 2
División de un trazo en una razón dada Pendiente entre dos puntos Línea recta Formas de la ecuación de la recta Tipos de rectas Distancia de un punto a una recta Cónicas Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola
Unidad Nº3: Límites y Continuidad
Concepto de límites de una función 95Teorema sobre límites 97Resolución algebraica de límites 98Límites laterales 05Límites infinitos 12Límites al infinito 117Asíntotas 2Continuidad de funciones reales 26
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Unidad Nº4: Derivadas
Derivada 3Interpretación de la derivada 39Reglas de derivación 40Regla de la cadena 5652rivación implícita 52Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas 56Derivación logarítmica 58Derivada de funciones trigonométricas 163Derivada de funciones trigonométricas inversas 167Derivada de orden superior 171Aplicación de la derivada:a) Gráficos de funciones continuas 176b) Gráficos de funciones discontinuas 186- Problemas de aplicación de máximos y/o mínimos 197- Problemas de variaciones relacionadas 03- Formas indeterminadas 10Autoevaluación por unidad 1
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UNIDAD 1: NUMEROS REALES.
Es el conjunto formado por todos los números cuya naturaleza sea natural , entera ,a b a b ™racional e irracional .a b a b ˆ El conjunto de los números reales está provisto de dos operaciones directas: adición ymultiplicación y dos operciones inversas: sustracción y división. Propiedades de la adición en ‘
a +ß ,ß - − se cumple:‘
1) Clausura: a +ß , − ß + , −‘ ‘ 2) Conmutativa: , a +ß , − + , œ , +‘
3) Asociativa: a +ß ,ß - − ß + , - œ + , -‘ a b a b 4) Elemento Neutro: 0 tal que :bx − a + − + ! œ ! + œ +‘ ‘
5) Elemento Inverso Aditivo: tal que bx + − + + œ + + œ !a b a b a b‘
Propiedades de la multiplicación en ‘
a +ß ,ß - − se cumple‘
1) Clausura: a +ß , − ß + † , −‘ ‘ 2) Conmutativa: , a +ß , − + † , œ , † +‘
3) Asociativa: a +ß ,ß - − ß + † , † - œ + † , † -‘ a b a b 4) Elemento Neutro: tal que :bx " − a + − + † " œ " † + œ +‘ ‘
5) Elemento Inverso Aditivo: tal que a + − ß + Á ! bx + œ −"
+‘ ‘"
+ † + œ + † + œ "" "
Existe otra propiedad que integra a ambas operaciones: la propiedad distributiva
a +ß ,ß - − ‘
a b a b a b+ , † - œ + † - , † -
+ † , - œ + † , + † -a b a b a b Las operaciones inversa de los números reales se definen de la siguiente forma:
Sustracción: + , œ + ,a b División:
+
,œ + † ,"
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El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, pues existe la relación de ordenmayor que que cumple con los siguientes axiomas denominados Axiomas de Orden.
1) Tricotomía: se cumple una, y sólo una de las siguientes relaciones:
2) Transitividad: ;
3) Adición: ;
4) Multiplicación: ;
Otras relaciones de orden son:
Mayor o igual que :
Menor que :
Menor o igual que :
Los símbolos denotan la existencia de desigualdades
Propiedades de las desigualdades
1) Transitiva: Si entonces
2) Aditiva: Si , entonces
3) Si , entonces
4) Si , entonces
5) Si , entonces
6) Si , entonces
7) Si y está entre y , entonces , es decir,
8) Si , entonces
Intervalos Reales
Es un conjunto infinito de números reales
Tipos de intervalos
1) Intervalo abierto:
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2) Intervalo semiabierto:
3) Intervalo cerrado
4) Otros intervalos reales infinitos
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es un número real}
Así,
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Ejemplos
1) Dibuje el intervalo que representa la expresión dada
2) Escriba la desigualdad que representa el intervalo dado
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Inecuaciones
Son desigualdades con una incógnita que se verifican para ciertos números reales. La solución deuna inecuación corresponde a un intervalo. Para resolver una inecuación se procede en forma similar a los procedimientos usados en laresolución de ecuaciones, pero considerando las propiedades de las desigualdades.
a) Inecuaciones simples
Sol: Sol:
Sol: Sol:
b) Inecuaciones con paréntesis
se elimina paréntesis se reducen términos semejantes
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Sol: Sol:
se resuelven los productos se reducen términos semejantes
Sol: Sol:
c) Inecuaciones con denominador numérico
MCM
se resuelven los productos se reducen términos semejantes
Sol: Sol:
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MCM
se resuelven los productos se reducen términos semejantes
Sol: Sol:
Ejercicios Propuestos
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Solución
Sol =
Sol
Sol =
Sol
Sol =
Sol
Sol =
Sol
Sol =
Sol
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d) Inecuaciones con denominador algebraico
Para resolver este tipo de inecuaciones se empleará el método denominado .EsteTabla Francesamétodo consiste en confeccionar una tabla que resume la información de la inecuación a resolver. Para ellose deben realizar los siguientes pasos: 1) Dejar todas las expresiones algebraicas de la inecuación al lado izquierdo del símbolo de ladesigualdad, de modo que al lado derecho sólo quede cero. 2) Reducir a una sola fracción las expresiones del lado izquierdo de la desigualdad 3) Por separado, igualar a cero la expresión resultante del numerador y la del denominador. 4) Con los valores encontrados en (3) se construye una tabla de la siguiente forma
valor1 valor1 valor1,valor2 valor2 valor2,expresión del numeradorexpresión del denominadorfracción
5) Llenar la tabla sólo con signos más o menos o ceros . El proceso consiste encolocar cero en el casillero del valor que anula la expresión del numerador como también colocar cero en elcasillero del valor que anula la expresión del denominador, el resto de los casilleros se rellenarán consignos más o signos menos. Para la línea correspondiente a la expresión del numerador se elige un númeroa la izquierda o a la derecha del valor que anula la expresión del numerador y se reemplaza en estaexpresión. Si el número elegido da una evaluación positiva y está a la derecha(izquierda) del valor queanula al numerador, entonces en la tabla todos los casilleros a la derecha(izquierda) del valor que anula alnumerador se rellenarán con signo más y los que están a la izquierda(derecha) se rellenarán con signomenos. Se repite el mismo proceso para la línea que corresponde a la expresión del denominador. Luegopara la línea que corresponde a la fracción se usa la ley de los signos referente al signo del numerador conel signo del denominador, en esta línea está la solución de la inecuación. Si el problema consiste en encontrar todos los valores mayores que cero, entonces habrá queconsiderar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo más.(intervalos abiertos) Si el problema consiste en encontrar todos los valores menores que cero, entonces habrá queconsiderar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo menos.(intervalos abiertos) Si el problema consiste en encontrar todos los valores mayores o iguales a cero, entonces habráque considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo más.(intervalos cerrados) Si el problema consiste en encontrar todos los valores menores o iguales a cero, entonces habráque considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo menos.(intervalos cerrados)
En el caso de los intervalos cerrados habrá que considerar si los extremos de cada intervalo noindeterminan la inecuación.
Ejemplos
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Sol:
Sol:
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4
Sol
Sol:
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Otros casos donde es posible aplicar la tabla francesa
factorizando
(
Sol:
Sol: ]
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Sol:
Ejercicios Propuestos
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11) En un experimento químico, una solución de ácido clorhídrico se va a mantener entre ºC yºC; es decir, C . ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Fahrenheit si la fórmula de
conversión Celsius/Fahrenheit es C F ?
12) Un rollo fotográfico se va a mantener entre ºF y ºF; es decir, F . ¿Cuál es elrango de temperatura en grados Celsius si la fórmula de conversión Celsius/Fahrenheit esF C+ ?
13) En 1984, al perforar el pozo más profundo del mundo, los soviéticos encontraron que latemperatura a " " kilómetros de profundidad de la Tierra estaba dada por
donde es la temperatura en grados Celsius. ¿A qué profundidad la temperatura estará entre y ºC en total?
14) Una compañía electrónica está planeando comercializar una nueva calculadora gráfica. Loscostos fijos son de $ y los variables de $ por calculadora. El precio de la calculadora almayoreo será de $ . Es evidente que para que la compañía obtenga utilidades los ingresos debenser superiores a los costos.
a) ¿Cuántas calculadoras se deben vender para que la compañía obtenga utilidades? b) ¿Cuántas calculadoras tendría que vender para llegar al punto de equilibrio?
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Solución
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
11) El rango de la temperatura es de º a º en total.
12) El rango de la temperatura es de º a º en total.
13) A una profundidad entre Km y Km.
14) a) La compañía debe vender más de calculadoras para tener utilidades.
b) Para llegar al punto de equilibrio, la compañía debe vender calculadoras.
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Valor Absoluto
Es una función que determina de cada número sólo su valor como cantidad. Su Símbolo es . Sedefine de la siguiente forma:
sisi
Geométricamente, el valor absoluto mide distancias. El valor absoluto de un número cualquieramide la cantidad de unidades de este número con respecto a cero. El valor absoluto entre dos números midela cantidad de unidades entre estos dos números.
Propiedades del valor absoluto
Sean , entonces
con
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Ejemplos de ecuaciones
Sol:
Sol:
VIR
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Ejemplos de inecuaciones
En este caso la solución de la inecuación es la intersección de los dos intervalos.
Así, Sol
En este caso la solución de la inecuación es la unión de los dos intervalos.
Así, Sol: , que también se puede escribir como:
VIR
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Tabla para
Sol:
Tabla para
Sol:
En este caso la solución de la inecuación es la intersección de los dos intervalos.
Así, Sol:
VIR
GIN
IO G
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Tabla para
Sol:
Tabla para
Sol:
En este caso la solución de la inecuación es la unión de los dos intervalos.
Así, Sol: , que también se puede
escribir como:
VIR
GIN
IO G
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Tabla para
Sol:
Tabla para
Sol:
En este caso la solución de la inecuación es la intersección de los dos intervalos.
Así, Sol:
VIR
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Ejercicios Propuestos
La producción diaria en una planta ensambladora de automóviles está dentro de unidades deunidades. Exprese la producción diaria como una desigualdad de valores absolutos.
En un proceso químico, la temperatura se conserva entre los ºC y los ºC. Exprese estarestricción como una desigualdad de valores absolutos.
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Solución
Sol
Sol = ,
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol = 1
9)
10)
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UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA.
Sistema de coordenadas en el plano
Está formado por dos ejes perpendiculares, con origenes comunes y graduados con la mismaunidad de longitud. Estos ejes perpendiculares vividen al plano en cuatro regiones iguales denominadas2
cuadrantes. El eje horizontal se denomina y el eje vertical recibe el nombre de eje de las abscisas X ejede las ordenadas Y
Los elementos de este sistema se denominan pares ordenados. Cada par ordenado tiene un ordenestablecido, la primera componente del par es una abscisa y la segunda componente del par es unaordenada, es decir, .
Propiedades
1) Todos los puntos del eje X tienen ordenada nula, es decir, Eje X
2) Todos los puntos del eje Y tienen abscisa nula, es decir, Eje Y
3) En el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas existen cuatro cuadrantes
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C1
C
C
C
Distancia entre dos puntos del plano 2
Sean A y B dos puntos del plano.
AC BC AB
AB AC BCPor Teorema de Pitágoras
Así, si A y B son dos puntos del plano, entonces la distancia entre A y B, denotadapor A B es
A,B
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Ejemplos
Calcular la distancia entre el punto A y B
A,B
Los vértices de un cuadrilátero son A B C y D Calcular superímetro.
P A,B B,C C,D D,A
A,B
B,C
C,D
D,A
P A,B B,C C,D D,A
Determine el valor de en A de modo que A,B con B
A,B
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División de un trazo en una razón dada
Sea P un punto del plano que divide al trazo P P en una cierta razón k, es decir,1 2 P P
PPk1
2 Se obtendrán las coordenadas del punto P en función de los puntos dados P y P .1 2
P SP PRP1 2
P S P P
PR PP1 1
2
con
De igual forma
SP P P RP PP
1
2
con
Por lo tanto, las coordenadas del punto P son: P ,
Si P es el punto medio del trazo P P , entonces 1, así k P P
PP1 21
2
Luego, P ,2 2
Si P es un punto que queda fuera del trazo P P , entonces k es negativo.1 2
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Ejemplos
1) El punto medio de un trazo es y uno de los extremos es Determinar el otro extremo
2 2,
El otro punto es
2) Los extremos de un trazo son los puntos A y B . Hallar la razón k en que el puntoC divide al trazo.
,
Luego, no existe el valor de , por lo tanto el punto C no divide al trazo.
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Pendiente entre dos puntos
Sean A y B dos puntos del plano
La razón se denomina , se simboliza por y representa el grado deCBAC
pendiente
inclinación del trazo AB con el eje X. El ángulo se mide desde el eje X al trazo
Así, si A y B son dos puntos del plano, entonces la pendiente entre A y B es
La pendiente es el valor de la tangente trigonométrica del ángulo , es decir,
Propiedades de la pendiente
1) Si , entonces es un ángulo agudo.
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) Si , entonces es un ángulo obtuso
) Si , entonces es un ángulo nulo
Y
X
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) Si no está definida, entonces es un ángulo recto
Ejemplo
Determine la pendiente entre los puntos A y B, B y C, C y D, D y E siA ; B ; C ; D y E
AB es un ángulo recto
BC es un ángulo obtuso
CD es un ángulo nulo
DE es un ángulo agudo
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Línea recta
Una recta en es un conjunto de pares ordenados que tienen la característica que cualquier2
pareja de puntos distintos tienen la misma pendiente. Para determinar la ecuación de una recta existen dos formas
a) Se conocen dos puntos de ella
Sean A y B dos puntos conocidos de una recta y sea P un punto cualquierade ella
A(x1,y1)
B(x2,y2)
P(x,y)
Y
X
AP AB
AP AB
AP AB
Luego, si A y B dos puntos conocidos de una recta , entonces su ecuación es
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b) Si se conoce un punto y su pendiente
Sea A un punto conocido de la recta, P un punto cualquiera y su pendiente
AP
Luego, si A es un punto conocido de una recta y su pendiente, entonces su ecuaciónes
Ejemplos
1) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B
2) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto A y tiene pendiente
Ejercicios Propuestos
En cada uno de los ejercicios propuestos grafíque cada caso:
1) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos :
a) b)
c)
2) Determine la ecuación de la recta que pasa por:
a) El punto y tiene pendiente b) El punto y pendiente 25
c) El punto y tiene pendiente
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Solución:
1)
a) b) c)
2)
a) b) c)
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Propiedades
a) Toda recta paralela al eje X tiene por ecuación .
Y
X
y = aa
b) Toda recta paralela al eje Y tiene por ecuación .
Y
X
x = a
a
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Formas de la ecuación de la recta
a) Forma general
De se tiene
Si A B y C , entonces
es la Ecuación General de la recta con A 0 B 0A B C
b) Forma principal
De se tiene
Si , entonces
es la Ecuación Principal de la recta.
b se denomina y equivale a la ordenada del punto de intersección de lacoeficiente de posiciónrecta con el eje Y
Y
X
b
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c) Ecuación de segmento
Sea A y B 0 los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados, entonces
es la Ecuación de Segmento de la recta
Ejemplos
Determinar en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si
a) pasa por A y B
Ecuación general: Ecuación principal:
Ecuación de segmento:
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b) Tiene pendiente y pasa por el punto A
Ecuación general: Ecuación principal:
Ecuación de segmento:
c) corta al eje X en 2 y al eje Y en 3
Ecuación general: Ecuación de segmento:
Ecuación principal:
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Ejercicios Propuestos
1) Determine y grafique en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta sipasa por los puntos:
a) 2, 3
b) 2 0 0 4
c) -1 3 5 1
2) Determine y grafique en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si:
a) Pasa por el punto y tiene pendiente
b) Pasa por el punto y tiene pendiente
c) Pasa por el punto y tiene pendiente
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Solución:
1)
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2)
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Tipos de Rectas
Sean L : 1
y L , entonces,2
a L es secante a L si , y sólo si L L1 2 1 2
b) L es paralela a L L L si, y sólo si 1 2 1 2
Y
X
L1 : y = m1 x+ n1
L2 : y = m2 x+ n2
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c) L es perpendicular a L L L si, y sólo si 1 2 1 2
Ejemplos
1) Determine el punto de intersección de las rectas
Para determinar el punto de intersección de las dos rectas, sólo se debe resolver un sistema de ecuaciones.
/
Luego el punto de intersección de las rectas es el punto
2) Decida si las siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares
L1 L
En L , se tiene, Luego, 1 L
En L , se tiene, Luego, L
Como , entonces L LL L 1 2
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L1 L
En L , se tiene, 1
Luego, L
En L , se tiene,
Luego, L
Como , entonces L LL L 1 2
3) Determine la ecuación de la recta que pasa por y es
a) paralela con la recta Lb) perpendicular con la recta L
a) Para encontrar la ecuación de la recta buscada se debe conocer la pendiente de la recta L . Además,1como la recta buscada debe ser paralela con L , entonces sus pendientes son las mismas.1
Luego la pendiente de L . Por lo tanto, la pendiente de la recta buscada es 1
Su ecuación es:
Así, la recta es paralela con L .1
Para encontrar la ecuación de la recta buscada se debe conocer la pendiente de la recta L . Además,como la recta buscada debe ser perpendicular con L , entonces el producto de sus pendientes debe ser igual2a .
Luego la pendiente de L . Por lo tanto, la pendiente de la recta buscada es 1
Su ecuación es:
Así, la recta es perpendicular con L .2
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4) Determine el valor de en para que la recta
a) pase por el punto b) sea paralela a la recta Lc) sea perpendicular a la recta L
a) Para que el punto pertenezca a la recta se debe reemplazar en la recta por e por y resolver la ecuación resultante para Si la ecuación tiene solución, entonces el puntopertenece a la recta, de lo contrario, si la ecuación no tiene solución, entonces el punto no pertenece a larecta.
Luego, la recta es
b) Para que la recta sea paralela con L sus pendientes deben seriguales.
la pendiente de esta recta es
la pendiente de la recta L es
así,
Luego, la recta es
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c) Para que la recta sea perpendicular con Lel producto de sus pendientes debe ser igual a .
la pendiente de esta recta es
la pendiente de la recta L es
así,
Luego, la recta es:
Distancia de un punto a una recta
Sea L : y P un punto que no pertenece a la recta1
la distancia , desde a la línea recta y denotada por es :
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Ejemplos:
1) Determinar la distancia que existe desde el punto a la recta L
L
L
L
L
2) Determinar la distancia que existe entre las rectas
L1
L
Como L es paralela con L , L L , basta elegir un punto en la recta L o en la recta L y1 2 1 2 1 2calcular la distancia de este punto a la otra recta. Para este ejemplo se elegirá un punto de la recta L ,A y se calculará la distancia de este1punto a la recta L2
L2
L
L
L
Luego la distancia entre las rectas L y L es unidades1 2
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Ejercicios Propuestos
1) Los vértices de un triángulo son:
Determinar y graficar:
a) Ecuación de sus lados en forma principal y general b) Perímetro del triángulo ABC c) Ecuación de las transversales de gravedad d) Ecuación de las alturas e) Ecuación de las medianas f) Area de triángulo ABC
2) Determinar el valor del parámetro k:
a) para que el triángulo de vértices A sea rectángulo en C. b) Para que la recta que pasa por los puntos A y sea perpendicular a la recta que pasa por C y D c) Para que la recta L sea paralela L1 2
Hallar el valor de k para que la recta sea:
a) paralela a la recta b perpendicular a la recta c) pase por el punto
Hallar la distancia del punto P a la recta L
5) Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta y que distan de ella.
6) Un departamento de policía ha averiguado que el número de crímenes o delitos graves queocurren por semana es una función del número de oficiales asignados a la vigilancia preventiva.La función matemática es: donde es el número de crímenes porsemana y indica el número de oficiales asignados a la vigilancia preventiva.
a) ¿Cuál es el número esperado de crímenes si 250 oficiales son asignados a la vigilanciapreventiva?
b) ¿Cuántos oficiales habría que asignar si se quisiera reducir a 500 el nivel semanal de crímenes? c) ¿Cuántos oficiales habría que asignar para reducir a cero el nivel semanal de crímenes?
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53
7 La utilidad total de plantar acres en la granja se expresa en la función:
a) ¿Cuál es la utilidad total si en la granja se plantan acres y en la granja se plantan acres?
b) Si en la granja se plantaron acres ¿Cúal debe ser la mínima cantidad de acres plantadosen la granja para que exista utilidad?
c) Identifique una combinación de plantaciones que produzcan una utilidad de cero.
8) Hallar los valores de tales que la distancia de a la recta es
9) Hallar los valores de tales que la recta determine, con los ejes coordenados, untriángulo de área 6.
10) Hallar el punto de la recta que equidista de y
VIR
GIN
IO G
OM
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54
Solución:
1)
b) Perímetro =
c) Ecuación de las transversales de gravedad
VIR
GIN
IO G
OM
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55
d) Ecuación de las alturas
e) Ecuación de las medianas:
f) Area ABC 14
a) b) c)
3) a)
b)
c)
4) Distancia = 145
VIR
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IO G
OM
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56
5)
6) a) crímenes b) oficiales c) oficiales
7) a) $ b) acres c) Granja acres Granja acres.
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
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57
Cónicas
:Lugar Geométrico
El lugar geométrico de una ecuación es una curva que contiene aquellos puntos y sólo aquellospuntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.
Las secciones cónicas se llaman así porque todas ellas son secciones planas de un cono circularrecto. Una puede formarse cortando un cono perpendicular a su eje, una se producecircunferencia elipsecuando el corte del cono es oblicuo al eje y a la superficie, se produce una cuando el cono eshipérbolaintersectado por un plano paralelo al eje, y resulta una cuando el plano de intersección es paraleloparábolaa un elemento de la superficie.
Es decir, a la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola se les llama frecuentemente seccionescónicas porque todas ellas pueden obtenerse como secciones de un cono recto circular al ser cortados porplanos. Se entenderá que el cono se extiende indefinidamente a ambos lados de su vértice. Cada conosituado a un lado del vértice se denomina hoja de cono.
Cuando la curva producida cortando el cono se refiere a un sistema de coordenadas se definirá unasección cónica como:
"Una es el lugar geométrico de un punto que se mueve de modo que su distanciasección cónicadesde un punto fijo es una relación constante respecto de su distancia a una línea fija. El punto fijo sedenomina y la línea fija se llama ."foco directriz
Recta L1
Recta L2
y
x
z
Recta L2Generatriz
Mantosuperior
MantoInferior
Vértice
Recta L2Generatriz
Hojas decono
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Circunferencia Elipse
Parábola Hipérbola
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IO G
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Circunferencia
Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es constante.El punto fijo se llama y la distancia fija centro radio.
Sea el centro de la circunferencia, un punto de la circunferencia y el radio,entonces
es la ecuación reducida de la circunferencia
Si entonces la ecuación de la circunfrerncia es
que se conoce como ecuación canónica de la circunferencia
x
y
P (x , y)
C (0,0)
r
r : Radio C( 0,0 ) : Centro de la x2 + y2 = r2
- r r
- r
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IO G
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60
Ejemplo
1) Determine la ecuación de la circunferencia si
a) C
b) C
c) C
d) C
2) Obtener el centro y el radio de la circunferencia si su ecuación es
a C
b C
c C
d C
De la ecuación reducida se tiene
Si C D E entonces es laecuación general de la circunferencia que también se puede expresar de la forma:
, con
Ejemplos
1) Dada la ecuación de la circunferencia, determine su centro y su radio.
Para encontrar la ecuación de la circunferencia reducida dada la ecuación general de lacircunferencia se debe realizar el proceso de completación de cuadrado de binomio.
C
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IO G
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61
C
2) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A y B y tiene sucentro en la recta
Sea C el centro de la circunferencia, entonces
a) A,C B,C y b) C
A,C B,C
C
De y se tiene el siguiente sistema
donde Así C
o
Luego la ecuación de la circunferencia es
VIR
GIN
IO G
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62
Ejercicios Propuestos
1) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en y que es tangente al eje .
2) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en 3 2 y que es tangente al eje .
3) Una circunferencia pasa por los puntos y , y su centro está sobre la recta. Hallar su ecuación.
4) Una cuerda de la circunferencia está sobre la recta cuya ecuación es. Hallar la longitud de la cuerda.
5) Obtener la ecuación de la circunferencia si tiene centro en el punto , y es tangente a larecta que contiene los puntos y .
6) Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos y
7) ¿Para qué valores de pasa el círculo por el punto ?
8) Hallar el valor de tal que sea la ecuación de un círculo de radio 5
9) Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferenciay tangente a la recta
10) Hallar la ecuación de las circunferencias de radio tangentes a la circunferencia en el punto
VIR
GIN
IO G
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63
Solución:
1)
2)
3)
4) Longitud cuerda :
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
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IO G
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64
Parábola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado y defocouna recta fija llamada directriz.
Si es el foco de la parábola es la ecuación de su directriz y es unpunto de ella, entonces
es la ecuación canónica de la parábola
El punto se denomina , la recta se llama vértice de la parábola eje de simetría de laparábola. lado recto El trazo perpendicular al eje de la parábola y que pasa por el foco se denomina y sulongitud es
Si , entonces la curva queda situada sobre el eje X, es no negativa y simétrica respecto al eje Y. Si , entonces la curva queda situada bajo el eje X, es no positiva y simétrica respecto al ejeY. Si es el foco de la parábola es la ecuación de su directriz y es unpunto de ella, entonces su ecuación canónica es
VIR
GIN
IO G
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65
Vértice Foco Directriz Eje de simetría Long. lado recto
Si , entonces la curva queda situada a la derecha del eje Y y es simétrica respecto al eje X.
Si , entonces la curva queda situada a la izquierda del eje Y y es simétrica respecto al eje X.
Ejemplo
Determine vértice, foco, directriz, longitud del lado recto, eje de la parábola y gráfico en
Vértice Foco Directriz Eje de simetría Long. lado recto
VIR
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IO G
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66
Vértice
Foco
Directriz
Eje de simetría
Long. lado recto
VIR
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IO G
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67
Si es el vértice y el eje de simetría de la parábola es paralelo al eje Y, entonces
Ecuación Vértice Foco Directriz Eje de simetría Long. l. recto
Si , entonces la curva es cóncava hacia arriba.
Si , entonces la curva es cóncava hacia abajo.
VIR
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68
Si es el vértice y el eje de simetría de la parábola es paralelo al eje X, entonces
Ecuación Vértice Foco Directriz Eje de simetría Long. l. recto
Si , entonces la curva es abierta hacia la derecha.
Si , entonces la curva es abierta hacia la izquierda.
La ecuación general de la parábola es
ó
VIR
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IO G
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69
Ejemplo
Determine vértice, foco, directriz, longitud del lado recto, eje de la parábola y gráfico en
Vértice
Foco
Directriz
Eje de simetría
Long. l. recto
VIR
GIN
IO G
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70
Vértice
Foco
Directriz
Eje de simetría
Long. l. recto
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71
Ejercicios Propuestos
1) Hallar el vértice, foco, directriz, longitud del lado recto y gráfico de: a) b) c)
2) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos y respectivamente. Hallar además la ecuación de su directriz y la longitud del lado recto.
3) Hallar la ecuación de la parábola de foco en el punto y directriz la recta
4) Dada la parábola de ecuación hallar las coordenadas del vértice, del focoy la ecuación de la directriz.
5) Determinar la ecuación de la parabola con vértice en el punto y directriz
6) Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje como eje de simetría y quecontenga al punto
7) Determinar la ecuación de la parábola con vértice en eje de simetría paralelo al eje ,contiene al punto
8) Hallar la ecuación de la parábola con eje de simetría paralelo al eje X, que contiene los puntos
9) Si el lado recto de una parábola es el segmento que une con , determinar la ecuaciónrespectiva si la parábola pasa por el punto
10) Si una parábola pasa por los puntos y , con eje de simetría vertical y vértice sobre larecta , determinar su ecuación.
VIR
GIN
IO G
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72
Solución:
1) a) Vértice:
Foco:
Directriz:
Long lado recto:
b) Vértice:
Foco: 0, 16
Directriz:
Long lado recto:
VIR
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IO G
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73
c) Vértice:
Foco:
Directriz:
Long lado recto:
VIR
GIN
IO G
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74
2) Ecuación:
Directriz:
Long lado recto:
3) Ecuación:
4) Vértice:
Foco:
Directriz:
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
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75
Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos esconstante. Los puntos fijos de llaman y la distancia constante se designa por focos
Sean y los focos, la distancia constante y un punto de la elipse,entonces
pero
así
es la ecuación canónica de la elipse
Si entonces
Si entonces
Los puntos y se denominan y los puntos yvértices del eje mayor se llaman Los focos y quedan siempre ubicados sobre el ejevértices del eje menor.
mayor.
VIR
GIN
IO G
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76
La longitud del eje mayor es , la longitud del eje menor es y la longitud del eje focal es .
La razón se denomina excentricidad y señala el grado de mayor o menor alargamiento dela elipse.
Como , entonces
Si los focos de la elipse son y y la distancia constante es , entonces suecuación es:
Centro :
Vértices eje mayor :
Vértices eje menor : ;
Focos :
Excentricidad :
VIR
GIN
IO G
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77
Ejemplo
Determine centro, vértices del eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de
Centro :
Vértices eje mayor :
Vértices eje menor : ;
Focos :
Excentricidad :
VIR
GIN
IO G
OM
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78
Centro :
Vértices eje mayor :
Vértices eje menor : ;
Focos :
Excentricidad :
VIR
GIN
IO G
OM
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79
Si es el centro de la elipse y el eje focal es paralelo al eje X, entonces la ecuaciónreducida es
Centro :
Vértices eje mayor : ;
Vértices eje menor : ;
Focos :
Excentricidad :
VIR
GIN
IO G
OM
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80
Si es el centro de la elipse y el eje focal es paralelo al eje Y, entonces la ecuaciónreducida es
Centro :
Vértices eje mayor :
Vértices eje menor : ;
Focos :
Excentricidad :
La forma general de la ecuación de la elipse es
con
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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81
Ejemplo
Determine centro, vértices del eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de
Centro :
Vértices eje mayor : ;
Vértices eje menor : ;
Focos :
Excentricidad :
VIR
GIN
IO G
OM
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82
Centro :
Vértices eje mayor : ;
Vértices eje menor : ;
Focos :
Excentricidad :
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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83
Ejercicios Propuestos
1) Determine centro, vértices eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de la elipse
2) Determine en cada caso centro, vértices eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de laelipse:
a)
b)
3) Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos , y cuyos focosson los puntos y .
4) En cada caso determine la ecuación de la elipse centrada el el origen sabiendo que: a) Un foco es el punto y el vértice el punto
b) Un foco es y un vértice es
c) Un foco es y la excentricidad es
d) Un foco es y el semieje mayor es de longitud
e) Contiene los puntos y y el eje mayor está en el eje Y
5) Determine la ecuación de la elipse si:
a) Tiene centro en el punto foco en y contiene el punto
b) Tiene vértice en , centro en y excentricidad
c) Contiene al punto y foco en
d) Focos en y el semieje menor es de longitud 12.
VIR
GIN
IO G
OM
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84
Solución:
1) Centro:
Vértices eje mayor:
Vértices eje menor:
Focos: 1
Excentricidad:
2) a)
Centro:
Vértices eje mayor:
Vértices eje menor:
Focos: 1
Excentricidad:
VIR
GIN
IO G
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85
2) b) Centro:
Vértices eje mayor:
Vértices eje menor:
Focos: 1
Excentricidad:
VIR
GIN
IO G
OM
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86
3) Ecuación:
4) a) Ecuación:
b) Ecuación:
c) Ecuación:
d) Ecuación:
e) Ecuación:
5) a) Ecuación:
b) Ecuación:
c) Ecuación:
d) Ecuación:
VIR
GIN
IO G
OM
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87
Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos esconstante. Los puntos fijos se denominan y la diferencia constante se designa por focos
Si y son los focos, es la diferencia constante y un puntocualquiera, entonces
resolviendo y ordenando se obtiene , pero en la hipérbola
, luego
que es la .ecuación canónica de la hipérbola
VIR
GIN
IO G
OM
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88
Si entonces
Si entonces No existe intersección con los ejes
Los puntos y se denominan y los puntosvértices del eje realy se llaman Los focos y quedan siempre ubicadosvértices del eje imaginario.
sobre el eje real. La longitud del eje real es , la longitud del eje imaginario es y la longitud del eje focal es .
La excentricidad en la hipérbola indica la abertura del ángulo determinado por las
asíntotas y en cuyo interior se encuentra la hipérbola. Como , entonces Las asíntotas se obtienen haciendo igual a cero la ecuación de la hipérbola
Si los focos de la hipérbola son y y la diferencia común es , entonces suecuación es
Vértices eje real :
Vértices eje imaginario: ;
Focos :
Excentricidad :
Asíntotas :
VIR
GIN
IO G
OM
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89
La forma general de la ecuación de la hipérbola es
, con
o bien;
, con
Ejemplo
Determine coordenadas de los eje real e imaginario, focos, excentricidad, asíntotas y gráfico de
VIR
GIN
IO G
OM
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Vértices eje real :
Vértices eje imaginario : ;
Focos :
Excentricidad :
Asíntotas :
VIR
GIN
IO G
OM
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91
Ejercicios Propuestos
1) Determinar vértices eje real e imaginario, focos, excentricidad, asíntotas y gráfico de:
a)
b)
2) Obtener la ecuación de la hipérbola si un vértice está en y un foco en
3) Determine la ecuación de la hipérbola centrada en el origen si
a) Un foco esta en la longitud del eje imaginario es 6.
b) Eje de simetria el eje X y contiene los puntos y
c) Vértice en y una asíntota es
d) Sus asíntotas son y contiene al punto
e) Un vértice está en el punto y un foco en el punto
f) El eje real está en el eje , longitud del eje real y longitud del eje imaginario
g) El eje real está en el eje , longitud del eje real y distancia de los focos desde el centro
h) El eje imaginario está en el eje , longitud del eje imaginario y distancia de los focos desdeel centro
4) Determinar si la hipérbola de ecuación intersecta a la recta: a) b) .
Si es así, encuentre en cada caso las coordenadas de todos los puntos de intersección.
5) ¿Para qué valores de la recta con ecuación intersecta la hipérbola ?
6) ¿Cuántas hipérbolas tienen su centro en y su foco en ?. Encuentre sus ecuaciones.
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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92
Solución:
1) a) Vértices eje real :
Vértices eje imaginario :
Focos : 1
Excentricidad :
Asíntotas :
b) Vértices eje real :
Vértices eje imaginario :
Focos : 1
Excentricidad :
Asíntotas :
VIR
GIN
IO G
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93
2) Ecuación:
3) a) Ecuación:
b) Ecuación:
c) Ecuación:
d) Ecuación:
e) Ecuación:
f) Ecuación:
g) Ecuación:
h) Ecuación:
VIR
GIN
IO G
OM
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94
4) a) La intersecta en los puntos y
b) No la intersecta.
5) Para los valores que cumplen la desigualdad , es decir,
6) Un número infinito de hipérbolas de ecuación a
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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95
UNIDAD 3: LIMITES.
Concepto de límite de una función
Sea la función real Se estudiará qué sucede en las proximidades de 2.0ÐBÑ œ $B "Þ La gráfica de es la siguiente0ÐBÑ œ $B " À
Observar la siguiente tabla À
?
B "ß * "ß ** "ß *** # #ß !!" #ß !" #ß "0 B %ß ( %ß *( %ß **( &ß !!$ &ß !$ &ß $a b
De la tabla se deduce lo siguiente cuando se acerca a 2 por la izquierda, se acerca a 5 yÀ B 0 Ba bcuando se acerca a 2 por la derecha, también se acerca a 5. Es decirB 0 B Àa b 1) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una décima, entoncesB "ß * B #ß " ß0 B %ß ( 0 B &ß $a b a b se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres décimas,
2) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una centésima, B "ß ** B #ß !" ßentonces se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres centésimas, 0 B %ß *( 0 B &ß !$a b a b 3) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una milésima, B "ß *** B #ß !!" ßentonces se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres milésimas, 0 B %ß ( 0 B &ß $a b a b Esto indica que la gráfica de queda comprendida en un rectángulo. Por ejemplo, si0 Ba bconsideramos 1 el rectángulo tiene por lados a b B œ "ß *à B œ #ß "à C œ %ß (à C œ &ß $
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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Esto significa que si entonces y si entonces+
De esta situación se puede concluir lo siguiente
lim lim
Concepto de límite
Se dice que una función tiende al límite L L cuando tiende al valor si el valor absoluto de la diferencia L L puede ser tan pequeño como se
quiera siempre que el valor de esté en las proximidades de " ". Esto es válido aún cuando no estédefinida en .
Simbólicamente, Llim
Esto significa que para un valor pequeño positivo arbitrario Les posible determinar otro valor pequeño positivo que depende de tal que Así
, se cumple que L L
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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Teoremas sobre límites
Teorema1
Si L y L , entonces L Llim lim
Teorema
Si , entonces lim lim
Teorema
Si , entonces lim lim
Teorema
Si , entonces lim lim
Teorema
Si y son funciones tales que y ,lim lim
entonces:
a) lim lim lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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98
b) lim lim lim
c) con limlim
lim
d) Si , y par, entonces lim lim lim
Teorema
Si , entonces lim lim
Ejemplos
lim
lim
lim
lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim
Por lo tanto, lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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99
lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim
Por lo tanto, lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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100
lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim
lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe racionalizar
lim lim
lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe racionalizar
lim lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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101
lim Para levantar la indeterminación se debe racionalizar
lim lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se
debe racionalizar
lim
lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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102
lim Para levantar la indeterminación se debe racionalizar
lim lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe racionalizar
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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103
lim Para levantar la indeterminación se debe racionalizar
lim
lim
lim
lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
Ejercicios Propuestos
Determine los siguientes límites:
1) lim lim
lim lim
lim lim
lim lim
lim lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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104
Solución:
1) lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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105
Límites laterales
Existen funciones definidas por tramos donde es importante obtener límites laterales.
indica que nos estamos aproximando a un cierto valor "a" pora) Límite lateral derechonúmeros mayores o iguales a él. Si , entonces
indica que nos estamos aproximando a un cierto valor "a" porb) Límite lateral izquierdonúmeros menores o iguales a él. Si , entonces
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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106
Así, existe:
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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107
Determine si y si lim lim
lim lim
lim lim
lim lim lim luego existe
lim lim
lim lim
lim lim lim luego existe
) Dada la función Determine si lim
lim lim
lim lim
lim lim lim luego no existe
Dada la función .Determine si 1
lim
lim lim =
lim lim
lim lim lim luego existe
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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108
Dada la función
Determine si y si lim lim
lim lim
lim lim
lim lim lim luego existe
lim lim
lim lim
lim lim lim luego no existe
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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109
Ejercicios Propuestos
1) Dada la función ¿ ?lim
2) Dada la función ¿ ?lim
3) Dada la función
Determine si lim
4) Dada la función
Determine si lim
5) Dada la función
¿ ? ¿ ?lim lim
6) Dada la función ¿ ?lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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110
Solución:
1) lim lim
lim lim
luego no existe 4
lim lim lim
2) lim lim
lim lim
luego existe lim lim lim
3 lim lim
lim lim
luego existe lim lim lim
4) 3 3
lim lim
3 3lim lim
luego existe 3 33
lim lim lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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111
5) Para
lim lim
lim lim
luego no existe 3
lim lim lim
Para
lim lim
lim lim
luego existe lim lim lim
6 lim lim
lim lim
luego no existe lim lim lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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112
Límites infinitos
Sea
Observe la siguiente tabla
?
De la tabla se puede concluir que Si , entonces decrece y si , entonces crece por lo tanto no existelim
Cuando sucede que crece o decrece indefinidamente, entonces hablamos de límitesinfinitos. Graficamente:
Concepto
1) Si entonces M tal que M siempre quelim
2) Si entonces N tal que N siempre quelim
Entonces para el ejemplo:
y lim lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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Ejemplos Analizar
lim
lim
lim
Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo
tanto, no existe lim
lim
lim
lim
Luego a la izquierda y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe lim
lim
lim
lim
Luego a la izquierda y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no existe
lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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114
Ejercicios Propuestos
Analizar los siguientes límites:
1 lim
2) lim
3) lim
4) lim
5) lim
6) lim
7) lim
8) lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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Solución:
lim lim
Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no existe
lim
lim lim
Luego a la izquierda y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe
lim
lim lim
Luego a la izquierda de , decrece y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe
lim
lim lim
Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no existe
lim
5 lim lim
Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no
existe lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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116
6 lim lim
Luego a la izquierda y a la derecha de , decrece. Por lo tanto, no existe
lim
7 lim lim
Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no
existe lim
8 lim lim
Luego a la izquierda de , decrece y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe
lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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117
Límites al infinito
Conceptos
a) Si , entonces tal que siempre quelim
b) Si , entonces tal que siempre quelim
Teorema
1) Si , es racional y es un número cualquiera, entonces
lim
2) Si , es racional y es un número cualquiera, entonces
lim
Ejemplos
1) lim lim lim
Por lo tanto, lim
lim lim lim
Por lo tanto, lim
lim lim lim
Por lo tanto, lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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Ejercicios Propuestos
Analizar los siguientes límites:
1 lim
lim
lim
4) lim
5) lim
6) lim
7) lim
8) lim
9 lim
10 +
lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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Solución:
1 lim
.lim
= 0lim
4) lim
5) lim
6) lim
7) lim
8) lim
9 lim
10 +
lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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120
Asíntotas
1) Vertical
es asíntota vertical de si, y sólo si
lim lim
y
lim lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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2) Horizontal
se dice asíntota horizontal de si, y sólo si
c +
lim lim
3) Oblicua
se dice asíntota oblicua de si, y sólo si
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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122
Ejemplos
Determinar las asíntotas de
* Asíntota vertical
lim lim
Por lo tanto, es asíntota vertical de
* Asíntota horizontal
+ +
lim lim lim lim
Por lo tanto, es asíntota horizontal de
* Asíntota vertical
lim lim
Por lo tanto, es asíntota vertical de
* Asíntota horizontal
+ +
6lim lim lim
Por lo tanto,no existe asíntota horizontal de
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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* Asíntota oblicua
lim lim
lim
lim
lim
lim lim
lim
lim
lim
lim
Por lo tanto es asíntota oblicua de
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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Ejercicios Propuestos
Determinar las asíntotas de:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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125
Solución:
1) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: Asíntota oblicua: No existe.
2) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: No existe. Asíntota oblicua:
3) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: Asíntota oblicua: No existe.
4) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: Asíntota oblicua: No existe.
5) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: No existe. Asíntota oblicua:
6) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: Asíntota oblicua: No existe.
7) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: Asíntota oblicua: No existe.
8) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: Asíntota oblicua: No existe.
9) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: No existe. Asíntota oblicua:
10) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: Asíntota oblicua: No existe.
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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126
Continuidad
Sea una función real, entonces se dice que es continua en si, y sólo si
Ejemplos
Analizar la continuidad en
Solución
Punto de análisis
lim lim
Es posible levantar la indeterminación
lim lim
Por lo tanto, lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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127
lim
Luego es discontinua en En este caso es posible redefinir la función de modo de hacerla continua
Este tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad evitable
1
Solución
Punto de análisis
lim lim No es posible levantar la indeterminación
Por lo tanto, no existe1 1
lim
Como no se cumple la condición de continuidad se concluye que es discontinua en
En este caso no es posible redefinir la función de modo de hacerla continuaEste tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad infinita
Solución
Punto de análisis
lim lim
lim lim
lim lim lim , por lo tanto
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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lim
Luego es continua en
Puntos de análisis
* Para
lim lim
lim lim
lim lim lim , por lo tanto no existe
Como no se cumple la condición de continuidad se concluye que es discontinua en
* Para
lim lim
lim lim
lim lim lim , por lo tanto
lim
Luego es continua en
Del análisis anterior, se concluye que es discontinua en el intervalo ,
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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Puntos de análisis
* Para
lim lim
lim lim
lim lim lim , por lo tanto
lim
Luego, es continua en
* Para
lim lim
lim lim
lim lim lim , por lo tanto
lim
Luego es continua en
Del análisis anterior, se concluye que es continua en el intervalo
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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Ejercicios Propuestos
Analizar la continuidad en
2
3
4
5 2
6
7
8
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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131
Solución:
lim
lim
Luego es continua en
2 2
1lim
lim
Luego es continua en
3
lim
lim
Luego no es continua en
4
lim
Luego no existe.lim
es discontinua en
5
lim
lim
No existe lim
Luego es discontinua en
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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6
lim
lim
Existe 1
lim
lim
Luego es continua en
Por lo tanto, es discontinua en el intervalo
7 Para Para
lim lim
lim lim
Existe No existe lim lim
lim
Luego es continua en Luego es discontinua en
Por lo tanto, es discontinua en el intervalo
8 Para Para
lim lim
lim lim
Existe Existe 7
lim lim
lim lim
Luego es continua en Luego es continua en
Por lo tanto, es continua en el intervalo
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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Otros estilos de ejercicios asociados a la continuidad son los siguientes
Determine el valor de para que la función sea continua en todo su dominio.
Solución
Para que la función sea continua debe cumplirse la condición
lim lim
Luego la función es
Para que la función sea continua debe cumplirse la condición
lim lim lim lim
Luego la función es
Determine el valor de y de para que la función sea continua en todo su dominio
Para que la función sea continua debe cumplirse la condición
lim lim lim lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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134
lim lim lim lim
De y se obtiene un sistema de ecuaciones
de donde
Luego la función es
Determine el valor de y de para que la función sea continua en todo su dominio
Para que la función sea continua debe cumplirse la condición
lim lim lim lim
lim lim lim lim
De y se obtiene un sistema de ecuaciones
de donde
Luego la función es
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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135
Ejercicios Propuestos
Determine el valor de " " para que la función sea continua en todo su dominio:
2
3
4
Determine los valores de " " y " " para que la función sea continua en todo su dominio:
5
6
7
8
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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136
Solución:
1)
2)
3)
4)
5)
6) 4 3
11 11
7)
8)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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137
UNIDAD 4: DERIVADAS.
Sea una función real y sean y dos puntos de C œ 0 B T B ß C U B ß C 0 B Þa b a b a b a b" " # #
es una recta secante a , luego la pendiente de esP C œ 0 B P À" "a b
incremento de ordenadasincremento de abscisas
7 œ Ê 7 œ œC C C
B B B" "
# "
# "
?
?
Como entonces ? ?B œ B B ß B B œ B# " " #
C œ 0 B" "a b C œ 0 B Ê C œ 0 B B# # # "a b a b?
Así, 7 œ0 B B 0 B
B"
" "a b a b?
?
Si se aproxima a , tiende a cero y la recta recta secante se transforma en la recta ,U T B P P? " #a bque es la recta tangente a en el punto Es decir,C œ 0 B T B ß C Þa b a b" "
lim?
?
?B Ä !
0 B B 0 B
BC œ 0 B es la pendiente de la recta tangente a en el
a b a b a b" "
punto con T B ß C C œ 0 Ba b a b" " " "
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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138
Concepto de derivada de una función
Si es una función, entonces la derivada de en es
si el límite existe.lim
Notación
lim
Teoremas
Teorema1: es derivable en si existe .
Teorema 2: es derivable en el intervalo si lo es en cada punto del intervalo.
Teorema 3: Si es derivable en , entonces es continua en
El cuociente se denomina .Cuociente de Newton
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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139
Interpretaciones de la derivada
I) Geometría Analítica:
a) Si , entonces la derivada representa la lim pendiente
de la recta tangente a en el punto El punto debe pertenecer a la funciónpara ser el punto de tangencia.
Si es punto de tangencia de la curva entonces es posible establecer lasecuaciones de dos rectas
Recta Tangente
Recta Normal
La recta tangente y la recta normal son perpendiculares en el punto de tangencia.
b) Si , entonces representa, además, la lim razón instantánea de
cambio de con respecto a .
II) Física:
* Velocidad media
Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la velocidaddel objeto en el intervalo es
* Velocidad o velocidad instantánea
Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la velocidaddel objeto en el tiempo es
lim
Rapidez
* Aceleración
Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces suaceleración en el instante es
lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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140
Reglas de derivación:
1) Si , una constante, entonces
2) Si , un número racional, entonces
3) Si y una constante, entonces
4) Si , entonces
5)Si , entonces
6) Si con , entonces
Ejemplos
I) Obtener en
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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141
II) Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función en el punto de tangencia dado.
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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142
Recta tangente Recta normal
Recta tangente Recta normal
III)1)La altura en el instante de una moneda que se deja caer es con medida enpies y medido en segundos. Hallar
a) velocidad media en el intervalo
la velocidad media es de pies/seg.
b) velocidad instantánea en y
la velocidad instantánea en es pies/seg. y en es pies/seg.
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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143
c)¿cuánto tarda en llegar al suelo?
en llegar al suelo tarda aproximadanemte segundos
2) La velocidad de un automóvil que parte del reposo es , en m/seg. Hallar la aceleración
tras :a) 5 segundos.b) 10 segundosc) 15 segundos
la aceleración a los segundos es de m/seg 2
la aceleración a los segundos es aproximadamente de m/seg 2
la aceleración a los segundos es aproximadamente de m/seg 2
Ejercicios Propuestos
I) Obtener en
2)
3)
4)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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144
5)
II) Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función en el punto de tangencia dado.
2)
III) 1)La posición de un cuerpo está dada por con medida en metros y medido enminutos. Hallar
a) velocidad media en el intervalo 2 3
b) velocidad instantánea en 3 y 5
c)¿en qué tiempo el cuerpo vuelve a pasar por el origen?
2) La velocidad de un tren que parte del reposo es , en km/hr. Hallar laaceleración tras :
a) horas. b) 3 horas. c) 90 minutos.
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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145
Solución :
I) 1)
2)
3)
4)
5)
II) 1) Recta tangente:
Recta normal:
2) Recta tangente:
Recta normal:
III) 1) a) Veloc media: b) Veloc instantanea: => => c) El cuerpo vuelve a pasar por el origen después de
2) a) La aceleración a las 2 horas es de b) La aceleración a las 3 horas es de c) La aceleración a los 90 minutos es de m 2
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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146
Regla de la cadena
a) Si es una función derivable y es también una función derivable, entonces
b) Si es una función derivable, es una función derivable y estambién una función derivable, entonces
c) Si , entonces
Ejemplo
Obtener en
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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147
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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148
6)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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149
Ejercicios Propuestos
Obtener en
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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150
Solución :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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151
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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152
Derivación Implícita
Hasta el momento se han derivado funciones explícitas, es decir, funciones de la forma .Ahora, se derivarán funciones implícitas, es decir, funciones en las cuales la variable dependiente noaparece despejada.
Son funciones explícitas Son funciones implícitas
Para derivar funciones implícitas se usa el proceso de derivación implícita que consiste en derivartanto la variable como la variable usando las reglas de derivación ya conocidas y cada vez que se
derive la variable , variable dependiente, se debe agregar
Ejemplos
2
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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153
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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154
Ejercicios Propuestos
Obtener en
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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155
Solución :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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156
Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas
1) Si con , entonces
2) Si con , entonces
3) Si con , entonces
4) Si con , entonces
Ejemplos
Obtener en
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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157
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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158
Derivación logarítmica
Hasta el momento se han derivado expresiones de la forma ó , es decir,expresiones en las cuales la base o el exponente de una potencia son variables. Ahora, se derivaránexpresiones en las cuales tanto la base como el exponente son variables. Para este tipo de expresiones seusa la Este estilo de derivada consiste en aplicar a la función dada la funciónderivación logarítmica.logaritmo natural y recordar la siguiente propiedad
Después que se aplica esta propiedad se deriva en forma implícita.
Ejemplos
Obtener en
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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159
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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160
Ejercicios Propuestos
Obtener en
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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161
Solución :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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162
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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163
Derivada de funciones trigonométricas
1) Si con , entonces
2) Si con , entonces
3) Si con , entonces
4) Si con , entonces
5) Si con , entonces
6) Si con , entonces
Ejemplos
Determine en
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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164
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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165
Ejercicios Propuestos
Determine en
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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166
Solución :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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167
Derivada de funciones trigonométricas inversas
1) Si con , entonces
2) Si con , entonces
3) Si con , entonces
4) Si con , entonces
5) Si con , entonces
6) Si con , entonces
Ejemplos
Determine en
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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168
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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169
Ejercicios Propuestos
Obtener en
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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170
Solución :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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171
Derivadas de orden superior
es una función real que al derivarla, es decir, al obtener obtenemos otra funciónque depende de , por lo tanto, se puede volver a derivar y así obtener la segunda derivada
. Pero, a su vez, es también una función, luego es posible derivarla y así obtener la
tercera derivada y así sucesivamente. En general, si tiene derivadas, entonces la ésima derivada será
Ejemplos
1) Determinar todas las derivadas de
2) Obtener en
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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172
Ejercicios Propuestos
Determinar todas las derivadas de:
Obtener en:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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173
Solución:
1)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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174
d)
2
2
e)
2
2
f)
2
2
g)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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175
Aplicación de la derivada
A) Gráfico de curvas
Conceptos
a) Valores extremos
Sea una función definida en un cierto intervalo I donde I, entonces
1) es el de en I si, y sólo si I.mínimo
2) es el de en I si, y sólo si I.máximo
Criterios de la primera derivada
b) Valor crítico
Si es una función que existe para , entonces se dice un de si, yvalor críticosólo si . El punto se denomina de punto crítico
c) Intervalos de crecimiento y/o decrecimiento
Si es una función definida en un cierto intervalo I, entonces
1) es en I si, y sólo si I.creciente
2) es en I si, y sólo si I.decreciente
d) Concavidad
Si es una función definida en un cierto intervalo I, es derivable en I, entonces
1) es en I si, y sólo si es creciente en I.cóncava hacia arriba
2) es en I si,y sólo si es decreciente en I.cóncava hacia abajo
Criterios de la segunda derivada
e) Valor de inflexión
Si es una función definida en un cierto intervalo I que existe para , entonces sedice un del gráfico de si, y sólo si . El punto se denominavalor de inflexiónpunto de inflexión del gráfico de
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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176
f) Intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo
Sea es una función definida en un cierto intervalo I, entonces
1) es en I si, y sólo si I.cóncava hacia arriba
2) es en I si, y sólo si I.cóncava hacia abajo
g) Valores máximos y/o mínimos
Si es un valor crítico de , entonces el punto es un
1) relativo de si, y sólo si .máximo
2) relativo de si, y sólo si mínimo
Ejemplos
Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexión,intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de
Puntos críticos
Punto crítico
Intervalo de crecimiento y decrecimiento
IntervaloValor de pruebaSigno de Conclusión decreciente creciente
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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177
Punto de inflexión:
Falso
Por lo tanto, no existe punto de inflexión.
Intervalos de concavidad
Como entonces es siempre cóncava hacia arriba.
Punto de máximo y/o mínimo
Luego es un mínimo de
Puntos críticos
Puntos críticos
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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178
Intervalo de crecimiento y decrecimiento
IntervaloValor de pruebaSigno de Conclusión creciente decreciente creciente
Punto de inflexión
Punto de inflexión
Intervalos de concavidad
Punto de máximo y/o mínimo
Luego es un mínimo de
Luego es un máximo de
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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179
Ejercicios Propuestos
Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos deconcavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de
1)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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180
Solución:
Puntos Críticos:
Interv de crecimiento y/o decrecim:
Punto de Inflexión: No existe punto de inflexión.
Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia arriba.
Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de .
2 Puntos Críticos:
Interv de crecimiento y/o decrecim:
Punto de Inflexión: No existe punto de inflexión.
Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia abajo.
Punto de máximo y/o mínimo: es un máximo de .
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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181
Puntos Críticos:
Interv de crecimiento y/o decrecim:
Punto de Inflexión: No existe punto de inflexión.
Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia arriba.
Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de .
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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182
Puntos Críticos:
Interv de crecimiento y/o decrecim:
Punto de Inflexión: No existe punto de inflexión.
Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia abajo.
Punto de máximo y/o mínimo: es un máximo de .
Puntos Críticos:
Interv de crecimiento y/o decrecim: : 1
Punto de Inflexión:
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de es un máximo de
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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183
Puntos Críticos:
Interv de crecimiento y/o decrecim: : 1
Punto de Inflexión:
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: 4 es un mínimo de 4 es un máximo de
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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184
7 Puntos Críticos:
Interv de crecimiento y/o decrecim:
:
Punto de Inflexión:
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de
es un máximo de
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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185
8 Puntos Críticos:
Interv crecimiento y/o decrecim: :
Punto de Inflexión:
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: ( es un mínimo de
es un máximo de
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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186
Obtenga asíntotas, puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos deinflexión, intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de
Asíntota vertical
lim lim
Por lo tanto, es una asíntota vertical
Asíntota horizontal
lim lim
Por lo tanto, es una asíntota horizontal
Punto crítico
Falso
Luego, no existe punto crítico
Intervalo de crecimiento y de decrecimiento
Como
Por lo tanto es decreciente
Punto de inflexión
Falso
No existe punto de inflexión
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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187
Intervalo de concavidad
Como , entonces
Como , entonces
Máximo y/o mínimo:
Como no existe punto crítico, entonces no hay puntos de máximo ni de mínimo
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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188
Asíntota vertical
lim lim
Por lo tanto, es una asíntota vertical
lim lim
Por lo tanto, es una asíntota vertical
Asíntota horizontal
lim lim
Por lo tanto, es una asíntota horizontal
* :Punto crítico
Punto crítico
Intervalo de crecimiento y de decrecimiento
IntervaloValor de pruebaSigno de Conclusión creciente decreciente
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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189
Punto de inflexión
No existe en
No existe punto de inflexión.
Intervalo de concavidad
Como , entonces
Como , entonces
IntervaloValor de pruebaSigno de Conclusión cóncava hacia arriba cóncava hacia abajo cóncava hacia arriba
Máximo y/o mínimo
Luego, es un máximo de
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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190
Ejercicios Propuestos
Obtenga asíntotas, puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos deinflexión, intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de
1
2)
3)
4
5
6
VIR
GIN
IO G
OM
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191
Solución:
Asíntota Vertical:
Asíntota Horizontal:
Puntos Críticos: No existe Punto Crítico.
Interv de crecimiento y/o decrecim: es decreciente
Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.
Intervalo de Concavidad: 2 2
Punto de máximo y/o mínimo: No existe Punto Crítico No existe Punto demáximo ni de mínimo.
VIR
GIN
IO G
OM
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192
2 Asíntota Vertical:
Asíntota Horizontal:
Puntos Críticos: No existe Punto Crítico.
Interv de crecimiento y/o decrecim: es creciente
Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: No existe Punto Crítico No existe Punto demáximo ni de mínimo.
VIR
GIN
IO G
OM
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193
3 Asíntota Vertical:
Asíntota Horizontal:
Puntos Críticos: No existe Punto Crítico.
Interv de crecimiento y/o decrecim: es creciente
Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: No existe Punto Crítico No existe Punto demáximo ni de mínimo.
VIR
GIN
IO G
OM
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194
4 Asíntota Vertical:
Asíntota Horizontal:
Puntos Críticos:
Interv de crecimiento y/o decrecim: :
Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un mínimo de .29
VIR
GIN
IO G
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195
5 Asíntota Vertical:
Asíntota Horizontal:
Puntos Críticos:
Interv de crecimiento y/o decrecim: :
Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un máximo de .
VIR
GIN
IO G
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196
6 Asíntota Vertical:
Asíntota Horizontal:
Puntos Críticos:
Interv de crecimiento y/o decrecim: :
Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un mínimo de ..
VIR
GIN
IO G
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197
B) Problemas de aplicación de máximos y/o mínimos
Procedimiento
1) Realizar un dibujo esquemático.
2) Asignar variables a cada una de las cantidades mencionadas en el problema.
3) Establecer una ecuación que represente lo que se desea maximizar o minimizar
4) Transformar la ecuación anterior en una ecuación que depende de una sola variable usandotoda la información del problema.
5) Determinar el punto crítico de la ecuación encontrada en 4 . Este valor será un máximo si elproblema es maximizar o un mínimo si el problema consiste en minimizar.
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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198
Ejemplos
1) Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 64 m . El material de la parte de3
encima y el fondo de la caja cuesta $1000 por m y el material de los lados $500 el m . Calcular las2 2
dimensiones de la caja cuyo costo de construcción es mínimo.
Las dimensiones de la caja son base m y altura m.
VIR
GIN
IO G
OM
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199
2) Un impresor recibe un pedido para producir un cartel rectangular que contiene 100 cm de2
impresión rodeado de márgenes de 1 cm. a cada lado, 3 cm. en la parte superior y 2 cm. en la parte inferior.¿Cuáles son las dimensiones del cartel más económico?
Las dimensiones del cartel son largo cm. y ancho cm.
VIR
GIN
IO G
OM
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200
3) En una ribera de un río de 3 km. de ancho hay una planta eléctrica. En la ribera opuesta y 4 km. aguasarriba hay una fábrica. Se desea tender un cable dede la planta eléctrica hasta la fábrica. calcular el trazadomás económico, si el metro de cable bajo el agua tiene un costo de $1200 y el metro de cable aéreo tiene uncosto de $720
El trazado más económico es 3.75 m. bajo agua y 1.75 m. aéreo
VIR
GIN
IO G
OM
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201
Ejercicios Propuestos
1) Una caja cerrada con una base rectangular en la cual la altura es el triple de un de los ladosbasales, debe tener un volumen de 48 m . El material de la parte de encima y el fondo de la caja3
cuesta $2.500 por m y el material de los lados $1.500 el m . Calcular las dimensiones de la caja2 2
cuyo costo de construcción es mínimo.
2) Con una malla de 48 mt se desea construir un corral aprobechando una pared. ¿Cuáles deben serla dimensiones para que el area sea máxima, si el corral tiene forma rectangular?.
3) Con una plancha de 144 cm por 96 cm se construirá una caja. ¿Cómo deben ser los cortes paraque el volumen de la caja sea máximo?.
4) Un rectángulo tiene un perímetro de 120 mt. ¿Qué largo y ancho da el area máxima?.
5) La diferencia entre dos números es 20. ¿Cuáles son aquellos en que su producto es mínimo?.
6) Se desea construir un depósito en forma de cilindro con capacidad máxima para 12 litros.Determinar las dimensiones con el fin de emplear la mínima cantidad de material.
7) Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en unacircunferencia de radio 12.
8) Una ventana normando tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Encontrarsus dimensiones si el perímetro es de 12 pies y su área debe ser la máxima posible.
9) Calcular el área máxima del rectángulo que tiene su base inferior sobre el eje X y sus otros dosvértices en la curva
10) Con un alambre de 36 cm se construye un cuadrado y un círculo .¿Cómo ha de cortarse el alambreen dos partes para que la suma de sus areas sea máxima.
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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202
Solución:
1) Largo: 16 ; Ancho: ; Alto: 3 81 20 20
400 9 93 3 3
2) Largo: 24 mt ; Ancho: 12 mt
3) Cortes cuadrados de 18,83 cm x 18,83 cm
4) Largo: 30 mt ; Ancho: 30 mt
5) Números:
6) Radio: Altura
7) Es un cuadrado de lado
8) Radio semi circunferencia:
Largo rectángulo:
Ancho rectángulo:
9) El área máxima del rectángulo es
10) Corte para cuadrado: Corte para círculo:
VIR
GIN
IO G
OM
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203
C) Problemas de variaciones relacionadas
Procedimiento
1) Asignar variables a todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.
2) Determinar una ecuación que represente al problema.
3) Derivar implícitamente con repecto al tiempo.
4) Sustituir en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y sus razones decambio.
VIR
GIN
IO G
OM
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204
Ejemplos
1) Una escalera de 25 pies de largo está apoyada en una casa. Si la base de la escalera se separa de la pareda razón de 2 pies/seg. ¿A qué velocidad está bajando su extremo superior cuando la base está a 7 pies de lapared?.
piesseg.
?
derivando implícitamente con respecto al tiempo
El extremo superior decrece a razón de 7 pies/seg.
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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205
2) Se arroja arena en un montón cónico a razón de 100 pies /min. Hallar la razón de cambio de la altura del3
montón cuando su altura es 10 pies. Suponga que el radio del cono es igual a su altura .
pies ?piesmin.
3
como , se tiene
derivando implicitamente con respecto al tiempo
La altura del montón cónico crece a razón de pies/min.1
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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206
3) Un automóvil que se desplaza a razón de 120 km/hr., se aproxima a un cruce. Cuando el auto está a1km. de la intersección, un camión que viaja a 150 km/hr. cruza la intersección. El auto y el camión seencuentran en carreteras que forman un ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 1 minutodespués que el camión pasa el cruce?.
;km kmhr hr
km minutos km minuto km
km minutos
km minuto km
un minuto después
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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207
derivando implicitamente con respecto al tiempo
Como , entonces
Luego
El auto y el camión se separan a una velocidad de km/hr después que el camión pasa por el cruce.
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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208
Ejercicios Propuestos
1) La razón de cambio del radio de un círculo es de 5 mt/mín. ¿Cuál es la velocidad de cambio delperímetro?
2) El largo de una parcela rectangular aumenta a razón de 7 mt/mín ¿Cuál es la velocidad decambio del perímetro de la parcela si su ancho permanece constante?
3) Se infla un globo a razón de 1.800 cm /sg. Determinar la velocidad de aumento de radio del3
globo cuando este mide 15 cm?.
4) Se deposita agua en un tambor cilíndrico a razón de 400 cm /sg. Si el radio del tambor es 103
cm, determinar la razón de cambio de la altura del tambor.
5) Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio delcírculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 pie/sg. Cuando el radio es 4 pies, ¿aqué ritmo está cambiando el área de la región circular?
6) Un avión vuela a una altura de millas por una trayectoria que le llevará a la vertical de unaestación de radar. Si la distancia del avión al radar decrece a una razón de millas/hr cuandodicha distancia es millas, ¿Cuál es la velocidad del avión?.
7) El radio de una esfera está creciendo a razón de pulg/mín. calcular la razón de cambio delárea de la esfera cuando el radio es pulg.
8) Una cámara de televisión , situada a ras del suelo, está filmando el despegue de un coheteespacial, que se mueve verticalmente de acuerdo con la ecuación donde se mide enpies y en segundos. La cámara dista 2.000 pies del punto de lanzamiento. Calcular la variaciónde cambio del ángulo de elevación de la cámara 10 segundos después del despegue.
9) Un cono circular recto, tiene una altura de 12 cm y un diámetro de base de 8 cm. Si se invierteel cono y se vacia agua por la base del mismo, haciendo que el radio en el nivel del agua varíecon una velocidad de . ¿Con qué velocidad cambiará el volumen de agua cuando el radio1 cm
3 mes 2 cm ?
10) Un globo asciende verticalmente sobre un punto del suelo a razón de 15 pies/sg. Un punto del suelo dista 30 pies de . Cuando el globo está a 40 pies de , ¿a qué razón está cambiando
la distancia desde el globo al punto ?
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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209
Solución:
1) El perímetro del círculo crece a razón de 10 mt/mín.
2) La velocidad de cambio del perímetro de la parcela es de 14 mt/mín.
3) El radio del círculo crece a razón de cm/sg.2
4) La altura del tambor aumenta a razón de cm/sg.4
5) El área del círculo crece a una razón de pies sg
6) La velocidad del avión es millas/hr.
7) El área de la esfera aumenta a una razón de pulg mín.
8) El ángulo de elevación de la cámara crece a una razón de rad/sg.
9) El volumen de agua aumenta a razón de cm /min.
10) La distancia desde el globo al punto aumenta a razón de pies/sg.
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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210
Formas Indeterminadas
1) Si y , entonces adquierelim lim lim
la forma indeterminada
2) Si y , entonces adquierelim lim lim
la forma indeterminada
Regla de L'Hopital
1) Suponga que y lim lim lim
entonces lim lim
2) Suponga que y lim lim lim
entonces lim lim
La Regla de L'Hopital también es válida si , es decir
a) Si y si , entonceslim lim
lim
b) Si y si , entonceslim lim
lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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211
Ejemplos:
lim
lim
Por lo tanto, lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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212
lim
27
3lim
lim
lim
lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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213
Otras formas indeterminadas:
a)
En estos casos se transforma la expresión a o y luego se aplica la regla de L'Hopital.
Ejemplos:
lim
lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
) lim
lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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214
b)
Para estos casos primero se debe hacer uso de la función logaritmo natural y recordar la propiedad
Ejemplo
lim
Sea , entonces
lim lim
lim
Por otro lado, si , entonces aplicando la función logaritmo natural se tiene
Ahora, se puede aplicar la función límite
lim lim
lim
Pero, si , entonces
Por lo tanto, lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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215
Ejercicios Propuestos
lim
lim
lim
lim
lim
) lim
lim
lim
9 lim
10 lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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216
Solución:
7 5lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
9 lim
10 lim
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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217
Unidad Nº1: Números Reales
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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218
Unidad Nº2: Geometría Analítica
1) Los vértices de un cuadrilátero son y . Calcular superímetro.
2) Determine el valor de en de modo que , con
3) Determine la ecuación de la recta en su forma general, principal y de segmento que pasa por lospuntos y
4) Determine la ecuación de la recta que pasa por y es: a) paralela con la recta b) perpendicular con la recta
5) Determine el valor de en para que la recta: a) pase por el punto b) sea paralela a la recta c) sea perpendicular a la recta
6) Los vértices de un triángulo son
Determinar: a) Ecuación de sus lados en forma principal y general b) Perímetro del triángulo ABC c) Ecuación de las transversales de gravedad d) Ecuación de las alturas e) Ecuación de las medianas f) Area de triángulo ABC
7) Identifique la cónica, determine sus puntos representativos y gráfica de: a) b) c) d)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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219
Unidad Nº3: Límites y Continuidad
1) Determine si existen, los siguientes límites:
a) lim
b) lim
c) lim
d) lim
e) lim
f) lim
g) y si: lim lim
2) Determine las asíntotas de:
a)
b)
c)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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220
3) Analice la continuidad en:
a)
b)
c)
4) Determine el valor de , y , según corresponda para que la función sea continua en todo sudominio:
a)
b)
c)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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221
Unidad Nº4: Derivadas
1) Obtener la primera derivada de:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
VIR
GIN
IO G
OM
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222
2) Obtenga asíntotas (si corresponde), puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento,puntos de inflexión, intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de:
a)
b)
3) Desarrolle los siguientes problemas:
a) Dos postes, de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies. Hay que conectarlos mediante un cableque esté atado en algún punto del suelo entre ellos. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con elfin de utilizar la menor cantidad de cable que sea posible?
b) Un granjero dispone de 200 metros de valla para cerrar dos corrales adyacentes. ¿Quédimensiones harán que el área encerrada sea máxima?.
c) Un controlador observa dos aviones que vuelan en trayectorias perpendiculares y a la mismaaltura. Uno de ellos dista 150 millas y se mueve a 450 millas/hr. El otro está a 200 millas y sedesplaza a 600 millas/hr. ¿A qué ritmo decrece la distancia entre ellos?.
4) Determine los siguientes límites aplicando ' opital:
a) lim
b) lim
c) lim
d) lim
e) lim
VIR
GIN
IO G
OM
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223
Solución:
Unidad Nº1:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
VIR
GIN
IO G
OM
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224
Unidad Nº2:
1) Perímetro
2)
3)
4) a)
b)
5) a) b) c)
6) a) Lado a:
Lado b:
Lado c:
b) Perímetro =
c)
d)
e)
f) Area
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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225
7) a) Cónica: Elipse
Centro
Vértices eje mayor:
Vértices eje menor: ;
Focos:
Excentricidad:
VIR
GIN
IO G
OM
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226
b) Cónica Parábola
Vértice
Foco
Directriz
Eje de simetría
Long. lado. recto
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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227
c) Cónica: Circunferencia
Centro:
Radio:
d) Cónica: Hipérbola
Vértices eje real:
Vértices eje imaginario: ;
Focos:
Excentricidad:
Asíntotas:
VIR
GIN
IO G
OM
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228
Unidad Nº3:
1) a) 18lim
b) lim
c) lim lim
Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece.
Por lo tanto, no existe lim
d) lim
e) lim
f) lim
g) lim lim
lim lim
lim
lim lim
lim lim
No lim
VIR
GIN
IO G
OM
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229
2) a) Asíntota vertical: 1
Asíntota horizontal: 1
Asíntota oblicua: No existe.
b) Asíntota vertical:
Asíntota horizontal: No existe.
Asíntota oblicua:
c) Asíntota vertical:
Asíntota horizontal:
Asíntota oblicua: No existe.
3) a)
lim
lim
Luego es continua en
b
lim lim
Existe lim
lim
Luego es continua en
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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230
c Para Para
lim lim
lim lim
Existe No existe lim lim
lim
Luego es continua en Luego es discontinua en
Por lo tanto, es discontinua en el intervalo
4) a)
b)
c)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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231
Unidad Nº4:
1) a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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232
l)
m)
n)
o)
2) a) Puntos Críticos:
Interv de crec y/o decrec:
:
Punto de Inflexión:
Intervalo de Concavidad:
Punto de máx y/o mín: es un mínimo de
es un máximo de
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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233
b) Asíntota Vertical:
Asíntota Horizontal:
Puntos Críticos:
Interv de crecimiento y/o decrecim:
:
Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un mínimo de .9
VIR
GIN
IO G
OM
EZ
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234
3) a) Debe amarrarse a 9 pies del poste mas bajo.
b) Cada corral debe medir metros de largo por 25 pies de ancho.
c) La distancia entre los aviones disminuye a una velocidad de 750 millas/hr.
4) a) lim
b) lim
c) lim
d) lim
e) lim
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