bueno de regresion lineal[1]
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ESTADISTICA INFERENCIAL
Profesor:
ELSA RETURETA.
Fecha de entrega:
11 DE MAYO DE 2010.
Universidad Veracruzana
Facultad de Administración, Administración Turística y
Sistemas Computacionales.
“REGRESION LINEAL.”
ESTADISTICA INFERENCIAL.
INTEGRANTES:Alfaro Zabala GracielaCortez Zavala Yajaira
Escudero Recillas Sara LizbethGarcés barrios Liliana Janet
Gerónimo Domínguez KarinaPortilla Romero N. Melina
Saucedo García Jesús ManuelGonzález Resendiz Carlos Eduardo
ESTADISTICA INFERENCIALTEMA: REGRESION LINEAL
APLICACIÓN.
Muchos problemas de investigación requieren la estimación de las
relaciones existentes entre la pauta de variabilidad de una variable aleatoria y los
valores de una o más variables (aleatorias o no) de las que la primera depende o
puede depender.
El análisis de regresión es una técnica estadística para la estimación de los
parámetros de una ecuación que relaciona una determinada variable con un
conjunto de variables. El análisis se lleva a cabo mediante el establecimiento de
“un modelo de regresión” cuyos parámetros recogen y cuantifican los efectos que
se pretende estudiar.
La razón básica por la cual se construye un modelo de regresión es
describir la naturaleza de una relación en forma cuantitativa. Sin embargo, los
objetivos son con frecuencia más específicos. Por ejemplo, para un proceso en el
que la humedad es controlable, el objetivo podría ser hallar el valor particular de la
humedad que minimiza inestabilidad de un instrumento, o alguna función de
costos basada en dicha inestabilidad. O bien determinar variables independientes
importantes de un proceso. Por ejemplo, ver si la humedad, presión y temperatura
afectan a una característica de calidad de un producto. En síntesis la utilidad de
los modelos de regresión puede ser la siguiente:
1. Proyecto y predicción
2. Descripción cuantitativa entre un conjunto de variables
3. Interpretación de los valores de la función
4. Determinación de variables independientes importantes
5. Descubrimiento de las condiciones de funcionamiento óptimas
6. Selección entre modelos alternativos
7. Estimación de coeficientes de regresión particulares
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ESTADISTICA INFERENCIALTEMA: REGRESION LINEAL
El análisis de regresión ha cobrado popularidad debido al gran número de
paquetes estadísticos que lo incluyen y por ser un “proceso robusto que se adapta
a un sinfín de aplicaciones científicas y ejecutivas que permite la toma de
decisiones”
De manera general, podemos decir que el uso del las estadísticas en cualquier área de estudio y trabajo es importante; ya que ayuda a ordenar datos, obtener resultados y a tomar decisiones.
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ESTADISTICA INFERENCIALTEMA: REGRESION LINEAL
GLOSARIO.
CONCEPTO DEFINICION TRADUCCION
PARAMETROS
Se trata de una función definida sobre valores numéricos de una población, como la media aritmética, una proporción o su desviación típica. Un parámetro es un número que resume la ingente cantidad de datos que pueden derivarse del estudio de una variable estadística
This is a numerical function defined on a population, as the arithmetic average, a ratio or deviation. A parameter is a number that summarizes the vast amount of data that may result from the study of a statistical variable
COEFICIENTE DE REGRESIÓN
Indica el número de unidades en que se modifica la variable dependiente “Y” por efecto del cambio de la variable independiente “X” o viceversa en una unidad de medida.
Indicates the number of units that amending the dependent variable "Y" the effect of changing the independent variable "X" or vice versa in a unit of measurement.
β0Es la intersección o término "constante"
It is the intersection or the term "constant"
Son los parámetros respectivos a cada variable independiente.
Pertinent parameters are each independent variable.
PEs el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión.
The number of independent parameters to be considered in the regression.
Es la perturbación aleatoria que recoge Todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables.
It is the random disturbance which includes all those factors not controllable or observable reality.
ESTOCÁSTICOSistema que funciona, sobre todo, por el azar.
System that works, mostly by chance.
Es el error asociado a la medición del valor
Is the error associated with measuring the value
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ESTADISTICA INFERENCIALTEMA: REGRESION LINEAL
INTRODUCCION.
Sabemos que existe una relación entre una variable denominada
dependiente y otras denominadas independientes, puede darse el problema de
que la dependiente asuma múltiples valores para una combinación de valores de
las independientes.
Si se da ese tipo de relaciones, se suele recurrir a los estudios de regresión
en los cuales se obtiene una nueva relación pero de un tipo especial denominado
función, en la cual la variable independiente se asocia con un indicador de
tendencia central de la variable dependiente. Cabe recordar que en términos
generales, una función es un tipo de relación en la cual para cada valor de la
variable independiente le corresponde un valor de la variable dependiente.
Se denomina regresión lineal cuando la función es lineal, es decir, requiere
la determinación de dos parámetros: la pendiente y la ordenada en el origen de la
recta de regresión, y=a x + b.
La regresión nos permite además, determinar el grado de dependencia de
las series de valores X e Y, prediciendo el valor y estimado que se obtendría para
un valor X que no esté en la distribución.
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ESTADISTICA INFERENCIALTEMA: REGRESION LINEAL
“REGRESION LINEAL”
La regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modeliza
la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un
término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:
Donde β0 es la intersección o término "constante", las son los
parámetros respectivos a cada variable independiente, y p es el número de
parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal
puede ser contrastada con la regresión no lineal.
HISTORIA
La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de los
mínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805, y por Gauss en
1809.
Tanto Legendre como Gauss aplicaron el método para determinar, a partir
de observaciones astronómicas, las órbitas de cuerpos alrededor del sol. En 1821,
Gauss publicó un trabajo en dónde desarrollaba de manera más profunda el
método de los mínimos cuadrados, y en dónde se incluía una versión del teorema
de Gauss-Márkov.
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EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL.
El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables
explicativas Xk (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un
hiperplano de parámetros βk desconocidos:
donde es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la
realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es
la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo de dos
variables explicativas, el hiperplano es una recta:
El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados
para los parámetros desconocidos βk, de modo que la ecuación quede
completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones.
En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento
simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las
perturbaciones aleatorias se suponen no observables).
Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, , son los
coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con
parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en
Los valores son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.
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TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL.
Existen diferentes tipos de regresión lineal que se clasifican de acuerdo a sus parámetros:
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE.
Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:
Donde es el error asociado a la medición del valor Xi y siguen los supuestos de
modo que (media cero, varianza constante e igual a un σ y
con ).
ANÁLISIS.
Dado el modelo de regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:
Calculando y . Para esto se buscan dichos parámetros que minimicen
Derivando respecto a y e igualando a cero, se obtiene
Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros:
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ESTADISTICA INFERENCIALTEMA: REGRESION LINEAL
La interpretación del parámetro beta 2 es que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementará en beta 2
MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE.Y = β + β X + u t
La expresión anterior refleja una relación lineal, y en ella sólo figura una
única variable explicativa, recibiendo el nombre de relación lineal simple. El
calificativo de simple se debe a que solamente hay una variable explicativa.
Supongamos ahora que disponemos de T observaciones de la variable Y
( 1 2 , , ,T Y Y … Y ) y de las correspondientes observaciones de X ( 1 2 , , ,T X X
… X ). Si hacemos extensiva (3) a la relación entre observaciones, tendremos el
siguiente conjunto de T ecuaciones:
El sistema de ecuaciones anterior, se puede escribir abreviadamente de la
forma siguiente:
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ESTADISTICA INFERENCIALTEMA: REGRESION LINEAL
El objetivo principal de la regresión es la determinación o estimación de 1 β
y 2 β a partir de la información contenida en las observaciones de que
disponemos. Esta estimación se puede llevar a cabo mediante diversos
procedimientos. A continuación se analizan en detalle algunos de los métodos
posibles.
Interesa, en primer lugar, realizar una aproximación intuitiva a diferentes
criterios de ajuste. Para ello se utiliza la representación gráfica de las
observaciones (,t t X Y), con t = 1, 2,..., T. Si la relación lineal de dependencia
entre Y y X fuera exacta, las observaciones se situarían a lo largo de una recta
(véase la figura 1). En ese caso, las estimaciones más adecuadas de 1 β y 2 β –
de hecho, los verdaderos valores – serían, respectivamente, la ordenada en el
origen y la pendiente de dicha recta.
Pero si la dependencia entre Y y X es estocástica, entonces, en general, las
observaciones no se alinearán a lo largo de una recta, sino que formarán una
nube de puntos, como aparece en la figura 2. En ese caso, podemos contemplar
las estimaciones de 1β y 2 β como la ordenada en el origen y la pendiente de una
recta próxima a los puntos. Así, si designamos mediante 1ˆβ y 2 ˆβ las
estimaciones de 1β y 2 β, respectivamente, la ordenada de la recta para el valor t
X vendrá dada por:
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ESTADISTICA INFERENCIALTEMA: REGRESION LINEAL
El problema que tenemos planteado es, pues, hallar unos estimadores 1ˆβ y 2 ˆβ
tales que la recta que pasa por los puntos (, ˆ t t X ) se ajuste lo mejor posible a los
puntos ( ,t t X Y ). Se denomina error o residuo a la diferencia entre el valor
observado de la variable endógena y el valor ajustado, es decir,
Teniendo en cuenta el concepto de residuo se analizan a continuación diversos
criterios de ajuste.
PASOS PARA UNA REGRESION LINEAL SIMPLE.
En este tipo de regresión se desea caracterizar el efecto lineal de una única
variable explicativa sobre la variable respuesta.
Los pasos para efectuar un análisis son los siguientes
1. Representación gráfica de datos
2. Planteamiento del modelo
3. Estimación de la ecuación de predicción
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ESTADISTICA INFERENCIALTEMA: REGRESION LINEAL
4. Examen de la adecuación del modelo lineal
5. Intervalos de confianza para la estimación.
REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE.
Maneja varias variables independientes. Cuenta con varios parámetros. Se expresan de la forma:[]
Donde es el error asociado a la medición i del valor Xip y siguen los supuestos de
modo que (media cero, varianza constante e igual a un σ y
con ).
SUPUESTOS DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL.
Para poder crear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con
los siguientes supuestos:
1.-La relación entre las variables es lineal.
2.-Los errores son independientes.
3.-Los errores tienen varianza constante.
4.-Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero.
5.-El error total es la suma de todos los errores.
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RESTRICCIONES LINEALES.
En ocasiones puede interesar incluir las restricciones lineales sobre el
modelo teórico. Como es evidente, las restricciones lineales excluirán, en este
caso, al coeficiente .
El problema es el siguiente:
Dado el modelo teórico
Donde el subíndice denota que los datos de las variables han sido
centrados y que el vector carece de término independiente- encontrar un valor
para -al que llamaremos - que minimice la suma de los cuadrados de los
residuos sujeta a la restricción:
Procediendo de modo análogo a lo que hicimos en éste y en este otro post
se llega a que la estimación de sujeta a las restricciones es:
Donde es la estimación de en un modelo sin restricciones, y que el
incremento en la suma de los cuadrados de los residuos debida a la inclusión de la
restricción es:
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REPRESENTACION GRAFICA DE DATOS.
El primer paso para el estudio de relaciones entre variables, consiste en
trazar una gráfica de los datos (corrientemente llamado diagrama de dispersión).
La variable respuesta se indica en el eje vertical y la variable explicativa en el
horizontal. En la figura 5.3 se presentan ejemplos de gráficos de dispersión.
Los gráficos de dispersión son útiles debido a los siguientes aspectos :
· Facilita información sobre la relación existente entre las variables
· Permite sugerir modelos posibles para los datos o transformaciones de datos.
· Puede señalar la existencia de observaciones anómalas
· Puede facilitar una indicación de y para x fija. Además puede mostrar que esa
variabilidad permanece constante para todos los valores de x o que cambia con x.
PLANTEAMIENTO DEL MODELO.
La ecuación que relaciona los datos para una regresión lineal simple es la
siguiente:
y = b o + b 1 x + e
Donde: bo y b1 son respectivamente la ordenada en el origen y el nivel de
variación de y por cada unidad de variación de x (desconocidas de la recta de
regresión); x variable explicativa o una transformación de esta (ej: log x); e es el
error aleatorio con media cero y varianza constante. También se supone que las
{e} constituyen un conjunto de variables aleatorias independientes. El error
aleatorio puede deberse a errores en la medición de y y/o a efectos de “variables
no incluidas en el modelo”. Se denota como error de la ecuación.
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TABLAS.
UTILIDAD.
LÍNEAS DE TENDENCIA.
Una línea de tendencia representa una tendencia en una serie de datos
obtenidos a través de un largo período. Este tipo de líneas puede decirnos si un
conjunto de datos en particular (como por ejemplo, el PBI, el precio del petróleo o
el valor de las acciones) han aumentado o decrementado en un determinado
período. Se puede dibujar una línea de tendencia a simple vista fácilmente a partir
de un grupo de puntos, pero su posición y pendiente se calcula de manera más
precisa utilizando técnicas estadísticas como las regresiones lineales. Las líneas
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de tendencia son generalmente líneas rectas, aunque algunas variaciones utilizan
polinomios de mayor grado dependiendo de la curvatura deseada en la línea.
MEDICINA
En medicina, las primeras evidencias relacionando la mortalidad con el
fumar tabaco vinieron de estudios que utilizaban la regresión lineal. Los
investigadores incluyen una gran cantidad de variables en su análisis de regresión
en un esfuerzo por eliminar factores que pudieran producir correlaciones espurias.
En el caso del tabaquismo, los investigadores incluyeron el estado socio-
económico para asegurarse que los efectos de mortalidad por tabaquismo no sean
un efecto de su educación o posición económica. No obstante, es imposible incluir
todas las variables posibles en un estudio de regresión.12 13 En el ejemplo del
tabaquismo, un hipotético gen podría aumentar la mortalidad y aumentar la
propensión a adquirir enfermedades relacionadas con el consumo de tabaco. Por
esta razón, en la actualidad las pruebas controladas aleatorias son consideradas
mucho más confiables que los análisis de regresión.
EJEMPLOS
1.-Un vehículo que se mueve supuestamente con velocidad constante. Los datos
de las medidas del tiempo en cuatro posiciones separadas 900 m son las
siguientes
Tiempo t (s) Posición x (m)
17.6 0
40.4 900
67.7 1800
90.1 2700
Ajustar los datos a la línea recta
x=x0+vt
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Y estimar el mejor valor de la velocidad v aplicando el procedimiento de mínimos
cuadrados
Introduciendo los datos en el programa interactivo, la pendiente es a=36.71 y el
error de la pendiente Da=1.001. La velocidad se escribe v=37±1 m/s
2.- Vamos a calcular la recta de regresión de la siguiente serie de datos de altura y
peso de los alumnos de una clase. Vamos a considerar que la altura es la variable
independiente "x" y que el peso es la variable dependiente "y" (podíamos hacerlo
también al contrario):
Alumno Estatura Peso Alumno Estatura Peso Alumno Estatura Pesox x x x x x x x x
Alumno 1 1,25 32 Alumno 11 1,25 33 Alumno 21 1,25 33Alumno 2 1,28 33 Alumno 12 1,28 35 Alumno 22 1,28 34Alumno 3 1,27 34 Alumno 13 1,27 34 Alumno 23 1,27 34Alumno 4 1,21 30 Alumno 14 1,21 30 Alumno 24 1,21 31Alumno 5 1,22 32 Alumno 15 1,22 33 Alumno 25 1,22 32Alumno 6 1,29 35 Alumno 16 1,29 34 Alumno 26 1,29 34Alumno 7 1,30 34 Alumno 17 1,30 35 Alumno 27 1,30 34Alumno 8 1,24 32 Alumno 18 1,24 32 Alumno 28 1,24 31Alumno 9 1,27 32 Alumno 19 1,27 33 Alumno 29 1,27 35Alumno 10 1,29 35 Alumno 20 1,29 33 Alumno 30 1,29 34
El parámetro "b" viene determinado por:
b =
(1/30) * 1,034 ----------------------------------------
-= 40,265
(1/30) * 0,00856
Y el parámetro "a" por:
a = 33,1 - (40,265 * 1,262) = -17,714
Por lo tanto, la recta que mejor se ajusta a esta serie de datos es:
y = -17,714 + (40,265 * x)
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Esta recta define un valor de la variable dependiente (peso), para cada valor de la
variable independiente (estatura):
Estatura Peso1,20 30,61,21 31,01,22 31,41,23 31,81,24 32,21,25 32,61,26 33,01,27 33,41,28 33,81,29 34,21,30 34,6
3.- Para hacer un modelo de regresión necesitamos lápiz (o bolígrafo), folios y una
calculadora elemental. Nada más. En las prácticas era suficiente con introducir los
datos relativos a x y a y. Sin embargo, para hacer las cosas sin ordenador hay que
trabajar un poquito más. Por ese motivo vamos a hacer ejercicios con pocos
datos.
La idea es escribir una tabla como la siguiente:
En dicha tabla, además de introducir los valores de x e y, nos ayudamos de la
calculadora para hacer el resto de columnas y las sumas finales de cada una de
ellas. A partir de esta tabla, y conociendo las fórmulas de la varianza y la
covarianza, las calculamos tal y como aparecen a la derecha de la tabla. A partir
de las medias, las varianzas y la covarianza se calculan los coeficientes de la
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recta de regresión de y sobre x. Recordemos que en la recta de regresión
y = a + bx, los coeficientes a y están dados por las siguientes fórmulas:
Por lo tanto, la recta es y = −5,0847 + 7,283x .Esta recta es la que mejor predice el
comportamiento de la variable y en función de la variable x. Así, para calcular lo
que podemos esperar que cueste un automóvil de 1,1 Tm, basta sustituir en la
recta de regresión la x por 1,1: y(1,1) = −5,0847 + 7,283 · 1,1=2,9266 millones.
Éste es el valor esperado (o valor que predice) nuestra regresión lineal para
x = 1,1.
Para saber si la predicción es fiable (si el ajuste es bueno), calculamos el
coeficiente de correlación lineal r
Que es bastante próximo a 1. Por tanto, los resultados se pueden considerar
fiables.
4.- Si representamos los datos como puntos de coordenadas (xi,yi) en el plano
vemos que, efectivamente, éstos podrían ajustarse a una recta, lo que nos indica
que la velocidad de reacción aumenta “linealmente” con la concentración de
glucógenas. Al igual que en el problema anterior, debemos elaborar una tabla con
los valores observados de las variables x e y y, a partir de ellos, completar las
columnas siguientes ayudados de la calculadora
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A partir de aquí, hacemos también el cálculo de los estadísticos descriptivos más
sencillos: medias, varianzas y covarianza.
A continuación, calculamos los coeficientes a y b de la recta de regresión
y = a + bx:
La recta de regresión es y = 1,2112204 + 18,648343x ; en la figura se ve cómo se
ajustan los datos a ella.
Para calcular la velocidad de reacción a una concentración de 2,5 mili moles/litro,
basta sustituir x por 2,5 en la recta de regresión: y(2,5) = 1,2112204 + 18,648343 ·
2,5 = 47,832078 micro moles/minuto.
Finalmente, vemos si el ajuste lineal es bueno calculando el coeficiente de
correlación lineal r:
Que es muy próximo a 1. Por tanto, la dependencia lineal es buena.
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5.- La representación de la nube de puntos nos da la idea de que un buen ajuste
va a ser el lineal aunque tampoco debemos descartar el ajuste exponencial sólo
por el dibujo:
Ajuste por una función lineal:
Como es habitual, introducimos la tabla con las columnas siguientes:
Por tanto, la recta de regresión es y = 3,7467 + 0,288x .
(b) Ajuste por una función exponencial: Como la función buscada es y = aebx,
tomando logaritmos tenemos que log y = log a + bx. Llamamos a la nueva variable
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y = log y y también hacemos a = log a. Tenemos entonces que calcular entonces
la recta de regresión y = a +bx para las nuevas variables y y x
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PROBLEMAS
Problema 1
En las practicas era suficiente con introducir los datos relativos a x y a y. Sin
embargo, para hacer las cosas sin ordenador hay que trabajar un poquito mas.
Por ese motivo vamos a hacer ejercicios con pocos datos.
La idea es escribir una tabla como la siguiente:
En dicha tabla, ademas de introducir los valores de x e y, nos ayudamos de la
calculadora para hacer el resto de columnas y las sumas finales de cada una de
ellas. A partir de esta tabla, y conociendo las formulas de la varianza y la
covarianza, las calculamos tal y como aparecen a la derecha de la tabla.
A partir de las medias, las varianzas y la covarianza se calculan los coeficientes de
la recta de regresion de y sobre x. Recordemos que en la recta de regresion y = a
+ bx, los coeficientes a y b estan dados por las siguientes formulas:
Por lo tanto la recta es:
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ESTADISTICA INFERENCIALTEMA: REGRESION LINEAL
Esta recta es la que mejor predice el comportamiento de la variable y en funcion
de la variable x. Asi, para calcular lo que podemos esperar que cueste un
automovil de 1, 1 Tm, basta sustituir en la recta de regresion la x por 1;1: y(1;1) =
¡5;0847 + 7;283 ¢ 1;1 = 2;9266 millones. Este es el valor esperado (o valor que
predice) nuestra regresion lineal para x = 1;1. Para saber si la predicciones fiable
(si el ajuste es bueno), calculamos el coeficiente de correlacion lineal r:
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