algebra lineal

BIENVENIDOS

ALGEBRA LINEAL

ECUACIONES LINEALES

ALGEBRA LINEAL

Planteamiento de Ecuación Lineal

Problema 1. Mickey hace 5 manillas en 1 hora. Pluto hace 7 Manillas en una hora y Daysy hace 9 manillas en una hora.

¿Cuánto tiempo gastan los tres para hacer 100 manillas?

5 Mickey 7Pluto 9 Daysy

+ + =

5 X1

7X2

9 X3+ + =

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Planteamiento de Ecuación Lineal

Problema 1. En la primera semana, Mickey hace 5 manillas en 1 hora. Pluto rompe 7 Manillas en una hora y Daysy hace 9 manillas en una hora. Los tres hacen 100 manillas.

En la segunda semana, Mickey hace 3 manillas en 1 hora. Pluto hace 5 Manillas en una hora y Daysy hace 7 manillas en una hora. Los tres hacen 70 manillas.

En la tercer semana, Mickey hace 4 manillas en 1 hora. Pluto hace 6 Manillas en una hora y Daysy rompe 8 manillas en una hora. Los tres hacen 120 manillas. - + =

5 X1

7X2

9 X3

+ + =

+ - =

3 X1

4 X1

7 X3

8 X3

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intercambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

5X1 - 7 X2 + 9 X3 = 1003X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

5X1 - 7 X2 + 9 X3 = 1003X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

5/5X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 100/53X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120 ESTA ES LA ECUACIÓN PiVOTE

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70

-3

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

-3X1 + 21/5 X2 - 27/5 X3 = -60

3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

-3X1 + 21/5 X2 - 27/5 X3 = -60

3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

-3X1 + 21/5 X2 - 27/5 X3 = -60

3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120-4

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10-4X1 + 28/5 X2 - 36/5 X3 = -80

4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10-4X1 + 28/5 X2 - 36/5 X3 = -80

4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

58/5 X2 -76/5 X3 = 40

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10-4X1 + 28/5 X2 - 36/5 X3 = -80

4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10

-4X1 + 28/5 X2 - 36/5 X3 = -80 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 ECUACIÓN PIVOTE X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 5/46 X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 X2 + 8/46X3 = 50/46

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 X2 + 8/46 X3 = 25/23 X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

Simplificando por dos

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 X2 + 8/46 X3 = 25/23X2 + 8/46 X3 = 25/23

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 X2 + 8/46 X3 = 25/23X2 + 8/46 X3 = 25/23

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 X2 + 8/46 X3 = 25/23X2 + 8/46 X3 = 25/23

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

-58/5

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 X2 + 8/46 X3 = 25/23X2 + 8/46 X3 = 25/23

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

-58/5 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 X2 + 8/46 X3 = 25/23X2 + 8/46 X3 = 25/23

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

- 1980/115 X3 = 630/23

58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20-58/5X2- 232/115 X3 = -290/23X2 + 8/46 X3 = 25/23

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

- 1980/115 X3 = 630/23 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40

-58/5X2- 232/115 X3 = -290/23X2 + 8/46 X3 = 25/23

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

- 1980/115 X3 = 630/23X2 + 8/46 X3 = 25/23

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

- 1980/115 X3 = 630/23X2 + 8/46 X3 = 25/23

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

- 1980/115 X3 = 630/23X2 + 8/46 X3 = 25/23

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

- 1980/115 X3 = 630/23X2 + 8/46 X3 = 25/23

-115/1980

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

X3 = -7245/4554X2 + 8/46 X3 = 25/23

ALGEBRA LINEAL

Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

X3 = -1,59X2 + 8/46 X3 = 25/23

Resolviendo la fracción

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

X3 = -1,59X2 + 8/46 X3 = 25/23

Este es el sistema resultante, que es mas fácil de resolver, que el original.

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

X3 = -1,59X2 + 8/46 X3 = 25/23

Este es el sistema resultante, que es mas fácil de resolver, que el original.

5X1 - 7 X2 + 9 X3 = 1003X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

Sistema original

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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales

1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20

X3 = -1,59X2 + 8/46 X3 = 25/23

Este es el sistema resultante, que es mas fácil de resolver, que el original.

5X1 - 7 X2 + 9 X3 = 1003X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120

Sistema original

GRACIAS