Álgebra funciones polimoniales y racionales
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ESCUELA:
PONENTE:
BIMESTRE:
ALGEBRA
CICLO:
CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
I BIMESTRE
ING. RICARDO BLACIO
OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010
4. Funciones polinomiales y racionales
Una función polinomial tiene la forma:
Si el coeficiente se dice entonces que la función polinomial es de grado n, el número se denomina coeficiente principal del polinomio.
Generalmente, a medida que el grado aumenta, la gráfica es más complicada.
011
1 ....)( axaxaxaxf nn
nn
0na
na
Se puede obtener una gráfica totalmente precisa utilizando el procedimiento sugerido a continuación:
1.Calcule (x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría.2.Calcule el intersecto (0) en y. 3.Factorice el polinomio. 4.Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación (x) 0.5.Trace una recta numérica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde (x) 0 y donde (x) 0.6.Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario.
En los casos en los que (x) son positivos ((x)0), la gráfica de la función está por encima del eje x.
La gráfica de la función esta por debajo del eje x, en aquellos intervalos donde los valores de (x) son
negativos ((x) 0).
5
Funciones racionales Las funciones racionales se definen en términos de cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una función racional sí:
g(x), h(x) son polinomios; el dominio de F es el conjunto de todos los números reales tales que h(x) 0. Las funciones racionales son continuas para todo valor de x, con excepción de aquellos para los que el denominador h(x) es cero.
0)()(
)()( xh
xh
xgxF
Asíntotas
Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica, se llaman asíntotas.
Asíntotas verticales Se dice que una recta x a es una asíntota vertical para la gráfica de una función sí.
axoaxquemedidaaxf
óaxoaxquemedidaaxf
)(
)(
Asíntotas horizontales
Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma:
1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal.2.- Sí m =n, la recta y=am/bn es una asíntota horizontal.3.- Sí m > n, no hay asíntotas.
bxbxbaxaxa
n
n
m
mxF01
01
.......
.......)(
0, ba nm
Gráfica de funciones racionales
Si F(x)= g(x)/h(x) donde g(x) y h(x) son polinomios se debe seguir las siguientes pautas:1.Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 0.2.Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x)=0.3.Encontrar las intersecciones con y, obteniendo F(0), trazamos la intersección (0,F(0)).4.Aplicar teorema de asíntotas horizontales y=c.5.Si existen asíntotas horizontales determinar si corta la gráfica con f(x) = c.6.Trazar la gráfica en cada región.
5. Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones exponenciales
La función exponencial con base a se define como:
En donde x es cualquier número real.
PROPIEDADES
El dominio de ƒ es el conjunto de los números reales (el gráfico se extiende indefinidamente a lo largo del eje x positivo y negativo).
xaxf )(
El rango de ƒ es el conjunto de las reales positivos. (el gráfico se extiende indefinidamente hacia arriba del eje de las x).
El intersecto en y para la gráfica de ƒ es 1. La gráfica no tiene intersectos en x. El eje x es
una asíntota horizontal para la gráfica de ƒ. La función ƒ es creciente si a > 0 y decreciente
si 0< a < 1. La función ƒ es biunívoca (uno a uno).
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Como una función exponencial es biunívoca se tiene que cumplen las siguientes condiciones:
Sí x1 y x2, son números reales:
21
21
21
21
.2
.1
xxentoncesaaSí
aaentoncesxxSíxx
xx
Ejemplos de funciones exponenciales:
xxf 2)( xxh 3)( xxq 10)(
Base 2 Base 3 Base 10
Función exponencial natural
La base e.- El número irracional e es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial tanto para fines teóricos como prácticos.
la función exponencial natural está definida por para todo número real x.xexf )(
Funciones logarítmicas
La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por loga.
La definición de loga se puede expresar de la siguiente manera:
Como una función logarítmica de base a es biunívoca se tiene que cumplen las siguientes condiciones:
ya axsisoloySíxy )(log
Sí x1 y x2, son números reales positivos se tiene:
Este teorema se usa con mucha frecuencia en la solución de ecuaciones logarítmicas.
2121
2121
loglog.2
loglog.1
xxentoncesxxSí
xxentoncesxxSí
aa
aa
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Forma LogarítmicaForma Logarítmica Forma ExponencialForma Exponencial
38log2
38
1log2
sp 9log
823
8132
ps 9
Ejemplo:
La propiedad (4) se deduce así 75.4
32loglog.3
15log11log.2
01log101log.1
7loglog
32
51
40
5
xa
aaxa
aa
a
x
xxxa
a
a
a
x
ya
aax
óaxluegoxySílog
)(log
Propiedades generales de las funciones exponenciales y logarítmicas:
Logaritmos comunes
Los logaritmos de base 10 se los conoce como logaritmos comunes. El símbolo logx se utiliza como abreviatura de log10 x, así tenemos la siguiente definición:
Logaritmos naturales
Anteriormente se definió a la función exponencial natural por medio de la ecuación (x) ex. La función logarítmica en base e se llama función logarítmica natural. Se utiliza el símbolo ln x.
0)(loglog 10 xtodaParaxx
A continuación tenemos algunas formas de logaritmos comunes y naturales para algunas propiedades generales estudiadas.
Leyes de los logaritmos:para todo trabajo
xexxa
xexxa
ea
xxx
xxxa
a
a
a
lnloglog 10.4
ln10loglog.3
1ln110log1log.2
01ln01log01log.1
uCu
wuw
u
wuuw
wyu
ac
a
aaa
aaa
loglog)3(
logloglog)2(
loglog)(log)1(
:entonces positivos,
reales numerosdenotan Sí
Fórmula de cambio de base
Sí u > 0 y si a y b son números reales positivos diferentes de 1, entonces:
b
uu
a
ab log
loglog
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Una ecuación exponencial es aquella en la que la variable ocurre en el exponente. Ejemplo:
Una ecuación logarítmica es aquella en la que la variable se ve afectada por un logarítmo. Ejemplo:
73 x
3)3(log2 x
Ing. Ricardo Blacio
Docente – UTPL
Correo electrónico: rpblacio@utpl.edu.ec
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