aplicaciones de los vect geom ala geom analitica

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Vectores Coordenados

Ilustración 38

Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta que

pasa por el punto A(-2, 1, 3) y es paralela al vector ⎯→ ⎯ 

 DT  , siendo D(4, 0, -1) y

T(2, -3, 1).

Solución

Designemos esta recta por ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛    ⎯→ ⎯  DT  A L   ,

Sea P(x, y, z) tal que P∈  ; esto es P representa un punto genérico

de la recta.

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛    ⎯→ ⎯  DT  A L   ,

 Determinemos los vectores de posición Py

rr

 A respectivamente.

Tenemos ahora que:

1. P = A + AP2. AP = λDT Con λ  ∈ a R. ¿Porqué?3. P = A + λDT Sustitución de 2 en 1.4. DT = T – D ¿Porqué?5. P = A + λ(T - D), λ∈R}  Ecuación vectorial de esta recta.

6. L(A, DT) ={P (x, y, z) / P = A + λ(T - D), λ∈R} 

O

 A

P

P

y

x

z

 AD

T

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛    ⎯→ ⎯  DT  A L   ,

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Como DT = T – D (2,-3,1)-(4, 0, -1); esto es DT (-2,-3,2)

Por la correspondencia entre vectores de posición y vectores coordenadostenemos de 5:

7. P (x, y, z) = (-2,1,3) + λ(-2,-3,2)(x, y, z)= (-2 -2λ, 1-3λ, 3+2λ) y de la igualdad de n-tuplas se obtiene:

 x = -2 -2λ  y = 1 - 3λ  λ ∈ R. Ecuaciones paramétricas de esta recta. z = 3 + 2λ 

8. Despejando el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores y por latransitividad en la igualdad tenemos:

2

3

3

1

2

2   −=

−−

=−+   z y x

 Ecuaciones simétricas de esta recta.

Ilustración 39

Determine para la recta de la ilustración anterior:

Sus interceptos con los planos  z y x   ↔↔↔   yz,x,  • 

•  Su intersección con el plano de ecuación cartesiana 2x-y+3z=5Solución:

La ecuación cartesiana del plano  y x ↔ corresponde a: 0x +0y+z=0; ysustituyendo las coordenadas respectivas, de las ecuaciones paramétricas enesta ecuación tenemos: 3 + 2λ=0 y λ= -3/2, evaluando para este valor, lasecuaciones paramétricas, se obtiene:

X=-2+2 (3/2) =1Y= 1 + 3(3/2)= 11/2

Z=0

En consecuencia (1, 11/2, 0) corresponde al punto de intersección de la rectacon el plano  y x ↔ .

Determine el intercepto con los otros dos planos.Veamos ahora el intercepto con el plano de ecuación 2x-y+3z=52(-2 -2λ)-(1-3λ)+3(3+2λ)=5-4 - 4λ-1+3λ+9+6λ=54+5λ=5, λ= 1/5; evaluando las ecuaciones paramétricas con este valor,

obtenemos el punto (-8/5, 8/5, 17/5), correspondiente a la intersección.

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Ilustración 40

Dadas las rectas L1 y L2 en el espacio y de ecuaciones:

 x = -2 +3λ  

 x = 3 - β L2:  y = 5 +2β  β ∈ R.

L1:  y = 5 - λ  λ ∈ R. z = 2λ 

 z = β 

Determine el conjunto L1∩L2 e interprete geométricamente sus posiciones

relativas:

• 

•  Sea

•  Sea

θ 

Veamos inicialmente si L1//L2, por ser muy sencillo el criterio que lo

determina.→1u   ↔ (3,-1,2) con u // L

→

1 1 ¿Porqué?→

2u   ↔ (-1,2,1) con u //L2→

2

L1//L2 si y solo si u //u  ¿Porqué?→

1

→

2

Pero si y solo si u . Teorema. Criterio del paralelismo.→→

21// uu→→

=   21   u

 Asumamos, a prueba de hipótesis . Esto es (3,-1,2) = θ(-1,2,1); si esto

se diera tendríamos que:

→→

=   21   uu   θ 

  3= -θ  -1= 2θ  Generando un sistema inconsistente; lo que nos permite concluir

que u   ╫   y en consecuencia  ╫   L  →

1

→

2u 1 L 2 2 = θ 

Procedemos ahora a determinar 1 L 2 L∩ .

1)  β λ    −=+−   332   1) 3 5=+ β λ   2)  β λ    255   +=−   2) 02   =−−   β λ   3)  β λ  =2   3) 2 0=− β λ   

 Aplicando el método de reducción de Gauss - Jordan se tiene:

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

12

21

13

  5  

⎥⎥⎥

⎦

⎤

0

0

5

 ⎯→ ⎯   12 E 

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−12

13

21

⎥⎥⎥

⎦

⎤

0

5

0

 ⎯  ⎯  ⎯ → ⎯    +−   213   E  E 

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

50

50

21

⎥⎥⎥

⎦

⎤

0-E1

0

-2E1+ E3

 ⎯  ⎯  ⎯ → ⎯ 

  +−   32   E  E 

  ⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−0050

21

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

− 55

0

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4/15

Lo que nos permite afirmar que el sistema es inconsistente y en consecuencia= Φ .1 L   ∩   2 L

Este ultimo resultado y la conclusión previa de que  ╫   , nos permiteconcluir, según la teoría, que las rectas y se “cruzan en el espacio”.

1 L 2 L

1 L 2 L

Ilustración 41

Dados los planos π1, π2  y π3 de ecuaciones cartesianas en su orden:

π1 : x – y +2z = 1π2  : x + 3y – z = 2π3  : 2x + 6y – 2z = 3

Determine e interprete geométricamente1. π1  ∩ π2 2. π2  ∩  π33. π1 ∩  π2  ∩ π3 Veamos para el primer conjunto.

Por el método de reducción de Gauss Jordan

⎢⎣

⎡−

−

131

211  ⎥

⎦

⎤2

1 ⎯  ⎯  ⎯ → ⎯    +−   21   E  E  ⎢

⎣

⎡−

−

340

211⎥⎦

⎤1

1 ⎯  ⎯ → ⎯    24/1   E  ⎢

⎣

⎡−

−

4/310

211⎥⎦

⎤4/1

1

  ⎯  ⎯ → ⎯    +   12   E  E  ⎢

⎣

⎡−   4/310

4/501  ⎥

⎦

⎤4/1

4/5

 Sistema equivalente reducido.1. x +5/4z = 5/42. y -3/4z = 1/4

x = 5/4 - 5/4λ  1. y = 1/4+ 3/4λ   λ  ∈ R Solución del sistema

2. z = λ  Esto significa que π1  ∩ π2  = L( A, ), donde A(5/4, 1/4, 0) y (-5/4, 3/4,1)

→

t →

t 

 Ilustración 42

Dados S (-4,-2,6) y (2,1,2)→

n  ↔Determine:

1. La ecuación vectorial del plano que pasa por S y es perpendicular al

vector ; que designamos por π( , S).

→

n

→

n2. La ecuación cartesiana de este plano.

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5/15

3. La distancia de un punto Q(3,4,-2) a este plano.4. Las coordenadas correspondientes a la proyección ortogonal de Q

sobre el mismo plano.5. Las coordenadas del punto simétrico de Q respecto al plano inicial.

6. El ángulo entre el plano π( , S) y el plano de ecuación 5x -2y + z = -3

→

n Solución:

1. Sea P(x, y, z) ∈ π( , S).→

n

Entonces→

SP   ⊥   y por lo tanto→

n

Ecuación vectorial.→

SP . = o→

n

2. = ( x+4, y+2, z-6)→

SP→→

− S P   ↔

  . = 2 (x + y) + (y + 2) + 2(z – 6) = 0→

SP→

n

 2x + y +2z = 2 Ecuación cartesiana.+ + =

3. Sea A ∈ π( , S); en particular→

n

 A (0, 0, 1) está en el plano

d(Q, π( , S)) = HQ→n 

⎟⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

•=

⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ ==

 ⎯→ ⎯ 

 ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

 ⎯→ ⎯ 

 ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

2

n

n AQ

n

 AQ pr  AT  HQ  

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6/15

  Por tanto→

→

→→→

⎟⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

=   n

n

n AQ HQ

2

.  =

→

→→

n

n AQ..

=   33.19

4=  

Calculemos las coordenadas del punto H

Podemos afirmar que { H } = π( , S) ∩ L (Q, ). ¿Por qué?→

n→

n

•  Si P (x, y, z) ∈  L (Q, ), entonces P = Q + λ  y sus ecuacionesparamétricas son:

→

n→

n

1. x = 3 + 2λ 2. y = 4 + λ   R∈λ   3. z = -2 +2λ 

( ) ( ) ( )   22224232   =+−++++   λ λ λ    9/4−=∴λ   

y ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛    −=

9

22,

9

32,

9

19 H   

Designemos Q´ por el punto simétrico de Q respecto al plano π( , S), se

cumple en consecuencia que:

→

n

 Q´ = Q + QQ´ ¿Porqué?Q´ = Q + 2QH ¿Porqué?QH = H – Q ↔   )9/4,9/4,9/8(   −−Q´ (3, 4, -2) + (-16/9, -8/9, 8/9)Q´ = (11/9, 28/9, -10/9)

Q´

Q

O

 A H

→

n  

´

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7/15

Determinemos perpendicular al plano de ecuación 5x – 2y + z = -3, en

particular ; y por lo tanto el ángulo entre los planoscorresponde a:

→

t 

(   1,2,5 −↔→

t    )

⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

=→→

→→

−

t n

t n .cos   1α    ¿Por qué?

º51,52309

10cos   1 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 

×=   −α   

Ilustración 43

Demuestre la desigualdad de Cauchy – Schwarz.

Si , entonces,3,   E ba   ∈→→

..→→→→

≤   baba  

Demostración

1. α cos.→→→→

=   baba   Definición de producto escalar.

α cos.→→→→

=   baba2. Tomado de valor absoluto en 1

α cos.→→→→

=   baba   Propiedad de valor absoluto y magnitud

de un vector libre.

3.

4. 1cos1   ≤≤−   α    Rango de la función coseno

5. 1cos   ≤α    Propiedad del valor absoluto de 4

6.→→→→

≤   baba   α cos   ¿Por qué?

7.→→→→

≤   baba .   ¿Por qué?

Ilustración 44

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Sea ∆ ABC con ángulo recto en  AH C  A B   ;ˆ  altura. Demuestre vectorialmenteque:

1.  HBCB AB→→

=→   2  

2.CH CB AC →→=→   2  

3.→→

=→

CH  BH  AH 

2

B C

 A

H

Solución

1. AB AB AB→→

=→

.

2  Definición de producto escalar.

2. CACB AB→

−→

=→

  Diferencia de E3

3.  HA HB AB→

−→

=→

  Diferencia de E3

4. De 2 y 3⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛    →−

→→−

→=

→→ HA HBCACB AB AB   ..

5. Propiedad distributiva delproducto escalar respecto a lasuma

→→→→→→→→→→

+−−=   HACA HBCA HACB HBCB AB AB   .....

6. ¿Por qué?0.   =→→

 HACB

7. Sustitución de 6 en 5→→→→→→→→

+−=   HACA HBCA HBCB AB AB   .... 

8. Distributividad del producto

escalar respecto a la suma.

⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛  +−+=  →→→→→→→

 HA HBCA HBCB AB AB   ...

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9/15

9.→→→

=−   BA HB HA   ¿Porque?

10. Sustitución de 9 en 8→→→→→→

+=   BACA HBCB AB AB   ...

 11. ¿Por qué?0.   =

→→

 BACA

12.   º0.   Cos HBCB AB AB→→→→

=   Sustitución de 11 en 10. y

definiciones de productoescalar.

13.→→→

=   HBCB AB2

  ¿Por qué?

Ilustración 45

Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores

)3,1,9(),1,2,3(),2,0,5(   −−↔−↔−↔  →→→

cba  

Solución:

Volumen de este paralelepípedo determinado por los vectores = ),,(→→→

cba  

(Producto mixto de ) ¿Por qué?→→→

cba   ,,

319

123

205

),,(

−−

−

−

=→→→

cba   = 5

Luego el volumen del paralelepípedo es igual a 5 unidades cúbicas.Calcular el volumen del tetraedro, determinado por estos mismos vectores.

Ilustración 46

B

C

P A

),,(   C  B AΠ

 Si A, B, C son puntos distintos y no colineales, demuestre que una ecuaciónvectorial para el plano π (A, B, C) es:

0),,(   =→→→ AP AC  AB ; siendo P un

punto genérico del plano.

Demostración

1. Sea P(x, y, z) , P∈π(A, B, C)

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10/15

2. Determinemos ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

 AP AC  AB   ,,

3. ),,(,,   C  B A AP AC  AB   π ⊂ ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

  de la hipótesis y de 1.

4. ¿Por qué?0)(   =•  →→ ⎯→ ⎯ 

 AP x AC  AB

5. La ecuación vectorial anteriorCorresponde al plano ),,(   C  B Aπ   

Determine, utilizando este resultado, una ecuación vectorial y la ecuacióncartesiana del plano ),,(   S  N  M π  ; cuando M(-5, 2, 1), N(3, -1, 0), S(4, -3, -1).

Ilustración 47

Demuestre vectorialmente que para ;3

,   E ba   ∈

→→

0,,   =⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −+

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

bbaba

 Demostración

1. . Definición

producto mixto.

⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ×⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −•⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +=⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −+

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

bbababbaba   ,,

2. .

Distributividad del producto vectorial respecto a la suma.

⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛ ×−ו⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛ +=⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛ −+

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

bbbababbaba   ,,

3. - ¿Por qué? ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

=×   Obb

4. . Sustitución 3 en 2⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ×•⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +=⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −+

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

bababbaba   ,,

5. .

Distributividad del producto escalar respecto a la suma.

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ×•+⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ×•=⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −+

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

babbaabbaba   ,,

6. y . Definición del producto vectorial.

 ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

⊥×   aba ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

⊥×   bba

7. y ¿Por qué?0=⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ×•

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

baa   0=⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ×•

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

bab

8. Sustitución de 7 en 5.0,,   =⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −+

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

bbaba

Ilustración 48

Para las rectas de la ilustración 40, determine la distancia entre ellas(transversal mínima).

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 Solución.

1. Designemos por A y→t  un punto particular y un vector paralelo a la

primera recta obteniendose A(-2, 5, 0) y→t   ↔  (-1,2,1).

2. Designemos por B y elementos análogos en la segunda recta,

obteniéndose B(3, 5, 0) y

 ⎯→ ⎯ 

s

( )1,2,1−↔ ⎯→ ⎯ 

s

3. ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

 ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

 ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

×

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

=⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

st 

st  AB

s B Lt  A Ld 

,,

,,,

,

 ¿Por qué?

(Justifique la fórmula y su aplicación en esta situación)4. ( )0,0,5↔−=

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

 A B AB

25)5(5

121

213

005

,,   −=−=

−

−=⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛    ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ st  AB  

5. ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

 ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

 ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

+−−=

−

−=×   k  ji

k  ji

st    )5()5()5(

121

213  

)5,5,5(   −−↔×  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

st  ; 75=×  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

st   

6. 88.275

25)),(),,((   =

−=

 ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

s B Lt  A Ld    unidades de longitud

Ilustración 49

En el ∆ ABC, P y Q son puntos medios de  AB  y  BC  respectivamente, G es el

baricentro.Demuestre vectorialmente que: Área (∆PQG)= 1/12  Área (∆ ABC)

C

Q

G

 A BP

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12/15

Solución

1. Área (∆PQG) = ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

× PGPQ2

1  ¿Por qué?

2. ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

=   AC PQ2

1  Teorema de la paralela media.

3. ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

−==   CPPC PG3

1

3

1 ¿Por qué?

4. ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +=

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

CBCACP2

1  Teorema de la proporción, de la hipótesis.

5. Área (∆PQG) = ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +−×

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

CBCA AC 6

1

2

1

2

1  Sustitución 2, 3 y 4 en 1

6. Área (∆PQG) = ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +−×

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

CBCA AC 24

1  Propiedad del producto vectorial y

magnitud de un vector.

7. Área (∆PQG) = ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −×+⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −×

  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

CB AC  AC  AC 24

1  Distributividad del

producto vectorial, respecto a la suma.

8. ¿Por qué? ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

=−×   O AC  AC 

9. ¿Por qué? ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

×=−×   CBCACB AC 

10. Área (∆PQG) = ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

× CBCA24

1  Sustitución 8 y 9 en 7

11. Área (∆PQG) =12

1 Área (∆ ABC) ¿Por qué?

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sean ( )   ( )   ( ) (   1,2,1,1,0,0,,2

1,2

1 ,1,1,1,0   −↔−↔−↔−↔  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

d cba   )  

Determine las coordenadas de los vectores: y ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

+−=   cbas   32 ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯  ⎯→ ⎯ 

+−−=   d cbat    22

  Determine los cosenos y los ángulos directores de ⎯→ ⎯ 

s

  Determine el ángulo entre y . ⎯→ ⎯ 

s→

t 

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13/15

  Determine un vector de magnitud igual a 2/5   en la dirección y en el

sentido de→

t 

 2. Identifique cada una de los siguientes conjuntos de puntos en R2 

2.1 ( ){ } R y x y x   ∈+−−=   θ θ θ    ),7,4()0,3)(1(),/(,  

2.2⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈+−=

  →→→

 RPPP y xP   β  β  β    ,)1(/),(   21

2.3⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈=   R x y y x   ,5

3/),(  

2.4  [   ){ }+∞∈+−=   ,0),5,2()1,3(),/(),(   θ θ  y x y x  2.5   [ ]{ }1,0),5,2()1,3(),/(),(   ∈+−=   θ θ  y x y x  

3. Sean P1 (x1,y1,z1) , P2 (x2,y2,z2). Determine vectorialmente lascoordenadas del punto medio del segmento 21PP .

4. Determine las ecuaciones: vectorial, paramétricas y cartesianas de cadauno de los siguientes planos.4.1π  siendo A ( 0,-2,1), C ( -4,1,-1), K (5,0,2).),,,(   K C  A

4.2 π , siendo D ( -1,1,2),),,(→→

t u D   )5,1,2(),1,0,3(   −↔−↔  →→

t u

4.3 el plano que pasa por T(-1,0,2) y contiene a la recta

L: 1. x = 3-λ 2. y =2λ   R∈λ   3. z = 1-5λ 

5. Sean: 0: 11111   =+++   d  zc yb xaπ   π   0: 22222   =+++   d  zc yb xa  

Demuestre que π1//π2 si y solo si existe  R∈λ   tal que λ ===1

2

1

2

1

2

c

c

b

b

a

a 

6. Demuestre vectorialmente la ley del coseno.7. Demuestre vectorialmente que todo ángulo inscrito en unasemicircunferencia es recto.

8. Demuestre vectorialmente la desigualdad triangular.

Para→→→→→→→

+≤+∈   baba E cba   ,,,   3  

9. Sea A un vértice de un cubo. Desde A se trazan una diagonal del cuboy una diagonal de una de las caras. Calcule el ángulo entre estas dosdiagonales.

8/16/2019 Aplicaciones de Los Vect Geom Ala Geom Analitica

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10. Establezca un criterio vectorial para determinar cuando cuatro puntosdistintos del espacio son coplanarios. Utilice dicho criterio paradeterminar si A ( 1,2,1), B (-3,1,2), C (-4,-1,1) y D (-3,-2,0) soncoplanarios.

11. Una pirámide cuyo vértice es P; tiene como base el cuadrilátero ABCD.Calcule el volumen de esta pirámide si se tiene:P ( 0,0,8); A ( 3,0,-1); B ( 2,9,3); C ( -2,0,4); D ( -4,-6,4) .

12. Demuestre la identidad de Jacobi:→→→→→→→→→→

=××+××+××   Obacacbcba   )()()(  sug: Utilice la relación de Gibas

13. Resuelva para→

 X   el siguiente sistema.

1.→→→

=×   cb X 

  2.   =•→→

a X    α    sugerencia: Utilice la relación Gibbs

14. Dado el tetraedro ABCP.

Sean vectores normales a cada cara y de magnitud igual alárea de la cara respectiva.

43,2,,1   ,→→→→

nnnn

Demuestre que =432,1→→→→

+++   nnnn→

O

15. Demuestre la identidad de Lagrange.

Para 3,,,   E d cba   ∈→→→→

→→→→

→→→→→→→→

••

••=ו×d bcb

d acad cba   )()(   Sugerencia: Utilice las propiedades del

Producto mixto.

16. Sean linealmente independientes y→→→

cba   ,,→→→→

++=   cbad    γ  β λ 

Demuestre que),,(

),,(

,   →→→

→→→

=cba

cbd λ   ; = β   

),,(

),,(

,   →→→

→→→

cba

cd a;

),,(

),,(

,   →→→

→→→

=cba

d baγ   

P

 A

B

1

→

n3

→n

4n

 2

→

n

C

→

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17. Utilice el resultado anterior para resolver el siguiente sistema:( Regla de Cramer ) .

1. 532   =−+   γ  β λ   2. 222   =−+−   γ  β λ   

3. 34   =−+−   γ  β λ