aplicacion edo

Universidad de las FuerzasArmadas ESPE

Departamento de Ciencias Exactas

Ecuaciones Diferenciales y Ordinarias

Ing. Roco Vazcones

Mara Belen ArteagaIsrael Asimbaya

Carlos CaizaluisaAriana Villalba

12 de Junio del 2014

CUERDA ROTANDO.Quien de nosotros no se ha maravillado con la forma que adquiere una

cuerda para saltar cuando gira rapidamente?Ahora consideremos la forma que toma una cuerda flexible estirada firme-

mente, con la longitud L y que tiene densidad lineal constante (masa porunidad de longitud) si se le hace girar o dar vueltas (igual que una para saltar)con velocidad angular (en radianes por segundo) alrededor de su posicion deequilibrio a lo largo de ese eje x.

Considere una porcion de la cuerda en el intervalo [ x, x+ x], dondex es pequena. Si la magnitud T de la tension T que actua tangencial a lacuerda, es constante a lo largo de esta, entonces la ecuacion diferencial deseadase obtiene al igualar dos formulaciones distintas de la fuerza neta que actua enla cuerda en el intervalo [ x, x+ x].

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1 Conceptualizacion

Trabajaremos con la ecuacion diferencial de tipo:

y + y = 0

1.1 Moviemiento Libre Amortiguado

d2x

dt2+

m

dx

dt+k

mx = 0

1.2 Movimiento Armonico Simple de un Sistema Resorte-Masa

d2x

dt2+k

mx = 0

1.3 Para la respuesta armonica simple de un Circuito enSerie

d2q

dt2+

1

LCq = 0

1.4 Modelo para la deflxion de una Viga Delgada

d2y

dx2+

P

EIy = 0

2 Obtencion de la EDO

La ecuacion diferencial lineal simple de segundo orden y +y = 0 ocurre comomodelo matematico.

Supongase que 2 personas sostienen una cuerda para saltar y la hacen girarde una manera sncronizada

Una cuerda de longitud L con densidad lineal constante (masa por unidadde longitud) se estira a lo largo del eje x y se fija en x=0 y x=L

La cuerda gira respecto al eje a una velocidad angular .

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Si la magnitud T de la tension T que actua tangencial a la cuerda es constantea lo largo de la cuerda.

Fuerza vertical neta es:

F = T sen( + ) T sen T tan( + ) T tanCuando los angulos 1 y 2 son pequenos, se tiene sen2 tan2 y sen1

tan1tan2 = y(x+ x) y tan1 = y(x)Entonces la ecuacion es: F T [y (x+ x) y (x)]Segunda foma de acuerdo a la Ley de Newton:

F = ma

m = x

La aceleracion centrpeta de un cuerpo que gira con velocidad angular enun crculo de radio r es:

a = r2

r = y

F (x) y2

Igualando las ecuaciones tenemos:

T [y (x+ x) y (x)] = (x) y2

Ty (x+ x) y (x)

x+ 2y = 0

Para x cercana a cero el cociente es aproximadamente a la segunda derivada

Td2y

dx2+ 2y = 0

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