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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
AVESTRUZ AL HORNOReceta para n > 30 personas
Carlos Vaquera
Departamento de Fı́sica, DCIUniversidad de Guanajuato
21 de septiembre de 2011
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Contenido
1 Objetivo
2 Modelo
3 Pollo Rostizado
4 Guajolote horneado
5 ¡Avestruz al horno!
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Objetivo
Obtener un modelo para determinar el tiempo óptimo decocción en la preparación de una avestruz al horno
Figura: Ejemplar de la especie Struthio camelus.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Esquema de trabajoModelar el tiempo requerido para rostizar un polloProbar la predictibilidad del modelo con otra especie deave: guajoloteExtrapolar el modelo para aplicarlo a la avestruz
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Ingredientes
1.-Ley de Newton del enfriamiento
dQdt
= −hS (T − Ta) (1)
Q Energı́a térmicat TiempoS Superficieh Coeficiente de transferencia de calorT Temperatura del cuerpoTa Temperatura del medio
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
2.-Calor especı́fico
dQ = mcdT (2)
m Masa del cuerpoc Calor especı́fico
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
3.-Horno
Figura: Horno de adobe artesanal.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
4.-Ave
Figura: Ave. Muerta, por supuesto.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Preparación
1.-Mezcle (1) y (2) por partes iguales para obtener
dTdt
= − hSmc
(T − Ta) . (3)
2.- Note que m = ρV , donde ρ es la densidad del objeto y V suvolumen
dTdt
= − hSρcV
(T − Ta) . (4)
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
3.- Resuelva con las condiciones iniciales T0 = T(t0)∫ tt0
TT − Ta
= − hSρcV
∫ tt0
t
ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ = − hSρcV (t − t0)⇒ t − t0 = −
ρcVhS
ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ .(5)
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Pollo rostizado
Figura: Ejemplar de la especie Gallus gallus domesticus.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Hipótesis:h, ρ y c son constantesEl pollo es esférico: S = 4πr2, V = 4πr3/3
t − t0 = −ρcr3h
ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ (6)Eliminando r a favor de la masa: m = 4πρr3/3
t − t0 = −m1/3
βln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ , β = hc(
36πρ2
)1/3. (7)
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
determinación de β
Datos experimentalesChicken Roasting times (stuffed)a
m (lb) t (h)2.5 - 3 1.5 - 23.5 - 4 1.75 - 2.254.5 - 5 2 - 2.55 - 6 2.25 - 2.75
t0 = 0 Ta = 190◦C = 463KT0 = 27◦C = 300K T(t) = 83◦C = 356K
(8)
ahttp://www.helpwithcooking.com/cooking-poultry/roast-chicken.html
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Con (8) definimos
λ = − ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ = 0.421 (9)de modo que (7) queda
t =λ
βm1/3. (10)
Contamos con 4 datos experimentales (pésimos, por cierto) y apesar de su mala calidad, ¡podemos mejorar el modelo conellos!
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Nueva hipótesisEl pollo no es esférico (¿alguien lo habı́a ya notado?).Introducimos una nueva variable α tal que
t =λ
βmα (11)
y usamos los datos experimentales para ajustar α y β.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Para empezar, tomamos el logaritmo de (11) en ambosmiembros y obtenemos
ln t = ln[λ
βmα]= α ln m + ln
λ
β, (12)
Sı́, una lı́nea recta y = αx + b, con
y = ln t, x = ln m, b = ln (λ/β) (13)
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
El Ajuste: Mı́nimos cuadrados
Nuevos Ingredientes
Una curva modelo: y(x) = αx + bN datos experimentales (xi, yi), i = 1, . . . ,N con susrespectivos errores (δxi, δyi)Una función muy positiva: Ji cuadrada, por nombre
χ2 =N∑
i=1
(y(xi)− yi)2
σ2i(14)
con
σi =
√(δyi)
2 +
(∂yi∂xi
)2(δxi)
2 (15)
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
NotaEn muchos casos σi ≈ δyi. No en el nuestro, ası́ que es precisoestimar ∂yi
∂xi. Esto se logra iterativamente, tomando en un primer
ajuste σ(0)i =≈ δyi para encontrar∂yi∂xi≈ α(0) y calcular
σ(1)i =
√(δyi)
2 + (α(0))2(δxi)
2 para hacer un mejor ajuste.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Nueva preparación
Buscamos los valores para α y b que minimicen χ2:
∂χ2
∂α= 2
N∑i=1
(αxi + b− yi) xiσ2i
= 0
∂χ2
∂b= 2
N∑i=1
(αxi + b− yi)σ2i
= 0
(16)
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
las ecuaciones anteriores forman un sistema lineal:(sxx sxsx s1
)(αb
)=
(sxysy
)(17)
con
sxx =∑N
i=1x2iσ2i
sx =∑N
i=1xiσ2i
s1 =∑N
i=11σ2i
sxy =∑N
i=1xiyiσ2i
sy =∑N
i=1yiσ2i
syy =∑N
i=1y2
σ2i
(18)
cuya solución es(αb
)=
1sxxs1 − s2x
(sxys1 − sxsysxxsy − sxysx
)(19)
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
La incertidumbre en α y β puede estimarse como
δα =
√√√√ N∑i=1
(∂α
∂xi
)2(δxi)
2 +N∑
i=1
(∂α
∂yi
)2(δyi)
2 (20)
δb =
√√√√ N∑i=1
(∂b∂xi
)2(δxi)
2 +N∑
i=1
(∂b∂yi
)2(δyi)
2. (21)
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Con los datos experimentales disponibles (convertidos porsupuesto a unidades civilizadas [m] = kg) se obtiene
α = 0.51± 0.38 (22)b = 0.43± 0.20. (23)
La incertidumbre es espantosa, ¡pero el valor central puede serútil! Ahora podemos saber si el modelo es válido paraguajolotes.
Nueva hipótesisβpollo = βguajolote
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Pero antes, una mirada al ajuste
0.5 1 1.5 2 2.5m (kg)
0.5
1
1.5
2
2.5
t(h)
Tiempo de cocción como función de la masa del pollo.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Predictibilidad de modelo¿Cómo se comporta nuestro modelo en un régimen de masassuperior? Comparémoslo con los datos experimentalesdisponibles para el guajolote horneado:
Figura: Ejemplar inconforme de la especie Meleagris gallopavo.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Guajolote al Horno
Datos experimentalesTurkey Roasting times (stuffed)a
m (lb) t (h)6 - 8 2.75 - 3.25
8 - 12 3 - 3.512 - 14 3.5 - 414 - 18 4 - 4.2518 - 20 4.25 - 4.7520 - 24 4.75 - 5.25
t0 = 0 Ta = 190◦C = 463KT0 = 27◦C = 300K T(t) = 83◦C = 356K
(24)
ahttp://www.helpwithcooking.com/cooking-poultry/roast-turkey.html
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Nuevos datos vs extrapolación del modelo
2 4 6 8 10m (kg)
1
2
3
4
5
t(h)
Tiempo de cocción como función de la masa del guajolote.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
¡El modelo es predictivo!Para mejorarlo podemos incorporar los datos disponibles parael guajolote y hacer un nuevo ajuste, con lo que se obtiene
α = 0.49± 0.06 (25)b = 0.45± 0.09 (26)
El valor central no cambió mucho, pero la incertidumbre seredujo dramáticamente.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Modelo mejorado vs datos pollo + guajolote
2 4 6 8 10m (kg)
1
2
3
4
5
t(h)
Tiempo de cocción como función de la masa del ave.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
La hipótesis βpollo = βguajolote fue exitosa, por lo tantopostulamos βave = βpollo = βguajolote para encontrar la ecuacióngeneral de cualquier ave en el horno:
t − t0 = −mα
βln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ (27)con
α = 0.49± 0.06 (28)β = 0.27± 0.02 kgα/h (29)
que podemos aplicar directamente a nuestra avestruz.
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
¡Avestruz al horno!
Si cuenta usted con una familia numerosa -y excéntrica- puedeofrecerles una majestuosa Avestruz (rellena, vaya usted a saberde qué) al Horno. Si la avestruz de 180 kg se encuentra atemperatura ambiente T0 = 300K y el horno está precalentado aTa = 463K, el ave alcanzará la temperatura necesaria paraeliminar el riesgo de salmonelosis y quedar exquisitamentecocida (T = 356K) en solo
tavestruz = 20± 7h. (30)
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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
¡Buen Provecho!
ObjetivoModeloPollo RostizadoGuajolote horneado¡Avestruz al horno!
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