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Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofanticas Grupos abelianos finitamente generados Grado de anillos afınes Grado de ideales binomiales asociados a lattices

Aplicaciones de la Forma Normal de Smith deuna Matriz Entera

Rafael Heraclio Villarreal Rodrıguez

Departmento de MatematicasCINVESTAV-IPN, Mexico D.F.

XLV Congreso Nacional Sociedad Matematica MexicanaUniversidad Autonoma de Queretaro

28 de octubre al 2 de noviembre de 2012

Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofanticas Grupos abelianos finitamente generados Grado de anillos afınes Grado de ideales binomiales asociados a lattices

Bosquejo

1 Forma normal de Smith

2 Factores invariantes

3 Sistemas de ecuaciones lineales diofanticas

4 Grupos abelianos finitamente generados

5 Grado de anillos afınes

6 Grado de ideales binomiales asociados a lattices

Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofanticas Grupos abelianos finitamente generados Grado de anillos afınes Grado de ideales binomiales asociados a lattices

Sea A una matriz no-cero de orden m × n con entradas en Z ysea r el rango de A. Esta matriz se escribe como:

A = (aij) =

a11 · · · a1n...

......

am1 · · · amn

Operaciones Elementales(I) Permutar filas (columnas).

(II) Multiplicar una fila (columna) por −1.(III) Multiplicar una fila (columna) por un entero y sumar a otra

fila (columna).

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Teorema (Forma normal de Smith)Usando operaciones elementales la matriz A se puede reducira una matriz diagonal:

D =

d1 0 0 · · · 0 0 · · · 00 d2 0 · · · 0 0 · · · 0...

......

......

......

...0 0 0 · · · dr 0 · · · 00 0 0 · · · 0 0 · · · 0...

......

......

... · · ·...

0 0 0 · · · 0 0 · · · 0

= diag{d1, . . . ,dr ,0, . . . ,0},

donde di > 0 y di divide a di+1 para toda i.

La matriz D es la forma normal de Smith de A y d1, . . . ,drson los factores invariantes de A.

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DemostracionSea δ(A) = min{|aij | : aij 6= 0, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}.

(1) Podemos suponer que a11 = δ(A).(2) Si a1k 6= 0 para algun k > 1, por algoritmo de la division

a1k = bka11 + b1k , donde 0 ≤ |b1k | < a11.(3) Multiplicando la primera columna de A por −bk y

sumandola a la columna k obtenemos:

B =

a11 · · · −bka11 + a1k = b1k · · · a1n...

......

......

am1 · · · −bkam1 + amk = bmk · · · amn

una matriz equivalente B = (bij) donde b1k = 0 o bienb1k 6= 0 y δ(B) ≤ |b1k | < a11 = δ(A). Si b1k = 0, repetimoseste paso con otro elemento no-cero de la primera fila. Sib1k 6= 0, regresamos al paso (1) con la matriz B.

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(4) Repitiendo este proceso tantas veces como sea necesarioy usando un proceso similar sobre la primera columnaobtenemos una matriz equivalente:

C =

c11 0 · · · 00 c22 · · · c2n...

......

0 cm2 · · · cmn

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(5) Si c11 no divide a algun cij , sumando la fila i a la fila 1obtenemos

C′ =

c11 ci2 · · · cin0 c22 · · · c2n...

......

0 cm2 · · · cmn

y regresamos al paso (1).

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(6) Aplicando pasos (1) a (5) repetidamente obtenemos:

E = (eij) =

e11 0 · · · 00 e22 · · · e2n...

......

0 em2 · · · emn

donde e11 divide a cualquier entrada eij .

(7) Definimos d1 := e11 y se regresa al paso (1) con la matriz:e22 · · · e2n...

...em2 · · · emn

2

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Ejemplo

A = (a11, . . . ,a1n) ∼ D = (mcd{a11, . . . ,a1n},0, . . . ,0)

Ejemplo

A = (12,−5) ∼ (−5,12) ∼ (5,12) ∼ (5,2) ∼ (2,5) ∼ (2,1)∼ (1,2) ∼ (1,0) = D.

I2 =

(1 00 1

)→(

0 11 0

)→(

0 1−1 0

)→ · · · →

(−2 5−5 12

)= Q

AQ = (12,−5)

(−2 5−5 12

)= (1,0) = D

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Ejemplo

A =

(5 0 11 −2 3

)∼(

1 2 35 0 1

)∼(

1 0 05 −10 −14

)∼(

1 0 00 −10 −14

)∼(

1 0 00 10 14

)∼(

1 0 00 10 4

)∼(

1 0 00 4 10

)∼(

1 0 00 4 2

)∼(

1 0 00 2 4

)∼(

1 0 00 2 0

)= D

I2 =

(1 00 1

)→(

0 11 0

)→ · · · →

(0 1−1 5

)= P

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

→1 0 0

0 −1 00 0 1

→ · · · →1 0 −1

0 −3 70 −2 5

= Q

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Aop.elem. fila−→ B

⇒ B = EA

Inop.elem. fila−→ E

PAQ =

(0 1−1 5

)(5 0 11 −2 3

)1 0 −10 −3 70 −2 5

=

(1 0 00 2 0

)= D

CorolarioExisten matrices enteras invertibles P y Q tales que

PAQ = diag{d1, . . . ,dr ,0, . . . ,0},

di > 0 para 1 ≤ i ≤ r y di divide a di+1 para 1 ≤ i ≤ r − 1.

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Considere el sistema de ecuaciones lineales

Ax = b, (∗)

donde b = (b1, . . . ,bm)t es un vector entero y x = (x1, . . . , xn)t .

¿Como se determinan las soluciones enteras de este sistema?

Puesto que PAQ = D, el sistema Ax = b se re-escribe como

(P−1D)(Q−1x) = b ⇒ Dy = Pb, donde Q−1x = y

Por tanto para determinar las soluciones enteras del sistemaAx = b es suficiente resolver el sistema

Dy = Pb (∗∗)

y hacer x = Qy .

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EjemploDeterminar las soluciones enteras de la ecuacion

12x1 − 5x2 = 7

Este sistema se puede escribir como Ax = b, donde

A = (12, −5), x = (x1, x2)t , y b = (7)

Recordar que PAQ = D, donde

P = (1), Q =

(−2 5−5 12

), D = (1, 0).

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Dy = (1, 0)

(y1y2

)= Pb = (1)(7) = (7)

∴ y1 = 7, y2 ∈ Z. De la ecuacion

x =

(x1x2

)= Qy =

(−2 5−5 12

)(y1y2

)se obtiene que las soluciones enteras de la ecuacion lineal12x1 − 5x2 = 7 son:

x1 = −14 + 5y2

x2 = −35 + 12y2, y2 ∈ Z.

Comprobando: Si y2 = 0, se tiene

12(−14)− 5(−35) = −168 + 175 = 7.

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EjemploDeterminar las soluciones enteras del sistema

5x1 + x3 = 1x1 − 2x2 + 3x3 = −11

Este sistema se puede escribir como Ax = b, donde

A =

(5 0 11 −2 3

)y b =

(1−11

)Recordar que PAQ = D, donde

P =

(0 1−1 5

), Q =

1 0 −10 −3 70 −2 5

, D =

(1 0 00 2 0

)

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Dy =

(1 0 00 2 0

)y1y2y3

= Pb =

(0 1−1 5

)(1−11

)=

(−11−56

)

∴ y1 = −11, y2 = −28, y3 ∈ Z. De la ecuacion

x =

x1x2x3

= Qy =

1 0 −10 −3 70 −2 5

y1y2y3

se obtienen las soluciones enteras del sistema Ax = b:

x1 = −11− y3

x2 = 84 + 7y3

x3 = 56 + 5y3, y3 ∈ Z.

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∆r (A) = mcd de los r -menores de A.

Teorema (I. Heger)

Sea b ∈ Zm un vector columna tal que rango(A) = rango([A b]).Entonces, el sistema

Ax = b

tiene una solucion entera si y solo si ∆r (A) = ∆r ([A b]).

CorolarioLa ecuacion lineal Diofantina

a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1

tiene solucion entera si y solo si mcd(a11, . . . ,a1n) divide a b1.

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Teorema (Grupos abelianos finitamente generados)

Sean a1, . . . ,am las filas de A y sean d1, . . . ,dr los factoresinvariantes de A. Entonces

Zn/〈a1, . . . ,am〉 ' Z/(d1)× · · · × Z/(dr )× Zn−r

' Zd1 × · · · × Zdr × Zn−r

DefinicionSean L = 〈a1, . . . ,am〉 y M = Zn/L.La parte de torsion de M es T (M) := Zd1 × · · · × Zdr .La parte libre de M es F (M) := Zn−r .

ObservacionT (M) = (0)⇔ di = 1 para todo i ⇔ M es libre.F (M) = 0⇔ rango(M) = n⇔ T (M) = M ⇔ M es grupo finito.

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Corolario

∆r (A) = |T (Zn/L)|.

Demostracion: |T (Zn/L)| = d1 · · · dr . Por otra parte PAQ = D ycomo ∆r (A) es invariante bajo operaciones elementales,obtenemos:

∆r (A) = ∆r (PAQ) = ∆r (D) = d1 · · · dr . 2

CorolarioSi n = m y det(A) 6= 0, entonces

|Zn/L| = |det(A)|.

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TeoremaSi a1, . . . ,am son linealmente independientes, entonces

(a) m!vol(conv(0,a1, . . . ,am)) = ∆m(A).

(b) Si n = m, entonces m!vol(conv(0,a1, . . . ,am)) = |det(A)|.

(c) Zn ∩ (R+a1 + · · ·+ R+am) = Na1 + · · ·+ Nam ⇔ ∆m(A) = 1.

Ejemplo

(Comprobando (b)): Sea A la matrix identidad, i.e., a1 = (1,0) ya2 = (0,1). Entonces conv(0,a1,a2) es un triangulo rectangulo conbase y altura 1 y con area/volumen igual a 1/2.

(Ilustrando (a) y (c)) Sea A = (12,−5) = (a1). Entonces conv(0,a1)es un segmento de linea en R2 (que tiene area 0) pero por (a) tenemos1!vol(conv(0,a1)) = ∆1(A) = 1 y por (c) tenemosZ2 ∩ R+(12,−5) = N(12,−5).

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Sea S = K [t1, . . . , tn] un anillo de polinomios con coeficientesen un campo K y sea I un ideal de S.

Sea ` ∈ N, sea S≤` el K -espacio vectorial de polinomios de Sde grado ≤ ` y sea I≤` = I ∩ S≤`. La funcion

HI(`) = dimK (S≤`/I≤`)

es llamada la funcion de Hilbert de S/I. Esta funcion es centralen algebra conmutativa y en geometrıa algebraica.

TeoremaExiste un unico polinomio

hI(x) = λdxd + · · ·+ λ1x + λ0

con λi ∈ Q para todo i tal que hI(`) = HI(`) para `� 0.

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DefinicionEl entero positivo (d !)λd es el grado de S/I y d es la dimension deKrull de S/I.

Ejemplo

Sea S = Q[t1] y sea I = (0). Entonces:

Q[t1]≤i = Q⊕Qt1 ⊕ · · · ⊕Qt i1⇒ HI(i) = i + 1 ∀ i ⇒

grado(S/I) = grado(S) = 1.

Como ejercicio probar que grado(Q[t1, . . . , tn]) = 1.

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Ejemplo

Sea S = Q[t1] y sea I = (td1 + · · ·+ t1 + 1).

Denotamos las clase de t i1 en S/I por t i

1.

td1 + · · ·+ t1 + 1 = 0⇒ t i

1 ∈ Q1⊕Qt1⊕ · · ·⊕Qtd−11 para i ≥ d −1

Para i ≥ d − 1, se tiene Q[t1]≤i/I≤i = Q1⊕Qt1 ⊕ · · · ⊕Qtd−11

Por tanto dimQ(Q[t1]≤i/I≤i) = d para i ≥ d − 1⇒ grado(S/I) = d .

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Un binomio de S es un polinomio de la forma tb − tc , dondeb, c ∈ Nn, y donde, si b = (b1, . . . ,bn) ∈ Nn, definimos

tb = tb11 · · · t

bnn ∈ S.

Un ideal binomial es un ideal generado por binomios.

Dado c = (ci) ∈ Nn, podemos escribir c = c+ − c−, donde c+ yc− son vectores no-negativos.

DefinicionUn subgrupo L de Zn es llamado un lattice (enrejado). Un ideallattice es un ideal de la forma

I(L) = ({tc+ − tc− | c ∈ L}) ⊂ S

para algun lattice L ⊂ Zn.

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TeoremaSi D = kerZ(A) y v1, . . . , vn son las columnas de A, entonces

|T (Zm/〈v1, . . . , vn〉)| grado(S/I(D))

= (rango(A)!)vol(conv(0, v2 − v1, . . . , vn − v1,−v1)).

Ejemplo

Sea A =

(5 0 11 −2 3

). Las soluciones enteras del sistema Ax = 0

son de la forma y3(−1,7,5) con y3 ∈ Z⇒

D = kerZ(A) = 〈(−1,7,5)〉 y I(D) = (t1 − t72 t5

3 )

Como D = diag(1, 2), tenemos

|T (Z2/〈v1, v2, v3〉| = |Z2/〈(5,1), (0,−2), (1,3)〉| = 2.

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Usando el programa Normaliz obtenemos:

(rango(A)!)vol(conv(0, v2 − v1, . . . , vn − v1,−v1)) =

2!vol(conv((0,0), (−5,−3), (−4,2), (−5,−1))) = 24.

Por el teorema anterior obtenemos

grado(S/I(D)) = 12.

Lo cual es consistente con la nocion intuitiva de grado pues elpolinomio t1 − t7

2 t53 tiene grado 12.

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TeoremaSea L un lattice en Zn.

1 Si rango(L) = n y K = Q, entonces

grado(S/I(L)) = |Zn/L|.

2 Si rango(L) = n − 1 y c1 + · · ·+ cn = 0 para todo(c1, . . . , cn) ∈ L, entonces

grado(S/I(L)) = |T (Zn/L)|.

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FIN