algebralineal_2012-11-09

Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Algebra Lineal

Algebra Lineal – Semana del 5 al 9 de noviembre de 2012

Bases de Espacios Vectoriales y Dimensión.

Definición: Espacio Vectorial de Dimensión Finita: Sea un espacio vectorial y una base de

. Si es un conjunto finito, se dice que el espacio vectorial es de dimensión finita. Por otro

lado, si es un conjunto infinito, se llama a un espacio vectorial de dimensión infinita.

Teorema: El conjunto de vectores del espacio vectorial es una base del

mismo, si y sólo si, todo vector se expresa de forma única como combinación lineal de los

vectores .

Teorema: Sea un espacio vectorial de dimensión finita y suponga que es

una base de . Sea un conjunto de vectores de . Si , entonces es

linealmente dependiente.

Corolario: Suponga que y son bases del espacio vectorial de dimensión finita . Entonces

. Es decir, dos bases cualesquiera de un mismo espacio vectorial poseen la

misma cantidad de vectores.

Definición: Dimensión de un Espacio Vectorial: Sea un espacio vectorial de dimensión finita.

La dimensión de , denotada se define como el número de vectores en cualquier base de

. Es decir .

Operaciones con Subespacios Vectoriales.

Definición: Conjuntos Unión, Intersección y Suma: Sean y subespacios vectoriales del

espacio vectorial . Se definen los subconjuntos:

Teorema: Sea un espacio vectorial. Sean y subespacios vectoriales de . Entonces:

i. es un subespacio vectorial de .

ii. es un subespacio vectorial de , si y sólo si .

iii. es un subespacio vectorial de .

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Espacios Vectoriales Asociados a una Matriz.

Dada la matriz:

Dados los vectores

que se obtienen a partir de las

columnas de la matriz . Y dados los vectores

que

se obtienen a partir de las filas de la matriz .

Definición: Espacio Columna de una Matriz: Se define al espacio columna de , denominado ,

como el generado por las columnas de la matriz . Es decir:

Definición: Espacio Fila de una Matriz: Se define el espacio fila o renglón de , denotado o

, como el generado por las filas o renglones de la matriz . Es decir:

Definición: Núcleo y Recorrido de una Matriz: Sea . El núcleo o kernel de , denotado

o , se define como:

El recorrido o imagen de , que se denota o , se define como:

Teorema: Sea . El núcleo de es un subespacio vectorial de , mientras que el

recorrido de es un subespacio vectorial de .

Definición: Nulidad y Rango de una Matriz: Sea . Se define la nulidad de , denotada

, como la dimensión del núcleo. Es decir:

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Se define el rango de , denotado , como la dimensión del recorrido. Es decir:

Teorema: Sea . Entonces se cumple que:

i. .

ii. .

iii. .

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Demostraciones.

A continuación demostraré algunos de los teoremas de la sección teórica de este documento

como refuerzo para entenderlos mejor.

Teorema: El conjunto de vectores del espacio vectorial es una base del

mismo, si y sólo si, todo vector se expresa de forma única como combinación lineal de los

vectores .

Este teorema nos indica lo siguiente: Se puede escribir vectores como combinación lineal de una

base del espacio vectorial, lo cual es lógico porque una base es por definición un conjunto

generador. Por ejemplo puedo escribir al vector como combinación lineal del conjunto

como

. Sin embargo, notemos que se puede

utilizar otros escalares para formar al mismo vector,

o puedo

escribirlo con otros escalares

. Según el teorema el

conjunto

no es una base de porque podemos escribir al vector

como

combinación lineal de dicho conjunto de varias maneras (distintos juegos de escalares). El

conjunto sería base de si existe un único juego de escalares o una única forma de escribir a

cualquier vector como combinación lineal del conjunto. Demostremos esto:

Demostración:

La proposición es un bicondicional, por lo que su demostración tiene dos partes.

1) Si el conjunto de vectores del espacio vectorial es una base del

mismo, entonces todo vector se expresa de forma única como combinación lineal

de los vectores .

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Sea , se va a suponer que existen dos posibles formas de escribirlo como combinación

lineal del conjunto , es decir, que existen dos juegos de escalares, y se demostrará que estos

juegos de escalares son iguales.

Por hipótesis es base de , por lo tanto existen escalares y escalares

tales que:

Y además:

Por definición de espacio vectorial, y por teorema , por lo tanto:

Podemos reemplazar al vector por su respectiva combinación lineal, y ya que ambas

combinaciones forman al mismo vector podemos utilizar la que deseemos, utilizaré una en

cada reemplazo del vector:

Ya que los vectores constituyen una base de , son por definición linealmente

independientes, entonces al estar en combinación lineal igualados al vector cero, los escalares

que los acompañan son obligatoriamente cero.

2) Si todo vector se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores

, entonces el conjunto es una base de .

Se va a suponer que , existe un único juego de escalares tales que:

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Por definición, si todo vector de se puede escribir como combinación lineal de , entonces

.

Sabemos que , y que dicho vector se lo puede escribir como combinación lineal del

conjunto utilizando los escalares:

Por hipótesis, todo vector del espacio se puede escribir como combinación lineal del

conjunto por medio de un único juego de escalares, por lo cual la única forma de escribir

al vector es la que se muestra, que indica que . Por definición,

podemos afirmar que es linealmente independiente.

Teorema: Sea un espacio vectorial de dimensión finita y suponga que es

una base de . Sea un conjunto de vectores de . Si , entonces es

linealmente dependiente.

El teorema nos indica que si tenemos una base de un espacio vectorial, y dicha base tiene

elementos, entonces cualquier conjunto con más de elementos es linealmente dependiente.

Desarrollemos la demostración:

Demostración:

Se busca probar que los vectores son linealmente dependientes, por lo que

recurriremos a la definición de dependencia lineal. Se colocarán estos vectores en una

combinación lineal igual al vector cero y se buscará que los escalares puedan tomar varios

valores para que esto se cumpla:

Por hipótesis, tenemos una base en este espacio vectorial que es y por

definición dicha base genera a todo vector del espacio incluyendo a los vectores , es

decir podemos reemplazarlos como:

Reagrupando la ecuación para que quede una combinación lineal de los elementos de la base,

tenemos:

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Por definición, los vectores son linealmente independientes y por lo tanto podemos

afirmar que los escalares que acompañan a cada vector al estar en una combinación lineal igual a

son todos obligatoriamente cero. Es decir:

Esto es un sistema lineal homogéneo de ecuaciones con incógnitas, que son los escalares

, y que pueden tener solución única (la trivial en la que todos son ) o soluciones

infinitas. Sin embargo, por hipótesis y todo sistema lineal homogéneo con más incógnitas

que ecuaciones tiene soluciones infinitas. Por lo tanto los escalares no son

obligatoriamente cero.

Corolario: Suponga que y son bases del espacio vectorial de dimensión finita . Entonces

. Es decir, dos bases cualesquiera de un mismo espacio vectorial poseen la

misma cantidad de vectores.

Los corolarios son teoremas que se basan en otros. Este es uno que se basa en el que acabo de

demostrar. Recordemos que toda proposición es equivalente a su contrarrecíproca, por lo tanto

decir que “Si un conjunto tiene más vectores que una base, entonces ese conjunto es linealmente

dependiente”, es equivalente a decir que “Si un conjunto es linealmente independiente, entonces

tiene menor o igual cantidad de vectores que una base”. Utilizaremos eso para demostrarlo:

Demostración:

Por hipótesis es base del espacio vectorial , y su cantidad de elementos es (su

cardinalidad). también es una base de y, al serlo, es por definición linealmente

independiente. Ya que es base y es linealmente independiente, se tiene que:

Ahora bien, por hipótesis es base del espacio vectorial , y su cantidad de elementos es

(su cardinalidad). también es una base de y, al serlo, es por definición linealmente

independiente. Ya que es base y es linealmente independiente, se tiene que:

La única forma de satisfacer ambas inecuaciones es que:

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Con esto queda establecido que sin importar cuantas bases obtengamos de un espacio vectorial,

todas tendrán igual cantidad de elementos, y esa cantidad de elementos que tienen todas las

posibles bases de un espacio se llamará “dimensión” del espacio vectorial.

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Problemas.

Sea y sean los subespacios:

Determine:

a. Una base para y .

b. Una base para el subespacio .

Solución:

Se construirán ambos espacios vectoriales en términos de sus condiciones, para con ello obtener

fácilmente una base de cada uno y luego intersecarlos.

Sea

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Sea

entonces

Sea

Sea

entonces

Ahora bien. Por definición, la intersección de estos espacios es:

O lo que es equivalente:

Existen condiciones redundantes y se procederá a reducirlas:

Se tiene que pero , por lo tanto . La segunda condición dice ,

pero reemplazando lo ya conocido, se tiene . Y la cuarta condición dice que

lo cual ya se había determinado. Es decir, esta es una condición

redundante. Se redefine el espacio como:

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Sea

entonces

Sea y sean los vectores:

Y sea . Determine el valor de , tal que:

a. .

b. Si , determine .

Solución:

a) El problema tiene una pequeña trampa, está propuesto de tal forma que cuando se quiera

determinar el valor de para que , por intuición uno diría “entonces del

conjunto generador, sólo hay UN vector linealmente independiente, los otros dos quedan

en función de dicho vector”, acto seguido el estudiante trata de expresar a y a

en términos de o viceversa. Puede que se encuentre la respuesta pero se obtendrán

ecuaciones complicadas donde el estudiante puede confundirse fácilmente. Lo

aconsejable es decir “Si el conjunto fuese linealmente independiente, sería una base y

, por lo tanto si me piden que sea o , me piden que el conjunto sea

linealmente dependiente”. Con esa ideología atacaremos el problema:

Dada la combinación lineal:

Se desea que los escalares no sean obligatoriamente iguales a cero.

Los vectores son linealmente independientes en , por lo cual:

He expresado el sistema lineal homogéneo de ecuaciones en notación matricial, es decir

matriz de coeficientes por vector de incógnitas igual a vector de resultados .

Recordemos que para determinar si el sistema tiene solución única o soluciones infinitas

se puede utilizar el criterio del determinante. Dicho criterio indica que si , el

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sistema tiene soluciones infinitas, mientras que si , el sistema tiene solución

única, que es la trivial. Esto sólo aplica a un sistema lineal homogéneo. Intentemos que el

sistema tenga soluciones infinitas para con ello asegurar la dependencia lineal.

La solución a esta ecuación cuadrática nos dirá los valores de para los cuales el

conjunto es linealmente dependiente, evaluando cada solución veremos con cual se

obtiene que la dimensión sea y con cual se obtiene que la dimensión sea .

Este resultado puede impactar un poco y confundir al estudiante, que al llegar a este

punto usualmente decide rendirse y no resolver el problema. Encontrémosle sentido y

lógica al resultado:

Los valores de que resuelven la ecuación son raíces complejas y conjugadas. Es decir,

no existe valor real de que resuelva la ecuación. ¿Qué decía la ecuación? Decía que el

determinante de la matriz de coeficientes del sistema es cero. Es decir, no existe valor de

que permita al determinante ser cero. ¿Qué ocurre si el determinante no es cero? El

sistema no puede tener soluciones infinitas, dicho de otra forma, tendrá solución única.

Es decir, no existe valor real de que permita al sistema tener soluciones infinitas, y para

cualquier valor real de , el sistema tendrá solución única. ¿Qué significa que el sistema

tenga solución única? La solución representa los valores que toman los escalares

, es decir que para cualquier valor real de , los escalares tomarán

únicamente el valor trivial que es cero. Finalmente esto nos dice que para cualquier valor

real de , el conjunto es linealmente independiente y, al ser por hipótesis un conjunto

generador, constituye una base de .

La respuesta finalmente sería: No existe valor real de que permita a tener dimensión

igual a o igual a .

b) En base a lo visto en el literal a), podemos afirmar que, si entonces

puesto que para todo valor real de , se cumple que .

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Formar una base para usando los vectores

.

Solución:

Nótese que si queremos formar una base de se necesita tener vectores ya que .

Es decir, necesitamos añadir un vector a este conjunto tal que el conjunto resultante genere a

todo y además sea linealmente independiente. Si nos piden utilizar esos vectores es lógico

que sean linealmente independientes entre sí pero de todos modos verifiquemos:

Por lo tanto los vectores que nos piden utilizar son linealmente independientes. Gracias a la

demostración que desarrollamos la semana pasada se puede afirmar que si encontramos un

vector

, entonces el conjunto

seguirá

siendo linealmente independiente. Para esto determinemos los vectores que pueden ser generados

por este conjunto:

Sea

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El espacio generado por los vectores que nos dan es:

Si definimos un vector

vemos que no cumple con las condiciones del espacio que

acabamos de definir. Por lo tanto

. Y esto implica que el

nuevo conjunto

es linealmente independiente. Para que sea una

base de sólo nos queda definir si todo vector de puede ser generado por este conjunto.

Sea

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Hemos reducido esta matriz a su forma escalonada y vemos que no hay forma de que quede una

fila de ceros. Es decir, no hay ninguna posible inconsistencia en el sistema de ecuaciones, lo que

indica que para cualquier combinación de valores que formen cualquier vector de ,

existirá alguna combinación de escalares que lo formen como combinación lineal

del conjunto

. Es decir

Ya que este conjunto genera a y es linealmente independiente, se concluye que el conjunto

es una base de .

Determine todos los valores de para los cuales es una base para

.

Solución:

El conjunto en cuestión tiene elementos como debería tener cualquier base de , puesto que

. Faltaría verificar si es generador y linealmente independiente. Definimos el vector

típico generado por este conjunto: Sea

. Se busca determinar si

dicho vector es también una representación de cualquier vector de .

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Deseamos que todo vector de sea generado por este conjunto, para ello necesitamos que este

sistema de ecuaciones sea siempre consistente. Para que el sistema sea siempre consistente se

necesita que no queden filas llenas de ceros. Es decir hay que evitar que

, lo que

indica que debemos evitar que

. Esta última ecuación como tal es inconsistente si

por lo que no puede tomar ese valor. Además, si o la ecuación se cumple, por lo

que debemos también evitar esos valores. Encontramos entonces que el conjunto genera a todo

para todo que no sea . Revisemos la independencia lineal del conjunto:

Nos apoyaremos en el criterio del determinante, que dice que para que el conjunto sea

linealmente independiente, el sistema de ecuaciones debe tener solución única, es decir que el

determinante de la matriz de coeficientes del sistema debe ser diferente de cero:

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El conjunto entonces es linealmente independiente para todo valor . Como

podemos notar, son los mismos valores para los cuales el conjunto es generador. Podemos

concluir que:

Califique como verdadera o falsa la proposición y justifique:

Si y . Entonces sí

es subespacio vectorial.

Solución:

Por teorema (véase sección teórica en este documento), el conjunto es un subespacio

vectorial de (en este caso de ) si y sólo si o . Por lo tanto se realizará dicha

verificación.

Sea se revisará si . Ya que es un vector típico o representativo de todos

los vectores en , esto demostrará que todos los vectores de están también en y que por lo

tanto .

Ya que entonces cumple las condiciones y

. Veamos si este vector está en

. Para esto, la condición de dice que la tercera componente del vector ( en un vector típico)

debe ser igual al doble de la primera ( en un vector típico), menos la segunda ( en un vector

típico). En el caso de nuestro vector nótese que las tres componentes son iguales y todas son .

Nos preguntan entonces si , lo cual es correcto pues llegamos a la identidad .

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Por definición de subconjunto .

Sea el espacio vectorial . Sean los subespacios de :

y

Encuentre una base y la dimensión de y de .

Solución:

Podemos notar que los vectores del conjunto generador de no son múltiplos entre sí, por lo

cual son linealmente independientes y, constituyen una base para . Sin embargo demostremos

esto formalmente y determinemos las condiciones de este espacio vectorial para con ello

encontrar más fácilmente la intersección de con .

La única manera de satisfacer este sistema es que . Por lo tanto el conjunto es

linealmente independiente, y al ser generador de , podemos afirmar que:

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Ahora bien, una base para puede determinarse a partir de un vector típico que cumpla sus

condiciones:

Sea

, entonces

Determinemos las condiciones de para con ello encontrar fácilmente la intersección de estos

subespacios:

Sea

Por lo tanto podemos escribir la intersección de estos subespacios como:

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Las condiciones de este conjunto pueden ser redundantes, las reduciré para eliminar cualquiera

que resulte ser redundante. Reemplazando la cuarta condición en la segunda, tenemos que

, es decir .

Reemplazando esto en la tercera condición:

Reemplazando aquello en la cuarta condición:

De esta forma la primera condición dice que , lo

cual ya conocíamos. Eliminamos esta condición redundante y obtenemos que:

Sea

, entonces

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Determinar la nulidad y el rango de la matriz

.

Solución:

La nulidad de la matriz es por definición la dimensión de su núcleo. Comenzaré el desarrollo del

problema encontrando el núcleo de esta matriz. Para evitar una notación complicada, llamaré a la

matriz

, de esta forma:

Observar en la sección teórica de este documento el uso de la y la en la definición de núcleo

o imagen de una matriz, dado que esta matriz es de se debe entender que y .

Sea

, entonces:

Recordar que la notación de matriz aumentada es únicamente una forma de facilitar la lectura del

sistema de ecuaciones. Esa matriz aumentada sigue representando un sistema de ecuaciones

lineal homogéneo donde cada fila es una ecuación y cada columna representa los coeficientes de

una incógnita. Volviendo a la notación matricial y enviando esto a un sistema de ecuaciones

tenemos que:

La ecuación de abajo es redundante, pues no nos proporciona información que no conozcamos.

Sin embargo la de arriba nos da una condición que deben cumplir los vectores que pertenezcan al

núcleo, despejando dicha condición, el núcleo queda definido como:

Sea

, entonces

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Por teorema, se cumple que , que es el número de columnas de la matriz. Para

este caso tenemos que:

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Preguntas frecuentes:

¿Siempre que el conjunto es linealmente dependiente?

No necesariamente, si y es la matriz de coeficientes de un sistema lineal homogéneo

de ecuaciones, entonces con seguridad podemos afirmar que dicho sistema tiene soluciones

infinitas. Sin embargo, para que esto indique que un conjunto es linealmente dependiente, el

sistema de ecuaciones debe representar adecuadamente la condición de dependencia lineal. Es

recomendable desarrollar cuidadosamente cada paso de la solución de un problema, si lo

desarrollas como he hecho en este documento entonces el sistema de ecuaciones representa muy

bien la condición de dependencia y el determinante nos dirá la respuesta.

El teorema de los espacios asociados a matrices indica que la dimensión del espacio fila y del

espacio columna es la misma. ¿El espacio fila y espacio columna de una matriz son el mismo

espacio?

No. Sólo comparten la misma dimensión, pero no son el mismo espacio. Nota por favor que la

matriz es de , es decir tiene filas y columnas. ¿Cuántas componentes tienen las filas

cuando las convertimos en vectores? Tantas como columnas haya en la matriz, es decir, las filas

van desde la primera posición hasta la -ésima posición (horizontalmente). Por lo cual el espacio

fila de una matriz es subespacio de . ¿Cuántas componentes tienen las columnas cuando las

convertimos en vectores? Tantas como filas haya en la matriz, es decir, las columnas van desde

la primera posición hasta la -ésima posición (verticalmente). Por lo cual el espacio columna de

una matriz es subespacio de , si entonces el espacio fila y el espacio columna son

subespacios de espacios vectoriales diferentes, y con mayor razón, son diferentes entre sí. Sin

embargo el teorema nos dice que tienen la misma DIMENSION.

Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Algebra Lineal

Me enseñaron a poner los vectores directamente en la matriz y reducirla. ¿Está bien?

Depende. Al trabajar con operaciones convencionales en el campo de los reales, las componentes

de los vectores terminan siendo los coeficientes del sistema de ecuaciones, por lo cual en teoría

está bien colocarlos directamente, sin embargo se debe cuidar su orientación (horizontal o

vertical) y además esto se presta a posibles confusiones. Lo más recomendable es reducir paso a

paso la ecuación vectorial, transformarla en un sistema de ecuaciones y esto pasarlo a notación

matricial. No recomiendo omitir nada en el desarrollo.

¿La dimensión de una base es igual para todas las bases?

La dimensión de una base no existe. La dimensión se define para espacios vectoriales, no para

bases y se define como la cantidad de elementos en cualquier base del espacio. Repito: LAS

BASES NO TIENEN DIMENSION, ES INCORRECTO HABLAR DE LA DIMENSION DE

UNA BASE. Respecto a la pregunta, tal como dice la definición, la dimensión de un ESPACIO

VECTORIAL, es la cantidad de elementos que contiene cualquier base del mismo y, por el

corolario del teorema que se demostró en este documento, cualquier base de un mismo espacio

vectorial tiene igual cantidad de elementos que todas las demás.

¿Si reduzco una matriz a su forma escalonada estoy demostrando que el conjunto genera al

espacio?

Depende. Para verificar eso se debe tomar un vector cualquiera generado por el conjunto en

cuestión, es decir, un vector escrito como combinación lineal de ese conjunto. Se desea verificar

si dicho vector representa a todos los posibles vectores de ese espacio. Al desarrollar la

combinación lineal se debe obtener un sistema de ecuaciones, el cual puede ser escrito en

notación matricial. Si los pasos fueron desarrollados correctamente y el sistema de ecuaciones es

representativo de la combinación lineal original, entonces cuando en la matriz NO SEA

POSIBLE obtener filas llenas de ceros, se concluye que el conjunto ES GENERADOR. Si la

matriz se la obtuvo “al ojo” y se procedió a reducirla, existe el riesgo de que la matriz no

represente al sistema de ecuaciones de esa combinación lineal y que por lo tanto reducirla no

tenga significado matemático alguno. Por otro lado, si al reducirla aparece una fila de ceros, esa

es una posible inconsistencia del sistema y se la debe evitar estableciendo una condición (lo que

indicaría que el conjunto no genera a todo el espacio).

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¿Para qué revisas una base de ese espacio vectorial si con sus condiciones puedes poner la

dimensión?

Aquello se cumple muchas veces cuando se trabaja con el campo de los números reales y con las

operaciones convencionales entre los elementos del conjunto con el que se trabaja. Sin embargo,

no es matemáticamente correcto basarse sólo en las condiciones para con ello dar un valor de la

dimensión del espacio vectorial. Sólo deberíamos ver las condiciones para proyectar (en nuestra

mente) un posible valor que tomaría la dimensión, y así darnos una idea de cómo está formulado

el problema, sin embargo la dimensión se define como el número de elementos de una base

cualquiera del espacio vectorial, por lo cual para determinarla se necesita obtener una base de

dicho espacio o aplicar algún teorema como en el caso de la nulidad y el rango de una matriz.