apuntes de lÍmites de funciones · tomemos 1f x( ) =2x + de d(f) = r y gráfica: observa: a medida...
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1
LÍMITES DE FUNCIONES
IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO .
Ejemplo 1: Consideremos la función:
>+−<
=13
13)(
xsix
xsixxf
Su gráfica:
� Si x toma valores próximos a 1, distintos de 1 y menores que 1 (ej.: x = 0’9, 0’99, 0’999,…),
que se nota: −→ 1x , es decir:
<≠→
≡→ −
1
1
)1(1
1
x
x
apróximosmuyx
x
Los correspondientes valores de y:
−→ 1x :
x 0’9 0’99 0’999
y 2’7 2’97 2’997
Se aproximan muchísimo a 3 (se nota: 3→y )
Se escribe: 3)(lim1
=−→
xfx
Se lee: Límite de f(x) por la izquierda de 1 es 3
� Si x toma valores próximos a 1, distintos de 1 y mayores que 1 (ej.: x = 1’1, 1’01, 1’001,
etc...) que se nota +→ 1x , es decir:
2
>≠→
≡→ +
1
1
)1(1
1
x
x
apróximosmuyx
x
Los correspondientes valores de y:
+→ 1x :
x 1’1 1’01 1’001
y 1’9 1’99 1’999
Se aproximan cada vez más a 2 (se nota: )2→y
Se escribe: 2)(lim1
=+→
xfx
Se lee: Límite de f(x) por la derecha de 1 es 2.
3 y 2 se llaman límites laterales de f(x) por la izquierda y derecha de 1 respectivamente.
Ejemplo 2: Dadas las funciones:
=≠+
=
>+−=<
=
>+−<
=14
11)(
13
14
12
)(13
12)(
2
xsi
xsixxk
xsix
xsi
xsix
xhxsix
xsixxg
Cuyas gráficas respectivas:
Observamos:
2)(lim
2)(lim
1
1
=
=
+
−
→
→
xg
xg
x
x
4)1(
2)(lim
2)(lim
1
1
=
=
=
+
−
→
→
h
xh
xh
x
x
4)1(
2)(lim
2)(lim
1
1
=
=
=
+
−
→
→
k
xk
xk
x
x
En los tres casos se escribe que:
2)(lim1
=→
xgx
2)(lim1
=→
xhx
2)(lim1
=→
xkx
Y se lee que el límite de la función es 2 en el punto 1.
3
En general:
� Si y = f(x) es una función cuya gráfica es:
Se escribe mxf
ax=
−→)(lim y ')(lim mxf
ax=
+→
� Si y = f(x) es una función cuya gráfica es:
Se tiene que mxfxf
axax==
+− →→)(lim)(lim ó mxf
ax=
→)(lim
A m y m’ se les llama límites laterales de f(x) por la izquierda y por la derecha de a
respectivamente.
Si ambos números reales son iguales (m = m’), a dicho número real m se le llama límite de f(x)
en el punto a.
4
Es importante señalar que para definir el límite de una función en un punto x = a, no
necesitamos para nada el valor de la función y = f(x) en x = a, es decir f(a), sino que sólo nos
interesa el comportamiento de dicha función en los alrededores de a (valores próximos a a pero
menores o mayores que a.)
Definición formal de límite de una función en un punto.
Diremos que: ∀⇔=→
Lxfax
)(lim E(L, ε ) ∃ E*(a, ∂ ) / ∈∀x E*(a, ∂ ), ∈)(xf E(L, ε )
“El límite de una función f(x) cuando ax → es el número real L, si se cumple que para
cualquier entorno de centro L y radio ε : E(L, ε ) que tomemos, por pequeño que sea ε ,
encontramos un entorno reducido de a, E* (a, ∂ ) (sin centro a), tal que todos sus valores reales
x tengan sus imágenes f(x) dentro del entorno E(l, ε )”
Cálculo del límite de f(x) algebraicamente.
El cálculo del límite de f(x) usando la fórmula de la función se hace de la siguiente forma:
Ejemplo 1:
>+−<
=13
13)(
xsix
xsixxf
31·33lim)(lim111
===→<→ −
xxfxxcomox
y ( ) 2313lim)(lim111
=+−=+−=→>→ +
xxfxxcomox
Ejemplo 2:
=≠+
=14
11)(
2
xsi
xsixxk
( )
( ) 2111lim)(lim 22
1
11.
1=+=+=
→
≠
→xxf
x
xcomodedchayizqentre
diferenciasenox
Y no sería necesario buscar por separado los límites laterales, ya que la expresión algebraica de
f(x) tanto por su izquierda (para x<1) como por su derecha (para x>1) es la misma.
5
IDEA INTUITIVA DE LÍMITES INFINITOS. ASÍNTOTAS VERT ICALES
Ejemplo 1: Consideremos la función: 1
1)(
−=
xxf de D(f) = R-{ }1 y cuya gráfica es:
• Si −→ 1x , los correspondientes valores de y:
x 0’9 0’99 0’999 …
y -10 -100 -1000 …
Se hacen cada vez más grandes en valor absoluto y son negativos (se nota −∞→y )
Se escribe: −∞=−→
)(lim1
xfx
Se lee: Límite de f(x) por la izquierda de 1 es ∞−
• Si +→ 1x , los correspondientes valores de y:
x 1’1 1’01 1’001 …
y 10 100 1000 …
Se hacen cada vez más grandes sin ningún tope real (se nota +∞→y )
Se escribe: +∞=+→
)(lim1
xfx
Se lee: Límite de f(x) por la derecha de 1 es ∞+
Ejemplo 2: Tomemos 1
1)(
−−=
xxg de D(g) = R-{ }1 y gráfica (opuesta de f ):
6
Observamos:
+∞=−→
)(lim1
xgx
y −∞=+→
)(lim1
xgx
Ejemplo 3: Tomemos ( ))()(1
1)( xfxh
xxh =
−=
Observamos:
+∞=⇒
−∞=
+∞=
→→
→
+
−
)(lim)(lim
)(lim
11
1 xhxh
xh
xx
x Se escribe: +∞=→
)(lim1
xhx
Se lee: Límite de h(x) en el punto 1 es ∞+
Ejemplo 4: Sea ( ))()(1
1)( xhdeopuestaxk
xxk =
−−=
Observamos:
−∞=⇒
−∞=
−∞=
→→
→
+
−
)(lim)(lim
)(lim
11
1 xkxk
xk
xx
x
En todos los casos se dice que la recta de ecuación x = 1 es una asíntota vertical.
En general:
7
Se escribe: ±∞=
→→→
+
−)(lim xf
axaxax
. Se dice que el límite de f(x) en a ( o los laterales) es ∞±
Y: x = a es una A.V. de y = f(x) ±∞=⇔
→→→
+
−)(lim xf
axaxax
(Definición de A.V.)
Algebraicamente: El cálculo del límite de f(x) usando la fórmula se hace:
Ejemplo 1:
Rx porxx
∉=−
=−→ 0
111
11
1lim
11
Cuando sale 0 en el denominador, su significado en el cálculo de límites es denominador→0.
La tendencia del denominador a 0 (→0) puede ser:
- Por valores positivos (denominador: 0’1, 0’01, 0’001,…) si +→ 1x .
- Por valores negativos (denominador: -0’1, -0’01, -0’001,…) si −→ 1x .
Por eso cuando sale 0 en el denominador, se calculan los límites laterales:
+∞=+
=−
=
−∞=−
=−
=
=→→
=→→
++
−−
01
11
lim)(lim
01
11
lim)(lim
,...01'1,1'111
,...99'0,9'011
xxx
xxx
xxf
xxf
Con lo cual podemos conocer la posición relativa de y = f(x) con respecto a su asíntota vertical
x = 1
8
En general si al calcular: )(lim xf
axaxax
→→→
+
− sale
0l= con axl =⇒≠ 0 es A.V. de f(x).
Basándonos en ello, las asíntotas verticales de una función y = f(x) se obtienen entre los valores
que anulan al denominador y no anulan el numerador.
“Para calcular las A.V. de una función”:
Denominador = 0⇒Despejamos x: x = a, x =b, x = c,… si numerador(a, b, c,..) ≠ 0.
Si en x = a el numerador(a) = 0, veremos lo que pasa más adelante.
IDEA INTUITIVA DE LÍMITES EN EL INFINITO. ASÍNTOTAS HORIZONTALES.
RAMAS PARABÓLICAS
Ejemplo 1:
Tomemos 12)( += xxf de D(f) = R y gráfica:
Observa:
A medida que x toma valores que se representan más a la izquierda sobre el eje de abscisas
(x = −10, −100, −1000,…) que se nota −∞→x , las ordenadas y correspondientes:
x −10 −100 −1000 −∞→x
y 1’00098 7’8 · 3110− +1 … 1→y
Se escribe: 1)(lim =−∞→
xfx
Se lee: Límite de f(x) cuando x tiende a ∞− es 1.
Ejemplo 2:
Tomemos ahora 12)( += −xxg con D(g) = R y gráfica:
9
Observa:
A medida que x toma valores cada vez mayores y que se representan cada vez más a la derecha
sobre el eje de abscisas (x = 10, 100, 1000,…) que se nota +∞→x , las ordenadas y
correspondientes:
x 10 100 1000 +∞→x
y 1’00098 1’00000007 … 1→y
Se escribe: 1)(lim =+∞→
xgx
.
Se lee: Límite de g(x) cuando x tiende a ∞+ es 1.
Ejemplo 3:
Sea x
xxh
1)(
+= con D(h) = R-{ }0 y gráfica:
Observamos:
1)(lim =−∞→
xhx
y 1)(lim =+∞→
xhx
. En todos los casos se dice que la recta de ecuación y=1 es una
asíntota horizontal (A.H.) de h(x).
En general:
Si y = f(x) es una función cuya gráfica se comporta de la forma:
10
Se escribe: Rbxfx
∈=−∞→
)(lim ó Rbxfx
∈=+∞→
)(lim ó Rbxfx
∈=±∞→
)(lim
Y:
by = es A.H. de y = f(x) Rbxf
xox
∈=⇔
−∞→
+∞→)(lim (Definición A.H.)
Algebraicamente: El cálculo del límite en el infinito aprenderemos a calcularlos cuando se
estudien las propiedades de cálculo de límites.
Ejemplo 4:
Dadas las funciones 2)( xxf = y 2)( xxg −= de dominio R y gráficas:
Observamos:
+∞=
+∞=
+∞→
−∞→
)(lim
)(lim
xf
xf
x
x −∞=
−∞=
+∞→
−∞→
)(lim
)(lim
xg
xg
x
x
En todos los casos se trata de límites infinitos en el infinito: ±∞=±∞→
)(lim xfx
Cuando la gráfica no se aproxima a ninguna recta oblicua y se cumple que ±∞=±∞→
)(lim xfx
, se
dice que y = f(x) tiene una rama parabólica por la derecha si ±∞=+∞→
)(lim xfx
y por la izquierda
si ±∞=−∞→
)(lim xfx
, y por ambos lados si ocurren las dos cosas.
En general:
y = f(x) tiene una R.P. ±∞=⇔
−∞→
+∞→)(lim xf
xox
y Gráf(f) no se aproxima a ninguna
recta (Definición de R.P)
ASÍNTOTAS OBLICUAS.-
Para algunas funciones ocurre que cuando +∞→x ó −∞→x , se observa que su gráfica tiende
a aproximarse a una recta oblicua, llamada asíntota oblicua de la función:
11
La recta nmxy += con 0≠m es asíntota oblicua de )(xfy = ( ) ( )[ ] 0lim =+−⇔
−∞→
+∞→nmxxf
xox
Como se observa en la gráfica si +∞→x (ó 0) →⇒−∞→ APx .
El método general para calcular las asíntotas oblicuas de una función es el siguiente:
Si nmxy += es asíntota oblicua de ( )xfy = , entonces: ( ) ( )[ ] 0lim =+−
−∞→
+∞→nmxxf
xox
.
Si calculamos
00)()(
lim =∞±
=+−⇔
−∞→
+∞→ x
nmxxf
xox
( )0lim =
−−⇔
−∞→
+∞→ x
n
x
mx
x
xf
xox
( )0lim =
−−⇔
−∞→
+∞→ x
nm
x
xf
xox
( ) ( ) ( )m
x
xfm
x
xf
x
nm
x
xf
xóx
xóx
xóx
xox
=⇔=−⇔=−−⇔
−∞→
+∞→
−∞→
+∞→
−∞→
+∞→
−∞→
+∞→lim0lim0limlim . Luego m:
( )x
xfm
xox
−∞→
+∞→= lim
El cálculo de n es inmediato sin más que observar que: ( )[ ] 0lim =−−
−∞→
+∞→nmxxf
xox
, que despejando
n : ( )[ ]mxxfn
xox
−=
−∞→
+∞→lim .
En la práctica:
Si ±∞=±∞→
)(lim xfx
: se calcula: ( )
⇒∞±→⇒∈
=±∞→ ..
:..lim
PR
ncalculaOARm
x
xfx
PROPIEDADES –INDETERMINACIONES
1). ( ) )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfx
axx
axx
ax±∞→
→±∞→
→±∞→
→±=±
12
• ±∞=∞±l
• ( ) ( ) +∞=∞++∞+
( ) ( ) −∞=∞−+∞−
2). ( ) )(lim·)(lim)(·)(lim xgxfxgxfx
axx
axx
ax±∞→
→±∞→
→±∞→
→=
• )(lim·)(·lim xfkxfkx
axx
ax±∞→
→±∞→
→= con k = constante
• ( ) ±∞=∞±·l (Regla de los signos para el producto) y 0≠l
• ( ) ( ) ±∞=∞±∞± · (Regla de los signos para el producto)
3). )(lim
)(lim
)()(
limxg
xf
xg
xf
xax
xax
xax
±∞→→
±∞→→
±∞→→
=
• ±∞=± 0l
(Regla de los signo para el cociente) 0≠l
• 0=∞±l
( Rl ∈∀ incluido l = 0)
• ±∞=∞±l
(Regla de los signos para el cociente) ( Rl ∈∀ incluido l = 0)
4). ( ))(lim
)( )(lim)(lim
xg
xax
xg
xax
xax
xfxf±∞→
→
=
±∞→→
±∞→→
• n
xax
n
xax
xfxf )(lim)(lim±∞→
→±∞→
→=
• ( ) ( )∞+=∞+ l si l > 0
( ) 0=∞+ l si l < 0
•
<<>∞+
=∞+
100
1
lsi
lsil
<<∞+>
=∞−
10
10
lsi
lsil
• ( )( ) ( )∞+=∞+ +∞ ( )( ) 0=∞+ −∞
Entre las propiedades anteriores faltan los siguientes casos, en los que no hay ninguna regla fija:
1). ∞±∞±
2). 00
3). ( )∞±·0 4). ( ) ( )∞+−∞+ 5). ±∞1 6). ( )0∞+ 7). 00
En estos casos se trata de indeterminaciones.
13
Cuando al calcular el límite de la función aparece una indeterminación, hay que evitarla usando
estrategias de cálculo que dependerán de la forma que tenga la expresión algebraica de la
función y del tipo de indeterminación que nos haya salido.
CÁLCULO ALGEBRAICO DE LÍMITES:
Tendremos en cuenta además de las propiedades anteriores:
• kkx
ax=
±∞→→lim siendo k = constante.
• )()(lim aPxPax
=→
siendo P(x) un polinomio.
• ±∞=±∞→
)(lim xPx
dependiendo del signo del coeficiente principal y del grado de P(x)
� Indeterminación ∞±∞±
• Si f es racional
)(
)(lim
xQ
xPx ±∞→
(P y Q polinomios). En todos los casos, para evitar la indeterminación, se divide
numerador y denominador por la x de mayor grado del denominador.
Ejemplo 1:
401
0041
1
114
lim1
14
lim1
14lim
2
2
22
2
222
2
2
2
=+
−+=+
−+=
+
−+=
+−+
+∞→+∞→+∞→
x
xx
xx
xxx
x
x
x
x
xxxxx
Ejemplo 2:
−∞=∞−=−
−+∞−=−
−+−=
−
−+−
=−
−+−+∞→+∞→+∞→ 101
005
1
114
lim5
14
lim5
14lim
2
2
22
2
222
3
2
3
x
xxx
xx
xxx
x
x
x
x
xxxxx
Ejemplo 3:
010
01000
71
114
lim7
14
lim7
14lim
3
32
33
3
333
2
3
2
==+
−+=+
−+−
=+
−+−
=+
−+−+∞→+∞→+∞→
x
xxx
xx
xxx
x
x
x
x
xxxxx
• Si f es irracional: Se evita dividiendo numerador y denominador entre la x de mayor grado
del denominador (igual que si fuese racional). Si el denominador tiene raíz, se dividen entre la
raíz de esa potencia de x.
Ejemplo:
14
11
011
11
limlimlim22
2
2
=+=+
=+
=++∞→+∞→+∞→
x
x
xx
x
x
x
x
xxxxx
� Indeterminación: 00
• Si f es racional:
0
0
)(
)(
)(
)(lim ==
→ aQ
aP
xQ
xPax
.
Como P(a)=0⇒P(x) es divisible por x – a (Teorema del resto). Lo mismo ocurre con Q(x).
Para evitar este tipo de indeterminación dividimos numerador y denominador por. ( )ax−
Ejemplo:
001
lim2
3
1=
−−
→ xx
xx
(indeterminación)⇒ Dividimos numerador y denominador entre ( )1−x
( )3
13
11111
lim1
lim22
11:2
3
1==++=++=
−−
⇒→−→ x
xx
xx
xxxx
• Si f es irracional:
Ejemplo:
00
11lim
0=
−−→ x
xx
indeterminación que se evita multiplicando numerador y denominador por
el conjugado de donde aparece la raíz y posteriormente dividiendo por ( )ax− , en nuestro
ejemplo por . ( ) xx =− 0
( )
( )( )( )
( )( )
( ) 201111lim
11lim
11
11lim
1111
11lim
11lim
0
02000
=−+=−+=
=−+=−−−+=
−+−−−+=
−−
→
→→→→
x
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
x
xxxx
� Indeterminación: ( ) ( )∞+−∞+
• Si f(x) es racional:
Ejemplo 1:
( ) ( )∞+−∞+=
−−
−→ 13
12
lim 321 xxx, se evita la indeterminación operando razones algebraicas y
transformando la expresión en un cociente de polinomios:
15
( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) 00
3·0·2112
11112
lim
111
33222lim
111
1312lim
1
3
1
2lim
2
2
1
2
2
12
2
1321
=−−=++−+
−−=
=++−+−−++=
++−++−++=
−−
−
→
→→→
xxxx
xx
xxxx
xxx
xxxx
xxx
xx
x
xxx
Queda otra indeterminación que se evita dividiendo numerador y denominador por ( )1−x :
( )( )( ) ( ) ( )( ) 21
63
3·212
1112
lim111
12lim
211:2
2
1==+=
++++=
++−+−−
→−→ xxx
x
xxxx
xxxxx
Ejemplo 2:
( ) ( )∞+−∞+=
+−+−
++−
+∞→ 132
214
lim22
x
xx
x
xxx
, se evita la indeterminación, como en el caso
anterior, realizando la operación y transformando la resta en una sola razón algebraica.
( )( ) ( )( )( )( )
( ) =++
+−−−+−−=++
−++−+−−=
=
+++−+−++−=
+−+−
++−
+∞→+∞→
+∞→+∞→
23
64133lim
23
64133lim
12
232114lim
1
32
2
14lim
2
2323
2
2323
2222
xx
xxxxxx
xx
xxxxxx
xx
xxxxxx
x
xx
x
xx
xx
xx
∞+∞−=
+++−−=
+∞→ 23
747lim
2
2
xx
xxx
Indeterminación que se evita dividiendo por la x de mayor exponente del denominador, en
nuestro caso dividimos por 2x :
7001
00723
1
747
lim23
747
lim23
747lim
2
2
222
2
222
2
2
2
−=+++−−=
++
+−−=
++
+−−
=++
+−−+∞→+∞→+∞→
xx
xx
xx
x
x
xxx
x
x
x
xx
xxxxx
• Si f(x) es irracional:
� Si hay cociente se divide por la x de mayor exponente del denominador con su raíz, en
caso de que le afecte alguna raíz.
Ejemplo 1:
( ) ( )∞+
∞+−∞+=+−+∞→ x
xxx
1lim , para quitar la indeterminación se divide numerador y
denominador entre x :
16
01
111
011
1
111
lim
1
lim =−=+−=+−
=+−
+∞→+∞→
x
x
xxx
x
x
x
xx
Ejemplo 2:
( ) ( )∞+
∞+−∞+=+−
+−+∞→ xx
xxx 2
1lim , para quitar indeterminación se divide numerador y
denominador por x
01111
101
011
12
1
111
lim2
1
lim2
1lim =
+−=
+−+−=
+−
+−=
+−
+−=
+−+−
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
x
xx
xxx
x
x
x
xx
xxxxx
� Si no hay cociente sino sólo una resta de raíces, la indeterminación se evita
multiplicando y dividiendo por el conjugado:
Ejemplo 3:
( )( ) ( ) ( )∞+−∞+=−−+++∞→
11lim 2 xxxx
⇒ Indeterminación. Para evitarla multiplicamos y
dividimos por el conjugado:
( )( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ∞+∞+=
++++=
=−+++
−−++=−+++
−+++⋅−−++
+∞→
+∞→+∞→
11
3lim
11
11lim
11
1111lim
2
2
22
2
22
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
x
xx
Indeterminación que se evita dividiendo por la x de mayor exponente del denominador, en
nuestro caso x ( xx =2 )
23
)01(001
3
11
111
3lim
11
3
lim
2222
2=
++++=
++++=
+++++∞→+∞→
xxxxx
x
xx
x
x
xx
x
xx
EJERCICIOS RESUELTOS DEL CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS D E UNA FUNCIÓN.-
Calcula razonadamente todas las asíntotas de las siguientes funciones:
� Ejercicio 1. ( )xx
xxf
2
42
2
−−=
A.V: Calculamos los valores de x que anulan al denominador:
17
==
2
0
x
x que son las posibles A.V. de la función.
Comprobamos si lo son o no, calculando los límites en estos puntos:
( ) ( )∞±∉−=−−=
→→R
xx
xxf
xx 0
4
2
4limlim
2
2
00..0 VAunaesx =⇒
Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de 0=x se estudia calculando los
límites laterales: ( )
( ) +∞=−−=
−∞=+−=
=→
−=→
+
−
0
4lim
0
4lim
1'00
1'00
xx
xx
xf
xf
( ) ( ) ( )( ) ( )
=+=+=−⋅
+⋅−=−−=
→−→→→ 2
222lim
2
22lim
2
4limlim
22:20
02
2
22 x
x
xx
xx
xx
xxf
xxxxxR∈2 y ( )fD∉2
Luego: ..2 VAunaesnox = En 2=x , hay una
discontinuidad evitable
A.H: ( ) =−−=
−
−=
−
−=
−−=
±∞→±∞→∞+∞+±∞→±∞→ 01
012
1
41
lim2
4
lim2
4limlim
2
22
2
22
2
2
2
x
x
x
x
x
xxx
x
xx
xxf
xxxxR∈1
)(.1 izqdalaporydchalaporHAesy =
Y para saber la posición relativa de la ( )fGráf respecto de la asíntota: 1=y :
x ( )xf ( ) 1=yconxfnComparació ( ) ..HAarespectoconxfdePosición
100 02'1 102'1 > ( ) ..HAladeencimaporxf
100− 98'0 198'0 < ( ) ..HAladedebajoporxf
No puede haber A.O.: Pues la función tiene un A.H.
� Ejercicio2. ( )1
22
−+=
x
xxg
A.V: Calculamos el valor de x que anula al denominador, que es: 1=x (posible A.V)
Comprobamos si lo es o no, calculando el límite en ese punto:
( ) ( )∞±∉=−+=
→→R
x
xxg
xx 0
3
1
2limlim
2
11⇒ 1=x verticalasíntotaunaes
18
Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de 0=x se estudia calculando los límites
laterales: ( )
( ) +∞=+
=
−∞=−
=
=→
=→
+
−
0
3lim
0
3lim
1'11
9'01
xx
xx
xg
xg
A.H: ( ) =−
+∞±=−
+=
−
+=
−+=
±∞→±∞→∞±∞+±∞→±∞→ 01
01
1
2
lim1
2
lim1
2limlim
2
2
x
xx
xx
xxx
x
x
xxg
xxxxR∉∞±
eshorizontalasíntotastienenof⇒
A.O.: nmxy += Con m y n R∈ , Que se calculan de la forma siguiente:
( ) =−+=
−
+=
−
+=
−+=−
+
==±∞→±∞→
∞+∞+±∞→±∞→±∞→ 01
011
1
21
lim
2
lim2
lim1
2
limlim2
22
2
22
2
2
2
2
x
x
x
x
x
xxx
x
xx
x
xx
x
x
xgm
xxxxxR∈1 ⇒ 1=m
( )( )( )
∞±∞±±∞→±∞→∞±−∞±±∞→±∞→=
−+=
−+−+=
−
−+=−=
1
2lim
1
2lim
1
2limlim
222
x
x
x
xxxx
x
xmxxgn
xxxx
=−+=
−
+=
−
+=
±∞→±∞→ 01
011
1
21
lim1
2
lim
x
x
xx
xxx
x
xxR∈1 ⇒ 1=n
Luego la función posee una asíntota oblicua de ecuación: 1+= xy
Si queremos conocer la posición relativa de la ( )fGráf respecto de la A.O.:
x ( )xg ..OAy ( ) ..OAyconxgnComparació
100 03'101 101 ( ) ..OAladeencimaporxg
100− 03'99− 99− ( ) ..OAladedebajoporxg
� Ejercicio 3. ( ) 12 −= xxh
A.V: ..VAtieneNo , pues el denominador es el 1 y no se puede anular.
A.H: Calculamos el ( ) =−=±∞→±∞→
1limlim 2xxhxx
R∉∞+ ..HAhayNo
A.O.: nmxy += Con m y n R∈ , Que se calculan de la forma siguiente:
19
( )
∈−=−−
=−−
∈=−=−
=−
=
−
=−==
+∞→−∞→
+∞→+∞→
±∞→∞±∞+±∞→±∞→
Rx
x
xxx
x
Rx
x
xxx
x
x
xx
x
x
x
x
xhm
xx
xx
xxx
11
11
lim
1
lim
11
01
1
11
lim
1
lim1
lim1
limlim
222
2
222
2
2
2
Para: ⇒=1m
( ) ( ) ( )0
1
1
1lim
1
1lim
1
11lim1lim
22
22
2
222 =
∞+∞+−=
+−−=
+−−−=
+−++⋅−−=−−=
+∞→+∞→+∞→∞−∞++∞→ xxxx
xx
xx
xxxxxxn
xxxx
Y la asíntota oblicua tiene de ecuación: xy =
Para: ⇒−= 1m
( ) ( ) ( )0
1
1
1lim
1
1lim
1
11lim1lim
22
22
2
222 =
∞+∞+−=
−−−=
−−−−=
−−−+⋅+−=+−=
−∞→−∞→−∞→∞−∞+−∞→ xxxx
xx
xx
xxxxxxn
xxxx
Y la asíntota oblicua tiene de ecuación: xy −=
Como vemos tiene dos A.O. :
−==
xyizqdalaPor
xydchalaPor
:
:
Y la posición relativa de la ( )hGráf respecto de ellas:
x ( )xh ..OAy ( ) ..OAyconxhnComparació
100 99'99 100 ( ) ..OAladedebajoporxh
100− 99'99 100 ( ) ..OAladedebajoporxh
� Ejercicio 4. ( )
−≥−
−<+=
21
22
2
xsix
x
xsixxk
A.V: Calculamos los valores de x que anulan a los denominadores:
=−=1
2
x
x que son las posibles A.V. de la función.
Comprobamos si lo son o no, calculando los límites en estos puntos:
20
( )
( ) 212
2
1limlim
0
4
2
2limlim
22
22
=−
=−
=
∉+∞=−−=
+=
++
−−
−→−→
−→−→
x
xxk
Rx
xk
xx
xx
⇒ ..2 VAesx −=
( ) ( )∞±∉=−
=→→
Rx
xxk
xx 0
1
1limlim
11⇒ 1=x ..VAes
Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de 1=x se estudia calculando los límites
laterales: ( )
( ) +∞=+
=
−∞=−
=
=→
=→
+
−
0
1lim
0
1lim
1'11
9'01
xx
xx
xk
xk
A.H: Calculamos el
( )
=∞−
=+
=−
=−
=−=
−∞→
+∞→∞+∞++∞→
±∞→
02
2
2lim
101
11
lim1
limlim
x
xx
xx
x
x
x
xk
x
xx
x
⇒
==
0:..
1:..
yizqdalaporHA
ydchalaporHA
La posición relativa de la ( )kGráf respecto de ellas:
x ( )xk ( ) HAconxknComparació . ( ) ..HAarespectoconxkdePosición
100 01'1 101'1 > ( ) ..HAladeencimaporxk
100− 02'0− 002'0 <− ( ) ..HAladedebajoporxk
Observación: El estudio de la posición relativa de la Gráf de cada función respecto de sus
asíntotas no es riguroso, en cuanto que damos a x un solo valor (100 ó -100) que no tiene por qué
ser en valor absoluto suficientemente alto. Pero en la mayoría de las funciones que trabajaremos
en el curso, nos suele ayudar y dar una idea clara de cómo se posiciona la gráfica de la función.
En cualquier caso, podemos prescindir de dicho estudio y sustituirlo por la utilización del resto
de las propiedades que tenga la gráfica de la función, encajándolas hasta hacer un esbozo
correcto de la gráfica pedida.
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