b ha senb solución - universidad nacional de colombia ... · y las longitudes de los lados de un...

d)

-ÜFÍ

Cotx-b AxcCotb+nx

e)

b<^21 _JLíjbs4 b> 4 2 2 2

ArcSeax-b No ha y Senb No hay

solución solución

f)

b<0 Oibií b>i

AxcCoax-b No hay- x=Coab No hay

solución solución

Jbs^L . 2 2 2 2

AxcTeuix~b No bey x-T&nb No hay

soluciones solución

h!

ArcCotjfjb

b<0 0<b\n b>ü

ArcCotjfjb No hay

soluciones

x-Cotjb No hay

solución

378

III. Justificar el siguiente cuadro paso a paso e ilustrarlo

con ejemplos.

a)

Desigualdad b<-l b=-l - í í t . a b=l b>l

CoBx>b /

(—as, +m) (-x+2nn.x+2nK) rmZ (2ax -ArcCoab. 2nn+AccCo0b) no hay no hay

solución solución

CO0x<b No hay

solucion

No hay

solucion

(2nx+ArcCoob,2n-AxcCosb*2nx) (2ni,2H+2nK! (-»,+ffi)

b!

bí-l -í b<l b=l b>l

S*nx>b (-Ej+ffi) (^ *2nx, 3 nit, +2nn) (AxcSemb+2nx. 2nrt - ArcSenb) No hay solución

No hay

solucion

Senx<b No hay

solucion

No hay

solucion

(—x-AzcSenb+2nn,AzcSeob+2nx) 2 2

c!

|

Tnnx>b {AzcT&nb+nx, — ) 2 «

Ttuvc<b (+DX . AzcTanb+rm) Ttuvc<b 2

379

d)

- OO < b < +00 Cotx > b (mr,ArcCotb + n tr )

Cotx < b (ArcCotb + ni , n + mr )

e)

ArcSaax>Jt)

ArcSenx<b

b<-? h _7r h > ïï b= —2f- b > — 2 2 2

ArcSaax>Jt)

ArcSenx<b

[-1,1] [-1 ,1 ] (Senb,1] No hay solución

No hay solución

ArcSaax>Jt)

ArcSenx<b No hay solución

No hay solución

[-1, Senb] [-1,1] [-1,1]

f)

AxcCoax> b

AxcCoax<b

b <0 b = 0 0 < b < TT b = TT b >IT

AxcCoax> b

AxcCoax<b

[-1,1] [-1,1] [-1 , Cosb] No hay solución

No hay solución

AxcCoax> b

AxcCoax<b No hay solución

No hay solución

(Coab, 1) [-1 ,1] [-1,1]

9)

AxcT&nxìb

AxcTanx<.b

bi^* 2 2 2 2

AxcT&nxìb

AxcTanx<.b

( - CO , + OO ) (Tanb,+-) No hay solución

AxcT&nxìb

AxcTanx<.b No hay solución

( - œ, Tan b) ( + )

380

h)

b< 0 0< b <7T b > TT

ArcCotx>b (-<*>,+ OO ) ( -<» , Cotb) No hay solución

ArcCot<b No hay solución (Cotb, + «> ) ( _ œ , + œ )

381

3.3.13 FORMAS TRIGOHOMfiTRICAS DE HÚMEROS COMPLEJOS

Recuerde que en la sección sobre números, Be representó un

número complejo Z=x+iy, utilizando coordenadas polares, en la

forma:

Z=x+iy=rCos6+irSen6 con r-Jx2+y2 y .

Esta representación se conoce con el nombre de forma polar o

trigonométrica del número complejo Z=x+iy, y se utiliza

frecuentemente con el fin de simplificar cálculos, ya que

como se verá, utilizando identidades trigomométricas

adecuadas, facilita algunas operaciones entre números

complejos.

1. Si Z=rCos8+irSenO y W=pCosu+ipSenu son dos números

complejos en forma polar, entonces

Z .W = (rCosd+irSen6)(pCosu+ipS.enu)

=rpCos0Cosu+irpCos0Senu+irpSen0Cosu+i2rpSenOSenu

=rp(Cos0Cosu-SenOSenu)+irp(CosOSenu+SendCosn)

= rp[Cos(6+u) + iSen(0+u)].

Observe que del anterior resultado se deduce que:

|ZW| = |Z||W.| (Ejercicio).

382

2. Generalizando 1, para el producto de n números complejos •v

iguales se puede demostrar, utilizando inducción

matemática, el llamado Teorema de DeMoivre:

Si Z=rCos8+irSen0, entonces para todo n€N se tiene:

Z n=r n[Cosn8+iSennO] (Ejercicio)

3. Si Z=rCos0+irSen6 y W^pCosu+ipSenu entonces _Z _ zCosto+lzSei18 _ r ( C o a 8 + i S e n 8 ) (Cogii- i ffgnu) W ~ pCo8\x+ipSen\k p (Cos\x+lSen\i) (Cosn- iSer in)

i (Cog&Co8\x-íCo8&Senu,+lSer&Co8\x +Seü$Sen\L) P Cos2n+Sen2ii

= — I (Cos8Cos|i+Ser&Sen\i) + i (C08\xSer&-C08&Sen\x) ] P

= — (COO(6- | i )+ i5en<e- | i ) ) P

Ejemplos

1. Si Z=-l+i=x+iy=rCos8+irSen8, entonces:

T ' y f x ^ p ^ i - y i — 1 y así

pues Z se encuentra en el 2 d o cuadrante (Fig 3.92) V

383

Si Z-l-i/í-x+iy , entonces r*V*2+y2,aVl+ (-V^)a-/T-2 I

, por tanto 8=300°, pues el punto se x 1 encuentra en el 4 r t cuadrante (Fig 3.93)

Y

-l+i/J-x+iy , por tanto

y TanS" • •"" jffi , entonces pues el punto se

encuentra en el 2 d o cuadrante, luego

-l+Íy^-2(C0S-^-+ÍSeJI-^-) y así:

(-l+iy'S) 1 0-2 1 0(COS-^+¿Sen-^p-) —512+886. 8i

Calcular (l+¿)10

384

<l+i)10 -(v^(COS45°+i5eJ3450))10-

= (y^)10 (Cost450B +iSen450°)

= 32 (CO£r(360° +90°) +i£ten(360° +90°) )

= 32 (COS90° +lSen90°) -32i

5. Efectuar la operación -2(-l+1J5)(J5+1)

-2(-l+i^) (v^+i) =

= 2(COBlQQ°+lSenl8(f) (2) (Cosl2(f +lSenl2(f) (2) (COB3(f +isen3(f)

- 4 (Coa30(f +lSen300°) 2 ( Cob30° +iSen30°)

= 8 (COB33(f +Í5©n330a)

2 2

6. Efectuar la operación . -2^/5+2 i

4-4i/? _ 8 (COB300°+lSen300o) -2J3+21 4 (Casi50o +i£tenl50°)

= 2 (Cos(300° -150°) +i£>eil (300° -150°) )

2 2

3.3.13.1 RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO

Dado un número complejo Z=x+iy, se dice que el número

385

complejo W=u+iv, es una raiz n-ésima del número complejo Z,

si W"=Z.

Si Z=x+iy=rCos8+irSen0 y W=u+iv=pCosu+ipSenp. es una raíz

n-ésima de Z. ¿Cómo se representa el número complejo W en

términos de r y 8?. Para ello:

W"=Z«*(p(Cosn+iSenu) )n=r(Cos6+iSenO)*

p"(Cosnu+iSennu) = r(Cos9+iSen8) = r(Cos(0+2kn:)+iSen(8+2kit)

pn = t p = r'« y Cosnu=Cos(6+2kTt) y Sen(nu)=Sen(0+2kTc).

Entonces nu=0+2kn VkeZ , es decir, Ji" , luego para cada n

entero k el número complejo:

ai-r • (Cog( *+2kK ) +lsen( e+ 2 j c*)) , es raíz n-ésima de Z=x+iy; n n

pero es posible demostrar que entre estos valores solamente

hay n diferentes: para k=0,1,2,...,n-1 llamémoslos

Wia , Wi, . . . , Wn-i y que para cualquier otro valor de R, el

número complejo Wk coincide con alguno de estos, es decir, un

número complejo Z tiene exactamente n raices diferentes.

Ejemplo 1

Hallar las raices cuadradas de Z=l-i.

Como

386

1-i-v^ {Co8l35? +lSen315°) =

,/Z (COB (315*+2kl80° )+1COB (315°+2klB0°))2

M 315°+2*100° ̂ , y ^ / 315o+2jcl80* , „ (1-1)a-24(Cos( - )+¿Sejj( - )) para k=0

k=l, es decir; las raices son:

0 2 2

( C o g ( 315^360- ) + J 5 e n ( 315^3601,,

Ejemplo 2

Hallar las raíces cuartas del complejo Como -8-8v^¿«16 (COS240°+iSen240°) =

< - B - 9 # 0 * - 1 6 * (CÓS( 2AQ'\k36(f)+iSen( 2 * 0 m W } ) p a r 4 4 k=0,1,2,3, es decir; las raices son:

&r0=2 (Cos-^^+iSen-^^-) -2 (Cos6 0o +íSen6 0°) 4 4

A A

W^-2 (COS( 240°+360" ) +i5<?JJ( 240a+360° } } - 2 ( C o g l 5 ( f 1 5 Qo > 4 4

= 2

(COS ( 2 4 ° O t 7 2 0 ° ) +iseil ( 2 4 0 * + 2 7 0 ' ) ) -2 (COS24(7" +¿S<MJ240°) 4 4

387

y 3-2(CO g( 2 4 Q'^ 1 0 8 0 < >) +i Sen( 21011JL0801)) -2(00833?+ÍS61**0«) 4 4

= - 1

Ejemplo 3

Hallar las raices cuartas de Z=l.

Como l = l(Coso+ iSen0 )=Cos(0+2kit) + iSen(0+2krt) , entonces

k=0,1,2,3, es decir, 4 4

W0 - CoaO+lSenO" 1

Wx~COB < 4 ) +i5©il ( 4 ) -i » A

w2mCo8% +isenn —1

Wj—Cos ( ) +¿5e n (iJL) — ¿

Observe que estas raices son los vértices de un cuadrado

inscrito en la circunferencia x 2+y 2=l

388

EJERCICIOS

1. Escribir los siguientes números complejos en la forma

polar.

a) -3-3i b) 3+3i

c) -3+3i d) 3-3i

e) f) i

g) l-iyfS

2. Efectuar las operaciones indicadas en forma polar

. (3-3ÍV?)(-2-21V?) (I(l-i)(l+i)

=2 b ) (-v^+i) (^3+i)

-4VJ-4i

d)

e) (i(l-¿))"

f ) (l^i)'(v^-i)3

(1+ÍV5)'

3. Dar la forma rectangular de los complejos siguientes:

389

a) 2(C08600+Ísen60°)

b) 4(COSl20o+iSei3l20o)

c) A(Coal20°-lSenl20a)

8(Cos300°+lSen300°) 2 (Cosí 5 0a +iSonl 5 0o)

e ) 32 (Cos60° +I¿>en6 0°) (CoaAS*+lSen45°)) CCOS90o +¿501390°) (5 (COS27 0o +¿Ssn27 0o) )

4.

a) Hallar las raices terceras y quintas de 1 (¿Son vértices

de algún polígono?)

b) Hallar las raices cúbicas de Z-J3-i

c) Hallar las raices cuartas de Z--1+Í

d) Hallar las raices cuadradas de i

e) Hallar las raices cúbicas de Z--8Í y Z-27 i

390

3.3.13.2 SOLUCION DE TRIANGULOS

Resulta útil en algunas aplicaciones de la trigonometría, lo

que se conoce con el nombre de solución de triángulos, que

consiste en determinar las magnitudes de los ángulos internos

y las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera

dado, conociendo inicialmente algunos de estos datos. Para

ellos es necesario conocer tres teoremas fundamentales:

Teoréma del Seno, Del Coseno y de la Tangente

Teorema del seno

Sean A, B, C los ángulos y a, b, c sus respectivos lados

opuestos en un triángulo (Fig .3.94) Entonces

B

A C b F i g 3 . 9 4

SenA r SenB r SenC a b e

Para su demostración consideremos la figura 3.95

391

De la figura 3.95 a) se tiene:

SenAentonces h-cSenA ;

SenC-— entonces h-aSenC a

Por tanto cSenA-aSenC , es decir

SenA SenC • S • a c

Y de la figura 3.95 b) se tiene: Ir

SenA"— entonces k-bSenA b

Ir SenB»— entonces k-aSeríB a

Por tanto bSenA-aSenB , es decir:

SenA SenB a " b

y así . SenAm SenBM SenC a b e

392

Ejemplos

Hallar el valor de a en la figura siguiente:

c

A+B+C= 180° C=180°-(A+B)=180°-(28O+45O 20')=106° 20' -»de SenA SenC .. cSenA _ 120°.Sai328' • se tiene que ® —~ 'tt r 7 a c 4 SenC Senl06*20'

Teorema del coseno

Sea A, B, C, los ángulos y a, b, c sus respectivos lados

opuestos en un triángulo (Fig 3.96) entonces

c

Fig 3.96

393

i) a 2=b 2+c 2-2bcCosA

ii) b 2=a 2+c 2-2acCosB

i i i) c 2=a 2+b 2-2abCosC

Demostración

De la figura 3.96 h=aSenB, BD=aCosB entonces ÁD=ÁB-BD=c-aCosB

entonces

b 2 = h2+( ÁlT)2 = h 2 + ( c-aCosB ) 2=a 2Sen 2B+c 2-2acCosB+a 2Cos 2B

=a 2(Sen 2B+Cos 2B)+c 2-2acCosB=a 2+c 2-2acCosB entonces

b 2=a 2+c 2-2acCosB.

La parte ii) y i i i) se demuestran en forma análoga

(Ejercicio)

Ejemplo

En la figura siguiente se aprecia un triángulo cuyos lados

miden a=9.23 b=5.04 c=10.6, halle el ángulo A

c

408

a 2=b 2+c 2-2bcCosA - CosA- »*+c*-a* . (5.04) »+ (10.6) <9 .23)2 2be 2(5.04)(10.6) asi

¿-COS-' <5 • • « > • 2 -60• 5-2(5.04)(10.6)

Teoréna de la Tangente

Sean A, B C los ángulos y a , b, c sus respectivos lados

opuestos en un triángulo cualquiera (Fig 3.97) entonces:

T a n ( A j a-b

A-B k 2

A+B j i ) a~ J J -

a + i ,~ Tan(

, ran( b-c 2

2

fl-Cv 2

áat i ai i \ —— ;

Ü D £=SL 2 ^ T 2

Fig 3.97

406

Demostración

i) Por el teorema del seno se tiene que — — • 'f00^ c Sene c Sene

a-b _ a _ b _ SenA _ SenB _ SenA-SenE c c c Sene Sene Sene

a+jb _ a + b _ SenA + SenB _ SenA+Sen£ c c c Sene Sene* Sene

a-b c _ a-b _ SenC ^ SenA-SenB, _

a+jb a+jb SenC SenA+SenB

2Cos(-àlJl)Sen(-££)

r a n í - ^ ) a

ran(Aí^)

En forma análoga se demuestran ii) y iii) (Ejercicio)

396

EJERCICIOS

Los problemas del 1 al 4 se refieren a la figura siguiente:

B

1. Si A=50°40' , b=7.03mts, c=7.00mts, halle el ángulo A.

2. a=4mts, b=10mts, c=9mts, halle los ángulos A, B, C

3. Si b=125mts, A=41.6°, C=95°, halle el ángulo B

4. Si A=26°, a=10mts, b=18mts, halle el ángulo B

5. Si C=90° demuestre utilizando el teoréma del coseno que

a 2+b 2=c 2.

6. En el triángulo de la figura siguiente

A

Se tiene que a=322mts, c=212mts y B=110°50', halle el valor

de b, el ángulo A y el ángulo C.

397

3.3.14 FUNCION EXPONENCIAL

Dado un número real a>0, se definirá la función f(x)=a x paso

a paso, haciendo que "a" recorra los diferentes sistemas

numéricos conocidos.

I. Si neN.se define para a€R, a cualquiera:

a n= a*a*a*a*a*....*a (n veces)

Fácilmente se demuestra que esta función exponencial

satisface las propiedades siguientes:

el. a n a m = a n + m , n,meN

en efecto:

a na m= ( a*a*a* . . .*a)(a*a*a*. . . . *a )- a*a*a*a*a*a* *a=a n+ m

e2. (ab) n=a nb n

Demostración (Ejercicio)

e3. e*o C cn

que resulta inmediata de e2 haciendo

e4. <a n) a-a a n n,meN

Demostración (Ejercicio)

398

Ejemplos 1. 3°=3*3*3*3*3=243

2. 2 3*2 5=2 3 + 5=2 e=256

3. (-5*2) 3=(-5) 3*2 3=-1000

4. (23) * =2 3*2 3*2 3*2 3=2 1 2=4096

II. Se define a 0 = l, para a*0.

Por ejemplo <4)°-l 5 ; 7® = 1; (14299)®=1. 5 2

III. Si neN se define:

a*=Va p a r a n p a r y a > 0 y

si n e s impar y a € Í

Ejemplos

2.

399

3.

IV. Si n,m€N, se define:

a--(a-) "-(Va)" p a r a a > 0

Ejemplos

1.

2.

2 -A. *, 3 > < i > a - < 7 * )

3 -i 5 4 1

En conjunto; I, II, III, y IV definen a* para x€Q, pues

cualquier número racional cae en alguna de estas situaciones,

y se puede demostrar que la función f(x) así definida

(f(x)=a*) satisface las propiedades el, e2, e3 y e4 (Observe

que a diferencia de lo planteado en I, "a" ya no puede ser

cualquier real sino que debe ser mayor que cero).

V. En general dado un número xeR, se puede definir la función

f(x)=a x para a>0. Para el caso que no quedó definido en

IV, es decir para x irracional, se debe tener en cuenta

que cualquier número irracional se puede aproximar tanto

como se quiera por exceso o por defecto por un número

racional (posteriormente se verá que rigurosamente, esta

idea y la correspondiente definición de a x para x

400

irracional, se puede dar, utilizando el concepto de

sucesión convergente).

Se puede verificar que esta función exponencial asi definida

(f(x)=a*, a>0, x€&) satisface también las propiedades el, e2,

e3 y e4.

Ejemplos

1. 2V*-2.8284. . .

2 3^-6.7046...

3. 5*«»156 .9925 . . .

3.3.14.1. CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Teniendo en cuenta que el dominio de f(x)=a*, es el conjunto

de los números reales, tomando algúnos valores de x en I y

calculando sus correspondientes valores de y para dos casos

particulares de a: El primero a=2 (a>l) y el segundo para

(0<a<l) se puede construir las siguientes tablas:

401

X -5 -2.5 -n -1 0 1 1.8 3 TI 4

2X 0.031 0.176 0.375 0.5 1 1.414 2 3.48 8 8.824 16

X -5 -2.5 -1 0 H 1 1.8 3 K 4

32 5.656 2.665 2 1 0.707 0.5 0.287 0.125 0.113 0.062

Y plasmando estos valores en el plano xy se obtienen las

correspondientes gráficas para f(x) = 23t, y g(x) = C$)* (Fig

3.98)

-6. -4.

Fig 3.98

En general se puede apreciar que el gráfico de f(x)=ax para

a>l, tiene características similares al de f(x)=2x y para

0<a<l tiene características similares al de f(x)=(^)x (Fig

3.99)

402

flx\ -a * a>l g(x)-a* 0<a<l

De estas gráficas se pueden intuir algunas propiedades de las

funciones exponenciales, que se enunciarán a continuación,

pero cuya demostración rigurosa requiere elementos de cálculo

diferencial.

1. a0=l, para a>0

2. f(x)=ax>0 para todo x€l y a>0

3. La gráfica de f(x)=ax para cualquier a>0, no presenta

interrupciones, es decir, su trazo es continuo.

4. Si xi>x2 -aXl>aXl si a>l

aXi<aJI% si 0<a<l

ó dicho de otra forma, para a>l, la función f(x)=ax es

creciente, lo que significa gráficamente que a medida que

la variable x toma valores cada vez más grandes, sus

4«3

imágenes también toman valores cada vez más grandes, y

para 0<a<l es decreciente, lo que significa que a medida

que la variable x toma valores cada vez más grandes, sus

imágenes toman valores cada vez más pequeños.

5. Para a>l, la imágen de f(x)=ax, puede ser tan grande como

se quiera tomando a x suficientemente grande. (Cuando x

tiende a +<», f(x) tiende a +«) y tomando a x

suficientemente pequeño (x<0) sus imágenes tienden a

pegarse al eje x sin tocarlo. (Cuando x tiende a -« la

función f(x)=ax tiende a cero).

Para el caso 0<a<l a medida que x se hace más grande sus

imágenes se acercan a cero y para valores de x

suficientemente pequeños (x<0) sus imágenes tomarán valores

tan grandes como se quiera.

3.3.14.2. EL HUMERO e

Considérese la expresión " •

Dando algunos valores a n, y haciendo que estos valores sean

cada vez más grandes, se tiene la siguiente tabla:

404

n 1 100 1000 100000 1000000 10000000

(1+—) 11 a 2 2.7048 2.7169 2.71826 2.71828 2.71828

De ella se puede apreciar que (1+—) n es cada vez grande a n medida que n es mayor, pero nunca será mayor que 3. En

realidad en un curso posterior se podrá demostrar que esta

expresión tiende, cuando n tiende a +<*>, a un número, el cual

resulta ser irracional. A este número se le nota por e y

tiene aproximadamente el valor de:

©-2.71828182...

En la práctica la función exponencial en base "e" es la máá

utilizada, a tal punto que cuando se hace referencia a la

función exponencial sin especificar su base, se debe entender

que se trata de f(x)=ex.

3.3.15. FUNCIÓN LOGARITMO

Puesto que la función f(x) a*, a>0, a*l es inyectiva, entonces existe su inversa jf_1(x) , la cuál se llama función logaritmo en base a y se nota por :

f'1 (x) -Loga x Esta función satisface por tanto que:

y» a * - Loga y-x

405

y sirve para despejar x en una ecuación de la forma ax=b; ya

que : ax-b ** Logma*-Logmb ** x-Loga b (pues Log aa*-x ).

Recíprocamente, si se trata de despejar x en una ecuación de la forma, Loga x**b se hace utilizando la función

exponencial en base a, pues Loga x-b * aLoa,x«ato w X-a"

(pues a L o V a*mx >•

La función y~Logm x con a=e, es decir, la inversa de g(x) = e x se llama Función logaritmo natural y se nota por

F(x)=Ln(x).

En muchas ocasiones en el trabajo con logaritmos en base

diferente a e, se prefiere hacer una transformación adecuada

que nos permita trabajar en esta base.

Puesto que f(x)-Logax es la inversa de g(x)=ax, entonces sus gráficos deben ser simétricos respecto a la recta y=x

(Fig 3.100) y-a *

4§6

Ejemplos

1. Si x-25 - Log2 x-Log2 25-5

2. Si Log, 4 * x«3*

3. Si Log±x=-3 -

4. Si x*>8~2 "* Log„ x=LogB 8"2«-2

5. Logr5 53=3

6. 2-2

De las gráficas de la función logaritmo de pueden deducir las

siguientes propiedades:

1. Logm 1-0 , a

2. El dominio de la función logaritmo en base a es (0,°°) y su

recorrido es todo R.

3. Si a>l, f(x)<=Logax es una función creciente, y si 0<a<l es decreciente.

4. Si a> 1, f(x)-Logax tiende a cuando x tiende a +® y tiende a -«• cuando x tiende a cero.

Si 0<a<l, f(x)"Logax tiende a cuando x tiende a +» y* tiende a +» cuando x tiende a cero.

393

3.15.1. OTRAS PROPIEDADES

Loga xy~Logm x+Logm y

Demostración

Sea Z'Log„ x+Logm y - a *-a ̂ x+l08r" y - a * a y-xy

z a ~xy

decir por tanto Loga a *-Loga xy entonces

Z"Logm xy , y así Logm xy-Loga x*Logm y .

Ejemplo 1

i) Log3 (125) mLog3 5*5*5-Logr3 5 +Log3 5*Log3 5

ii) Log2 i+Log2 20 +Log2 10~Log2 4*20*10-Loga 800

Ejemplo 2

Hallar el valor de x tal que Log10 X"LogÍO 5 +Log10 4+Log10 5 .

Log10 x-Logx0 5+Log10 4 +Log10 5 =

Logí0 5*4*5«Logr10 100»Log10 102=2 entonces

Logí0 x-2 y así x»102

N o t a El logaritmo en base 10, se nota por Logx, es deci

Log10 xmLogx .

7 -Log* x-Logm y

Demostración (Ejercicio)

408

Ejemplos

i) Log(~) *Logl5-Log5

5

i i) Log2-Log4-Log3+Log24-Log2+Log24-Log4-Log3

Log48-Logl2"Log4 i u ) Log—— •Logabc-LogxyLoga*Logb*íogc-Logx-Logy

3 ) Loga x"=aiLogm x

Demostración (Ejercicio)

4) Log^B x*=~Loga x

Demostración

(a *)*-a mLoe' *-a ̂ x" -x"

y tomando logaritmo en base a B en esta igualdad se tiene

x-Loga a x«

Ejemplos

i) Log2 25=~Log2 2=5

U ) Log^ 64=Log ^ 2« = A L o g a 2=12 T

iii) Log9 6-Log3» 6-Log3í 2*3»Log3a 2 +Log3» 3

1 . 1 = - | L O G 3 2 + I - L O G 3 3 - I . + I . L O G 3 2

4#9

a * - b M h ' Demostración

»m^LoQb **max

Esta propiedad permite pasar una función exponencial en

una base dada, a cualquier otra base. En particular

a *=e*LOÍ*

Ejemplos

i ) 2x-3*Loflr» 3

i i ) 5x«2*Lotr* 9

Logh x Logm xm ° , es decir, Logb x~LogM x*Logb a i*ogb a

Demostración

bLoe'x*LcVhm-(bCoffbm)L°9mX-(a)Lca'x-x y tomando logaritmo en base b se tiene: Loga x*Logb a-Logb x • es decir

Logb x Log„ X« JX>

a Logb a

Esta propiedad permite cambiar de base en los logaritmos y

en particular es importante el cambio de cualquier base a

la base "e" pues, por ejemplo en las calculadoras manuales

solo figuran Ln y Log y no logaritmos en otras bases, por tanto para calcular LogB x se debe considerar:

418

r „ „ Lnx Log. x - — — Lna Ejemplos

Log2 x . ^ ^ - j g g

m ) LOO. 7«* «= 1 1 1 ; Log-j 5 Log7 5

7) Loga x«Log, y ~ x»y

Demostración (Ejercicio)

Ejemplos

i> Log3 x»iog3 5 -» x-5

ii) Si x=7 - Log2 X"Log2 1

3.3.15.2. ECUACIONES EN LOGARITMOS

1. Hallar x tal que 2 x = 5lt.

Tomando logaritmo natural en ambos lados de la ecuación se*

t iene:

Ln2 *=Ln5 * -» xLn2-xLn5 •* x(Ln5-Ln2) -0

- xLn(-j) =0 -» x-0

411

2. Hallar x tal que 3*»27 . Tomando logaritmo en base 3 en ambos lados de la ecuación

se tiene:

Log3 3*=Logy 27 -» x=Log3 33 x»3

3. Hallar x tal que Log(x-15)+Logx*2 •

En primer lugar x>0 y x-15>0, es decir, x>15 (¿Por qué). Log(x-15) +Logx-Log( (x-15)x) -2 entonces x(x-15)=100

x2-15x-100=0 - (x-20)(x+5)=0 -

x=20 ó x = -5 y así x=20 es el valor que satisface la

ecuac ion.

15 4. Hallar x tal que Log2 X+Lcgi X+Logl X+Log^ •

Pasamos todos los logaritmos a base 2 así:

Log\ x=Log3-x x=-Log2 x 2

Logm x=Log ± x=-^-Log2 x=2Log3 x v aJ ¿ 2

LogA X=Log2t X=^-Log2 X ; entonces

1 5 15 Log2 x-Log2 x+~Log2 x+2Log2 x=-—Log2 x- — ¿ 6 <H

412

entonces Log2 x«3 y así x=23=8 que es solución de la ecuación, ya que se encuentra en el intervalo (0,+«) y

satisface la ecuación. (Ejercicio).

Solucionar la ecuación VLogx~LogJx*-iLogx .

logxiO y x>0 -> x>l y x>0 -» x>l.

elevando al cuadrado ambos términos de la ecuación se

tiene: 1 1 1 -» Logx-—Log7 X" Logx (1--^-Logx) =0 Logx-0 ó l--±-2ogx-0 4 4 4

x—100 — 1 ó 1 '•—•Lox-, Logx=4 ó x=104 , así que: 4

x=l y x=104 satisfacen la ecuación (Ejercicio)

Solucionar la ecuación L°9 X

Logx 2 - — — - — - 3 - —-Log, x - „«•J 9K Log2 x 3 2 *" 2

Solucionar la ecuación LogK {Log2 (Log2 x)) «0

si Logi (Logs (Logax))«0 ~ Log3(Log2 x)) ~ 1 - Loga x-3 y así x=23

413

EJERCICIOS

I. Escribir las siguientes igualdades en forma logarítmica:

a) 2»=32 b) 103=1000 c) <7)4=-¿- d)

II. Escribir las siguientes igualdades en forma exponencial

a) Log2 64-6

b) Log3 81-4

c) Log% 125-3

d) LogO.01--2

III. Usando la definición de logaritmo, hallar x tal que:

a) X'Logj 27

b) x-Loga 16

c) x-Log2 0.125

d) Log5 x-o

e) LogA x - |

f > LogB x — 2

g) Logx'-O.02

IV. Para qué bases

a> Loga 36-2

b ) Logh 36 =1

414

C ) Loge 2 7 — |

d) Logd 2-0.5

V. ¿Cuáles de los siguientes pares de números es mayor?:

a) Logs 32 ; Log2 5

b) Logs 14 ; Log1 18

c) Log± J3 ; Log± J2

VI. Hallar el valor númerico de:

a) Log3 ((Log¡Log2 16))

b) Log2 *y/IE+LogB *</2-Log3 (27y/5)-Logs (v^T?)

VII. Resolver las ecuaciones siguientes:

1) 5X=125

2. Log2 (x-5) «3

3) Log(x-3) -3

4) Lnu-3)-3

4. Logx»2Log3+3Log5

5) Logx- 3 Log2 - 2 Log3+Log5

6) Logj. (x+1) -Log± (x-3)=l ' a a

7) Log2 (x+4)-4

8) Log3 Logñ Log2 (x+5)--1 +Log3 2

415

9) xLctpc"100x

10) Log2 (9*~1+7)-2+Log2 (3X_1+1)

11) i/xLo°Vx„10

12) Log2 x^Logi x+Log, x+Logit x-Logx 8

13) Logj x-9 Loga x«4

14) x+Log(l+2x)~xLog5+Log6

15) Log^/l+x+3Log^/l -X'LogJl -x2 +2

16) Log'1 x=2 +Logx~l

17) ì + -1 ' S-Logx l+Logx

416

3.3.15.3. ALGUNAS DESIGUALDADES

1. S i a> 1, 0 < x i < x 2 * Logm xy<Loga x^

Demostración

Como 0<xi<x2, existen Logm xx

y Logm x2 y así

X K X 2 - x 1 - a X o f l r " *l<x2-aLOVa ** - » i < a ¿ < v . - Loga xí<Logm x2 ,

pues para a>l, f(x)=a* es creciente.

Ejemplos

a) 22<24 "» Log2 22<Log2 24 pues a = 2> 1

b) 3<27 -» Log¡ 3<Log3 27 pues a = 3> 1

c) Si x<23 - Log2 x<Log2 8 -» Log2 x<3

d) Si Log5 x<2 - x<52

e) Si 3x>7 - Log3 3*>Log3 7 - x>Log3 7

f ) Si x>Log2 3 «• 2*>3

h) Si Loga x>4 x>2*

i) Si x>36 - Log3 x> 6

417

2. Si 0<a< 1; 0<xi<xz ~ Logm xv>Loga x^

Demostración (Ejercicio)

Ejemplos

a) - t t < - t L°9± >Log± (±) , p Ues a=>S<l l o 4 * 1

b) Log± (-£-)>Log± -i- - > P u e s a=2/3<l

1 3 c) Si Logx x<3 - ( i j ^ i ' w i j S - *>( i ) a v a; 2

d) Si x > ( A ) 5 - ( i j ^ ' x i ) » - Logx x<5 3 x 3 3 *

e) Si Logx x>4 -

f) Si Logx x >2 x<(^) 2 2 2

Otros Ejemplos

1) Solucionar Log3 (2x-5)<2 .

a=3>0; 2x-5>0, es decir x > \ > para que I<og2 (2x-5)

tenga sentido.

Log3 (2x-5) <2 -» 2x-5<3a -» 2x<9+5-14 -» x<7 . y como

X > 4 -»el conjunto solución es (-j/7) .

2. Hallar el conjunto solución de

418

Log3 | 2x-5 | >2 . En esta desigualdad x puede tomar cualquier valor real

x*5/2, luego si Log3 | 2x-5 | >2 ¡ 2x-5| >32 = 9 ̂ 2x-5| >9 y la solución de ésta desigualdad es:

|2x-5¡ 5-2x 2x-5

5-2x>9 (I) -| 2x-5 >9 (II)

i) Si x ¿ - | ¡ 2x-5 | «5-2x>9 5-9>2x -4>2x •• x-2 .

Luego la solución en i) es (-°°,-2)n(-oo,-j] = (-«•,-2)

ii) Si » 4 12x-5 | =2x-5>9 •• 2x>14 « x>7 , mí

Luego la solución en ii) es (-7 , +«•) n[-|-, +«•) = (7, +«•) .

419

Asi la solución total es (-«•, -2) U(l, +••) .

3. Hallar el conjunto solución de Logx (x+6) <2

a) Si x>l ;

Logx (x+6) <2 •» (x+6)<x2 - x2-x-6>0 ~

(x-3) (x+2) >0 -x€(-oo,-2)U(3,+«) (Ejercicio).

Como x+6>0 x>-6 por tanto la solución es

[ (-«, -2) C7(3, +«) ] n(i, +<») n(-6, +«) - <3, +••)

b) Si 0<x<l, Logx (x+6) <2 - (x+6) >x2 - x2-x-6 <0 - (x-3) (x+2) <0

xe(-2,3) (Ejercicio).

Y asi la solución para este caso es

(-2»3)n(o,i)n(-6,+«)=(o,i)

Luego la solución total es (3,+» )U(0,1) .

4. Hallar el conjunto solución de Log3 (x-3Vx+T+3)<1 .

Esta desigualdad tiene sentido si:

420

x+liO y si x-3/x+T+3>0 , es decir, X>-1 y

x+3>3/x+T

Para X>-1 ambos términos de la 2 d a desigualdad son positivos y así se puede elevar al cuadrado para obtener:

(x+3) 2>9 (x+1) - x2+6x+9>9x+9 ~ x2-3x>0 - x(x-3)>0 x€(—°°,0)U(3,+CO) (Ejercicio).

Luego tiene sentido si

x€[(-«,0)U(3,+«)]n(-l,») = t-l,0)U(3, f«) .

Ahora se resuelve la desigualdad:

Como a=3>l, entonces

Log3 (x-3>/x+T+3) <1 - (x-3/x+I+3) <3 x-3v/x+I<0 xO^x+1

a) Para -l<x<0, la desigualdad x O / x + T es válida, pues una expresión negativa (x) siempre es menor que una positiva (3/j¡rTT) > luego [-1,0) es solución.

b) Para x>0, los dos términos de la desigualdad xOyGt+T son positivos, entonces x2<9 (x+1)

- x2-9X-9 <0 (X2-9X+ 81 81 4 4 -9)-(x— - < 0 **

T 1 ! 4

(x-9.90)(x+0 . 90 ) <0**xf (0 . 90 , 9 . 90 ) . pero ^omo- x>3,

421

x€( -0 , 90 , 9, 90 )íl( 3 , +<» )-( 3, 9 . 90 ) .

Y asi la solución total es [-1,0)11(3,9.90).

EJERCICIOS

I. Hallar x tal que:

1. y ^ i -V 125

2. 3*4l+3x«36

3 22jc+2«9 *2x-2

4. 4^I*,-6»2^r*r+8<0

II. Solucionar las ecuaciones

1. 52jc+1¿53x_2

422

1 x-i i a*+3 2- <i> « i ' 3. 1 0 s * ~ 2 = 3 4 8

4. x*a~7*+12-l

3 3X-7 7 7X-3 5 . ( f )

III. Cuáles de las afirmaciones siguientes son válidas

a) Si x>2 *• 3X>32

b) Si x > 2 * ( - | ) ' < ( - | ) 2

c) Si x<5 "*• a*<a3 para a>0

d) Si x>-2 a*>a~2 para todo a>0

e) La función f(x)=2x es inyectiva y par

f) La función f(x) es creciente e impar 2*

g) La función jf(x)=3* tiene recorrido (0,+»)

h) Si ax<ar •*• x<y para a,b>0, x.yeR

IV. Justificar que para los valores de a y b asignados, las

desigualdades dadas tienen las soluciones que aparecen

en los cuadros:

b>0 b=0 b<0 a x>b (a> 1) (Loga b , +«)

(-oo,+oo)

423

ax<b (a>1) (-«,Loga b) No hay Solución

No hay solución

ax>b (0<a<1) (-«,Loga b) ( -00 f +C0 ) ( - « , + » )

ax<b (0<a<1) (Loga b, +») No hay solución

No hay solución

-w<b<+<»

Logmx>b (a> l) (ab,+w)

Loga x<£ (a>l) (0,ab)

Loga x>b <0<a<i) (0,ab )

Loga x<b <0<a<l) (ab,+co)

V. Resolver las siguientes desigualdades

1. Log3 x>5

2. Log2 (x-5) <3

3. Log2 (xa-x-6) <0

4. Log2 (xa-x-6) >0

5. Logx (x-1) <3

6. Logx (xa-2x) >1

7. Log2 \2£z1\<2

424

8. Log2 (-^_A)<4

9 . Log± I I <2 « x-3

10. Log(x2-l) ¿Log(x-l)2+Log\x-2 |

11. Log3 (l-JxZI) <2

12. (x2+x+l)*íl

13. Logx_2 (x-5) <4

1 4 2+Logr3 x ^ 6 X-l 2X-1

15. Log8 (x2-4x+3) >Tan~

16. Log^ (-^|-)>1

VI. ¿Cuáles de las desigualdades siguientes tienen las mismas

soluciones?

1. Log3 x 2>0 y 2Log3 x>0

2 . Log3 x2>0 y 2Log3 | X | > 0

3. Log3 x 2>0 y 2Log3 (-x)>0

4. Log2 (x+i)+Log2 (x-8)>0 y Log2 (x+7)(x-8)>0

5. L o g ^ (x-l) (x+l) >o y x>o y (x-i) (x+i) >o

6. Logx2>0 y Logx+Logx>0

7. Logxl (x-l) (x+l) <o y (x-l) (x+l)>o

425

8. Logx*>O y áLogx>O

VII. Resolver las siguientes desigualdades

1 - i/x<JxTT

2. v^=T+2>0

4. <Jx+2>x

5. v/3x+T-Vxr2>3

6. Vx+V3cíT>5

7. x+2>Vx+5

8. V*>-4

9 •

10. V^-x-V'x+K 2

3.3.16. FUNCIONES HIPERBOLICAS

A partir de la función exponencial se construye unas

funciones que tienen un comportamiento muy similar al de las

funciones trigonométricas; son las llamadas Funciones

hiperbólicas, definidas de la forma:

Seno hiperbólico de x

426

X -X Senhx- 0 ° 2

su dominio es (-oo,+co) y su recorrido es (-«,+«).

Es una función inyectiva.

Es una función impar.

Coseno hiperbólico de x

Coshx- e*+e~* 2

su dominio es (-<*>,+«) y su recorrido es [1,+«).

No es inyectiva.

Es una función par (Ejercicio).

Tangente hiperbólica de x

Tanhx- Senhxme^e^ Coshx e*+e~*

Dominio (-«,+«) y recorrido (-1,1)

es una función impar e inyectiva (Ejercicio)

427

C o t a n g e n t e h i p e r b ó l i c a d e x

Coshx Cothx- Senhx

Su dominio es ( -« ,0 )U(0 , ) y su recorrido (-<»,-1)0(1,+»)

Es inyectiva e impar. (Ejercicio)

S e c a n t e h i p e r b ó l i c a d e x

i Sech-

Coshx

Su recorrido es (-«»,+co) y su recorrido (0,1].

No es inyectiva.

Es una función par (Ejercicio).

C o s e c a n t e h i p e r b ó l i c a d e x

Cachx* Senhx

Su dominio es ( , 0 )U ( 0 , +» ) y su recorrido ( -«• ,0 )U(0 , +« )

Es una función impar e inyectiva (Ejercicio).

428

El nombre de hiperbólicas se origina en el hecho de que así

como las funciones trigonométricas Cosx y Senx se definen

como las coordenadas de los puntos sobre una circunferencia

unitaria, las funciones Coshx y Senhx corresponden a las

coordenadas de los puntos c y k (Fig 3,101) de la hipérbole

x 2+y 2 =1, siendo Coshx la abscisa y Senhx la ordenada y x es

el área del sector circular OCK (Fig 3.101) V

(Coah(x) ,Senh(x))

+ X

Fig 3.101 De las definiciones de las funciones hiperbólicas y haciendo

una tabulación se obtienen sus correspondientes gráficas, las

cuales aparecen en la figura 3.102 y sus respectivas inversas

con el dominio restringido para el caso del Coshx y de la

Sechx que no son inyectivas (Fig 3.103)

y — senhz

429

y — cosh x

y = tanhz

-1

(-00, +«) J ? f - ( - l , l )

1/ = coth X .y

D r m ( — l Q ) U { 0 , +o»)

V ( - « ( - i ) { / ( l f + M ) 430

y - sech ~1 x

Df- ( -00/ +00) /?r»{0<l]

0 M /

/ /

/ /

/ / 1

*

n.í „ nUr/n , Fifí 3.102 (-», 0) {7(0, + 0 9 )

0) //(O, -o») Así como en las funciones trigonométricas se considera una

Fig 3.103

identidad fundamental Sen2x+Cos2x=1 y a partir de ella se

deducen otras, en las funciones hiperbólicas sucede una

situación análoga y la identidad fundamental aqui es:

Cosh 2x-Senh2x=i

En efecto:

Cosh2x-Senh2x-( ex+e-x^2 t ex_e-x 2 ) - ( 2 ' 2

_ e 2 * + 2 + e ~ 2 x - e 2 * + 2 - e ~3* 4

431

De manera similar se puede demostrar las siguientes

identidades:

1• 1- Tanh2x=Sech2x

2. Coth2x-l-Cach2x

3. Co8hx+Senhx-e*

4 . Coahx- Senhx« e "*

5. Senh (-x) - - Senhx

6 . Coah (-x) - CoBhx

7. Senh(x±y) ~SenhxC03hy±SenhxC08hy

8. Cosh{x±y)-CoshxCoshyiSenhxSenhy

9. Tanh(x±y)~ Tanhx±Tanhy l±TanhxTanhy

10. Senh2x-2SenhxC0Shx

11. Coah2x= Coah 2x+Senh2x

12. SenA»x- O « * * * - ! 2

13. Coah2xfOBh2x+1 2

14 . Senhx*Senhy-2Senh ( ) cosA ( ) 2 2

15 . Senhx- Senhy* 2 Coah ( ) Senh (—^) 2 2

16 . Coshx+ Co shy=2 Cosh ( ) Cosh ( ) 2 2

17 . Coshx- Coshy-2Senh ( ) SenA ( ) 2 2

432