algebra lineal

1 Espacios Vectoriales

Problema 1.-Determinar si las siguientes expresiones son falsas o verdaderas.

a) Todo espacio vectorial contiene un vector cero.

Respuesta: Verdadera segun el axioma, existe un elemento en V llamado 0 tal que

x+ 0 = x para toda x en V .

b) Un espacio vectorial puede tener más de un vector cero.

Respuesta: Falsa ya que si existen dos elementos x; y donde ambos son ceros, dado

el axioma del vector cero dado anteriormente x = x+ y = y lo que indica que el vector

cero es unico.

c) En cualquier espacio vectorial ax = bx implica que a = b.

Respuesta: Falso ya que si x es un vector cero a puede ser diferente de b.

d) En cualquier espacio vectorial ax = ay implica que x = y.

Respuesta: Falso ya que a puede ser igual a cero.

e) Un elemento F n puede ser considerado como un elemento Mn�1 (F ).

Respuesta: Si ya que F n se puede pensar como el vector renglon de la matriz M

de n elementos.

f) Una matriz de m� n tiene m columnas y n renglones.

Respuesta: Falso ya que m son los renglones y n son las columnas.

g) En P (F ) sólo se pueden sumar polinomios del mismo grado.

Respuesta: No ya que si tienen que si tienen grados diferentes la suma seria un

polinomio del grado mayor "la suma de dos polinomios de grado diferente es un espacio

vectorial que cumple con lo aximas de espacios vectoriales

h) Si f y g son polinomios de grado n, entonces f + g es un polinomio de grado n.

Respuesta: Falso ya que las dentro de la operacion suma esta el elemento neutro

aditivo

P n (F ) + (�P n (F )) = 0

i) Si f es un polinomio de grado n y c es un escalar no nulo, entonces cf es un polinomio de

grado n.

Respuesta: Si

j) Un elemento no nulo de F puede considerarse como un elemento de P (F ) de grado 0.

Respuesta: Si debido a

0x+ 0x2 + 0x3 + :::+ 0xn = P (F )

k) Dos funciones en F (S; F ) son iguales si y sólo si toman los mismos valores en cada punto

Respuesta: Verdadero debido a la de�nición

F : F ! S

Problema 2.- Escribir el vector nulo deM3�4(F).

Respuesta:

M3�4(0) = (0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)

M3�4(0) =

0BBB@0 0 0 0

0 0 0 0

Problema 3.- Si

0@ 1 2 3

1A¿Cuáles son M13;M21 y M22?

Respuesta:

M13 = 3

M21 = 4

M22 = 5

Problema 4.- Realizar las operaciones indicadas.

a) 0@ 2 5 �3

1A+0@ 1 2 3

0@ 3 7 0

5 5 13

1Ab) 0BBB@

�6 4

3 �2

1CCCA+0BBB@7 �5

0 �3

1CCCA =

0BBB@1 �1

3 �5

1CCCAc)

0@ 2 5 �3

0@ 8 20 �12

4 0 28

0BBB@�6 4

3 �2

1CCCA =

0BBB@30 �20

�15 10

�5 �40

Problema 5.- Richard Gard (Efectos de los castores en las truchas en Sagehen Creek, Cali-

fornia. J. Wildlife Management, 25, 221-242) reporta el siguiente número

de truchas que atravesaron las represas de castores en Sagehen Creek:

Cruces a contracorriente

Otoño Primavera Verano

Trucha de arroyo 8 3 1

Trucha arcoiris 3 0 0

Trucha café 3 0 0

Cruces a favor de la corriente

Trucha café 1 1 0

Registrar los cruces a contracorriente y a favor de la corriente como datos en dos matrices de

3� 3 y veri�car que la suma de las dos matrices da .el número total de cruces (a contracorriente

y a favor) categorizada por especie de trucha y por estación.

Respuesta.- 0BBB@8 3 1

1CCCA+0BBB@9 1 4

1CCCA =

0BBB@17 4 5

1CCCAPor lo que el total de cruces quedaria como

Cruces totales de las truchas

Trucha café 4 1 0

Problema 6.- Al �nal de mayo, un almacén de muebles tenía el siguiente inventario

Americano tradicional Español Mediterráneo Danés

Conjunto de sala 4 2 1 3

Conjunto de alcoba 5 1 1 4

Conjunto de comedor 3 1 2 6

Registrar estos datos como una matriz M3�4. Con el �n de prepararse para su venta de junio,

el almacen decidió duplicar su inventario de cada uno de los rubros anteriores. Suponiendo que

nada de la mercancía en inventario se vende hasta que los pedidos de muebles adicionales lleguen,

se veri�ca que el inventario disponible después de recibir el pedido estara dado por la matriz 2M .

Si el inventario al �nal de junio queda dado por la matriz

0BBB@5 3 1 2

6 2 1 5

1 0 3 3

1CCCAinterpretar 2M � A. ¿Cuántos conjuntos se vendieron durante la venta de junio?

Respuesta: la matriz de representación es

0BBB@4 2 1 3

5 1 1 4

3 1 2 6

1CCCAla cual al multiplicarle en escalar c = 2 quedaria

cM = 2

0BBB@4 2 1 3

5 1 1 4

3 1 2 6

1CCCA =

0BBB@8 4 2 6

10 2 2 8

6 2 4 12

por lo que

2M � A = 2

0BBB@4 2 1 3

5 1 1 4

3 1 2 6

1CCCA�0BBB@5 3 1 2

6 2 1 5

1 0 3 3

2M � A =

0BBB@8 4 2 6

10 2 2 8

6 2 4 12

1CCCA�0BBB@5 3 1 2

6 2 1 5

1 0 3 3

2M � A =

0BBB@3 1 1 4

4 0 1 3

5 2 1 9

1CCCAla matriz 2M � A es el inventario de ventas

Americano tradicional Español Mediterráneo Danés

Conjunto de sala 3 1 1 4

Conjunto de alcoba 4 0 1 3

Conjunto de comedor 5 2 1 9

por lo que las ventas fueron de 34 conjuntos

Problema 7.- Sea S = f0; 1g y F = R, el campo de los números reales. En F(S;F), demostrar

que f = g y f + g = h donde f(x) = 2x+ 1, g(x) = 1 + 4x� 2x2 y h(x) = 5x + 1.

Respuesta: Si

S = f0; 1g

entonces

f(x) = 2x+ 1 g(x) = 1 + 4x� 2x2 h(x) = 5x + 1

Mostramos que

para x = 0

f(x) = 2x+ 1 g(x) = 1 + 4x� 2x2

f(0) = 2 (0) + 1 g(0) = 1 + 4 (0)� 2 (0)2

f(0) = 1 g(0) = 1

para x = 1

f(x) = 2x+ 1 g(x) = 1 + 4x� 2x2

f(1) = 2 (1) + 1 g(1) = 1 + 4 (1)� 2 (1)2

f(1) = 2 + 1 g(1) = 1 + 4� 2 (1)

f(1) = 3 g(1) = 3

f(0) = g (0)

f(1) = g (1)

se concluye que

mostramos que

f + g = h

f(x) + g(x) = h (x)

(2x+ 1) +�1 + 4x� 2x2

�= 5x + 1

2x+ 1 + 1 + 4x� 2x2 = 5x + 1

6x� 2x2 + 2 = 5x + 1

para x = 0 la igualdad queda

6 (0)� 2 (0)2 + 2 = 5(0) + 1

para x = 1 la igualdad queda

6 (1)� 2 (1)2 + 2 = 5(1) + 1

por lo tanto se demuestra que para el conjunto dado se cumple la igualdad de funciones.

Problema 8.- Demostrar que en cualquier espacio vectorial V , (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by

para toda x; y 2 V y cualquier a; b 2 F.

Respuesta: Tenemos que:

(a+ b)(x+ y) = ax+ ay + bx+ by

por condición 7 se tiene que

a (x+ y) + b (x+ y) = (a+ b) (x+ y)

y a su ves por la condición 1 y 8

ax+ bx+ ay + by = a (x+ y) + b (x+ y) = (a+ b) (x+ y)

a; b 2 F) (a+ b) 2 F

x; y 2 V ) (x+ y) 2 V

por lo que

(a+ b) (x+ y)

de�ne la multiplicación por un escalar en un espacio vectorial.

Problema 9.- Demostrar los Corolarios 1 y 2 del Teorema 1.1 y el Teorema 1 .2 ( c).

Teorema 1.1.- (Ley de cancelación de la suma vectorial) Si ~x, ~y, y ~z son elementos de un

espacio vectorial V tal que ~x+ ~z = ~y + ~z, entonces ~x = ~y.

Demostración.- Por la condición 4

9~v 2 V : ~z + ~v = 0

por la condición 3

~x = ~x+ 0

~x+ 0 = ~x+ (~z + ~v)

bajo la condición 2

~x+ (~z + ~v) = (~x+ ~z) + ~v

(~x+ ~z) + ~v = (~y + ~z) + ~v

de nuevo por la condición 2

(~y + ~z) + ~v = ~y + (~z + ~v)

entonces

~y + (~z + ~v) = ~y + 0

por lo que bajo la condición 3

~y + 0 = ~y

por conclusión

~x = ~y

Corolario 1 El vector 0 descrito en 3 de la de�nición de espacio vectorial es único.

Demostración.- Para dos vectores cero 01 y 02 por el teorema 1.1 tenemos que

01 + ~x = ~x

~x = ~x+ 02

sustituyendo tenemos que

01 + ~x = ~x+ 02

se puede cancelar ~x lo que implica que

01 = 02

Corolario 2 El vector ~y descrito en condici�on 4 de la de�nición de espacio vectorial es único.

Demostración.- Para dos vectores inversos ~y1 y ~y2 por el teorema 1.1 tenemos que

~x+ ~y1 = 0

0 = ~x+ ~y2

sustituyendo tenemos

~x+ ~y1 = ~x+ ~y2

se puede cancelar ~x lo que implica que

~y1 = ~y2

Teorema 1.2.- En cualquier espacio vectorial V , son verdaderos los siguientes enunciados:

a) 0~x = 0 para toda ~x 2 V .

b) (�a)~x = �(a~x) para toda a 2 F y toda ~x 2 V .

c) a0 = 0 para toda a 2 F .

Demostración

a) Partimos de

0~x = 0

entonces

0~x+ 0~x = 0

tendriamos que

0~x+ 0~x = 0~x

si tenemos que por condición 8

0~x+ 0~x = (0 + 0) ~x

entonces

(0 + 0) ~x = 0~x

pero por condición 3

0~x = 0 + 0~x

por lo tanto

0~x+ 0~x = 0 + 0~x

lo que implica que

0~x = 0

b) El elemento � (a~x) es el unico elemento de V tal que

a~x+ [� (a~x)] = 0

lo que implicaria que

a~x+ [(�1) (a) ~x] = 0

si quitamos corchete y multiplicamos los escalares (�1) y (a) obtenemos

a~x+ (�a) ~x = 0;

el corolario 2 implicaria que

(�a) ~x = � (a~x) :

Pero por condición 8

a~x+ (�a) ~x = [a+ (�a)] ~x

por lo que

[a+ (�a)] ~x = 0~x

pero segun a)

0~x = 0

por lo tanto

(�a)~x = �(a~x)

c) Si tenemos

0a+ 1a = (0 + 1) a

entonces

(0 + 1) a = 1a

pero por condición 3

1a = 0 + 1a

por lo que

0a+ 1a = 0 + 1a

por despeje

a0 = 0:

Problema 10.- Sea V el conjunto de todas las funciones diferenciales de valores reales de�nidas

sobre la recta de los reales. Demostrar que V es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma

y multiplicación por escalares de�nidas en el ejemplo 3. (Hecho por Javier)

Respuesta.- (Hecho por Javier): Debe V cumplir las condiciones siguientes

f8~x; ~y 2 V ;9~v : ~v = (~x+ ~y) 2 V g

Sea f y g un par de funciones diferenciables

(f + g) (s) = f (s) + g (s)

otra función diferenciable

tambien se cumple

f8a 2 F;9~v : ~v = a~x 2 V g

sea f una función diferenciable y a un escala perteneciente al campo F se tiene que

[af ] (s) = a [f (s)]

que es una función diferenciable, si por otro lado g = 0 se tiene que

(f + 0) (s) = f (s) + 0 = f (s)

que es una función diferenciable, al cumplirse estos tres axioman puede considerarse V

como un espacio vectorial.

Problema 11.- Sea V = f0g que conste de un único vector 0 y defínase 0 + 0 = 0 y c0 = 0

para cada c de F . Demostrar que V es un espacio vectorial sobre F (V se llama espacio vectorial

cero).

Respuesta: El espacio vectorial cero cumple con los 10 axiomas por lo que todas

las condiciones son faciles de veri�car ya que es solamente un elemento.

Problema 12.- Una función de valor real de�nida sobre la recta de los reales se llama función

par si f(�x) = f(x) para todo número real x. Demostrar que el conjunto de las funciones par

de�nidas en la recta de los reales, con las operaciones de suma y multiplicación por escalares

de�nidas en el ejemplo 3, es un espacio vectorial.

Respuesta.- (Hecho por Javier)

Problema 13.- Sea V el conjunto de pares ordenados de números reales. Si (a1; a2) y (b1; b2)

son elementos de V y c es un elemento de F, se de�nen

(a1; a2) + (b1; b2) = (a1 + b1; a2b2)

c (a1; a2) = (ca1; a2)

¿Es V un espacio vectorial bajo esas operaciones?

Respuesta.- Bajo la condición

0 (a1; a2) = (0; a2)

lo que indica que el vector cero no es unico (ya que a2 es un vector arbitrario que puede

ser cero) lo que es una contradicción ya que el vector cero es unico.

Problema 14.- Sea V = f(a1; :::; an) : ai 2 C para i = 1; 2; :::; ng. ¿Es V un espacio vecto-

rial sobre el campo de los números complejos bajo las operaciones de suma y multiplicación con

correspondencia de elementos?

Respuesta.- Veri�camos que se cumplen todas las condiciones cuando existe un

elemento escalar de un campo donde fc 2 F : F � Rg tenemos entonces que

ai + aj 2 V � C

c (ai) 2 V � C

ya que

R � C

Problema 15.- Sea V = f(a1; :::; an) : ai 2 R para i = 1; 2; :::; ng. ¿Es V un espacio vecto-

rial sobre el campo de los números complejos bajo las operaciones de suma y multiplicación con

correspondencia de elementos?

Problema 16.- Sea V = f(a1; a2 : a1;a2 2 R)g. Para (a1; a2), (b1; b2) 2 V y c 2 R, de�nase

(a1; a2) + (b1; b2) = (a1 + b1; a2 + b2)

c (a1; a2) =

�(0; 0) si c = 0�ca1;

�si c 6= 0

¿Es V un espacio vectorial bajo estas operaciones? justi�que su respuesta.

Respuesta: Sea la operación de�nida bajo el axioma 8

(c+ d) (a1; a2) =

�(c+ d) a1;

a2c+ d

�segun esta de�nida la operación pero

(c+ d) (a1; a2) = c (a1; a2) + d (a1; a2)

la cual bajo la de�nición del producto quedaria como

(c+ d) (a1; a2) =�ca1;

�+�da1;

�usando la suma de�nida anteriormente�

ca1;a2c

�+�da1;

�=�ca1 + da1;

a2c+a2d

�como �

(c+ d) a1;a2c+ d

�6=�ca1 + da1;

a2c+a2d

�V no es un espacio vectorial al no cumplir la cerradura con el axioma 8.

Problema 17.-Sea V = f(a1; a2 : a1;a2 2 C)g. Para (a1; a2), (b1; b2) 2 V y c 2 C, de�nase

(a1; a2) + (b1; b2) = (a1 + 2b1; a2 + 3b2)

c (a1; a2) = (ca1; ca2)

¿Es V un espacio vectorial bajo estas operaciones?

Problema 18.- Sea V = f(a1; a2) : a1; a2 2 Fg, donde F es un campo arbitrario. De�nase la

suma de los elementos de V elemento a elemento, y para c 2 F y (a1; a2) 2 V , de�nase

c(a1; a2) = (a1; 0)

¿Es V un espacio vectorial bajo estas operaciones?

Respuesta.- Tenemos que 0(a1; a2) = (a1; 0) es el vector cero, pero esto hará que

el vector cero no sea único, (ya que a2 es un vector arbitrario que puede ser cero) por

lo tanto V no puede ser un espacio vectorial.

2 Sub-Espacios Vectoriales

Problema 1.- Decir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.

a) Si V es un espacio vectorial y W es subconjunto de V que es también un espacio vectorial,

entonces W es un subespacio de V .

Respuesta.- No. Se debe asegurar que el campo y las operaciones de V y W son

las mismas, por ejemplo, V = R y W = Q respectivamente. Entonces W es un espacio

vectorial sobre Q, pero no un espacio sobre R y por lo tanto no un subespacio de V .

b) El conjunto vacío es un subespacio de todo espacio vectorial.

Respuesta.- Para que exista un subespacio se debe de contener el cero, el vacio no

contiene ningun elemento por lo que no es un subespacio vectorial

c) Si V es un espacio vectorial distinto del espacio vectorial cero f0g, entonces V contiene un

subespacio W tal que W 6= V .

Respuesta.- Es posible elegir W = 0 por lo que no seria un subespacio vectorial

al ser W = V

d) La suma de dos subconjuntos cualesquiera de V es un subespacio de V .

Respuesta.- Si V = R

e) Una matriz diagonal n� n no puede tener más de n términos no nulos.

Respuesta.- Verdadero ya que puede ser la matriz

Mn�n =

0BBBBBBBBBBBB@

1 0 � � � 0

0 1 � � � 0

� � �

0 0 � � � n

1CCCCCCCCCCCCAes decir la matriz con 1 en la diagonal y ceros en las otras entradas

f) La traza de una matriz cuadrada es el producto de sus términos que se encuentran sobre la

diagonal.

Respuesta.- Falso

tr (A) =Xi;j

aij para i = j

es decir es la suma de sus terminos.

Problema 2.-

Problema 3.- Demostrar que (aA+ bB)t = aAt + bBt para toda A;B 2 Mm�n (F) y toda

a; b 2 F.

Respuesta.-

Tenemos que

M = aA+ bB

N = aAt + bBt

Entonce tenemos que

Mij = aAij + bBij = Nji

por lo tanto

M t = N

El elemento aji de la matriz original A se convertirá en el elemento aij de la matriz

transpuesta At.

Problema 4.- Demostrar que (At)t = A para toda A;B 2Mm�n (F).

(Aij)t = Aji

(Aji)t = Aij

entonces �(Aij)

t�t = Aij

Problema 5.- Demostrar que A+ At es simétrica para cualquier matriz cuadrada A.

Problema 6.- Demostrar que tr(aA+ bB) = atr(A) + btr(B) para toda A;B 2Mm�n (F).

Problema 7.- Demostrar que las matrices diagonales son matrices simétricas.

Problema 8*.- Veri�car que los siguientes conjuntos son subespacios deR3 bajo las operaciones

de suma y multiplicación por escalares de�nidas en R3.

a) W1 = f(a1; a2; a3) 2 R3 : a1 = 3a2 y a3 = �a2g.

R.- Veremos si cumple con el Teorema 1.3

Teorema 1.3.- Sea V un espacio vectorial y W un subcojunto de V . Entonces, W

es un subespacio de V si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

[Condición 1] 0 2 W1

Veremos si se cumple cuando

a1 = 3a2 y a3 = �a2

a2 = 0

tenemos que

a1 = 3 (0) = 0 y a3 = � (0) = 0

por lo tanto existe el vector cero

(0; 0; 0)

por lo tanto cumple con la primera condición

[Condición 2] Si a+ b 2 W1 siempre que a 2 W1 y b 2 W1

b = (b1; b2; b3) = (3b2; b2;�b2)

a = (a1; a2; a3) = (3a2; a2;�a2)

a+ b = [3a2 + 3b2; a2 + b2; (�a2) + (�b2)]

por lo que

a+ b = [3 (a2 + b2) ; a2 + b2;� (a2 + b2)]

cumple con la segunda condición.

[Condición 3] �a 2 W1 siempre que � 2 R y a 2 W1.

a = (a1; a2; a3) = (3a2; a2;�a2)

�a = � (3a2; a2;�a2)

�a = (3�a2; �a2;��a2)

�a = [3 (�a2) ; �a2;� (�a2)]

por lo que se cumple la tercera condición del teorema.

) W1 es un subespacio de R3

b) W1 = f(a1; a2; a3) 2 R3 : 2a1 + a2 + 5a3 = 0g.

a1 = 3a2 y a3 = �a2

a2 = 0

tenemos que

a1 = 3 (0) = 0 y a3 = � (0) = 0

(0; 0; 0)

b = (b1; b2; b3) = (3b2; b2;�b2)

a = (a1; a2; a3) = (3a2; a2;�a2)

a+ b = [3a2 + 3b2; a2 + b2; (�a2) + (�b2)]

por lo que

a+ b = [3 (a2 + b2) ; a2 + b2;� (a2 + b2)]

a = (a1; a2; a3) = (3a2; a2;�a2)

�a = � (3a2; a2;�a2)

�a = (3�a2; �a2;��a2)

�a = [3 (�a2) ; �a2;� (�a2)]

c) W1 = f(a1; a2; a3) 2 R3 : a1 � 4a2 � a3 = 0g.

a1 = 3a2 y a3 = �a2

a2 = 0

tenemos que

a1 = 3 (0) = 0 y a3 = � (0) = 0

(0; 0; 0)

b = (b1; b2; b3) = (3b2; b2;�b2)

a = (a1; a2; a3) = (3a2; a2;�a2)

a+ b = [3a2 + 3b2; a2 + b2; (�a2) + (�b2)]

por lo que

a+ b = [3 (a2 + b2) ; a2 + b2;� (a2 + b2)]

a = (a1; a2; a3) = (3a2; a2;�a2)

�a = � (3a2; a2;�a2)

�a = (3�a2; �a2;��a2)

�a = [3 (�a2) ; �a2;� (�a2)]

Problema 9.- Sean W1, W2, y W3 como en el ejercicio 8. Describir W1 \ W2, W2 \ W3, y

W1 \W3 y obsérvese que cada una es subespacio de R3.

Problema 10.-

Problema 11.-

Problema 12 .- Respuesta.- (Hecho por Javier)

Problema 13*.- Veri�car que para cualquier s0 2 S, W = ff 2 F (S;F) : f (s0) = 0g es un

subespacio vectorial de F (S;F).

Respuesta: Por teorema 1.3 Sea V un espacio vectorial y W un subcojunto de

V . Entonces, W es un subespacio de V si y sólo si se satisfacen las tres condiciones

siguientes:

Condición 1: 0 2 W

f (s0) = 0

trivialmente se veri�ca.

Condición 2: veri�camos que f1 + f2 2 W siempre que f1 2 W e f2 2 W

f1; f2 2 W

si se cumple que

f8f1; f2 2 W � F (S;F) ;9f1; f2 : f1 (s0) = 0 y f2 (s0) = 0g

Tenemos que

(f1 + f2) (s0) = f1 (s0) + f2 (s0)

f1 (s0) = 0

f2 (s0) = 0

por lo que

f1 (s0) + f2 (s0) = 0 + 0 = 0

por condición 1

Condición 3.- cf 2 W siempre que c 2 F y f 2 W

Al ser c un elemento arbotrario del cuerpo F podemos veri�car

cf = 0

f8c : c = 0g

por condición 1

y al cumplirse las tres condiciónes

W es un subespacio vectorial de F (S;F)

Problema 14 Respuesta.- (Hecho por Javier)

Problema 15

Problema 16*.-Demostrar que un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio

de V si y sólo si W 6= f;g y a~x 2 W y ~x+ ~y 2 W siempre que a 2 F y ~x; ~y 2 W .

Respuesta: Un subconjuntoW de V es un subespacio de V si y sólo si las siguientes

cuatro condiciones se satisfacen:

i) ~x + ~y 2 W siempre y cuando ~x 2 W y ~y 2 W (se de�ne en el resultado y es la

condición b).

ii) a~x 2 W siempre que a 2 F y ~x 2 W (condición c).

iii) El vector cero de V pertenece a W (condición a)

iv) El inverso aditivo de cada elemento de W pertenece a W .

Por el Teorema 1.3.- Sea V un espacio vectorial y W un subcojunto de V . En-

tonces,W es un subespacio de V si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

a) 0 2 W .

b) ~x+ ~y 2 W siempre que ~x 2 W e ~y 2 Wa

c) a~x 2 W siempre que a 2 F y ~x 2 W .

Veri�camos si se cumple las condiciones del Teorema:

Supongamos que

W = f;g

esto entra en contradicción con la primera condición a) del teorema ya que el 0 es un

elemento de W y por lo tanto ya no es vacio y se cumple la primera condición.

Las condiciónes b) y c) se veri�can ya que existe un elemento 00 2 W tal que

~x+00 = ~x para todo ~x 2 W . Pero tambien ~x+0 = ~x y por tanto 00 = 0 por el teorema

1.1 luego entonces se satisface la condición a).

Problema 17*.-Demostrar que un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio

de V si y sólo si 0 2 W y a~x+ ~y 2 W siempre que a 2 F y x; y 2 W .

Respuesta.- (Hecho por Javier) Podemos comparar las condiciones aquí con

las condiciones establecidas en el Teorema 1.3.

Primero sea W un subespacio. Tenemos a~x estará contenida en W y también lo

estara a~x+ ~y si x e y son elementos de W .

Segundo sea W es un subconjunto que satisface estas condiciones al escoger a = 1

o y = 0 obtenemos las condiciones del teorema 1.3.

Problema 18.- Sea W1 y W2 subespacios de un espacio vectorial V . Demostrar que W1 [W2

es un subespacio de V si y sólo si W1 � W2 o W2 � W1.

Problema 19*.- Sean F1 y F2 campos. Una función g 2 F(F1;F2) se llama función par si

g(�x) = g(x) para toda x 2 F1 y se llama función impar si g(�x) = �g(x) para toda x 2 F1.

Demostrar que el conjunto de todas las funciones pares de F(F1;F2) y el conjunto de todas las

funciones impares en F(F1;F2) son subespacios de F(F1;F2).

Problema 20*.- Mostrar que F n es la suma directa de los subespacios

W1 = f(a1; : : : ; an) 2 F n : an = 0g

W1 = f(a1; : : : ; an) 2 F n : a1 = : : : = an�1 = 0g

Problema 21.-

Problema 22.-

Problema 23.- Sea V el espacio vectorial formado por todas las matrices triangulares superi-

ores n�n (como se de�nieron en el ejercicio 12), y sea W1 el subespacio de V formado de todas la

matrices diagonales. Demostrar que V = W1 �W2, donde W2 = fA 2 V : Aij = 0 cuando i < jg.

Problema 24.- Respuesta.- (Hecho por Javier)

Problema 25*.-Una matriz se llama antisimétrica si M t = �M . Evidentemente una matriz

antisimétrica es cuadrada. Demostrar que el conjunto de todas las matrices antisimétricas de n�n

es un subespacio W1 de Mn�n(R). Sea W2 el subespacio de Mn�n(R) consiste de las matrices

simétricas de n� n. Demostrar que

Mn�n(R) =W1 �W2

Problema 26*.- Sea W1 = fA 2 Mn�n(F) : Aij = 0 cuando i � jg y sea W2 el conjunto

de matrices simétricas de n � n. W1 y W2 son ambos subespacios de Mn�n(F). Demostrar que

Mn�n(F) =W1 �W2. Compárense los ejercicios 25 y 26.

Problema 27.- Demostrar el corolario del Teorema 1.5.

Problema 28.- Completar la demostración del teorema 1.6

Problema 29*.- Sea W un subespacio de un espacio vectorial V sobre un campo F. Para

toda v 2 V el conjunto fvg+W = fv+w : w 2 Wg se llama co-conjunto de W que contiene a v.

Es frecuente expresar este co-conjunto como v +W en vez de fvg+W . Demostrar lo siguiente:

1. a) v +W es un subespacio de V si y sólo si v 2 W .

Respuesta: Partimos del supuesto que

v +W es un subespacio

v + w = v

por lo que

v + w 2 v +W

v � w 2 v +W

(v + w) + (v � w) 2 v +W

2v = v + v 2 v +W

Hipotesis : v +W es un subespacio.

Si v 2 W =) v +W es un subespacio para demostrar

Tecnica

Si y solo si

A � B ^B � A

v +W = W (v 2 W )

W � v +W

w 2 W P.D w 2 v +W

w = v + (w � v) 2 v +W

(w � v) 2 W

1. b) v1 +W = v2 +W si y sólo si v1 � v2 2 W .

La suma y el producto por elementos de F puede de�nirse en el conjunto S = fv+W :

v 2 Wg de todos los co.conjuntos de W como sigue:

(v1 +W ) + (v2 +W ) = (v1 + v2) +W

para toda v1; v2 2 V y

a(v +W ) = av +W

para toda v 2 V y a 2 F.

Respuesta:

v1 +W = v2 +W| {z }Hipotesis

=) v1 � v2 2 W

v1 +W = fv1 + w : w 2 Wg

v2 +W = fv2 + w : w 2 Wg

v1 + w 2 v1 +W = v2 +W| {z }Hipotesis

existe

w2 : v1 + w = v2 + w2

v1 � v2 = v2 + w2

v1 � v2 = w2 � w 2 W

SiHipotesisz }| {

v1 � v2 2 W =) v1 +W = v2 +W

probemos que

v1 +W � v2 +W

v1 + w 2 v1 +W

pódemos demostrar

v1 + w 2 v2 +W

v1 + w = v2 + (v1 + w � v2)

= v2 + (v1 � v2 + w) 2 v2 +W

probemos ahora que

v2 +W � v1 +W

v2 + w 2 v2 +W

v2 + w 2 v1 +W

v2 + w = v1 + (v2 � v1 + w) 2 v1 +W

c) Demostrar que las operaciones anteriores están bien de�nidas; es decir, mostrar que si v1+W =

v01 +W y v2 +W = v02 +W , entonces

(v1 +W ) + (v2 +W ) = (v01 +W ) + (v

02 +W )

1. (a) y

a(v1 +W ) = a(v01 +W )

para toda a 2 F.

d) Demostrar que el conjunto S es un espacio vectorial bajo las operaciones de�nidas anterior-

mente. Este espacio vectorial se llama espacio cociente de V módulo W y se expresa mediante

3 Combinaciones Lineales

Problema 4.- Para cada uno de los siguientes grupos de polinomios en P3 (R), determine si el

primer polinomio puede o no ser expresado como una combinación lineal de los otros dos:

a) x3 � 3x+ 5; x3 + 2x2 � x+ 1; x3 + 3x2 � 1

0BBBBBB@x3

1CCCCCCA+ b0BBBBBB@x3

1CCCCCCA =

0BBBBBB@x3

1CCCCCCA0BBBBBB@ax3

1CCCCCCA+0BBBBBB@bx3

1CCCCCCA =

0BBBBBB@x3

1CCCCCCA(a+ b)x3 = x3

(2a+ 3b)x2 = 0

�ax = �3x

a� b = 5

a+ b = 1

2a+ 3b = 0

�a = �3

a� b = 5

por lo que

b = �2

a+ b = 1! 3 + (�2) = 1

2a+ 3b = 0! 6� 6 = 0

�a = �3! � (3) = �3

a� b = 5! a� b = 5

si es una combinación lineal

b) 4x3 + 2x2 � 6; x3 � 2x2 + 4x+ 1; 3x3 � 6x2 + x+ 4

0BBBBBB@1

1CCCCCCA+ b0BBBBBB@3

1CCCCCCA =

0BBBBBB@4

1CCCCCCAa+ 3b = 4

�2a� 6b = 2

4a+ b = 0

a+ 4b = �6

para que 4a+ b = 0 tanto a como b deben ser igual a 0. No se cumplen las desigualdades

c) �2x3 � 11x2 + 3x+ 2; x3 � 2x2 + 3x� 1; 2x3 + x2 + 3x� 20BBBBBB@�2

1CCCCCCA = a

0BBBBBB@1

1CCCCCCA+ b0BBBBBB@2

1CCCCCCAa+ 2b = �2

�2a+ b = �11

3a+ 3b = 3

�a� 2b = 2

no puede ser expresado como una combinacion lineal ya que no se cumplen las igualdades.

d) x3 + x2 + 2x+ 13; 2x3 � 3x2 + 4x+ 1; x3 � x2 + 2x+ 3

e) x3 � 8x2 + 4x; x3 � 2x2 + 3x� 1; x3 � 2x+ 3

f) 6x3 � 3x2 + x+ 2; x3 � x2 + 2x+ 3; 2x3 + x2 � 3x+ 1

Problema 5.- En Fn sea ej el vector cuya coordenada j-ésima es 1 y cuyas otras coordenadas

son 0. Demostrar que fe1; e2; :::; eng genera a Fn.

Demostración:

Sea el vector

(x1; x2; :::; xn) 2 Fn

podemos generar a

(x1; x2; :::; xn)

de la siguiente forma

(x1; x2; :::; xn) = x1~e1 + x2~e2 + :::+ xn~en

~e1 = (1; 0; :::::)

~e2 = (0; 1; :::::)

~en = (0; 0; :::; 1)

vemos entonces que el conjunto de vectores

f~e1; ~e2; :::; ~eng

genera cualquier vector

(x1; x2; :::; xn)

que pertenecen a

f~e1; ~e2; :::; ~eng es conocida como la base canonica.

Problema 6.- Mostrar que Pn (F) puede generarse por f1; x; x2; :::; xng.

Se demuestra a travez de la base canonica

1 (1; 0; :::) + x (0; 1; :::) + x2 (0; 0; 1; :::) + :::+ xn (0; :::::; 0; 1) =�1; x; x2; :::; xn

�Sea el vector �

1; x; x2; :::; xn�2 Pn (F)

podemos generar a

(x1; x2; :::; xn)

de la siguiente forma

(x1; x2; :::; xn) = x1~e1 + x2~e2 + :::+ xn~en

~e1 = (1; 0; :::::)

~e2 = (0; 1; :::::)

~en = (0; 0; :::; 1)

vemos entonces que el conjunto de vectores

f~e1; ~e2; :::; ~eng

genera cualquier vector

(x1; x2; :::; xn)

Problema 7.- Mostrar que las matrices0@1 0

1A ;0@0 1

1A ;0@0 0

1Ageneran a M2�2 (F)

Generalizamos la respuesta de la siguiente forma0@a b

1A = a

1A+ b0@0 1

1A+ c0@0 0

1A+ d0@0 0

1A0@a b

1A+0@0 b

1A+0@0 0

1A0@a b

1A8a; b; c; d 2 F

Problema 8.-

Problema 9.- Para cualquier elemento x en un espacio vectorial, demostrar que L (fxg) =

fax : a 2 Fg. Interpretar este resultado geométricamente en R3.

4 Dependencia e Independencia Lineal

Problema 1.- Determinar si las siguientes expresiones son falsas o verdaderas.

a) Si S es un conjunto linealmente dependiente, cada elemento de S es una combinación lineal

de otros elementos de S.

b)Cualquier conjunto que contenga al vector cero es linealmente dependiente

c) El conjunto vacío es linealmente dependiente.

d) Subconjuntos de conjuntos linealmente dependientes son linealmente dependientes.

e) Subconjuntos de conjuntos linealmente independientes son linealmente independientes.

f) Si x1; x2; :::; xn son linealmente independientes y a1x1 + a2x2 + ::: + anxn = 0, todos los

escalares ai son iguales a cero.

Problema 6.- Demostrar que fx; yg es linealmente dependiente si y sólo si x o y es un múltiplo

del otro.

Problema 11.- Sea S = fx1; x2; :::; xng un conjunto �nito de vectores. Demostrar que S es

linealmente dependiente si y sólo si x1 = 0, o xk+1 2 L (fx1; x2; :::; xkg) para alguna k < n.

5 Bases y Dimensión

Problema 2.- Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son bases para R3.

(a) f(1; 0;�1); (2; 5; 1); (0;�4; 3)g

(b) f(2;�4; 1); (0; 3;�1); (6; 0;�1)g

(e) f(1; 2;�1); (1; 0; 2); (2; 1; 1)g

(d) f(�1; 3; 1); (2;�4;�3); (�3; 8; 2)g

(e) f(1;�3;�2); (�3; 1; 3); (�2;�10;�2)g

Problema 7.- Los vectores x1 = f2;�3; 1), x2 = (1; 4;�2), x3 = (�8; 12;�4), x4 = (1; 37;�17),

y x5 = (�3;�5; 8) generan a R3. Encontrar un subconjunto de fx1; x2; x3; x4; x5g que sea una base

para R3.

Problema 12.- Sean W1 y W2 subespacios de un espacio vectorial V de dimensiones m y n,

respectivamente, donde m � n. Demostrar que dim(W1\W2) � n y dim(W1+W2) � m+n. Dar

ejemplos de subespacios de R3 donde cada desigualdad se convierta en igualdad.

Problema 17.- El conjunto de todas las matrices de n � n cuya traza es igual a cero es un

subespacioW deMn�n(F ). (Ver Ejemplo 1.1.) Encontrar una base paraW . ¿Cuál es la dimensión

Problema 22.- Sea W un subespacio de un espacio vectorial dimensionalmente �nito V .

Determinar la dimensión del espacio vectorial V=W , el espacio cociente de V módulo de W .

6 Transformaciones Lineales Espacios Nulos y Rangos

Problema 1.- Decir si las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas. De aquí en adelante, V

y W son espacios vectoriales dimensionalmente �nitos (sobre F ) y T es una función de V en W .

a) Si T es lineal, entonces T conserva las sumas y productos por escalalares.

b) Si T (x+ y) = T (x) + T (y) entonces T es lineal.

c) Tes uno- a-uno si y sólo si N(T ) = f0g.

d) Todas las proyecciones deben ser lineales.

e) Si T es lineal, entonces T (0v) = 0w.

f) Si T es lineal, entonces nulidad(T ) + rango(T ) = dim(W ).

g) Si T es lineal, entonces lleva subconjuntos linealmente independientes de V a subconjuntos

linealmente independientes de W .

h) Si T; U : V ! W son lineales y concuerdan en una base de V , entonces T = U .

i) Dados x1; x2 2 V y y1; y2 2 W , existe una transformación lineal T : V ! W tal que T (x1) = y1

y T (x2) = y2�

Problema 6.- Demostrar que T es una transformación lineal y encontrar bases para N ( T) y

R ( T). Luégo, calcular la nulidad y el rango de T y veri�car el Teorema 2.3. Finalmente, emplear

los teoremas adecuados de esta sección para determinar si T es uno-a-uno o sobreyectiva para

T :Mn�n ! F ; T (A) = tr(A). Recuérdese que

tr (A) =

Problema 11.- Demostrar que existe una transformación lineal T : R2 ! R3 tal que T (1; 1) =

f1; 0; 2) y T (2; 3) = (1;�1; 4) . ¿Qué es T (8; 11)?

Problema 16.- Sean V yW espacios vectoriales dimensionalmente �nitos y T : V ! W lineal.

(a) Demostrar que si dim(V ) < dim(W ), entonces T no puede ser sobreyectiva.

(b) Demostrar que si dim(V ) > dim(W ), entonces T no puede ser unoa-uno.

Problema 21.- Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V ! W lineal. Sea fy1; :::; ykg un

subconjunto linealmente independiente de R(T ). Si S = fx1; :::; xkg se selecciona de tal manera

que T (xi) = yi para i = 1; :::; k, demostrar que S es linealmente independiente.

Problema 26.- Una función T : V ! W entre los espacios vectoriales V y W se llama aditiva

si T (x + y) = T (x) + T (y) para toda x; y 2 V . Demostrar que si V y W son espacios vectoriales

sobre el campo de los números racionales, entonces cualquier función aditiva de V en W es una

transformación lineal.

7 REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANS-

FORMACION LINEAL

Problema 4.- De�nase

T :M2�2(R)! P2(R)

mediante

0@ a b

1A = (a+ b) + (2d)x+ bx2:

8<:0@ 1 0

1A ;0@ 0 1

1A ;0@ 0 0

1A9=; :y

=�1; x; x2

�Calcular

[T ] �:

Problema 9.- Sea V un espacio vectorial con la base ordenada � = fx1; :::; xng. De�nase a

x0 = 0. De acuerdo con el Teorema 2.7 debe existir una transformación lineal T : V ! V de�nida

mediante T (xj) = xj + xj�1, para j = 1; :::; n. Calcular [T ]�.

Problema 14.- Sean V y W espacios vectoriales y sea S subconjunto de V . Defínase

S0 = fT 2 L (V;W ) : T (x) = 0 para toda x 2 Sg

Demostrar

(a) S0 es un subespacio de L (V;W ).

(b) Si S1 y S2 son subconjuntos de V y S1 � S2, entonces S02 � S01 .

(c) Si V1 y V2 son subespacios de V , entonces (V2 + V2)0 = V 01 \ V 02 .

8 INVERTIBILIDAD E ISOMORFISMOS

Problema 4.- Demostrar que si A es invertible y AB = 0, entonces B = 0.

Problema 9.- Demostrar que la transformación de�nida en el Ejemplo 28 es uno-a-uno.

Problema 14.- Sea B una matriz invertible de n� n. De�nase � :Mn�n(F )!Mn�n(F ) por

�(A) = B�1AB. Demostrar que � es un isomor�smo.

Problema 19.- Sean V yW espacios vectoriales dimensionalmente �nitos con bases ordenadas

� = fx1; :::; xng y = fy1; :::; ymg, respectivamente. Por el Teorema 2. 7 existe una transformación

lineal Tij : V ! W tal que

Tij (xk) =

�yi si k = j0 si k 6= j

Demostrar primero que fTij : 1 � i � m; 1 � j � ng es una base para L (V;W ). Entonces, sea

Eij una matriz de m � n con 1 en el renglón i-ésimo y la columna j-ésima y 0 en cualquier otro

lado, y demostrar que

[Tij] � = E

De nuevo, por el Teorema 2.7 existe una transformación lineal

� : L (V;W )!Mn�n(F )

tal que

� (Tij) = Eij:

Demostrar que � es un isomor�smo.

9 MATRIZ DE CAMBIO DE COORDENADAS

Problema 3.- Para cada uno de los siguientes pares de bases ordenadas � y �0 para P2(R),

encontrar la matriz de cambio de coordenadas que transforma las coordenadas de �0 en coordenadas

de �.

Problema 8.- Demostrar que si A y B son matrices semejantes de n � n, entonces tr(A) =

tr(B). Sugerencia: Utilizar el Ejercicio 12 de la Sección 2.3.

10 OPERACIONES ELEMENTALES EN MATRICES

Problema 1.- Decir si las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas.

Problema 6.- Completar la demostración del Teorema 3.1.

Problema 11.- Demostrar que cualquier operación elemental con renglones [columnas] del tipo

3 puede obtenerse restando un múltiplo de algún renglón [columna] de otro renglón [columna].

11 RANGO DE UNA MATRIZ

Problema 5.- Para cada una de las siguientes matrices calcular el rango y la inversa, si ésta

existe.

1. 0@ 1 2

1A2. 0BBB@

0 �2 4

1 1 �1

1 4 �5

1CCCA3. 0BBB@

�1 1 2

Problema 10.- Demostrar el Teorema 3.5 para el caso en que A es una matriz de m� 1.

Problema 15.- Si A y B son matrices de n renglones, demostrar que M(AjB) = (MAjMB)

para cualquier matriz M de m� n.

12 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: ASPEC-

TOS TEORICOS

Problema 4.-

Problema 9.- Demostrar o dar un contraejemplo al siguiente enunciado: Si la matriz de

coe�cientes de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene rango m, entonces el

sistema tiene una solución.

Problema 14.-

SeaW un subespacio de un espacio vectorial dimensionalmente �nito V . Determinar la dimen-

sión del espacio vectorial VW, el espacio cociente de V módulo W . Justi�que su respuesta.

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