aproximació polinòmica de funcions

Aproximació polinòmica de

funcionsJavier Martínez Calonge

Treball dirigit per Rosa M. Cortiella Masdeu

Objectius Introducció històrica Metodologia Sèries de Taylor i MacLaurin

◦ Gràfiques Residu de Lagrange Conclusions

Continguts

Recercar la història de les sèries polinòmiques

Introducció als programes de càlcul matemàtic

Construcció de les sèries de polinomis de Taylor i de MacLaurin

Representació gràfica de les sèries Estudi de l’error (residu de Lagrange)

Objectius del treball

Introducció històrica

James Isaac Brook ColinGregory Newton Taylor MacLaurin

Segles XVII i XVIII Per avançar en diversos camps (geografia,

astronomia, navegació, ...)

Wolfram Mathematica 10

Metodologia

On n és el grau de polinomi i a el punt al qual s’aproxima

Quan a=0 (Sèrie de MacLaurin):

Sèries de Taylor( )

2 3,

'( ) ''( ) '''( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

1! 2! 3! !

nn

n a

f a f a f a f aP x f a x a x a x a x a

n

2

,0

'(0) ''(0) (0)( ) (0) ...

1! 2! !

nn

n

f f fP x f x x x

n

Funcions trigonomètriques◦ Sin (x) a a=0 i a=Π/4◦ Cos(x) a a=0 i a=Π/4

Funcions logarítmiques◦ Ln (x+1) a a=0 i a=e◦ Log (x+1) a a=0 i a=2

Funció exponencial◦ ex a a=0 i a=2

Funció irracional◦ √(x+1) a a=0 i a=2

Representacions gràfiques

Residu de Lagrange

, ,( ) ( ) ( )n a n aR x f x P x ( 1)

10,

( )( ) ( )

( 1)!

nn

n a

f xR x x a

n

1

0,01

La qualitat de l’aproximació polinòmica depèn:◦ Tipus de funció◦ Grau de polinomi◦ Distancia al punt on s’avalua

Software matemàtic senzill, funcional i molt complet

Personalment:◦ Gran esforç i enriquidor

Conclusions

Moltes gràcies