aproximación por mínimos cuadrados - facultad de ingeniería - universidad de...
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
Aproximación por mínimos cuadrados
Jana Rodriguez HertzGAL2
IMERL
9 de setiembre de 2010
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación polinomial de datostenemos N mediciones experimentales
(t1, y1), . . . , (tN , yN)queremos encontrar un polinomio P tal que
P(ti) ≈ yi i = 1, . . . ,N
queremos ademásP que mejor aproxime
las mediciones
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación polinomial de datostenemos N mediciones experimentales(t1, y1), . . . , (tN , yN)
queremos encontrar un polinomio P tal que
P(ti) ≈ yi i = 1, . . . ,N
queremos ademásP que mejor aproxime
las mediciones
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación polinomial de datostenemos N mediciones experimentales(t1, y1), . . . , (tN , yN)queremos encontrar un polinomio P tal que
P(ti) ≈ yi i = 1, . . . ,N
queremos ademásP que mejor aproxime
las mediciones
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación polinomial de datostenemos N mediciones experimentales(t1, y1), . . . , (tN , yN)queremos encontrar un polinomio P tal que
P(ti) ≈ yi i = 1, . . . ,N
queremos ademásP que mejor aproxime
las mediciones
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación polinomial de datostenemos N mediciones experimentales(t1, y1), . . . , (tN , yN)queremos encontrar un polinomio P tal que
P(ti) ≈ yi i = 1, . . . ,N
queremos ademásP que mejor aproxime
las mediciones
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación por mínimos cuadradoscuál es el P que mejor aproxima los datos?
vector error
~ε(P) = (y1 − P(t1), . . . , yN − P(tN))
buscamos que ‖~ε(P)‖ sea el menor posible:i.e. dado un grado fijo k , P0 es el que hace:
‖~ε(P0)‖ = minP∈Pk (R)
‖~ε(P)‖
(aproximación por mínimos cuadrados)
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación por mínimos cuadradoscuál es el P que mejor aproxima los datos?vector error
~ε(P) = (y1 − P(t1), . . . , yN − P(tN))
buscamos que ‖~ε(P)‖ sea el menor posible:i.e. dado un grado fijo k , P0 es el que hace:
‖~ε(P0)‖ = minP∈Pk (R)
‖~ε(P)‖
(aproximación por mínimos cuadrados)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación por mínimos cuadradoscuál es el P que mejor aproxima los datos?vector error
~ε(P) = (y1 − P(t1), . . . , yN − P(tN))
buscamos que ‖~ε(P)‖ sea el menor posible:i.e. dado un grado fijo k , P0 es el que hace:
‖~ε(P0)‖ = minP∈Pk (R)
‖~ε(P)‖
(aproximación por mínimos cuadrados)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación por mínimos cuadradoscuál es el P que mejor aproxima los datos?vector error
~ε(P) = (y1 − P(t1), . . . , yN − P(tN))
buscamos que ‖~ε(P)‖ sea el menor posible:
i.e. dado un grado fijo k , P0 es el que hace:
‖~ε(P0)‖ = minP∈Pk (R)
‖~ε(P)‖
(aproximación por mínimos cuadrados)
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación por mínimos cuadradoscuál es el P que mejor aproxima los datos?vector error
~ε(P) = (y1 − P(t1), . . . , yN − P(tN))
buscamos que ‖~ε(P)‖ sea el menor posible:i.e. dado un grado fijo k , P0 es el que hace:
‖~ε(P0)‖ = minP∈Pk (R)
‖~ε(P)‖
(aproximación por mínimos cuadrados)
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación por mínimos cuadradoscuál es el P que mejor aproxima los datos?vector error
~ε(P) = (y1 − P(t1), . . . , yN − P(tN))
buscamos que ‖~ε(P)‖ sea el menor posible:i.e. dado un grado fijo k , P0 es el que hace:
‖~ε(P0)‖ = minP∈Pk (R)
‖~ε(P)‖
(aproximación por mínimos cuadrados)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
problema
problema
aproximación por mínimos cuadradoscuál es el P que mejor aproxima los datos?vector error
~ε(P) = (y1 − P(t1), . . . , yN − P(tN))
buscamos que ‖~ε(P)‖ sea el menor posible:i.e. dado un grado fijo k , P0 es el que hace:
‖~ε(P0)‖ = minP∈Pk (R)
‖~ε(P)‖
(aproximación por mínimos cuadrados)
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
mínimos cuadrados - recta
recta que aproxima datosbuscamos recta que mejor aproxima:
(t1, y1), . . . , (tN , yN)(polinomio de grado k = 1)
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
mínimos cuadrados - recta
recta que aproxima datosbuscamos recta que mejor aproxima:(t1, y1), . . . , (tN , yN)
(polinomio de grado k = 1)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
mínimos cuadrados - recta
recta que aproxima datosbuscamos recta que mejor aproxima:(t1, y1), . . . , (tN , yN)(polinomio de grado k = 1)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
mínimos cuadrados - recta
recta que aproxima datosbuscamos recta que mejor aproxima:(t1, y1), . . . , (tN , yN)(polinomio de grado k = 1)
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
mínimos cuadrados - recta
mínimos cuadrados - rectavector error:
~ε(α, β) = (y1 − (αt1 + β), . . . , yN − (αtN + β))
~ε(α, β) =
y1...yN
− t1 1... ...
tN 1
(α, β)
= Y − AX
con X = (α, β)buscamos minX∈R2 ‖Y − AX‖
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
mínimos cuadrados - recta
mínimos cuadrados - rectavector error:~ε(α, β) = (y1 − (αt1 + β), . . . , yN − (αtN + β))
~ε(α, β) =
y1...yN
− t1 1... ...
tN 1
(α, β)
= Y − AX
con X = (α, β)buscamos minX∈R2 ‖Y − AX‖
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
mínimos cuadrados - recta
mínimos cuadrados - rectavector error:~ε(α, β) = (y1 − (αt1 + β), . . . , yN − (αtN + β))
~ε(α, β) =
y1...yN
− t1 1... ...
tN 1
(α, β)
= Y − AX
con X = (α, β)buscamos minX∈R2 ‖Y − AX‖
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
mínimos cuadrados - recta
mínimos cuadrados - rectavector error:~ε(α, β) = (y1 − (αt1 + β), . . . , yN − (αtN + β))
~ε(α, β) =
y1...yN
− t1 1... ...
tN 1
(α, β) = Y − AX
con X = (α, β)buscamos minX∈R2 ‖Y − AX‖
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
mínimos cuadrados - recta
mínimos cuadrados - rectavector error:~ε(α, β) = (y1 − (αt1 + β), . . . , yN − (αtN + β))
~ε(α, β) =
y1...yN
− t1 1... ...
tN 1
(α, β) = Y − AXcon X = (α, β)
buscamos minX∈R2 ‖Y − AX‖
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
mínimos cuadrados - recta
mínimos cuadrados - rectavector error:~ε(α, β) = (y1 − (αt1 + β), . . . , yN − (αtN + β))
~ε(α, β) =
y1...yN
− t1 1... ...
tN 1
(α, β) = Y − AXcon X = (α, β)buscamos minX∈R2 ‖Y − AX‖
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
solución del problema
mínimos cuadrados - rectabuscamos minX∈R2 ‖Y − AX‖, con datos: Y ,A
ahora S = {AX : X ∈ R2} s.e.v. de RN
⇒ min es alcanzado en AX0 = PS(Y )o sea, Y − AX0 = PS⊥(Y ) cumple‖Y − AX0‖ = minX∈R2 ‖Y − AX‖
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
solución del problema
mínimos cuadrados - rectabuscamos minX∈R2 ‖Y − AX‖, con datos: Y ,Aahora S = {AX : X ∈ R2} s.e.v. de RN
⇒ min es alcanzado en AX0 = PS(Y )o sea, Y − AX0 = PS⊥(Y ) cumple‖Y − AX0‖ = minX∈R2 ‖Y − AX‖
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
solución del problema
mínimos cuadrados - rectabuscamos minX∈R2 ‖Y − AX‖, con datos: Y ,Aahora S = {AX : X ∈ R2} s.e.v. de RN
⇒ min es alcanzado en AX0 = PS(Y )
o sea, Y − AX0 = PS⊥(Y ) cumple‖Y − AX0‖ = minX∈R2 ‖Y − AX‖
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
solución del problema
mínimos cuadrados - rectabuscamos minX∈R2 ‖Y − AX‖, con datos: Y ,Aahora S = {AX : X ∈ R2} s.e.v. de RN
⇒ min es alcanzado en AX0 = PS(Y )o sea, Y − AX0 = PS⊥(Y ) cumple
‖Y − AX0‖ = minX∈R2 ‖Y − AX‖
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
buscando recta que aproxima
solución del problema
mínimos cuadrados - rectabuscamos minX∈R2 ‖Y − AX‖, con datos: Y ,Aahora S = {AX : X ∈ R2} s.e.v. de RN
⇒ min es alcanzado en AX0 = PS(Y )o sea, Y − AX0 = PS⊥(Y ) cumple‖Y − AX0‖ = minX∈R2 ‖Y − AX‖
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
proposición
proposiciónA ∈MN×K (R)
S = {AX : X ∈ RK} s.e.v. de RN
⇒S⊥ = {Y ∈ RN : AtY = ~0}
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
proposición
proposiciónA ∈MN×K (R)S = {AX : X ∈ RK} s.e.v. de RN
⇒S⊥ = {Y ∈ RN : AtY = ~0}
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
proposición
proposiciónA ∈MN×K (R)S = {AX : X ∈ RK} s.e.v. de RN
⇒S⊥ = {Y ∈ RN : AtY = ~0}
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
demostración
Y ∈ S⊥
⇔ 〈Y ,AX 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ 〈AtY ,X 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ AtY = ~0
∈ RK
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
demostración
Y ∈ S⊥
⇔ 〈Y ,AX 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ 〈AtY ,X 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ AtY = ~0
∈ RK
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
demostración
Y ∈ S⊥
⇔ 〈Y ,AX 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ 〈AtY ,X 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ AtY = ~0
∈ RK
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
demostración
Y ∈ S⊥
⇔ 〈Y ,AX 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ 〈AtY ,X 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ AtY = ~0
∈ RK
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
demostración
Y ∈ S⊥
⇔ 〈Y ,AX 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ 〈AtY ,X 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ AtY = ~0 ∈ RK
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
demostración
Y ∈ S⊥
⇔ 〈Y ,AX 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ 〈AtY ,X 〉 = 0 ∀X ∈ RK
⇔ AtY = ~0 ∈ RK
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
solución del problema
mínimos cuadrados - rectabuscamos X0 ∈ RK tal que‖Y − AX0‖ = minX∈RK ‖Y − AX‖
⇒ Y − AX0 ∈ S⊥
con S = {AX : X ∈ RK} s.e.v. de RN
⇒ At(Y − AX0) = ~0⇒ X0 es solución de(ecuaciones normales)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
solución del problema
mínimos cuadrados - rectabuscamos X0 ∈ RK tal que‖Y − AX0‖ = minX∈RK ‖Y − AX‖⇒ Y − AX0 ∈ S⊥
con S = {AX : X ∈ RK} s.e.v. de RN
⇒ At(Y − AX0) = ~0⇒ X0 es solución de(ecuaciones normales)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
solución del problema
mínimos cuadrados - rectabuscamos X0 ∈ RK tal que‖Y − AX0‖ = minX∈RK ‖Y − AX‖⇒ Y − AX0 ∈ S⊥
con S = {AX : X ∈ RK} s.e.v. de RN
⇒ At(Y − AX0) = ~0⇒ X0 es solución de(ecuaciones normales)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
solución del problema
mínimos cuadrados - rectabuscamos X0 ∈ RK tal que‖Y − AX0‖ = minX∈RK ‖Y − AX‖⇒ Y − AX0 ∈ S⊥
con S = {AX : X ∈ RK} s.e.v. de RN
⇒ At(Y − AX0) = ~0
⇒ X0 es solución de(ecuaciones normales)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
solución del problema
mínimos cuadrados - rectabuscamos X0 ∈ RK tal que‖Y − AX0‖ = minX∈RK ‖Y − AX‖⇒ Y − AX0 ∈ S⊥
con S = {AX : X ∈ RK} s.e.v. de RN
⇒ At(Y − AX0) = ~0⇒ X0 es solución de
AtAX0 = AtY
(ecuaciones normales)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
proposición
solución del problema
mínimos cuadrados - rectabuscamos X0 ∈ RK tal que‖Y − AX0‖ = minX∈RK ‖Y − AX‖⇒ Y − AX0 ∈ S⊥
con S = {AX : X ∈ RK} s.e.v. de RN
⇒ At(Y − AX0) = ~0⇒ X0 es solución de
AtAX0 = AtY
(ecuaciones normales)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
mínimos cuadrados - recta
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
y A =
0 11 13 14 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = min ‖Y − AX‖⇒ AtAX0 = AtY⇒ X0 = (AtA)−1AtY
= (1110 ,−15)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
mínimos cuadrados - recta
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
y A =
0 11 13 14 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = min ‖Y − AX‖⇒ AtAX0 = AtY⇒ X0 = (AtA)−1AtY
= (1110 ,−15)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
mínimos cuadrados - recta
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
y A =
0 11 13 14 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = min ‖Y − AX‖
⇒ AtAX0 = AtY⇒ X0 = (AtA)−1AtY
= (1110 ,−15)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
mínimos cuadrados - recta
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
y A =
0 11 13 14 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = min ‖Y − AX‖⇒ AtAX0 = AtY
⇒ X0 = (AtA)−1AtY
= (1110 ,−15)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
mínimos cuadrados - recta
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
y A =
0 11 13 14 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = min ‖Y − AX‖⇒ AtAX0 = AtY⇒ X0 = (AtA)−1AtY
= (1110 ,−15)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
mínimos cuadrados - recta
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
y A =
0 11 13 14 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = min ‖Y − AX‖⇒ AtAX0 = AtY⇒ X0 = (AtA)−1AtY = (1110 ,−
15)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
observación
observaciónAtA es siempre matriz cuadrada y simétrica
NO SIEMPRE es invertiblecaso no invertible: se escaleriza el sistema AtAX = AtYse verifica que quede compatiblese asignan datos que sobran para resolver.
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
observación
observaciónAtA es siempre matriz cuadrada y simétricaNO SIEMPRE es invertible
caso no invertible: se escaleriza el sistema AtAX = AtYse verifica que quede compatiblese asignan datos que sobran para resolver.
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
observación
observaciónAtA es siempre matriz cuadrada y simétricaNO SIEMPRE es invertiblecaso no invertible: se escaleriza el sistema AtAX = AtY
se verifica que quede compatiblese asignan datos que sobran para resolver.
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
observación
observaciónAtA es siempre matriz cuadrada y simétricaNO SIEMPRE es invertiblecaso no invertible: se escaleriza el sistema AtAX = AtYse verifica que quede compatible
se asignan datos que sobran para resolver.
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
observación
observaciónAtA es siempre matriz cuadrada y simétricaNO SIEMPRE es invertiblecaso no invertible: se escaleriza el sistema AtAX = AtYse verifica que quede compatiblese asignan datos que sobran para resolver.
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomios
problemaahora buscamos polinomio de grado k que minimice
~ε(P) = (y1 − (ak tk1 + · · ·+ a0), . . . , yN − (ak tkN + · · ·+ a0))
~ε(P) =
y1...yN
− t
k1 t
k−11 . . . 1
......
...tkN t
k−1N . . . 1
(ak ,ak−1, . . . ,a0)
= Y−AX
con X = (ak ,ak−1, . . . ,a0)
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomios
problemaahora buscamos polinomio de grado k que minimice~ε(P) = (y1 − (ak tk1 + · · ·+ a0), . . . , yN − (ak tkN + · · ·+ a0))
~ε(P) =
y1...yN
− t
k1 t
k−11 . . . 1
......
...tkN t
k−1N . . . 1
(ak ,ak−1, . . . ,a0)
= Y−AX
con X = (ak ,ak−1, . . . ,a0)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomios
problemaahora buscamos polinomio de grado k que minimice~ε(P) = (y1 − (ak tk1 + · · ·+ a0), . . . , yN − (ak tkN + · · ·+ a0))
~ε(P) =
y1...yN
− t
k1 t
k−11 . . . 1
......
...tkN t
k−1N . . . 1
(ak ,ak−1, . . . ,a0)
= Y−AX
con X = (ak ,ak−1, . . . ,a0)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomios
problemaahora buscamos polinomio de grado k que minimice~ε(P) = (y1 − (ak tk1 + · · ·+ a0), . . . , yN − (ak tkN + · · ·+ a0))
~ε(P) =
y1...yN
− t
k1 t
k−11 . . . 1
......
...tkN t
k−1N . . . 1
(ak ,ak−1, . . . ,a0) = Y−AX
con X = (ak ,ak−1, . . . ,a0)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomios
problemaahora buscamos polinomio de grado k que minimice~ε(P) = (y1 − (ak tk1 + · · ·+ a0), . . . , yN − (ak tkN + · · ·+ a0))
~ε(P) =
y1...yN
− t
k1 t
k−11 . . . 1
......
...tkN t
k−1N . . . 1
(ak ,ak−1, . . . ,a0) = Y−AXcon X = (ak ,ak−1, . . . ,a0)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomios
ejemplo - polinomiocomo antes, buscamos X0 tal que‖Y − AX0‖ = minX∈Rk+1 ‖Y − AX‖
⇒ Y − AX0 ∈ S⊥
con S = {AX : X ∈ Rk+1} s.e.v. de RN
⇒ AtY − AtAX0 = ~0⇒ X0 ∈ Rk+1 solución de la ecuación AtAX0 = AtY
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomios
ejemplo - polinomiocomo antes, buscamos X0 tal que‖Y − AX0‖ = minX∈Rk+1 ‖Y − AX‖⇒ Y − AX0 ∈ S⊥
con S = {AX : X ∈ Rk+1} s.e.v. de RN
⇒ AtY − AtAX0 = ~0⇒ X0 ∈ Rk+1 solución de la ecuación AtAX0 = AtY
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomios
ejemplo - polinomiocomo antes, buscamos X0 tal que‖Y − AX0‖ = minX∈Rk+1 ‖Y − AX‖⇒ Y − AX0 ∈ S⊥
con S = {AX : X ∈ Rk+1} s.e.v. de RN
⇒ AtY − AtAX0 = ~0
⇒ X0 ∈ Rk+1 solución de la ecuación AtAX0 = AtY
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomio
mínimos cuadrados - polinomios
ejemplo - polinomiocomo antes, buscamos X0 tal que‖Y − AX0‖ = minX∈Rk+1 ‖Y − AX‖⇒ Y − AX0 ∈ S⊥
con S = {AX : X ∈ Rk+1} s.e.v. de RN
⇒ AtY − AtAX0 = ~0⇒ X0 ∈ Rk+1 solución de la ecuación AtAX0 = AtY
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo - polinomio que aproxima por mínimos cuadrados
mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
A =
0 0 11 1 19 3 1
16 4 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = minX ‖Y − AX‖⇒ AtAX0 = AtY⇒X0 = (AtA)−1AtY
= (13 ,−730 ,
310)
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo - polinomio que aproxima por mínimos cuadrados
mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
A =
0 0 11 1 19 3 1
16 4 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = minX ‖Y − AX‖⇒ AtAX0 = AtY⇒X0 = (AtA)−1AtY
= (13 ,−730 ,
310)
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo - polinomio que aproxima por mínimos cuadrados
mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
A =
0 0 11 1 19 3 1
16 4 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = minX ‖Y − AX‖
⇒ AtAX0 = AtY⇒X0 = (AtA)−1AtY
= (13 ,−730 ,
310)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo - polinomio que aproxima por mínimos cuadrados
mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
A =
0 0 11 1 19 3 1
16 4 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = minX ‖Y − AX‖⇒ AtAX0 = AtY
⇒X0 = (AtA)−1AtY
= (13 ,−730 ,
310)
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planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo - polinomio que aproxima por mínimos cuadrados
mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
A =
0 0 11 1 19 3 1
16 4 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = minX ‖Y − AX‖⇒ AtAX0 = AtY⇒X0 = (AtA)−1AtY
= (13 ,−730 ,
310)
-
planteo del problema mínimos cuadrados - recta mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo - polinomio que aproxima por mínimos cuadrados
mínimos cuadrados - polinomio
ejemplo
t 0 1 3 4y 0 1 2 5
Y =
0125
A =
0 0 11 1 19 3 1
16 4 1
X0 tal que‖Y − AX0‖ = minX ‖Y − AX‖⇒ AtAX0 = AtY⇒X0 = (AtA)−1AtY = (13 ,−
730 ,
310)
planteo del problemaproblema
mínimos cuadrados - rectabuscando recta que aproximaproposiciónejemplo
mínimos cuadrados - polinomiomínimos cuadrados - polinomioejemplo - polinomio que aproxima por mínimos cuadrados
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