avances en modelamiento y simulacion de procesos solido-solido
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MODELAMIENTOYSIMULACION
DEPROCESOSYEQUIPOSDE
SEPARACIONSOLIDOSOLIDO
1
PhD Jose LuisSalazar
ConsultorIntercade
SEPARACIONSOLIDOLIQUIDO
1. Introduccin.
INDICE
.Pr ocesodesepar acinslidolquido.
Modelamientodelpr ocesodesepar acinslidolquido.
Simulacindelpr ocesodesepar acinslidolquido:
3. Equipos:Descr ipcindeequipos.
Modelamientodeequipos.
Simulacindeequipos.
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4. Estrategiadeoptimizacin:P+E(SOLIDLIQUID)
5.Bibliografa
6. Tallercomputacional.
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SEPARACIONSOLIDOLIQUIDO
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I.INTRODUCCION
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Lo s p ro ce so s d e m ol ie nd a, c om o c la si fi ca ci n i nv ol uc ra n e l
INTRODUCCION
u so de gran des cantid ades de agua, por lo q ue d eb e sers e pa r a da o di s m i nu da pa r a l a r e c upe r a c i n de l m i ne r a l .
No rm al men te , la se para ci n p ued e s er ob te ni da p ors e di m en ta c i n e n e s pe s ad o re s ( p ar t c u la s r el at i va m en teg r a n d e s o s e r u n p r o c e s o m u y l e n t o ) .
L o s f i lt r os p u ed e n s e r u t il i za d os p o st er i or m en te p a ra u n a
5
m a y o r c o nc e nt r a c i n de s l i do s .
I.Introduccin
II.PROCESOS
Sedimentacin
6
rac n
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PROCESODESEDIMENTACION
7 II.Procesos
S e de no m i nasedimentacin el asentamiento de una partcula,o una suspensin d e p a r t c u l a s , e n u n f l u d o p o r e f e c t o d e u n a
SEDIMENTACION
, ,c e nt r f ug a o c ua l qui e r o t r a f ue r z a de c ue r po .
L a e f i c i e nc i a de l a s e pa r a c i n de pe nde pr i nc i pa l m e nt e de :
L a m ag nit ud d el cam po d e fu er za d e c uer po a pl icad a,gravitacional o centrfuga.
L a d ife re nc ia d e d en si da de s e nt re l as p ar t cu la s s l id a yl u id a.
8
E l t am a o d e l a s p a r t c ul a s y d e l a v i s co s id a d d e l l qu i d o.
II.Procesos
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La can tid ad d e lq uid o d e
SEDIMENTACION
una suspens n que escapaz de separar lasedimentacin es todaaquella que no llena losporos del sedimentoformado.
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Sedimentacindeesferasenunlquido
II.Procesos
Calidaddelagua
Condicioneshidrulicas
FACTORESQUEAFECTANLASEDIMENTACION
Enlazonadesedimentacin.
Enlazonadeentrada.
Enlazonadesalida.
Factoresexternos
Acondicionamientoprevio.
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Prcticasoperacionales.
Factoresambientales.
II.Procesos
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PROCESODEFILTRACION
11 II.Procesos
F i l tr a c i n e s e l p r o c e s o d e s e p a r a c i n s l i d o f l u d o m e d i a n t e e l c u a l e l s l i d oe s s e pa ra do d el f lu d o e n u na s us pe ns i n h ac i nd ol o p a sa r a t ra v s d e u nl e ch o o r os o d e no m in a domedio iltrante.
FILTRACION
El lecho retiene las partculas mientras que el fludo pasa a t ra v s d e l m e d i of i l t r a n t e y r e c i b e e l n o m b r e d e filtrado.
Lechoporoso mediofiltrante
Fludoquepasa filtrado
Slidoretenido queque
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Clasesdefiltracin:
Conformacindequeque
Sinformacindequeque
Filtracinprofunda
II.Procesos
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SEDIMENTACIONYFILTRACION
lquidoslido
lquido
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slido
Filtroenposicinhorizontal Filtroenposicinvertical
II.Procesos
Slidoesretenidoenlasuperficiedelmediofiltrante.
FILTRACIONCONFORMACIONDEQUEQUE
PULPA
QUEQUE
p>p0
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FILTRADO p=p0
MEDIO FILTRANTE
II.Procesos
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S li do n o e s r et en id o e n l a s up er fi ci e d el m ed io f il tr an ted e b i d o a l a a l t a t a s a d e c i z a l l e .
FILTRACIONSINFORMACIONDEQUEQUE
FILTRADO
15
FILTRADO
II.Procesos
Slidoesretenidoenelinteriordelmediofiltrante.
FILTRACIONPROFUNDA
SUSPENSIN
Medio Filtrante
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FILTRADO
II.Procesos
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L as c on di ci on es e n q u e s e r ea li za u na f il tr ac i n d ep en d e d em uc ho s f a c t o r e s , e nt r e l o s c ua l e s de s t a c a n:
CONDICIONESDEFILTRADO
, ,y corrosividad.
La naturaleza del sli do, tal como su tamao, forma yd i s t r i b u c i n d e t a m a o.
L a s p r op i e da d e s d e l a s u s p e n s i n , t a l es c om o s u c on c en t ra c i ny compresibilidad.
L a c a n t i da d d e m a t e r ia l a t r at a r. E l val or d el mater ial y s i e l mater ia l val io so es el s li do, e l
17
f l u i d o, o a m b os . S i e s n e ce s ar i o l a v ar e l q u e q ue . S i e s i m p ort a nt e o n o l a c on ta m i n ac i n d e l p r odu c t o.
II.Procesos
Lamayoradelosequiposdefiltracin,seancontinuosodiscontinuos,trabajanenciclosdeformacindelqueque,lavado,secadoydescarga:
CICLOSDEFILTRACION
m e d i o f i l t r a n t e d e p e n d e d e l g r a d i e n t e d e p r e s i n , d e l a c o n c e n t r a c i nd e l a s us pe ns i n y d el t ie m po d e s uc c i n. E n e st e c ic l o h a y u n f lu jo
c o n t i n u o d e f i l t r a d o a t r a v s d e l m e d i o f i l t r a n t e y d e l q u e q u e .
Lavado del queque: L a n ec es i da d d e l av ar e l q ue qu e d ep e nd e d elo b j e t i v o p e r s e g u i d o p o r e l p r o c e s o d e f i l t r a c i n . E l l a v a d o s e e f e c t ap ara e li mi na r i mp ur eza s d el q ue qu e o p ara r ec up er ar l q ui do s
18
v a li o so s . E l l av a do d e l q u e q ue i m pl i ca c a lc u la r l a c a nt i da d m ni m a d ea gu a n ec es ar ia p ara d es pl aza r e l l q ui do d e l os p oro s y e l t ie mp onecesario.
II.Procesos
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Secado del queque: S ec ad o d el q ue qu e e s a qu el la e ta pa e n q ue e l a gu aretenida en los poros del que que es des pla za da soplando a ire os u cc i on a nd o a i re d e l a a t m s fe ra . P ar a c o nt ro l ar e s ta e t ap a e s n e ce s a ri o
CICLOSDEFILTRACION
Descargadelqueque:Eldesprendimientodelquequeysudescargaesdegranimportanciaparaunaoperacineficiente.Enelcasodefiltracinavacoladescargaesmuysimpleyconsisteenrasparlastelasyeliminarelproductoporgravedad.Enelcasodefiltracinapresin,ofiltracin
co noc er l a ca nt id ad d e a gu a re te ni da e n e l q ue que . E l c ri te ri o p aras e le c c io n ar l a h u me d ad r es i du a l d e l q u eq u e e s e c on mi c o, c u an d o n o e su n a r e s t r i c c i n d e l e q u i p o .
19
hiperbrica,ladescargasecomplicaporlanecesidaddemantenerlapresinenlacmara,demodoqueesnecesariotenervlvulasquepermitanpresurizarydespresurizarlazonadedescargaencicloscontrolados.
II.Procesos
CICLOSDEFILTRACION
Suspensin PensinAireapresin
Queque
Enformacin Mediofiltrante
Filtrado
Filtrado Filtrado
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Formacindelqueque Expresin Soplado
II.Procesos
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Variables de entrada : Flu o Q t concentracin t .de entra da de
VARIABLESYPARAMETROSDEFILTRACION
suspensin.Variables de s alida : Flujo de des carga Q P( t ) y h u m e d a d ( 1P) ( t) .del
queque.Va ri ab le s d e d is e o : re a d e f il tr ac i n S y g ra di en te d e p re si nP,Va ri ab le s d e co nt ro l : T ie mp o d e f ilt ra ci n tf, d e l a v a d o t l y d e s e c a d o t s ,
m a g n i t u d d e l a a g i t a c i n .Pa rmetros : Porosidad , p e r m e a b i l i d a d k () y c o m p r e s i b i l i d a d e
d e l q u e qu e , d e n s id a d f y v i s c o s i d a d f d e l f i lt ra d o,
21
densidad P y f o r m aP d e l a s p a r t c u l a s .Per turbaciones : Granulom etra del slido.
II.Procesos
MODELAMIENTO DELPROCESO
DESEDIMENTACION
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L a s p a rt cu l as e n s u sp e ns i n s e di m en ta n e n d i fe re n te f or m a,
Tiposdesedimentacin
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
d e pe n di e nd o d e l as c ar ac te r s ti c as d e l a s p a rt cu l as , a s c o mode s u c o nc e nt r a c i n.
E s a s q u e p o d e m o s r e f e r i r n o s a :
S e di me nta c i n de pa r t c ul a s di s c r e ta s .
S e di me nta c i n de pa r t cul a s f l o c ul e nta s .
23
e men ac n e par cu as por ca a re e n er er a.
II.Procesos
Sedimentacindepartculasdiscretas
Tiposdesedimentacin
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
e am a par cu as scre as a aque as par cu as que no cam an ecaractersticas ( f o r m a , t a m a o , d e n s i d a d ) d u r a n t e l a c a d a .
S e d e no m in a sedimentacin o sedimentacin simple al proceso dedepsito d e p a r t c u l a s d i s c r e t a s .
E s t e t i p o d e p a r t c u l a s y e s t a f o r m a d e s e d i m e n t a c i n s e p r e s e n t a n e nl o s d e s a r e n a d o r e s , e n l o s s e d i m e n t a d o r e s y e n l o s p r e sedimentadoresc o m o p a s o p r e v i o a l a c o a g u l a c i n e n l a s p l a n t a s d e f i l t r a c i n r p i d a y
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t a m b i n e n s e d i m e n t a d o r e s c o m o p a s o p r e v i o a l a f i l t r a c i n l e n t a .
L a e c u a c i n d e s e d i m e n t a c i n d e u n a e s f e r a f u e p r o p u e s t a p o r S t o k e se n 1 85 1 y p ue de co ns ide ra rs e c om o e l p unto d e p ar ti da d e t odad i s c u s i n d e l o s p r o c e s o s d e s e d i m e n t a c i n .
II.Procesos
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FuerzahidrodinmicasobreunaesferaenflujodestockesSedimentacindepartculasdiscretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
,tamaoyformadelapartcula( 6R)ydelaviscosidad()delfluido:
1.....6 ERuFD Esusualescribirlafuerzahidrodinmicaensuformaadimensional,conocidacomocoeficientedearrastre:
2.....1 22
EF
C DD
25
2 fdonde fesladensidaddelfluido.Reemplazando( E1)en( E2)seobtieneelcoeficientedearrastredeunaesferaenrgimendeStokes:
3.....Re
24ECD
II.Procesos
BalancemacroscpicosobreunaesferaenrgimendeStokes
Sedimentacindepartculasdiscretas
Su pon ga mos q ue te nem os u na p eq ue a e sfe ra in me rs a e n un f lu id o y
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
s u s p e n d i d a m e d i a n t e u n h i l o .L a e sf er a, d e d en si da d m ay or q ue e l f lu id o, e st e n e qu il ib ri o y e l b al an ce d ef u e r z a s s o b r e e l l a d e b e s e r c e r o . E n t o n c e s :
5......0
4.....0
EVVF
EFFF Empujegravedadhilo
F
F
empuje
hilo
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6.......EgVgVF ppfphilopppo
Equilibrio sobre una esfera sumergida en un fluido.
Fgravedad
II.Procesos
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BalancemacroscpicosobreunaesferaenrgimendeStokesSedimentacindepartculasdiscretas
S i e n u n i n s t a n t e s e c o r t a e l h i l o , s e p r o d u c e u n d e s b a l a n c e d e l a s f u e r z a s y , d e a c u e r d o
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
a a ey e ew on, a par cu a e e ace erar. a ace erac n n c a se pue e o enerd e l n u e v o b a l a n c e d e f u e r z a s e n l a q u e y a n o e x i s t e l a r e s i s t e n c i a d e l h i l o . U n a v e z q u e l ap a r t c u l a s e p o n e e n m o v i m i e n t o a p a r e c e u n a n u e v a f u e r z a , l a f u e r z a d e a r r a s t r e e n t r ee l s l i do y f lu id o q ue s e o po ne a l m ov i mi en to y q ue e s p ro po rc io na l a l a v el oc id adr e l a t i v a e n t r e e l s l i d o y e l f l u i d o , y c o m o e s t e l t i m o e s t i n m v i l , e s l a v e l o c i d a d q u ea d q u i e r e l a p a r t c u l a .
27
Antes del movimiento Inicio de movimiento
F = - g V
F = - g V F = g V
F = -6Ru
F = - g V
g
ee
d
g
p
ff
f
p
pp
p
u(t)
II.Procesos
BalancemacroscpicosobreunaesferaenrgimendeStokes
Sedimentacindepartculasdiscretas
0 gVtma p
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
7..........2
9
6
0
2 Etu
Rgta
tRugVtaV
FFFtma
gta
ppp
ppp
arrastreempujegravedad
p
llegandounmomentoenqueelsegundotrminode( E7)sehaceigualalprimeroy,porlotantolaaceleracinseanula.L a v e l o c i d a d a l a c u a l s e a n u l a l a a c e l e r a c i n s e d e n o m i n a velocidad terminal u y e s u n a
28
c a r a c t e r s t i c a d e l a p a r t c u l a y d e l f l u i d o .
8...........18
1
9
2 22
EgdgR
u
E st a e xp re si n s e c on oc e c om o ecuacin de Stokes, es vlida parra pequeosnmeros d e R e y n o l d s y f u e d e d u c i d a p o r e s t e i n v e s t i g a d o r e n 1 8 5 1 .
II.Procesos
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BalancemacroscpicosobreunaesferaenrgimendeStokesSedimentacindepartculasdiscretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
C a lc ul a r l a v el oc i da d t er mi na l d e s e di me nt a ci n d e u na e sf er a d ec u a r z o d e d e n s i d a d 2 . 6 5 g / c m 3 y 10m d e d i m e t r o e n a g u a a 2 0 C .
L a v i s c o s i d a d d e l a g u a a 2 0 C e s d e 0 . 0 1 g / c m s , e n t o n c e s , a p l i c a n d ol a e c u a c i n ( E 8 ) r e s u l t a :
29
scmu
3
2
100.901.0
98110000
1000.165.2
18
110
II.Procesos
Dinmicadelasedimentacin
Sedimentacindepartculasdiscretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
)9......(18
exp11
018
1
2
2
.
Etgd
tu
gtud
tupp
.O rdenemosyescribamosexplcitamente:
30
p
E l t rm i no e n tr e p a r nt e si s d e nt ro d e l e xp o ne n ci a l s e d e no m in a nmero deStokes y el t r m i n o q u e m u l t i p l i c a e l p a r n t e s i s e n t r m i n o d e l a d e r e c h a e s l avelocidad de Stokes, c o m o v i m o s e n ( E 8 ) .
II.Procesos
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DinmicadelasedimentacinSedimentacindepartculasdiscretas
E em lo 2
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
D et er m in ar c ua nt o t ie mp o n ec es it a u na p ar t cu la d e 1 0 , 5 0 y 1 00m p ara l le ga r a l avelocidad terminal.
L a f ig ura m ue st ra l a e vo lu ci n d e l asve lo ci da des d e l as e sfe ra ve rs us elt i e m p o a l a p l i c a r l a e c u a c i n ( E 9 ) .L a v el oc id ad t er mi na l p ar a d =1 0 0, 5 0 y10 m e s d e 0 . 6 2 4 , 0 . 2 1 6 y 0 . 0 3 4 5 c m / s
1.00000
0.10000
d= 100 m
d= 50 m
Velocidadencm/s
31
d e 0 .0 06 7, 0 .0 17 y 0 .0 00 5 s eg un do s,s e g n l a e c u a c i n ( E 8 ) .C om o e st os t ie mp os s on m uy c or to s,g e n e r a l m e n t e n o s e l o s t o m a e n c u e n t a ys e s up on e q ue u na p ar t cu la l le ga a s uvelocidad terminal instantneamente.
0.01000
0.0001 0.001
d= 10 m
0.01
Tiempo en segundos
VELOCIDAD DE SEDIMENTACION VERSUS TIEMPO.
II.Procesos
FuerzahidrodinmicasobreunaesferaenflujodeEuler
Sedimentacindepartculasdiscretas
C u an d o e l n me r o d e R e yn o ld s t i en d e a i n fi n i to , l a s f u er z as v i sc o sa s d e sa p ar e ce n y l a e c ua c i n d e N a vi e r
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
t o e s s e t r an s or ma e n a ecuac n e u er e u o n v sc o urt n . n este caso a componentetangencial de la velocidad s o b r e l a s u p e r f i c i e d e l a e s f e r a e s u n a f u n c i n l i n e a l d e l a v e l o c i d a d r e l a t i v a s l i d of l u i d o y l a c o m p o n e n t e r a d i a l e s n u l a :
)10......(023
Euusenu r
perolapresinyanoeslinealyrespondealaecuacindeBernouilli (Batchelor 1967):
11...........12
1p
constante2
1
2
1
2
22
Eu
uup
upup
f
ff
32
Lapresinadimensional,ocoeficientedepresinsobrelaesfera,definidapor:
QuedaexpresadaparaelrgimendeE u l e r p o r :
2
2
1u
ppC
f
p
12.......2
91
2EsenC
p
II.Procesos
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FuerzahidrodinmicasobreunaesferaenflujodeEuler
Sedimentacindepartculasdiscretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
a gura mues ra es a re a c n en or ma gr ca , on e p y u son a pres n y av e l o c i d a d p a r a u n n g u l o s o b r e l a s u p e r f i c i e d e l a e s f e r a y p y u c o r r e s p o n d e a l o sv a l o r e s d e e s t a s v a r i a b l e s e n e l f l u j o l e j o s d e l a e s f e r a .
0.5
0.5
-0.5
-1
CoeficientedepresinC
1
1.5
00 1 1.5 2 2.5 3
p
33
P a r a u n f l u j o i n v s c i do e s t a c i on a r i o l a f u e r z a d e a r r a s t re e s c e r o .E s t o s e d e b e a q u e , n o h a b i e n d o v i s c o s i d a d e n e l f l u i d o n o h a y f r i c c i n c o n l a p a r t c u l a y e le f e c t o d e l a p r e s i n s e a n u l a d e b i d o a l a s i m e t r a d e l a e s f e r a .
-1.5Anguloen radianes
Coeficiente de presin en funcin de la distancia sobrela superficie de la esfera en un flujo invscido (Schlichting
1968, p21).
II.Procesos
FuerzahidrodinmicasobreunaesferaenflujodePrandtl
Sedimentacindepartculasdiscretas
C u a n do e l n m e r o d e R e y n ol d s t i e n e v a l o re s i n t e r m e d i o s, l a s f u e r z a s c o n v e ct i v a s t i e n e n e l m i s m o o r d e nd e m a g n i t u d q u e l a s f u e r z a s v i s c o s a s , y e l f l u j o p u e d e d i v i d i r s e e n d o s p a r t e s , u n f l u j o i n v s c i d o l e j a n o a l a
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
p ar t cu a y un u o v s co so mu y ce rca e e a o n e a v s co s a ue ga un pa pe m po rta nte . st a or ma ab a s e d e l aTeora de Capa Lmite (Schlichting 1968).
E n e l f l uj o s i n v i sc o si d ad e x te r no ( a l a c a pa l m it e ) s e p u ed e a p l i c ar l a s e c u ac i on e s d e E u le r y l ad i s t r i b u c i n d e v e l o c i d a d y p r e s i n s e p u e d e o b t e n e r d e l a e c u a c i n d e l a s e c u a c i o n e s ( E 1 0 ) y ( E 1 1 ) .
E n l a c a p a l m i t e y , d e b i do a l a v i s c o s i d ad , s e e s t a bl e c e u n i m p o r ta n t e g r a d i e nt e d e c o n ce n t r ac i nq ue p er mi te q ue l a c on di c i n d e n od e sl i z am i en t o d e l f l ui d o r e s p e ct o a l s li d o s e c u mp l a e n l as u p e r f i c i e d e l a p a r t c u l a .
L a p r d i d a d e e n e r g a e n l a c a p a l m i t e , o r i g i n a d a p o r l a d i s i p a c i n v i s c o s a , r e t a r d a e l f l u j o y , e n u n c i e r t o
34
a d v e r s o q u e a l l e x i s t e .E s t e f e n m e n o f u e r z a a l f l u i d o h a c i a f u e r a , a l e j n d o l o d e l a s u p e r f i c i e d e l a e s f e r a y p r o d u c i e n d o l o q u e s econoce comoseparacin de la capa lmite.La separacin de la capa lmite s o b r e u n a e s f e r a o c u r r e a u n n g u l o , d e n o m i n a d o ngulo de separacin,dado por (Lee a n d B a r r o w , 1 9 6 8) :
13.......10000Re24Re214 1.0 Eparas
II.Procesos
-
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FuerzahidrodinmicasobreunaesferaenflujodePrandtl
Sedimentacindepartculasdiscretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
D e bi do a l a s e pa r ac i n d e l a c a pa l mi t e, l a r e gi nd e l ne a s d e c o rr i en te c e rr a da d e tr s d e l a e s fe r ac o n t i e n e u n a n i l l o d e v r t i c e q u e a p a r e c e a R e 24.L a f i g u r a m u e s t r a u n a s i t u a c i n s i m i l a r p a r a e l f l u j oa lr ed ed or d e u n c il in dr o, d on de s e a pr ec ia l as e p a r a c i n d e l a c a p a l m i t e y l a f o r m a c i n d e u n aestela.
E l g r o s o r d e l a c a p a l m i t e s e d e f i n e c o m o l a
R=32
R=65
R=102
R=55
R=71
R=161
35
istancia es e a s uper icie asta e ugar enq ue l a v el oc id ad v h a a l ca nza do e l 9 9 % d e s uvalor del flujo externo invs cido y s e had e t e r m i n a d o q u e e s p r o p o r c i o n a l a R e 0.5 .E s a s c om o e n e l p unto de s ep ara ci n e lg ro s or d e l a c ap a l m it e s e p ue de e xp re sa r e nl a f o r m a :
R=225 R=281FlujoalrededordeuncilindroavariosnmerosdeReynolds.
II.Procesos
L a s e pa r ac i n d e l a c a pa l mi te p r ev i en e l a r e cu p er a ci n d e l a p r es i n e n l a
FuerzahidrodinmicasobreunaesferaenflujodePrandtl
Sedimentacindepartculasdiscretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
p a r t e p o s t e r i o r d e l a e s f e r a , m s a l l d e l p u n t o d e s e p a r a c i n , r e s u l t a n d o u n ad i st r ib u ci n a s i m tr i ca , c o n u n a m a yo r p r es i n e n e l f r en te q u e e n l a r e gi np o s t e r i o r d e l a e s f e r a .
d s
d = 19.82 mm.
d = 15.08 mm.
0.8
1.3
0.5
0.5
icientedepresinCp
1
1.5
00 1 1.5 2 2.5 3
36
d = 9.52 mm.
1000500100
Tamao de la zona de vrtices detrs de una esfera a nmerosde Reynolds intermedios. (Taneda 1956)
50100
0.4
- .
-1
-1.5
Angulo en radianes
Coeficiente de presin en funcin de la distancia sobre lasuperficie e la esfera en un f lujo inviscido y en capa lmite.
Coefi
II.Procesos
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Sedimentacindepartculasdiscretas
C u a n d o u n a p a r t c u l a s e d i m e n t a a v e l o c i d a d t e r m i n a l s e e s t a b l e c e u n b a l a n c e e n t r e l a s f u e r z a sd e g r a v e d a d , f u e r z as d e e m p u j e y f u e r z a h i d r o d i n m i c a e n l a f o r m a:
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
27............ EgVgVgVF
partculaslasdenetopesoFFF
ppfgpD
empujenalgravitacioicahidrodinm
icahidrodinmEmpujenalgravitacio
donde esladifer enciadedensidadesentr eslidoyfluido.Laexpr esin( E 27)implicaquelafuer z ahidr odinmicapar apar tculasensedimentacinseconocedeantemanoyesindependientedelafor madelapar tcula.Par aunapar tculaesfr icar esulta:
28..............3
4 3EgRFD
41
yelcoeficientedearrastreser: 29..............3
4
2
1 222E
u
dg
Ru
FC
ff
DD
Donded=2Reseldimetrodelaesfera.ComoelnmerodeReynoldsestdefinidopor:
)30(....................Re Edu
f
f
II.Procesos
Velocidaddesedimentacindeunaesfera
Sedimentacindepartculasdiscretas
M ed ia nt e l a c om bi na ci n d e st e y e l c oe fi ci en te d e a rr as tr e, s e p ue de d ef in ir d os n m er o sadimensionales (H ey wood 1962):
2
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
)31(....................43
Re 3
2
2Eu
gCC
f
f
Df
f
D
C o n c ha y A l m e nd r a ( 1 9 79 a ) d e f i ni e r o n l o s p a r me t r o s c a r a c t er s t i co s d e l s i s t e m a s l i d of l u i d o P y Q :
33................3
4
32...............4
3
31
2
312
Ep
gQ
Eg
P
f
f
f
f
Deformaquelasecuaciones(E31)ysepuedenescribirenlaforma:
42
35...............*Re
34................*Re
3
3
3
3
2
EuQ
u
C
Edp
dC
D
D
L a s e x p r e si o ne s ( E 34 ) y ( E 35 ) d e fi n en u n t a ma o d * y u n a v e l o c id a d u * a d im e ns i o na l es , q u e s o nc a r a c te r s t ic a s d e l s i s t em a s l i dof l u i d o . M u l t i p l i c a n d o e s t a s d o s e c u a c i o n e s p o d e m o s v e r i f i c a r q u e :
Re=d*u* (E36)
II.Procesos
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VelocidaddesedimentacindeunaesferaSedimentacindepartculasdiscretasR e e mp l az a nd o l a s e x pr e si o ne s ( E 25 ) y ( E 36 ) e n ( E 34 ) o b te n e mo s ( C on c ha y A l me n dr a1979a) :
2
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
0*
****
****
1*
21
0
23
21
0
2
212
00
3
C
ddudu
dudu
Cd
Resolviendoestaecuacinalgebr aicadesegundagr adoobtenemos:
37...........1*4
1*4
1*
2
21
23
221
2
0 EdCd
u
43
38.............*4
11*4
1*
2
21
23
21
0
02
0 EuC
uCd
L a p r i m e r a e c u a c i n p e r m i t e c a l c u la r l a v e l o c i d a d d e s e d i m en t a ci n d e u n a p a r t c u la d e d i me t r oa d im e ns i on a l d * y l a s e gu n da p e rm i t e c a lc u la r e l d i m e tr o a d im e ns i o na l d e u n a p a rt cu l a q u ea d q u i e r e u n a v e l o c i d a d d e s e d i m e n t a c i n a d i m e n s i o n a l d e u * .
II.Procesos
1000.00
CoeficientedearrastreenfuncindelnmerodeRe+
Re CD CDRe2 Re/CD d*=(CDRe
2)1/3 u*=(Re/CD)1/3
0 .1 2 4 0.00 2.4 4 .1 7E0 4 1.34 7.4 7E0 20 .2 1 2 0.00 4.8 1 .6 7E0 3 1.69 1.1 9E0 1
0 .3 8 0.00 7.2 3 .7 5E0 3 1.93 1.5 5E0 1
0 .5 4 9.50 1 2.4 1 .0 1E0 2 2.31 2.1 6E0 10 .7 3 6.50 1 7.9 1 .9 2E0 2 2.62 2.6 8E0 1
1 26 .50 2 6.5 3 .7 7E0 2 2.98 3.3 5E0 12 14 .60 5 8.4 1 .3 7E0 1 3.88 5.1 5E0 13 1 0.40 9 3.6 2 .8 8E0 1 4.54 6.6 1E0 15 6.90 17 2.5 7 .2 5E0 1 5.57 8.9 8E0 17 5.30 25 9.7 1.3 6.38 1.10
0.10
1.00
10.00
100.00
CoefidentedearrastresCD
10 4 .10 41 0.0 2.4 7.43 1.3 520 2 .55 1.0 2E+0 3 7.8 1 .01 E+01 1.9 930 2 .00 1.8 0E+0 3 1 5.0 1 .2 2 E+01 2.4750 1 .50 3.7 5E+0 3 3 3.3 1 .5 5 E+01 3.2270 1 .27 6.2 2E+0 3 5 5.1 1 .8 4 E+01 3.81
1 00 1 .07 1.0 7E+0 4 9 3.5 2 .20 E+01 4.5 4
2 00 0 .77 3.0 8E+0 4 25 9.7 3 .13 E+01 6.383 00 0 .65 5.8 5E+0 4 46 1.5 3 .88 E+01 7.735 00 0 .55 1.3 8E+0 5 90 9.1 5 .16 E+01 9.697 00 0 .50 2 .4 5E+0 5 1.4 0E+0 3 6 .26 E+01 1 1.1 9
10 00 0 .46 4 .6 0E+0 5 2.1 7E+0 3 7 .72 E+01 1 2.9 520 00 0 .42 1 .6 8E+0 6 4.7 6E+0 3 1 .19 E+02 1 6.8 230 00 0 .40 3 .6 0E+0 6 7.5 0E+0 3 1 .53 E+02 1 9.5 750 00 0 .39 9 .6 3E+0 6 1.3 0E+0 4 2 .13 E+02 2 3.5 170 00 0 .39 1 .9 1E+0 7 1.7 9E+0 4 2 .67 E+02 2 6.1 8
1 00 00 0 .41 4.0 5E+0 7 2.4 7E+0 4 3 .43 E+02 2 9 .1 22 00 00 0 .45 1.8 0E+0 8 4.4 4E+0 4 5 .65 E+02 3 5 .4 2
44
.
0.01 0,1 1 10 100 1000 10000 100000 100000 1E+070Nmero de Reynolds Re
Coeficiente de arrastre versus nmero de Reynolds.
II.Procesos
3 00 00 0 .47 4.2 3E+0 8 6.3 8E+0 4 7 .51 E+02 3 9 .9 65 00 00 0 .49 1.2 3E+0 9 1.0 2E+0 5 1 .07 E+03 4 6 .7 37 00 00 0 .50 2.4 5E+0 9 1.4 0E+0 5 1 .35 E+03 5 1 .9 2
10 00 00 0 .48 4.8 0E+0 9 2.0 8E+0 5 1 .69 E+03 5 9.2 820 00 00 0 .42 1.6 8E+1 0 4.7 6E+0 5 2 .56 E+03 7 8.0 930 00 00 0 .20 1.8 0E+1 0 1.5 0E+0 6 2 .62 E+03 11 4.4 750 00 00 0 .08 2.1 0E+1 0 5.9 5E+0 6 2 .76 E+03 18 1.2 370 00 00 0 .10 4.9 0E+1 0 7.0 0E+0 6 3 .66 E+03 19 1.2 9
1 00 00 00 0 .13 1.3 0E+1 1 7.69 E+0 6 5 .07 E+03 19 7.4 03 00 00 00 0 .20 1.8 0E+1 2 1.50 E+0 7 1 .22 E+04 24 6.6 2
*Lapple andShepherd 1940.
-
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VelocidaddesedimentacindeunaesferaSedimentacindepartculasdiscretas
Ejemplo
C a lc u la r l a v e lo c id a d d e s e d im e nt a ci n d e e s f er a s d e c u a r zo d e d e ns i da d 2 . 6 5 c m3 d e l os
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
**,1*0921.01*
52.20*
2
21
23
uQuyp
ddcond
du
s i g u ie n t es d i m et r o s : 1 0m , 5 0m , 1 0 0m , 3 0 0m , 5 0 0m , 1 m m 5 m m y 1 c m a 2 0 C .L a e c u a c i n q u e p r e d i c e l a v e l o c i d a d d e s e d i m e n ta c i n e s :
Tabla de resultados del ejemplo
1 2.7832E-02 3.37E-05 9.4E-05 9.3798E-07
d (m) d* u* u Re(cm/s)oo oo oo
45
50100300500
10005000
10000
. -
1.3916E+002.7832E+008.3497E+001.3916E+012.7832E+011.3916E+022.7832E+02
. -
7.84E-022.84E-011.55E+002.91E+005.83E+001.90E+012.86E+01
. -
2.2E-017.8E-014.3E+008.1E+001.6E+015.3E+018.0E+01
. -
1.0916E-017.7900E-011.2970E+014.0473E+011.6214E+022.6373E+037.9666E+03
II.Procesos
P a ra c a lc u la r v e lo c id a de s d e s e di m en ta c i n a o t ra s t em e ra tu ra s e s n e ce s a ri o
Velocidaddesedimentacindeunaesfera
Sedimentacindepartculasdiscretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
d i s p o n e r d e l a d e n s i d a d y v i s c o s i d a d d e l f l u i d o e n e s a s c o n d i c i o n e s .E l g r fi co q ue s ig ue m ue st ra c or re la ci on es d e e st as v ar ia bl es e nt re 0 y 1 0 0 C( Droguett 2000) .
y = 5E-07x + 0.0002
R = 0.99961.50E-04
daire(g/cm-s)
agua(g/c
-s)
2.00E-04
2.50E-040.018
0.016
0.014
0.012
0.01
O
2
y = -3E-06x + 0.0013
1.40E-03
1.20E-03
1.00E-03
8.00E-04
6.00E-040.975
0.980
0.985
0.990
idadagua(g/cm
)
sidadaire(g/cm
)
0.995
1.000
1.005
R = 0.99312
3 3
46
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.00E+00
5.00E-05y = 9E-07x - 0.0002x + 0.0156
R = 0.9983
1.00E-04
Viscosida
Viscosida 0.008
0.006
0.004
0.002
0
Temperatura (C)
Viscosidades del agua y aire a diversas temperaturas.
2
2
4.00E-04
2.00E-04
0.00E-00
1009080706050
Temperatura (C)
Densidades del agua y aire a diversas temperaturas.
403020100
0.955
0.960
0.965
0.970dens
den
y = 4E-06x - 6E-05x +1.0004
R = 0.9993
2
2
II.Procesos
-
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LascorrelacionesparalasviscosidadesconlatemperaturaTenCson:
VelocidaddesedimentacindeunaesferaSedimentacin de partculas discretas
2427
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
42..........100.2100.5
..............
47E
scmg
T
scm
aire
agua
LascorrelacionesparalasdensidadesconlatemperaturaTenCson:
44...........103.1100.3
43..........0004.1100.6100.4
36
3526
ET
Ecm
gTT
aire
agua
E em lo5
47
Calcularlavelocidaddesedimentacindeunaesferadecuarzode300 menaguaa60C.Considere:
4903.2,10796.2,1084.6,982.0 333 QP
cmsg
cmg
aguaagua
scmuyu
d
34.54903.214.214.2
73.1010796.210000
300*
*
3
II.Procesos
C u an d o u n a e s fe r a q u e s e di m en t a s e e n cu e nt r a r o d e ad a d e o t ra s e s fe r as s e p r od u ce e n to r pe c im i e nt o e n e la s e n t a m i e n t o d e c a d a u n a d e e l l a s .
Sedimentacindeunasuspensindeesferas
Sedimentacindepartculasdiscretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
A l t r a s l a d ar s e u n a p a r t c ul a d e u n a p o s i ci n a o t r a , p u e d e e n c o n t ra r o c u p a do e l n u e vo l u g a r y c o l i s i on a r c o n l ap a r t c u l a q u e l o o c u p a d e s v i n d o s e d e s u t r a y e c t o r i a .
M i e n tr a s m s p a r t c u l a s e x i s ta n e n l a s u s p e n s i n m a y o r o p o r t u n i da d e x i s t i r p a r a q u e s e o b s t a c ul i c e n e n t r e e l l a s .
E l r e s ul t ad o e s q u e l a v e lo c id a d e f e c ti v a d e s e di m en t ac i n d i sm i nu i r a l a u me n ta r l a c o nc e nt r ac i n d e l asuspensin.
C o m o l a o b s t a c ul i z a c i n e n l a s e d i m e n ta c i n d e u n a p a r t c ul a d e p e n d e d e l v o l u m e n d e l e s p a c i o o c up a d o y n o d es u m a s a , l a v a r i a b l e a p r o p i a d a p a r a d e s c r i b i r e s t e f e n m e n o e s l a f r a c c i n d e l e s p a c i o o c u p a d a p o r e l s l i d o , e s t oe s , l a f r a c c i n v o l u m t r i c a d e s l i d o s .
C o nc ha y A l me n dr a ( 19 7 9b ) p o st u la r on q u e p a r a u na s u sp e ns i n d e p a rt cu l as e s f r i ca s , t o d a s d e l a m i sm ad e n s i d a d y d i m e t r o , l a e c u a c i n ( 3 9 ) s i g u e s i e n d o v l i d a c o n p a r m e t r o s P y Q r e e m p l a z a d o s p o r P ( ) y Q ().
48
Paramost rarqueset rat adelasuspensinusemoslaslet rasU*yD*env ezdeu*yd*deunapart culaindiv idual:
45..............1*0921.01*
52.20*
2
21
23
EDD
U
dondesupondremosque:
46..............** E
Q
uUy
P
dD
II.Procesos
-
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Sedimentacindeunasuspensindeesferas
Sedimentacindepartculasdiscretas
Escostumbreconsiderarlaspropiedadesdeunasuspensin,talcomolaviscosidad,comoelproductodelamismapropiedaddelfluidoyunafuncindela
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
47.............. EQfQyPfP qp
c o n c en t ra c i n .S ig ui en do e st e e je mp lo , s up on ga m os q ue l as p ro pi ed ad es P () y Q () de las u s p e n s i n s e r e l a c i o n a n c o n l a s p r o p i e d a d e s d e l s l i d o y f l u i d o e n l a f o r m a :
Entonces,reemplazandoen( E46)resulta:
48..............
**
** E
f
uUy
f
dD
qp
49
,
49.............1*0921.01*
52.20*
22
1
23
23
Edfffd
u qp
E s ta e xp re si n , c on oc id a c on e l n om br e d e ecuacin de Concha y Almendra parasuspensiones de esferas, permite calcular la velocidad de sedimentacin de partculas d ecu al q u i er tama o a cu al q u i er con cen tr aci n .P a r a e l l o e s n e c e s a r i o c o n o c e r l o s p a r m e t r o s f p () y f q () .
II.Procesos
P ar a v al or es p eq ue o s d el n m er o d e R ey no ld s, R e 0 , s e c um ple n l ass i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s p a r a ( E 3 9 ) y ( E 4 9 ) :
Expresionesasintticasparalavelocidad
Sedimentacindepartculasdiscretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
1*0921.0
1*0921.0
23
23
23
pfd
d
Tomandoencuentaestasconsideraciones,lasecuaciones( E39)y( E49)sereducena:
2
2
*
22
2
*
*0932.0
*2
0921.052.20 ffdu qp
50
2.
E n e s t a e x p r e s i n h e m o s u s a d o l o s s m b o l o s u * y u * p a r a i n d i c a r l a v e l o c i d a dd e u n a p a r t c u l a e n u n m e d i o i n f i n i t o y l a m i s m a p a r t c u l a e n u n a s u s p e n s i n .E l c o c i e n t e e n t r e e s t a s d o s e x p r e s i o n e s r e s u l t a s e r :
ParaRe0 50.................2**
Effu
uqp
II.Procesos
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Expresionesasintticasparalavelocidad
Sedimentacindepartculasdiscretas
H a ci e nd o u n a d e du c ci n s i mi l ar p a ra v a lo r es a l to s d e l n me ro d e R ey n ol d s,p a r a ( E 3 9 ) y ( E 4 9 ) s e c u m p l e :
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
1*0921.0
1*0921.0
23
23
23
pfd
d
ylasecuaciones( 4.39)y( 4.49)sereducena:
21
*
21
21
*
*
*0921.052.20 ffdu qp
51
..
E n e s t a e x p r e s i n h e m o s u s a d o l o s s m b o l o s u * y u * p a r a i n d i c a r l a v e l o c i d a d d eu na p ar t cu la e n u n m ed io i nf in it o y l a m is m a p ar t cu la e n u na s u sp en si n . E lc o c i e n t e e n t r e e s t a s d o s e x p r e s i o n e s r e s u l t a s e r :
ParaRe 51.................21
*
*
Effu
uqp
II.Procesos
Formasfuncionalesparafp()yfq()
Sedimentacin de partculas discretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
Expresiones para las velocidades de sedimentacin asintticas
Concha y AlmendraR. y
Zaki
f () (1-)
Massarani
P
0.64
-151
(1-)(1+0.75 ) 0.087 1+0.75( ) exp 2.37(1-)( )
(1-+1.2 ) (1-1.45)(1-1.45)
1/3 1/32/3
2/3
2/3
1.83 1.833/4
52
-q (1-) (1+0.75 ) ( ) ( ( ( )1+0.7 0.087 exp 2.37 1- ) )(1-+1.2 ) (1-1.45)
(1-1.45)
1/341/3
2/3 1.831.833
4
II.Procesos
-
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Sedimentacindepartculasdiscretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
10
10
10
10
1
2
-1
-2
-3
53
10 10 1010
Velocidad adimensional U* para suspensiones de esferas decualquier tamao y densidad versus el tamao adimensional D*
junto a datos experimentales (concha y Almendra 1979).
1 10
10-2 2 3-1
-4
II.Procesos
Formasfuncionalesparafp()yfq()
Sedimentacindepartculasdiscretas
L a f i gu ra m u es t ra u n a s i mu l ac i n d e l a v e lo c id a d d e s e di m en ta c i n a d im e ns i on a l u *
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
d e p a r t c u l a s d e t a m a o a d i m e n s i o n a l d * p a r a v a r i o s v a l o r e s d e l a c o n c e n t r a c i n .E s t a f i g u r a p u e d e s e r u s a d a p a r a a n a l i z a r e l e s t a d o d e f l u j o e n u n l e c h o p o r o s o .
La figura separa el plano en tresr e g i o n e s , l a r e g i n d e lecho fijo entre eleje d e l a s a b s c i s a s y = 0 . 5 8 5 , l a r e g i nde lecho fluidizado entre 0.585> >0 y
=0,31.00E+02
1.00E+01
1.00E+00
1.00E+01
idadadimensionalu*
=0,2
=0,1
=
=0,4
54
neumtico entre =0 y el eje de las
ordenadas. Wen and Yu ( 1 9 6 6 ) y B a r n e aa nd M ed ni ck ( 19 7 5) m ue st ra n q ue l avelocidad inicia l de fluidizacinc or re sp on de a u na c on ce nt ra ci n d e=0.585.
Velo1.00E+02
1.00E+03
1.00E+04
0.01 0.1 1 10 100 1000
Dimetro adimensional d*
Simulacin de la velocidad de sedimentacin adimensionalu* de partculas de tamao adimensional d* para varios valoresde la concentracin a 20 C
=0
=0,585
,
II.Procesos
-
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Sedimentacindepartculasdiscretas
paraunmedioporosolavelocidaddepercolacinqestdadapor:
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
52.............1 Evvq rs
Donde es la velo cidad relativa s lidof l u i d o . P a r a u n f l u j ob i f s i c o e s t a v e l o c i d a d d e p e r c o l a c i n r e c i b e e l n o m b r e d e v e l o c i d a d v o l u m t r i c a .
fsrfs vvvyvvq 1
C on si de re mo s c om o u n e je mp lo q ue u n f lu jo e n u n l ec ho p or os o, f or m ad o p orp a rt cu l as e s f r ic a s d e t a ma o a d im e ns i on a l d * =1 , e l f l ui d o p e rc o la a t r av s d e ll e c h o a u n a v e l o c i d a d a d i m e n s i o n a l d a d a p o r u * a u n a t e m p e r a t u r a d e 2 0 C .
55
Si a v e oci a u aum enta s u va or, ste s e p ue e c a cu ar e a igura a nteriort r a z a n d o u n a r e c t a v e r t i c a l e n d * = 1 .E l f l u i d o p e r c o l a r a t r a v s d e l l e c h o f i j o h a s t a q u e s e a l c a n c e l a v e l o c i d a d u * = 2 . 9x104 , m o m e n t o e n e l c u a l e l l e c h o s e e x p a n d i r .E l l e c h o p e r m a n e c e r f l u i d i z a d o a l a u m e n t a r l a v e l o c i d a d h a s t a u * = 2 x 1 0 2 y d e a h e n a d e l a n t e l a s p a r t c u l a s c o m e n z a r n a d e j a r e l l e c h o a l a u m e n t a r s u v e l o c i d a d .
II.Procesos
Formasfuncionalesparafp()yfq()
Sedimentacindepartculasdiscretas
Ejemplo
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
86692.002,40066.12.0
0329.3,102385.4,01280.0,9959.0
20.0404010065.2
40
3
qp
aguaagua
ff
QP
Calcularlavelocidaddesedimentacindeunasuspensindemonotamaodeesferasde150ma15Cconunaconcentracinde40%deslidosenpeso.
Losparmetrosson:
56
scmuyu
dfffd
u
d
pqp
128.00329.3423.0423.0*
*0921.01*
52.20
5390.3102385.4
150*
2
21
23
23
*
3
II.Procesos
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Formasfuncionalesparafp()yfq()
Sedimentacindepartculasdiscretas
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
uVComovvq frs .1
Ejemp o
C al cu la r l a ve lo ci da d d e f lu id iz ac i n d e u na s us pe ns i n m on ot am a o d ep a r t c u l a s d e c u a r z o d e 1 5 0 m d e d i m e t r o y d e n s i d a d 2 . 6 5 g / c m 3 a 1 5 C y u n ac o nc e nt ra c i n d e 4 0 % d e s l id o s e n p e so . C a lc u la r, a d em s , a q u e v e l o ci d ad d ep e r c o l a c i n l a s p a r t c u l a s i n d i c a d a s c o m e n z a r n a s e r t r a n s p o r t a d a s
Lavelocidaddepercolacines
yalavelocidaddetransporte uq .00,0
57
scmqcalcularpodemosanteriorproblemaDel
024.128.120.01
:
Eltransportecomenzarcuandolaconcentracintiendaacero.Comod*=3.539,
scmuqyu 28.10423.0*
II.Procesos
Sedimentacindepartculasisomtricas
L a s p a r t c u l as n oe s f r i c a s t i e n e n u n c o m po r t a m ie n t o d i f e r en t e a l a s e s f ri c a s d u r a n t e l as e d im e n t ac i n . M i e n t r as q u e l a s p a r t c u l a s e s f r i c as c a e n e n u n a t r a y e c t o ri a v e r t i ca l , l a sp a r t c u l a s n oe s f r i c a s , v i b r a n r o t a n y s i g u en u n a t r a y e ct o r i a e s p i ra l .
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
Pettyjohn yC h r i s ti a n s en ( 1 9 4 8 )demostraronquelavelocidaddesedimentacind e p a rt cu l as i s om tr i ca s e n r gi m en d e S t ok es s e p od a d e sc r ib i r m e di a nt e l a s i gu i en t eexpresin:
53..........065.0log843.0 Eu
u
e
p
D o n d e ue e s l a v e lo c id a d d e s e di m en t ac i n d e u na e s fe r a q u e t i en e e l m i sm o v o lu m enq u e l a p a r t c u l a ( e s f e r a e q u i v a l e n t e ) , e n t o n c e s :
54...............18
2
Egd
u ee
58
Enestaexpresindeeseldimetroequivalenteodimetrodelaesferaequivalente.P a ra e l r a ng o d e n m e ro s d e R e yn o ld s e n tr e 2 . 00 0
-
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Sedimentacin de partculas isomtricasP o r s o b r e R e = 3 0 0 , l a s p a r t c u l a s c o m i e n z a n a r o t a r y o s c i l a r .P ar a t o ma r e n c u an ta e s te c o mp o rt a mi e nt o, B a r ke r ( 1 95 1 ) s u gi r i i n tr o du c ir
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
57............., 181 ECC DD
c o m o n u e v a v a r i a b l e l a d e n s i d a d d e l a p a r t c u l a .
Donde eselc u o c i e n t e d edensidadesentreelslidoyelfluido: =p /f.LosdatosdePettyjohn yChristiansen ( 1948)ydeB a r k e r ( 1 9 5 1 )sepuedengraficarsegnlafigura:
10
10
4
3
x
x
x
****
*
**
59
10
10
1010 10 10 10 1010 1010 10
Datos de Pettyyjohn y Christiansen (1948) y de Barker (1951)graficados como coeficiente de arrastre versus nmero deReynolds, utilizando como tamao el dimetro equivalente.
1
1
-2
-3 -2 2 3 44 5
2
Re
Sphericity
0.9050.8460.8060.670*
***************xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
xxx
xxxx
xxx
x
**********
*******
******
******
*********
*
II.Procesos
SedimentacindepartculasisomtricasCoeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacin
S up on ga mo s q ue l as e cu ac io ne s ( E2 5) y ( E3 8) s on v l id as p ar a p ar t cu la si s om tr i ca s , c o n v a lo r es d e C co mo fu nc io ne s de la esfe ric id ad d el
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
59..........1*
,,C
41
*4
1
58..........
Re
,1,,
221
23
2
0
~~21
0
~2
0*
2
21
~
0
Edd
u
ECC
p
D
c o c i e n t e d e d e n s i d a d e s ( C o n c h a y B a r r i e n t o s 1 9 8 6 ) :
60
DondeelnmerodeReynoldsquedadefinidoconeldimetroequivalente.Supongamos,adems,quesecumple:
61.........,
60........,
0
~
0
~
0
Eff
EffCC
DB
CA
dondeC0 y0 sonlosparmetrosparaunaesfera.
II.Procesos
-
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SedimentacindepartculasisomtricasCoeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacin
2* d
paraunaesferaaRe0,lavelocidadsepuedeaproximarpor:
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
...........2
00
EC
ue
D e l m i s m o m o d o p a r a u n a p a r t c u l a i s o m t r i c a t e n e m o s :
63...........
,,
*
2
00
~
2* E
C
du ee
C om o e l d i me tr o d e e s e l m is mo p ar a l a e sf er a y l a p ar t cu la , r ee mp la za nd o( E 6 0 ) y ( E 6 1 ) e n ( E 6 3 ) r e s u l t a :
61
64...........0Re 22* Effffuu
uu DcBA
p
e
p
e
PorotraparteparaRe,sepuedecomprobarque:
65............
,,
0
0
~
EC
C
C
C
D
D
II.Procesos
Sedimentacindepartculasisomtricas
Coeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacin
,CD yreemplazandolaexpresin
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
...........,eC
CA
D
Pa ra d et er mi na r l as f un ci on es f A, f B, f C y f D, u sa re mo s l as e cu ac io ne s
p r o p u e s t a s p o r P e t t y j o h n y C h r i s t i a n s e n ( E 5 3 ) y ( E 5 6 ) y ( E 5 7 ) p o r B a r k e r ( 1 9 5 1 ) .D e ( E 6 4 ) y ( E 5 3 ) p o d e m o s e s c r i b i r :
75.442.5
)67......(065.0
log843.022 Effff DCBA
62
.......75.442.5
CA
De( 57)y( 68) sepuedeconcluirque:
70........
69........67.0
75.442.5
181
C
A
f
f
II.Procesos
-
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SedimentacindepartculasisomtricasCoeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacin
C om o en r i me n de S to ke s no h a e fe ct o de la d en si da d E 67 i m l ic a u e:
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
71......36118112 Efyff DCD
porlotanto:
72......065.0
log843.067.0
75.442.5 21
EfB
63 II.Procesos
Sedimentacin de partculas isomtricas
Coeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacinmodificados
IntroduciendolosvaloresdefA,fB,fC yf D e nlaecuacin( E58)podemos
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
73.........Re
1,
2
00 E
ff
Cff
C
DB
CA
D
DefiniendoelcoeficientedearrastremodificadoCDMyelnmerodeReynoldsmodificadoReM enlaforma:
,C
64
75..........
ReRe
..........
22 E
ff
Eff
C
DB
M
CA
DM
S i s e g r a f i c a t o d o s l o s d a t o s e x p e r i m e n t a l e s c o m o C D M v e r s u s R e M s e o b t i e n el a c u r v a u n i f i c a d a
II.Procesos
-
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SedimentacindepartculasisomtricasCoeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacinmodificados
S i s e r af ic a t o do s l o s d a to s e x e ri me nt al e s c om o C D M v e rs us R eM
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
s e o b t i e n e l a c u r v a u n i f i c a d a :
10
10
10
10
4
3
2
xxxx
xxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
x
x
x
x
*****
******
********
**
*****
*
**
CDM
65
1010 10 10 10 1010 1010 10
Datos experimentales de Pettyjohn y Christiansen (948) y Barker(1951) graficados como C versus Re par partculas
isomtricas.
1
1
-1
-3 -2 -1 2 3 44 5
Re
Sphericity
0.9060.8460.8060.670*
***************x
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xx
x
xxxxxxx
xxxx
xxxx
xxx xxx
xxx
xxxx
x
**************
***
M
DM M
II.Procesos
Sedimentacindepartculasisomtricas
Coeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacinmodificados
Un res ultado similar s e obtiene para la ,** de
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
v el oc id ad d e s ed im en ta ci n . D ef in ie nd o e ld i m et r o e q u iv a l e nt e a d i m en s i o n al u n i f ic a d od*eM y l a v el o ci d ad a d im e ns i on a l m o di fi c ad a
u*M e n l a f o r m a :
77.......,
.......
*
*
32221221
E
ff
uu
ffff
D
p
eM
DCBA
eM
B
L a c ur va u ni fi ca da d e u *pM v e rs u s d *eMa ra l os d at os d e Pe tt o hn C hr is ti an se n
UM
10
10
2
66
( 1 9 48 ) y d e C h ri s ti a ns e n y B a r ke r ( 1 9 65 )s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 10
10
10 10 10 101 10
-1
-1
-1 2 3 4
dM
Sphericity
Curva unificada de u* versus d* para los datos dePettyjohn y Christiansen (1984) y de Barker (1951)
0.9060.8460.8060.670
pM eM
II.Procesos
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SedimentacindepartculasisomtricasCoeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacinmodificadosEjemplo
C a l c u l a r l a v e l o c i d a d d e s e d i m e n t a c i n d e u n c u b o d e c u a r z o d e 1 m m d e l a d o ,
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
ens a . g cm en a gua a .
P o r d ef i ni c i n l a e s fe r ic i da d e s l a r a z n e nt r e l a s u pe r fi c ie d e l a e s fe r a e q u i va l en t e y l as u p e r f i c i e d e l a p a r t c u l a . P a r a u n c u b o d e l a d o a l a s u p e r f i c i e y v o l u m e n s o n S cubo =6a
2 yVcubo = a
3 .L a e s f e r a e q u i v a l e n t e t i e n e e l m i s m o v o l u m e n a 3, p o r l o q u e s u d i m e tr o s e r :
6
66
2
32
31331
a
aaV
de
67
806.066
: 2
a
esdesfericidaLa
67581.0
065.0
806.0log843.0
75.442.5
806.075.442.5
065.0log843.0
75.442.5
75.442.5
3754.275.442.5
806.075.442.5
75.442.5
75.442.5
2121
B
A
f
f
II.Procesos
Sedimentacindepartculasisomtricas
Coeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacinmodificados
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
f
f
cmg
D
C
f
0274.19964.0
65.2
9473.09964.0
65.2
9964.00004.125100.625100.4
~
361
361
181
181
3526
68
scmg
ffC
agua
CA
DB
0112.01056.125100.225100.9
6299.09471.03753.228.028.0,
.....,
2427
~
II.Procesos
-
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35
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3131
SedimentacindepartculasisomtricasCoeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacinmodificados
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
du
P
dd
gQ
gP
p
e
f
f
f
f
1*4
1*
,1
79.25003877.0
1.0
900.29964.03
1.9800112.09964.065.24
3
4
003877.01.9809964.09964.065.24
0112.03
4
3
221
23
~2~
~2
0*
*
31
2
31
2
69
scmuQu
C
p 3.2607.99.2*
07.913050.66299.0
796.2541
796.25
0557.6
,,2
21
221
322
2
00
II.Procesos
Sedimentacindepartculasarbitrarias
C o n c h a y C h r i s t i a n s e n ( 1 9 8 6 ) e x t e n d i e r o n l a v a l i d e z d e l c o e f i c i e n t e d e a r r a s t r e y d e l av el oc id ad d e s ed im en ta ci n d ef in id as a ra u na s us e ns i n d e e sfe ra s a ra s er
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
u t i l i z a d a s p a r a u n a s u s p e n s i n d e p a r t c u l a s d e f o r m a a r b i t r a r i a .
10000,00
1000,00
100,00
10,00
CoeficientedearrastreCD Arena
Cuarzo
Caliza=0.4
=0.3
=0.2
=0.1
=0.0
70
1,00
0,10
0,1 1 10
Nmero de Reynolds Re
Coeficiente de arrastre para suspensiones de partculas irregulares de parapartculas de caliza, cuarzo y arena en funcin del nmero de Reynolds,usando el dimetro equivalente como medicin del tamao a cinco valoresde concentracin (concha y Christiansen 1986)
100 10001000 10000
II.Procesos
-
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36
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Sedimentacindepartculasarbitrarias
78..........Re
,,1,,,,C
221
~2
2
21
00
~
D EC
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
79..........1*,,,,
1*
,,
4,, 23
~2
0
~21
0
0* Ed
Cd
up
donde e s l a e s f e r i c i d a d , e l c o c i e n t e d e d e n s i d a d e s d e l s l i d o y e l f l u i d o y l a c o n c e n t r a c i n d e s l i d o .A l i g u a l q u e e n e l c a s o d e s u s p e n s i o n e s d e e s f e r a s y d e p a r t c u l a s i s o m t r i c a s ,s u p o n d r e m o s q u e l a s c o n t r i b u c i o n e s d e e s t o s p a r m e t r o s s e p u e d e s e p a r a r :
80.........,,~
00
~
EfffCC ECA
71
.........,, FDB
yquelosvaloresdefA afD sonlosdefinidosporlasexpresiones( E69) ,( E72) ,( E70)y( E71) .YfE ,fF
83.........1
16556.11
82.........1
2315.21
4191.1
89957.0
Ef
Ef
F
E
II.Procesos
L o s p a r m et r os n u m r i co s d el as d os ex r es io ne s a nt er io re s
Velocidadesdefluidizacindepartculasdeformaarbitrariaen
aguaa20C
decm p
(g/cm3) Re
up()cm/s
=0.0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.4
Caliza
0 .0 1 4 80 .0 2 1 60 .0 3 0 60 .0 4 4 30 .0 6 1 50 .0 9 5 6
2 .7 12 .7 12 .7 12 .7 12 .7 12 .7 1
1.874.8911.225.246.386.6
1 .2 7 32 .2 8 23 .6 2 75 .7 2 57 .5 8 3
10.181
0 .8 2 01 .5 1 72 .5 2 34 .1 5 95 .8 3 58 .0 4 5
0 .4 9 00 .9 6 11 .6 8 22 .9 0 94 .3 5 36 .1 8 2
0 .2 4 80 .5 1 20 .9 8 11 .8 7 92 .9 3 94 .5 7 9
0 .2 4 40 .4 9 61 .0 5 61 .8 5 33 .0 5 6
s on s o la m en t e v l i do s p a ra l a spa r t c ul a s c uy o s da t o s e s t n e n
l a t a bl a :
0 .1 2 3 90 .1 8 5 90 .2 3 7 40 .3 2 9 20 .5 0 6 0
2 .7 12 .7 12 .7 12 .7 12 .7 1
1 6 33 2 44 9 28 1 1
1111
13.28517.55620.87324.80227.629
1 0 .7 6 31 4 .2 9 41 7 .2 1 02 1 .0 5 12 3 .6 7 2
8 .5 0 51 1 .6 3 11 3 .8 7 01 7 .5 2 61 9 .9 1 4
6 .5 1 28 .9 4 0
10.96714.23816.371
4 .6 4 36 .8 7 38 .7 7 9
1 1 .3 8 51 3 .5 7 0
Cuarzo
0 .0 1 3 80 .0 2 0 70 .0 2 8 60 .0 4 2 00 .0 6 0 00 .0 8 3 40 .1 1 9 20 .1 7 3 20 .2 3 7 30 .3 3 3 80 .4 0 0 5
2 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 42 .6 4
1.624.469.4822.143.178.8
1 4 42 7 94 5 77 6 7
1031
1 .1 8 62 .1 7 13 .3 3 65 .2 9 07 .2 3 89 .5 0 9
12.21016.21319.49423.14325.926
0 .7 0 81 .3 7 22 .1 5 23 .6 6 55 .2 5 37 .2 9 29 .7 9 1
1 3 .2 5 81 6 .1 0 71 9 .5 9 42 2 .0 9 5
0 .3 8 60 .8 2 11 .3 1 92 .4 3 23 .6 7 25 .4 2 87 .6 5 9
1 0 .5 8 71 3 .0 8 81 6 .2 6 81 8 .4 7 7
0 .1 8 70 .4 1 10 .6 9 81 .4 2 32 .4 2 83 .7 3 25 .6 8 88 .2 0 4
10.34413.17415.086
0 .3 3 00 .7 4 31 .3 2 92 .3 3 43 .8 6 56 .1 1 17 .8 8 3
1 0 .3 2 71 1 .9 3 7
72 II.Procesos
Arena
0 .0 3 5 40 .0 4 2 50 .0 5 8 60 .0 8 3 30 .1 1 9 60 .1 7 3 50 .2 3 4 40 .3 2 8 70 .4 0 1 8
2 .7 02 .7 02 .7 22 .7 62 .7 92 .7 92 .7 92 .7 92 .7 9
15.023.143.585.6
1 6 53 2 2
5 .98 4 8
1208
4 .2 7 75 .4 7 37 .4 8 6
10.35413.98318.71221.87425.98030.277
3 .0 0 53 .9 1 95 .6 0 17 .9 9 2
1 0 .9 3 01 4 .3 8 61 7 .1 9 22 0 .8 8 22 3 .8 1 9
2 .0 2 52 .6 9 84 .0 5 05 .9 8 48 .3 5 9
1 0 .9 7 91 3 .3 3 31 6 .8 0 71 9 .3 8 2
1 .1 9 01 .7 1 62 .6 6 54 .2 7 56 .1 6 88 .6 0 5
10.63613.61715.741
0 .6 2 50 .9 3 01 .5 8 82 .7 9 14 .3 4 26 .4 9 58 .1 9 2
1 0 .6 8 11 2 .3 8 0
-
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Sedimentacindepartculasarbitrarias
Factordeformahidrodinmico
C o nc ha C hr is ti an s en 1 9 86 d ef in ie ro n un a es ericidad hidrodinmica e ectiva.
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
Para ello, u s a ro n l a s e c ua c io n es f A a fD, d ef i ni d as p a ra p a rt cu l as i s om t ri c as , yrec a l c u l a r o n e l v a l o r d e l a e s f e r i c i d a d d e l o s d a t o s d e l a t a b l a a n t e r i o r .C o m o l a f o r m a d e e s t a s p a r t c u l a s n o e r a i g u a l p a r a t o d o e l r a n g o d e t a m a o s , s ee s c r i b i l a e s f e r i c i d a d h i d r o d i n m i c a c o m o u n a f u n c i n d e l t a m a o d e p a r t c u l a .E n e l c a s o d e l o s d a t o s d e l a t a b l a a n t e r i o r e s a f u n c i n f u e :
84..........2210 EdAdAA ee
conlosvaloresdeA0,A1 yA2 indicadosen:
73
Parmetro
A
A
A
Error relativo % 1.5
-0.03624
0.81540 0.87806
-1.13983
1.56763
1.2
0.80399
0.04100
-0.33082
1.6
-0.27614
Caliza Cuarzo Arena
0
1
2
II.Procesos
Sedimentacindepartculasarbitrarias
Coeficientedearrastreyvelocidaddesedimentacinmodificados
S e p u e d e o b t e n e r u n a c o r r e l a c i n n i c a p a r a e l c o e f i c i e n t e d e a r r a s t r e y l a v e l o c i d a d
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
86..........Re
Re
85..........,
222 E
Efff
CC
M
ECA
D
DM
,c o e f i c i e n t e d e a r r a s t r e m o d i f i c a d o y u n a v e l o c i d a d d e s e d i m e n t a c i n m o d i f i c a d a :
1,0E+03
1,0E+02
ciente
eArrastreModificadoC
1,0E+01
+
DM
74
88...........
,
87..........,
3131222
*
*
3222231
**
Effffff
uu
Effffff
dd
ECAFDB
p
pM
FDBECA
e
eM
FDB
Coefi ,
1,0E+01
1,0E+01 1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04
Nmero de Reynolds Modificado Re
Coeficiente de arrastre unificado versus nmero deReynolds modificado para partcula de caliza, cuarzo y arena(Los mismos datos del grfico de Concha y Christiansen 1986)
M
II.Procesos
-
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C al cu la r l a v el oc id ad d e f l ui di za ci n d e u n a s u s e ns i n d e 3 5 % d e s li do s e n e so d e
Ejemplo
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
p a r t c u l a s d e c u a r z o d e 2 5 0 m i c r o n e s y d e n s i d a d 2 . 6 5 g / c m 3 e n a g u a a 2 5 C .
0274.1,9473.0,67581.0,3754.2
900.2,003877.0,0112.0,65.2,9964.0 33
DCBA
fsf
ffff
Qpscmgcmgcmg
5305.11684.01
1684.02315.21
1684.0359964.03510065.2
359964.0
89957.0
Ef
75
0207.11684.01
1684.01684.06545.11
.
Ff
448.610877.3
10250*
9641.05305.19471.03753.228.028.0,~
4357.60207.10275.16758.008.908.9,,~
3
4
0
0
p
dd
fffC
fff
ECA
FDB
II.Procesos
Sedimentacindepartculasarbitrarias
4~
12
212
*
MODELAMIENTODELASEDIMENTACION
scmuQuV
Cdu
pr
p
076.744.29.2
44.214357.69641.0
4357.64
1448.6
4357.6
4
1
1*,,
~,,
~1*4
,,
*
221
221
232
2
0
21
0
Lavelocidaddefluidizacinqestdadapor:
76
scmVq r 884.5076.70168411
Ladireccindelflujoescontrariaaldesedimentacindelaspartculas.
II.Procesos
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C o ns i de r em o s l a s e di m en t ac i n d e u n a m e zc l a d e p a rt cu l as s li d as y u n f l ui d o, c o nt e ni d os e nu n a v a si j a y s u po n ga m os q ue s e s a t is f a ce n l a s p r op i ed a de s p a ra q u e e l s i st e ma s li dofluidop u e d a s e r c o n s id e r a do d o s m e d i o s c o n t i n uo s s u p e rp u e s to s .
D e f i na m o s p or vs y vf l a s v e l o c i d a d e s d e l s l i d o y d e l f l u i d o r e s p e c t i v a m e n t e .
Conceptosdesuspensinidealyespesadorideal.
TEORIADESEDIMENTACIONDEKYNCH
Lass u p os i ci on ess on :
1. Todaslaspartculasslidassonpequeas,delmismotamao,formaydensidad.
2. El slidoyelfluidodelamezclasonincompresibles.
3. Nohaytransportedemasaentrecomponentes.
4. Lavelocidadrelativaslidofluidou=vsvf
5. nlamezclaesunafuncindelaconcentracindeslidossolamente.
6. Laconcentracindelaspartculaseslamismaentodalaseccintransversaldelavasija.
L a s u o si ci n 1 u nt o a l a 3 e rm it en e s ta bl ec e r un a v el oc id ad ni ca a ra e l c om o ne nt e s l id o
77
y l a s u p o s i c i n 2 d e f i n edensidades materiales constantes para cada c o m p o n en t e . L a s u p o s ic i n4 , c l a v e e n l a t e o r a d e K y n c h ( 1 9 5 2 ) , l l e v a i m p l c i t a l a s u p o s i c i n q u e l a s f u e r z a s c o n v e c t i v a s s o nd es p r eci ab l es .
U na m ez cl a q ue c um pl e l as p ro pi ed ad es 1 a 4 r ec ib e e l n o m br e d e suspensin ideal (Shannonand Tory 1966, Bustos et al 1990, Concha and Bustos 1992) y puede s e r c o n s i d e r ad a c o m o u n as u p e r p o s i c i n d e m e d i o s c o n t i n u o s c o n d o s c o m p o n e n t e s i n c o m p r e s i b l e s
II.Procesos
N o e x i s t e m a t e r i a l r e a l q u e s e a u n a s u s p e n s i n i d e a l , p e r o h a ym uc ho s m at er ia le s q u e, e n c as os e sp ec ia le s, s e c om po rt an
Conceptosdesuspensinidealyespesadorideal.
TEORIADESEDIMENTACIONDEKYNCH
c o m o una s us pe ns i n i de a l .
La concentracin d e l a s u s p e n s i n e s , e n g e n e r a l , u n a f u n c i n
d e l a s t r e s d i m e n s i o n e s d e l e s p a c i o y d e l t i e m p o , s i n e m b a r g o ,l a s up os ic i n 5 p er mi te d es cr ib ir l a s ed im en ta ci n c om o u nf e n m e no unidi m e ns i o na l , t a l que : = (z,t)
E sta s u o si ci n d ef in e e l c on ce t o d e u n es esador ideal como
78
una vasija sin efecto de paredes (Shannon and Tory 1966, Bustose t a l 1 9 9 0 , C o n c h a a n d B u s t o s 1 9 9 2 ) y d o n d e l a a l i m e n t a c i n ydescarga se representan como fuentes y sumiderossuperficiales.
II.Procesos
-
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H a st a e l m o me n to t o do s l o s t r ab a jo s r e la c io n ad o s a l a s e d im e nt a ci n, y as e a n d e s u s p e n s i o n e s i d e a l e s o n o , u t i l i z a n e l c o n c e p t o d eespesador ideal.
Conceptosdesuspensinidealyespesadorideal.
TEORIADESEDIMENTACIONDEKYNCH
i n d u s t r i a l y d e s u d e s c a r g a e s m u y c o m p l i c a d a y q u e , a p e s a r d e e l l o , s e h ad e m o s t r a d o c o n h e r r a m i e n t a s m o d e r n a s , t a l e s c o m o l aMecnica de FluidosComputacional, que la distribucin de concentraciones e n e st os e q ui po s e ssen sib lemen te u n id imen sion al.
79
Distribucin de concentracin en un espesador industrial de 100 m de dimetrotratando relaves de cobre. simulacin mediante CFD usando el cdigo Fluent.
II.Procesos
Ecuacionesdecampo.
L a s ed im en ta ci n d e u na s us p en si n i de al e n u n e sp es ad or i de al p ue de s erd es cr it a m ed ia nt e l a c on ce nt ra c i n d e l a s us pe ns i n ( z ,t ) , e xp r es a d a c o mof r a c ci n v o l u m t r i c a d e s l i d o s , l a s v e l o c i d ad e s d e l o s c o m p o n en t e s s l i d os v s( z,t)
TEORIADESEDIMENTACIONDEKYNCH
y ui o v f z , t .E s t a s v a r i a b l e s d e c a m p o d e b e n o b e d e c e r l o s b a l a n c e s l o c a l e s d e m a s a .
2.........011
1.........0
Kvzt
Kvzt
f
s
Ecuacindelcomponentefluidorespectivamente:
Ecuacindecontinuidaddelcomponenteslido:
S o l u c i o n e s p a r a e s t a s e c u a c i o n e s d e c o n s e r v a c i n s o n g e n e r a l m e n t e d i s c o n t i n u a s .
80
,l as e cu ac io ne s ( K1 ) y ( K2 ) s on v l id as s o la me nt e e n a qu el la s r eg io ne s d on de l aconcentracin es continua.Enlasdiscontinuidadessedebecumplir:
3.......
1
1K
vv fs
Estasexpresionessedenominanecuacionesdesaltoocondicionesdesalto.
II.Procesos
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S u m a n d o l a s d o s e x p r e s i o n e s ( K 1 ) y ( K 2 ) s e o b t i e n e l a e c u a c i n d e c o n t i n u i d a d d e
TEORIADESEDIMENTACIONDEKYNCH
50
40
Kq
Kz
q
dondeq( z,t)eslavelocidadpromediovolumtricadelasuspensin,definidapor:
6.......01 Kvvqfs
E n t r mi no s d e l a v el oc id ad r el at iv a s l id of l ui d o u = vs v f , l a v el oc id adv o l u m t r i c a p u e d e s e r e x p r e s a d a p o r :
81
7.......1 Kuvq s Laecuacin( K4)implicaquelavelocidadvolumtricaesunafuncindeltiempos o l a m e n t e q = q ( t ) .L a s e c u a c i o n e s ( K 4 ) y ( K 5 ) p u e d e n s u s t i t u i r v e n t a j o s a m e n t e l o s b a l a n c e s d e f l u i d o ( K 2 ) y( K3)
II.Procesos
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M u l t i p l i c a n d o l a e x p r e s i n ( K 7 ) p o r y , d e f i n i e n d o l a s d e n s i d a d e s d e f l u j oF(, t ) =v , fb () =( 1) u , p o d e m o s e s c r i b i r l a d e n s i d a d d e f l u j o d e s l i d o s e n l a
TEORIADESEDIMENTACIONDEKYNCH
orma: 8......., Kfqtf b
E s t o e s , l a d e n s i d a d d e f l u j o d e s l i d o s t o t a l c o n s i s t e e n l a s u m a d e u n a p a r t e
l i ne a l q, c o rr es p on d ie n te a l m o vi m ie n to g l ob a l d e l a m e zc l a y u n a p a r t e n ol in ea l , qu e d es cr ib e e l m ov im ie nt o r el at iv o l oc al . C ua nd o s e d es c ri be las e d i m e n t a c i n e n u n e s p e s a d o r i d e a l c e r r a d o q u e d e n o m i n a r e m o s columna desedimentacin, la velocidad v o l u m t r i c a e s i g u a l a c e r o , q = 0 , y a q u e n o h a ya l i m e n t a c i n n i s a l i d a , p o r l o q u e d e ( K 8 ) r e s u l t a :
bf
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Aestadensidaddeflujoladenominaremosdensidaddeflujobatch.
9......., Kftf b
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Ecuacionesdecampo.U s a n d o l a d e f i n i c i n d e s f v , l a e c u a c i n d e c o n t i n u i d a d d e l c o m p o n e n t es l i d o y l a c o n d i c i n d e s a l t o s e p u e d e n e s c r i b i r e n l a f o r m a :
TEORIADESEDIMENTACIONDEKYNCH
11.......
10.......,
Kf
Kzt
E s t a e x p r e s i n r e c u e r d a q u e , g e n e r a l m e n t e , l a s s o l u c i o n e s d e u n p r o c e s o d es e di m en ta c i n n o s o n n ic a s y e s n e ce s ar i o d i sp o ne r d e u n c r it e ri o p a ra e l eg irl a s o l u c i n a d m i s i b l e .E l c r i t e r i o m a s u s a d o e s l a condicin de entropa de Lax que dice que (Bustos and
83
12....., Kff
C uan do la ve lo ci da d d e d es pl aza mi ento d e l a d is co nt inu id ad c um pl e( 1 2 ) r e s t r i c t a m e n t e s e d e n o m i n a u n aonda de choque.Si cualquiera de las igualdades se s at is fa ce , s e t ie ne u na discontinuidad decontacto.
II.Procesos
PROCESODEKYNCHPARALASEDIMENTACIONBATCH
C u an d o u n a suspensin ideal sedimenta bajo el efecto de la gravedad en unacolumna de sedimentacin se puede distinguir las siguientes etapas en el proceso.
a ) A nt es d e c o m en za r l a s e di me nt ac i n l a s u sp e ns i n s e h om og en iz a p o r a g i ta ci n , d e
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m a ne r a q u e s u c o n ce n tr a ci n e s c o n s t an t e.b ) C ua nd o l a s e di me n ta c i n c o m ie nz a, t od as l as p a rt c ul as c a en a l a m i s ma v e lo ci da d, d e
m a ne r a q u e s e f o rm a u n a i n t e rf a z a g u as u s p e n s i n e n l a p a r t e s u p e r i o r d e l a c o l u m n a , l aq u e d e s c i en d e a l a m i sm a v e l oc i da d q u e l o h a ce n l a s p a r t c u la s . E s t a e t ap a s e d e no m in asedimentacin dificultada(hinderedsettling) .
c ) L as p ar t cu las q ue ll eg an a l fo nd o d e l a c ol umn a s e a cu mu la n h ac ie nd o q ue l ac o n c e n t r a c i n a u m e n t e r p i d a m e n t e h a s t a o c u p a r t o d a l a s u p e r f i c i e d i s p o n i b l e . E l m a t e r i a le n e s ta s c on di ci on es r ec ib e e l n om br e d e sedimento y s u c o nc e n tr a ci n e s . Las u p e r f i c i e d e l s e d i m e n t o , o i n t e r f a z s u s p e n s i n s e d i m e n t o , s e m u e v e h a c i a a r r i b a a m e d i d aq u e n u e v a s p a r t c u la s s e l e i n c o r po r a n .
d ) E n u n p un to d et er mi na do d e l a c ol um na , p e ro b aj o l a i nt er fa ce d e a g uas u s p e ns i n , l ac o n c e n tr a c i n d e l a s u s p e n s i n p e r m an e c e f i j a o a u m e n ta c o n e l t i e m p o .
84
e ) U t il i za n do u n i n s t ru m en t o p a ra m e d i r c on c en t ra c io n es , c o m o e l d e B e e n a n d S il l s ( 19 8 1) ,s e p o dr a s e g ui r e l m o vi m ie n to d e u n a d e te r mi n ad a c o n ce n tr a ci n e n l a c ol um na . E lm o v i mi e n t o s e r a n e c e s a ri a m e nt e h a c i a a r r i b a a u n a v e l o c i d a d d e n o m i n a da v e l o ci d a d d ep r o p a g a c i n d e l a o n d a d e c o n c e n t r a c i n .
f ) E n u n de te rm in ad o i ns ta nt e y a u n a c ie rt a a lt ur a l a in te rf az a g uas u s p e n s i n s e e n c o n t r a r c o n l a i n te r fa z s u s pe n si ns ed im en to . L as c oo rd e na da s d e e se e ve n to s e d en om in antiempo crtico y altura crtica y ellas definen el punto c r ti co e n e l c ua l t er mi na l asedimentacin.
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E l g r fi co m ue st ra la s i nt er fa ce s a gu as us pe ns i n y s us pe ns i ns e di me nt o e n f un ci n d el t ie m po . E st e g r fi co r ec ib e e l n om br e d e
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curva e se mentac n.
Z
L
(a)
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l
t t t
Curva de sedimentacin mostrando las interfaces. (a)agua - suspensin, (b) suspensin - sedimento, ( c ) agua - sedimento.
c
1 c
0
(b)
( c )
II.Procesos
C o n b a se a e s ta d e sc r ip c i n d e du c ir e mo s u n m o de l o p a r a l a s e di m en ta c i n b a tc hd e u n a s u s p e n s i n i d e a l .
C o ns i de re mo s l a s ed im en ta ci n b at ch e n u na c ol um na d e s ed im en ta ci n u e
PROCESODEKYNCHPARALASEDIMENTACIONBATCH
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c on ti en e u na s us pe ns i n c on u na a lt ura i ni ci al z =L a u na c on ce nt ra ci nhomognea =0.
P a r a l a s e d i m e n ta c i n b a t ch s e d e b e a g r e ga r d o s s u p o s ic i o n es a l a s 5 i n d i ca d a s c o n
a n t e r i o r i d a d , l o q u e t o t a l i z a 7 :
1. T o d a s l a s p a r t c u l a s s l i da s s o n p e q u e a s , d e l m i s m o t a m a o, f o r m a y d e n s i d ad .2. E l s l i do y e l f l u i d o d e l a m e zc l a s o n i n c o m pr e s ib l es .3. N o h a y t r a n s p o r t e d e m a s a e n t r e c o m p o n e n t e s .4. L a v e l o c i d a d r e l a t i v a s l i d o f l u i d o u = vs vf e n l a m e z c l a e s u n a f u n c i n d e l a c o n c e n t r a c i n d e
s l i d os s o l a m en t e .
86
.5. L a c o n c e n t r a c i n d e l a s p a r t cu l a s e s l a m i s m a e n t o d a l a s e c c i n t r a n s ve r s a l d e l a v a s i j a .6. L a s u s p e n si n t i e n e u n a c o n c e n tr a c i n i n i c i al h o m o g n e a .7. E n e l f o nd o d e l a c o lu m na h a y u n i n c re m en t o c o n t in u o y r pi d o d e c o nc e n tr a ci n d e s d e l a
inicial 0 a l a f i n a l .
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B a jo e st as s up os ic io ne s s on v l id as l a e cu ac i n d e c on ti nu id ad y c on di ci n d esalto siguientes:
fb
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14.....
.....,
Kf
tzparazt
b
L a e xp r es i n ( 1 3) e s u n a e c ua c i n h i pe r b l ic a c u as il i ne a l. P a ra e s ta e c ua c i n , l a ss u p o s i c i o n e s k 6 y k 7 p e r m i t e n e s t a b l e c e r l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s y d e c o n t o r n o :
z, o = para o < z < Lb g ( 15 )
o, t = para t > Ob g ( 16 )
= >
o
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LasconcentracionesL,0 y sonconstantesysatisfacen L=0
-
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Solucinporlateoradecaractersticas
E sc ri ta e n e st a f or ma , l a e cu ac i n d e l a s ed im en ta ci n b at ch s e p ue de t ra ta rc om o u n p ro bl em a d e v al or i ni ci al y s e r es ue lv e m ed ia nt e e l m t od o d e
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20..........
01 K
d
f
dzdt
b
caractersticas.SegnC o u r a n t a n dH i l b e r t ( 1 9 6 3 ) ,eneldominio( z,t)dondelaecuacin( E19)esv l id a, s e p ue de n t ra za r l n ea s l la ma da s c ar ac te r st ic as q ue c um pl en l assiguientes condiciones:
dondezytsonlascoordenadasde.Entonceslaecuacin( 19)puedeserreemplazadapor:
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21..........,0 Kfdtdzyd b
q u e i n d i c a n q u e l a c o n c e n t r a c i n e s c o n s t a n t e a l o l a r g o d e l a s c a r a c t e r s t i c a sde pendiente , donde sta repres enta lavelocidad de propagacinde ondas de concentracin constante . Para constante, t a mb i n e sc o n s t a n t e y , e n e s t a s c o n d i c i o n e s , l a s c a r a c t e r s t i c a s s o n l n e a s r e c t a s .
bfdtdz
bf
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Solucinporlateoradecaractersticas
Lascondicionesdecontornosetransformanahoraencondiciones
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22..........
0
0
0
0, 0 K
zpara
Lzpara
zLpara
z
n c a e sen a orma:
f0
**
f ( )
f ( )**
( )
f/ ( )
f/()
f/( )
,
(a)
Determinacin grfica de los parmetros de sedimentacinde la curva de densidad de flujo de slidos.
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