alg electron feb11_b

Algebra. (I. Electronica)-Modelo B-Febrero-2011

Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura optica. Cada respuesta correcta suma1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.

Problema: Se corregira solo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a 2,3ptos.

Ejercicio 1 Unas ecuaciones cartesianas asociadas a las ecuaciones parametricasx1 = α− β, x2 = 2− α− β, x3 = 1 + 2β + α y x4 = α+ β son: A) x1 + 3x2 − 2x3 = 8 yx2 − x4 = 2; B) x1 + 3x2 + 2x3 = 8 y x2 + x4 = 2; C) x1 + 3x2 + 2x3 = 8, x2 + x4 = 2 yx1 + x3 = 1; D) Ninguna de las anteriores.

Solucion Ejercicio 1 La solucion correcta es B.

Vease el Ejemplo 1.28 de “Algebra para ingenieros”

Ejercicio 2 Si A,B ∈M3×4 verifican ai,j = i+ 2j y bi,j = 2i− j, las matrices A+ 2By −2A + B son: A) Inversas; B) Diagonales; C) Simetricas y opuestas; D) Ninguna delas anteriores.

Solucion Ejercicio 2 La solucion correcta es D.

Vease el Ejercicio 67 de “Ejercicios resueltos de MATEMATICAS-I”.

Ejercicio 3 Si (1, 1, b), (a, 2,−1) y (3, 1, 1) son las filas de la matriz A, existe A−1:A) Para a = 1 y ∀b; B) Para b = 1 y ∀a; C) Nunca; D) Ninguna de las anteriores.

Solucion Ejercicio 3 La solucion correcta es B.

Vease el Ejercicio 113 de “Ejercicios resueltos de MATEMATICAS-I”.

Ejercicio 4 La dimension del nucleo de la aplicacion lineal f : R3 → R2 definida porf(1, 0, 0) = (1, 0), f(0, 1, 0) = (1, 1) y f(0, 0, 1) = (3, 2) es: A) 1; B) 2; C) 3; D)Ninguna de las anteriores.

La solucion correcta es AVease el Ejemplo 3.14 de “Algebra para ingenieros”.

Ejercicio 5 Un valor propio es estrictamente dominante si verifica: A) Tiene mul-tiplicidad mayor que cualquier otro valor propio; B) Es el mayor de los autovalores;C) Es el autovalor que tiene mayor valor absoluto; D) Ninguna de las anteriores.

Solucion Ejercicio 5La opcion cierta es C.

Vease el Metodo de las potencias, capıtulo 4 de “Algebra para ingenieros”.

Ejercicio 6 La forma cuadratica Q(x1, x2, x3) = x21 +2x22 +2x23 +2x23 +4x2x3 es: A)Definida positiva; B) Semidefinida negativa; C) Semidefinida positiva; D) Ningunade las anteriores.

Solucion ejercicio 6 La solucion correcta es A.Los tres autovalores son positivos: 1, 2 y 4.

ProblemaDados los subespacios de U = {(x1, x2, x3) : x1 + x3 = 0} y V = {(x1, x2, x3) : x1 = x2 =x3} de R3, se pide:A)(2ptos.) Unas ecuaciones cartesianas y parametricas de U ∩ V .B)(2ptos.) Explicar que son subespacios suplementarios y comprobar si U y V lo son.

Solucion problemaA) (2pts.)Ecuaciones cartesianas de U : x1 + x3 = 0.

Ecuaciones parametricas de U :

x1x2x3

= α

10−1

+ β

010

.

Dimension de U : Dos.Ecuaciones cartesianas de V : x1 = x2 = x3.

Ecuaciones parametricas de V :

x1x2x3

= δ

111

.

Dimension de U : Uno.Ecuaciones cartesianas de U ∩ V : x1 = x2 = x3 y x1 = −x3, cuya unica solucion es

x1 = x2 = x3 = 0.Dimension de U ∩ V : Cero. B)(2ptos.)Vease teorıa Definicion 2.14.Aplicando la formula de Grassmann se obtiene: Dimension de U + V : Tres.Como U + V = R3 y U ∩ V = 0, la suma es suma directa y los subespacios son suple-mentarios.