algebra lineal
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Vector
Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde su punto A hasta otro punto B. ‘A’ se conoce como el punto inicial u origen y ‘B’ como punto terminal o punta.
*Cuando ‘A’ esta en el origen se considera que esta en posición estándar.
• Notación: 𝐴𝐵; v = 𝐴𝐵; 𝑣 = 𝐴𝐵 Para encontrar el vector 𝐴𝐵 se tiene que restar B menos A.
• Forma de escribir: o Si 𝐴𝐵 = (2, 1) entonces 𝐴𝐵 = 𝑣 = [2, 1] (vector renglón) o 21 (vector
colúmna). o Las coordenadas individuales (1, 1) son conocidas como componentes
del vector 𝑣. • Características:
o Magnitud: conocido también como longitud, norma o tamaño.
o Dirección: medida en radianes.
Operaciones con vectores:
• Suma Sean 𝑥 = [𝑥!, 𝑥!] y 𝑣 = [𝑣!, 𝑣!]se define la suma:
o 𝑥 + 𝑣 = 𝑥! + 𝑣!, 𝑥! + 𝑣! o Propiedades de la suma de vectores:
§ 𝐶𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑥 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑥 § 𝐴𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑥 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥 + (𝑣 + 𝑤) § 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜(𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑜): 𝑥 + 0 = 𝑥 § 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝐴𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜: 𝑥 + −𝑥 = : 0 § 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖butiva: 𝑐(𝑥 + 𝑣) = 𝑐𝑣 + 𝑐𝑥 § Distributiva: 𝑥(𝑑 + 𝑐) = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑥
§ • Multiplicación por un escalar
Sea c un escalar y 𝑥 = [𝑥!, 𝑥!] : o c𝑥 = [𝑐𝑥!, 𝑐𝑥!] o Propiedades
§ Asociativa: 𝑐 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑐𝑑 § Distributiva: 𝑐(𝑥 + 𝑣) = 𝑐𝑣 + 𝑐𝑥 § Distributiva: 𝑥(𝑑 + 𝑐) = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑥 § Elemento Neutro: 1𝑥 = 𝑥
o Característica: § Misma dirección que el vector. § El mismo sentido del vector si la constante es positiva. § Sentido contrario si la constante es negativa. § Si 0<𝑥<1 se disminuye la magnitud del vector.
• Resta Sean 𝑥 = [𝑥!, 𝑥!] y 𝑣 = [𝑣!, 𝑣!]se define la resta:
o 𝑥 + −𝑣 = 𝑥 − 𝑣 = 𝑥! − 𝑣!, 𝑥! − 𝑣!
Vectores iguales: son vectores que tienen la misma magnitud y la misma dirección.
Vectores paralelos: 𝑥 ∥ 𝑣 si son múltiplos escalares mutuos.
Vectores octogonales / perpendiculares: 𝑥 ⊥ 𝑣 si el ángulo entre ellos de 90°.
Vector unitario: es un vector con longitud de 1.
Normalizar un vector
• Es el proceso de encontrar un vector unitario en la misma dirección que el vector dado.
o 𝑥 = 𝟏𝑣 𝑣
Magnitud de un vector
• 𝑣 = 𝑥! + 𝑦!
Dirección de un vector
• tan𝜃 = !! à 𝜃 = tan!! !
!
Dados dos vectores, 𝒙 = [𝒙𝟏,𝒙𝟐] y 𝒗 = [𝒗𝟏,𝒗𝟐]:
• Distancia entre 𝒙 y 𝒗: o d(𝑥, 𝑣) = 𝑥 − 𝑣 = 𝑥! − 𝑣!, 𝑥! − 𝑣! = 𝑥! − 𝑣! ! + 𝑥! − 𝑣! !
• Ángulo entre 𝒙 y 𝒗: o El ángulo debe ser el menor entre los dos vectores. o cos𝜃 = 𝑥∙𝑣
𝑥 𝑣 *se puede dar en radianes o grados. • Producto punto/escalar:
o 𝑥 ∙ 𝑣 = 𝑥!, 𝑥! ∙ 𝑣!, 𝑣! = 𝑥!𝑣! + 𝑥!𝑣!
• Proyección de 𝒙 sobre 𝒗: o El punto terminal del vector que se quiera proyectar debe tener 90°
con el vector donde se proyectará.
o Cuando el ángulo entre los vectores sea agudo la dirección del vector resultante será la misma.
o Cuando el ángulo entre los vectores sea obtuso la dirección del ángulo resultante irá en dirección contraria.
o 𝑝𝑟𝑜𝑦!𝑥 =𝑥∙𝑣𝑣∙𝑣 𝑣
Ecuaciones en una recta en R2
• Forma general ax + by=c
• Forma normal (con solo dos componentes) 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝 *𝑛 = 𝑎𝑏 es el vector normal perpendicular a la recta. 𝑥 es el vector en posición estándar correspondiente a cualquier punto sobre la recta. 𝑝 es el vector en posición estándar correspondiente a un punto conocido sobre la recta.
• Forma vectorial 𝑥 = 𝑝 + 𝑡𝑑 *𝑑 es el vector dirección
• Forma paramétrica 𝑥 = 𝑝! + 𝑡𝑑! 𝑦 = 𝑝! + 𝑡𝑑!
Ecuaciones en un plano P en R3
• Forma general ax + by + cz = d
• Forma normal (con solo tres componentes)
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝 • Forma vectorial
𝑥 = 𝑝 + 𝑠𝑢 + 𝑡𝑣 (tiene 2 parámetros y 2 componentes de dirección) *donde 𝑢 ∦ 𝑣
• Forma paramétrica 𝑥 = 𝑝! + 𝑠𝑢! + 𝑡𝑣! 𝑦 = 𝑝! + 𝑠𝑢! + 𝑡𝑣! 𝑧 = 𝑝! + 𝑠𝑢! + 𝑡𝑣!
Ecuaciones en una recta en R3
En R3 , una recta es la intersección de dos planos, por lo que se expresa la ecuación de una recta en R3 en sus formas general y normal.
• Forma general ax + by + cz = d (plano 1) ax + by + cz = d (plano 2)
• Forma normal 𝑛! ∙ 𝑥 = 𝑛! ∙ 𝑝! 𝑛! ∙ 𝑥 = 𝑛! ∙ 𝑝!
• Forma vectorial 𝑥 = 𝑝 + 𝑡𝑑
• Forma paramétrica 𝑥 = 𝑝! + 𝑡𝑑! 𝑦 = 𝑝! + 𝑡𝑑! 𝑧 = 𝑝! + 𝑡𝑑!
• Ecuaciones simétricas 𝑡 =
𝑥 − 𝑝!𝑑!
𝑡 =𝑥 − 𝑝!𝑑!
𝑡 =𝑥 − 𝑝!𝑑!
*cuando una componente del vector dirección es cero(ej: 𝑑! = 0) las ecuaciones simétricas se dan así:
𝑥 − 𝑝!𝑑!
=𝑥 − 𝑝!𝑑!
; 𝑧 = 𝑝!
Distancia desde un punto F(fuera) hasta una recta ℓ𝓁
1. Encontrar 𝑃𝐹 (vector entre un punto conocido y el punto de fuera)
2. Encontrar 𝑝𝑟𝑜𝑦!𝑃𝐹 3. Encontrar 𝑃𝐹 − 𝑝𝑟𝑜𝑦!𝑃𝐹 4. Calcular magnitud del vector
𝑃𝐹 − 𝑝𝑟𝑜𝑦!𝑃𝐹
Distancia desde un punto F(fuera) hasta una recta 𝓟
• 𝑝𝑟𝑜𝑦!𝑃𝐹
Producto cruz o producto vectorial
• Notación: 𝑢 × 𝑣 Importante: el producto cruz esta definido sola para R3 el resultado es otro vector en R3 que es perpendicular a 𝑢 y 𝑣.
• Definición:
𝑢 =𝑢!𝑢!𝑢!
y 𝑣 =𝑣!𝑣!𝑣!
à 𝑢!𝑢!𝑢!
× 𝑣!𝑣!𝑣!
=𝑢!𝑣! − 𝑢!𝑣!𝑢!𝑣! − 𝑢!𝑣!𝑢!𝑣! − 𝑢!𝑣!
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