Área bajo la curva

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José Guillermo Herrera Ramírez

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

16 de noviembre de 2011

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Resumen

La idea central de la visión geométrica infinitesimal se utilizará en eldesarrollo del tema, ya que se tratará con la problemática de calcular elárea bajo una curva ilustrando la estrategia que llamaremos “la tomadel elemento diferencial”, la cual resulta particularmente útil paraencontrar la regla de correspondencia de una función cuando la razónde cambio instantánea no está dada por el contexto del problema.Ilustraremos esta estrategia utilizada frecuentemente en la Física con elpropósito de reconstruir una magnitud. Se verá un ejemplo para el áreabajo la curva de una función y uno para calcular el área limitada por lasgráficas de dos funciones.

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Introducción

Este tema dará lugar al concepto de diferencial y el modo de operar condiferenciales, el cual, en primera instancia, constituye un método alternoque agiliza el proceso de “derivar”. Al ser utilizado el diferencial en lainterpretación del “cambio” que experimenta una función, surgirá elconcepto clave del cálculo: la integral.Conciliando la visión del “cambio acumulado” de una función con la visiónde la “antiderivada”, surgirá de manera natural el (segundo) teoremafundamental del cálculo, con el cual se llega a establecer la solución alproblema de precisar la regla de correspondencia de una función de la cualse conoce la fórmula de su razón de cambio.

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Primero introduciremos la idea del “cambio acumulado de una función”desde dos puntos de vista diferentes. Uno a través de las derivadas yantiderivadas; el otro, a través de las diferenciales y las integrales.Conjugando las dos visiones para el “cambio acumulado”, arribaremos al(segundo) teorema fundamental del cálculo, en el cual interactúan loscuatro elementos fundamentales: la derivada, el diferencial, la antiderivaday la integral.

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Derivada

La idea central de la visión geométrica infinitesimal es:

“una porción infinitamente pequeña de ua curva . . .puede considerarse que es recta”

Sea f una función polinomial graficada en un plano cartesiano con puntos(x , f (x)). A partir de un punto en x , dejamos una longitud infinitamentepequeña, esto es un diferencial de x (dx), respecto a este diferencial setendrá un incremento infinitamente pequeño en y , es decir un diferencial eny (dy). Utilizando la idea central se genera un tramo infinitamentepequeño y recto de la gráfica de la función. El tramo infinitesimal de lacurva, corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyoscatetos son dx y dy .

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Este triángulo infinitesimal lo llamaremos triángulo característico.

Figura: Triángulo característico

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Notar que la recta pasa por los puntos (x , f (x)) y (x + dx , f (x + dx))entonces podemos obtener su pendiente:

f (x + dx)− f (x)(x + dx)− x

=f (x + dx)− f (x)

dx

hay que recordar que la derivada en cualquier punto o razón de cambioinstantánea es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en aquelpunto y se denota por f ′(x) entonces:

f ′(x) =f (x + dx)− f (x)

dx

observando que dy = f (x + dx)− f (x) podremos identificar a la derivadacomo el cociente de dos diferenciales:

f ′(x) =dydx

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Regla para operar con diferenciales

Una situación concreta nos ayudará a establecer la regla para operar condiferenciales.Sea f : R→ R , f (x) = x3. Utilizando los conceptos de límites paraencontrar la derivada sabemos que f ′(x) = 3x2.Ahora busquemos f ′(x) sabiendo que

f ′(x) =dydx

asídy = f (x + dx)− f (x) = (x + dx)3 − x3

= x3 + 3x2dx + 3x(dx)2 + (dx)3 − x3

= 3x2dx + 3x(dx)2 + (dx)3

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pero para obtener la derivada debemos hacer que

dydx

= 3x2

por eso una solución sería que dy = 3x2dx , de ahí que en este caso la reglasería “eliminar de 3x2dx + 3x(dx)2 + (dx)3 los términos cuyos diferencialestengan un exponente mayor a uno ”.

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Al estar trabajando con diferenciales, estamos trabajando con el infinito, espor eso que se establece la siguiente regla.

Regla para operar con diferencialesEn una expresión que esté formada por la suma

de términos que contienen diferenciales:

“los términos que contienen diferencialeselevados a una potencia mayor o igual a dos,

se eliminan al sumarse con términosque contienen un diferencial de potencia uno”

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Ejemplo

Encontrar f ′(x) donde f : R→ R , f (x) = 4x2 + 3x .Sabemos que dy = f (x + dx)− f (x) , entonces

dy = [4(x + dx)2 + 3(x + dx)]− [4x2 + 3x ]

= [4(x2 + 2xdx + (dx)2) + 3x + 3dx ]− 4x2 − 3x

= 4x2 + 8xdx + 4(dx)2 + 3x + 3dx − 4x2 − 3x

= 8xdx + 4(dx)2 + 3dx

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Aplicando la regla para operar con diferenciales tenemos que

dy = 8xdx + 3dx

luegodydx

=8xdx + 3dx

dx= 8x + 3

por lo tantof ′(x) = 8x + 3

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Cambio acumulado

Sea f : R→ R polinomial de la que conocemos f ′, el valor de f (a) ybuscamos el valor de f (b) donde a < b. Podemos intuir que

f (b) = f (a) + [“lo que acumule” f desde a hasta b]

pero como nuestro interés es el cambio acumulado entonces el problemareal es encontrar el cambio acumulado de f en [a, b] donde conocemos a, by f ′, así que utilizando el análisis anterior obtenemos que

[Cambio acumulado de f en [a,b]] = f (b)− f (a)

Puesto que conocemos f ′ podemos identificar su familia de antiderivadasF ; calcular los valores de F (b) y F (a); y obtener su diferencia. Asíencontrar el cambio acumulado de f en [a, b].

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Definición (Antiderivada)Se llama antiderivada de f a cualquier función F cuya derivada F ′ sea iguala f .Cada función f tiene una familia de antiderivadas que se representa por

F (x) + K

donde F es una antiderivada en particular y K representa un valornumérico constante.

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El hecho de que existen una infinidad de antiderivadas para f ′ no ocasionaningún problema al encontrar el cambio acumulado, ya que en la diferenciaF (b)− F (a) el término constante K se elimina.Recordando al triángulo característico tenemos que

f ′(x) =dydx

de ahídy = f ′(x)dx

que es lo mismo que

f (x + dx)− f (x) = f ′(x)dx

así dy representa el incremento infinitesial.

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Para obtener f (b)− f (a) deberemos sumar los incrementos infinitesimalesdy en triángulos característicos consecutivos desde a hasta b.

Figura: Varios triángulos característicosJGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 16 / 35

La suma de los diferenciales se representa por:∫dy → la integral del diferencial dy∫ b

af ′(x)dx → la integral desde a hasta b de f ′(x)dx

Por lo tanto, conjugando las dos visiones para el cambio acumuladotendremos un importante resultado conocido como el teorema fundamentaldel cálculo.

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TeoremaTEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.∫ b

ar(x)dx = R(a)− R(b) = [R(x)]ba

dondde R(x) es la antiderivada de r(x), esto es, R ′(x) = r(x)

Este teorema nos muestra que la integral se calcula conociendo unaantiderivada F de la función f y evaluando F (b)− F (a).

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Área bajo la curva

La estrategia que utilizaremos se conoce como “la toma del elemetodiferencial”, ésta consiste en:

“tomar” un diferencial (una parte infinitamente pequeña) de la funciónque se desea calcular.Reconocer su expresión algebraica a través de consideraciones,infinitesimales asociadas a los diferenciales.Aplicar la regla para operar con diferenciales.“Reconstruir” la función, sumando esas partes infinitamente pequeñas,que es lo mismo que “integrar” (conseguir la función entera).

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Sea f : R→ R polinomial graficada en un plano cartesiano (x , f (x))Nuestro propósito es (utilizando la estrategia mencionada) encontrar lafórmula para calcular el área bajo la gráfica de la función y = f (x) de laregión comprendida entre el eje x y las rectas: x = a y x = b.

Figura: Área bajo la curvaJGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 20 / 35

En principio, debemos visualizar la función área A(x) la cual, para cadavalor de x entre a y b, denotará el valor numérico del área bajo la gráficade y = f (x), comprendida sobre el eje x y entre la recta x = a y la verticallevantada en x .

Figura: Representación gráfica de A(x)

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Correspondiente a la porción infinitesimal dx en el eje x, existe una porcióninfinitesimal de la región. El área de esa porción, es el diferencial de área(dA). La parte superior de esa franja corresponde con una porcióninfinitesimal de la curva; y por tanto, es recta. De hecho el área de laporción infinitesimal es el área de un rectángulo más el área del triángulocaracterístico, esto es

dA = f (x)dx +12dxdy

donde f (x) es la altura del rectángulo; dy es la altura del triángulocaracterístico; y dx es la base de ambas figuras.

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Pero como también sabemos que dy = f ′(x)dx entonces el diferencial deárea queda expresado como

dA = f (x)dx +12dx(f ′(x)dx)⇒ dA = f (x)dx +

12f ′(x)dx2

y aplicando la “regla para operar con diferenciales” la expresión se convierteen:

dA = f (x)dx

pues eliminamos el término que contiene el dx con potencia 2, y es asícomo hemos identificado el diferencial de área.

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Figura: Área de la porcion infinitesimal A(x)

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Retomando el conocimiento sobre el cambio acumulado tenemos:[Área bajo la curva en [a,b]

]= [Cambio acumulado del área A en [a,b]]= A(b)− A(a)

=

∫dA

=

∫ b

af (x)dx

es decir:

[Área bajo la curva desde a hasta b

]=

∫ b

af (x)dx

Hay que recordar que la antiderivada de f(x) depende de la situaciónproblema que se esté trabajando.

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Ejemplo

Sea: f : R→ R, f (x) = x2 + 3 y A(x) la función del área bajo estaparábola.

Menciona cuál es la razón de cambio de A(x) con respecto a x .Calcula el área bajo la curva de f (x) desde x = 1 hasta x = 3.Grafica.

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Sabemos que dA = f (x)dx por el análisis anteriormente hecho, luego

dAdx

= fx

así A′(x) = f (x), es decir, la razón de cambio de A(x) con respecto a x esprecisamente f (x). En particular A′(x) = x2 + 3.Para calcular el área bajo la gráfica de f (x) utilizamos que

[Área bajo la curva desde a hasta b

]=

∫ b

af (x)dx

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En nuestro caso:

Área =

∫ 3

1(x2 + 3)dx =

[x3

3+ 3x

]3

1

=

[33

3+ 3(3)

]−[13

3+ 3(1)

]

=443

unidades cuadradas

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Figura: Área bajo f (x) = x2 + 3

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Área entre dos curvas

TeoremaDadas dos funciones f : [a, b]→ R y g : [a, b]→ R tales que ∀ x ∈ [a, b]:f (x) ≥ g(x), el área limitada por las gráficas de estas funciones está dadapor:

A =

∫ b

a[f (x)− g(x)] dx

Esto es claro, ya que es en cierto modo, obtener el área bajo f (x) y restarleel área bajo g(x).

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Ejemplo

Sean f : R→ R, f (x) = 3− x y g : R→ R, g(x) = x2 − 9

Encuentra el intervalo en x tal que f (x) ≥ g(x).Calcula el área limitada por las gráficas en esos puntos.Grafica.

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Si f (x) ≥ g(x) entonces

3− x ≥ x2 − 9⇔ 0 ≥ x2 + x − 12⇔ 0 ≥ (x + 4)(x − 3)⇔ [x + 4 ≥ 0 ∧ x − 3 ≤ 0] ∨ [x + 4 ≤ 0 ∧ x − 3 ≥ 0]⇔ [x ≥ −4 ∧ x ≤ 3] ∨ [x ≤ −4 ∧ x ≥ 3]⇔ [x − 4 ∧ x ≤ 3]⇔ −4 ≤ x ≤ 3

Por lo tanto x ∈ [−4, 3]⇒ f (x) ≥ g(x)Sabiendo esto, ahora podemos calcular el área.

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Área =

∫ 3

−4

[(3− x)− (x2 − 9)

]dx

=

∫ 3

−4

[−x2 − x + 12

]dx =

[−x3

3− x2

2+ 12x

]3

−4

=

[−33

3− 32

2+ 12(3)

]−[−(−4)3

3− (−4)2

2+ 12(−4)

]

=

[−9− 9

2+ 36

]−[643− 8− 48

]=

[542− 9

2

]−[643− 168

3

]

=452

+1043

=1356

+2086

=3436

unidades cuadradas

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Figura: Área entre f (x) = 3− x y g(x) = x2 − 9

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Referencias

Grandville, W. A. (1991).Cálculo diferencial e integral.Limusa, México, D.F.

Salinas, P., Alanaís, J. A., Pulido, R., Santos, F., Escobedo, J. C., andGarza, J. L. (2008).Elementos del cálculo (Reconstrucción conceptual para el aprendizajey la enseñanza).Trillas, México, D.F.

Leithod Louis. (1998).The calculus 7.Oxford University Press, E.U.A.

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