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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

Enfoque práctico

Lic Dylana Freer Paniagua. MBA

Índice

Propósitos y motivación.

Ecuación diferencial. Conceptos básicos.

Áreas de aplicación:

• Enfriamiento y calentamiento de cuerpos.

• Circuitos eléctricos.

• Ecuación logística.

• Deflexión de una viga

Reflexiones finales.

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Propósitos del Webinar

Los participantes podrán:

Conocer algunos tipos de ecuaciones

diferenciales.

Conocer aplicaciones de las ecuaciones

diferenciales en física e ingeniería.

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Agenda

Motivación

Definiciones básicas sobre ecuaciones

diferenciales

Áreas de aplicación

Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales

Cierre

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Motivación

¿Para qué sirve la matemática?

¿Por qué debemos llevar este curso?

“La matemática es el alfabeto con el que Dios

ha escrito el Universo” Galileo Galilei

(Novixar, 2009)

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Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación

que contiene las derivadas de una o más

función(es) dependiente(s) de una o más

variables independientes. (Zill & Wright, 2012)

Ejemplos

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Condiciones iniciales

Cuando una ecuación diferencial tiene infinitas

soluciones, se puede especificar una solución

concreta imponiendo una condición inicial. Esto

es, que la solución cumpla una condición y(x0)=y0

para ciertos valores específicos x0 y y0. (Rogawski,

2012)

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Ecuación lineal

Una ecuación diferencial lineal es la que se

puede expresar de tal forma que la función y(x) y

sus derivadas aparezcan de grado 1 y los

coeficientes de estos términos sean función

solamente de x. (Simmons & Krantz, 2007)

Una ecuación diferencial lineal de orden n se

expresa de la forma:

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Áreas de aplicación de las

ecuaciones diferenciales

Fenómenos físicos: enfriamiento-calentamiento

de cuerpos, caída libre de objetos.

Crecimiento poblacional.

Análisis de circuitos.

Soluciones químicas.

Vibraciones y oscilaciones.

Pandeo de vigas.

Deflexión de columnas.

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Ejemplos concretos

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Enfriamiento y calentamiento

de cuerpos

Ley de Newton

La velocidad con que la temperatura de un cuerpo cambia es proporcional a la diferencia que hay entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea. (Zill & Wright, 2012)

T: temperatura del cuerpo

Tm: temperatura del medio

t: tiempo

k: constante de proporcionalidad

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Solución de la ecuación

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Los valores de c y k se pueden hallar a

partir de las condiciones iniciales del

problema que se va a resolver.

Aplicaciones de esta ley

Tratamientos térmicos en metales y otros

materiales

Modelos climáticos

Diseño de electrodomésticos y máquinas

Diseño de aislantes térmicos

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Circuitos eléctricos

Elementos que conforman un

circuito

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Leyes de Kirchhorff

El voltaje E(t) que se genera en un lazo cerrado

debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje

en el lazo.

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Aplicaciones de las ecuaciones

en circuitos

Determinar la corriente en un circuito.

Determinar, a nivel industrial, el consumo de las

máquinas.

Seleccionar equipos de protección eléctrica

(breaker).

Determinar el diámetro ideal de los conductores

de corriente.

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Ejemplo particular

Encontrar una ecuación de la corriente en función del

tiempo si la corriente inicial está representada por I0 y

se aplica un fem constante E0. Considere un circuito

solamente con resistor e inductor.

Solución:

Ecuación:

Condiciones iniciales: i(0)= I0

Solución de la ecuación lineal:

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La ecuación logística

Utilizada para poblaciones que crecen

exponencialmente bajo ciertas condiciones

ambientales.

k >0 es la constante de crecimiento y A>0 es constante

de capacidad de carga.

La solución de dicha ecuación se puede expresar de la forma: (Rogawski, 2012)

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Ejemplo Propagación de

un rumor

Considere una escuela con 1000 estudiantes. Sea y(t) la

fracción de la población estudiantil que ha escuchado un

rumor en el tiempo t.

Suponga que la tasa a la cual se extiende el rumor es

proporcional al producto de la fracción y de la población que

conoce el rumor por la fracción que todavía no lo ha

escuchado. Si a las 8:00 am, 80 estudiantes conocen el rumor y

al mediodía la mitad de la escuela ya lo sabe.

Determine cuándo el 90% de los estudiantes ya conocerá el

rumor.

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Solución

La ecuación que modela la propagación del rumor es

Las condiciones iniciales son y= 0,08 para t=0. Además, y= 0,5 si

t=4.

De ahí, que al resolver la ecuación, se obtiene

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Aplicando las condiciones iniciales y despejando para t se

obtiene:

Siendo y se obtiene que el tiempo es

aproximadamente 8 horas.

Así que a eso de las 4 de la tarde se conocerá el rumor por

parte del 90% de los estudiantes.

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Aplicación de la ecuación

logística

Biología

Propagación de un rumor

Propagación de una enfermedad

Crecimiento poblacional

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Deflexión de una viga

Una viga es un elemento estructural que soporta

cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del

elemento. (Beer, Johnston, DeWolf, & Mazurek,

2013)

(Moaveni, 2008)

23

(Moaveni, 2008)

Ecuación diferencial

La deflexión se rige por una ecuación diferencial de cuarto orden:

Donde E es el módulo de Young de elasticidad de la viga.

I es el momento de inercia de un corte transversal de la viga.

(Zill & Wright, 2012)

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Ejemplo

Considerando una viga embebida en ambos

extremos y que se le distribuye una carga

constante de manera uniforme a todo lo largo

de la viga. La curva de deflexión se deduce a

partir de

Integrando la ecuación se obtiene

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Continuación Aplicando las condiciones iniciales

Se despejan las constantes ci , obteniéndose finalmente

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Representación

Si se define por ejemplo que la viga sea de 1m de

longitud y , una representación gráfica de la

deflexión de la viga es

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Usos

Cálculo de punto máximo de deflexión

Aplicación en diseño de estructuras

Ubicación de puntos estratégicos donde colocar

aros

Optimización de materiales

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Reflexiones finales

La matemática se utiliza en gran cantidad de modelos.

En lo cotidiano se presenta con frecuencia.

Las aplicaciones motivan el aprendizaje de las

matemáticas.

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Bibliografía

Beer, F., Johnston, R., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2013). Mecánica de Materiales (Sexta edición ed.). México: McGraw-Hill Education.

Moaveni, S. (2008). Finite Element Analysis. Theory and application with ANSYS (Third edition ed.). Makato: Pearson Education.

Novixar. (2009, 6 1). Proverbia. Retrieved Noviembre 12, 2013, from http://www.proverbia.net/citasautores.asp

Rogawski, J. (2012). Cálculo: una variable (Segunda edición ed.). España: Reverté.

Simmons, G., & Krantz, S. (2007). Ecuaciones diferenciales. Teoría, técnica y práctica. México: McGraw-Hill Education.

Zill, D., & Wright, W. (2012). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería (Cuarta edición ed.). México, Distrito Federal: McGraw-Hill.

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Información de contacto

Dylana Freer Paniagua

Profesora y coordinadora en la Universidad Latina,

Heredia.

Correo electrónico

dylana.freer@ulatina.cr

dylanafreerpaniagua@gmail.com

¡Muchas gracias!

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