adjunta de una representación lineal ejemplos. propiedades
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
Adjunta de una representación linealEjemplos. Propiedades
Jana Rodriguez HertzGAL2
IMERL
12 de octubre de 2010
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto interno
T : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si
〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación lineal
cualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si
〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si
〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si
〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
existencia y unicidad de la adjunta
teorema de existencia y unicidad
teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finita
toda T : V →W tranformación linealtiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
existencia y unicidad de la adjunta
teorema de existencia y unicidad
teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finitatoda T : V →W tranformación lineal
tiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
existencia y unicidad de la adjunta
teorema de existencia y unicidad
teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finitatoda T : V →W tranformación linealtiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3,
alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3,
alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3,
alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 =
〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉
=x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z
= 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 =
〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉
= 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z
=〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 =
〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉
=x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z
= 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1) =(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 =
〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A
⇒ T ∗(B) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)
calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 =
〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A
⇒ T ∗(B) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 =
〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A
⇒ T ∗(B) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 =
〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉
= 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉
= tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A))
=tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A)
= tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA)
= 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A
⇒ T ∗(B) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =
〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes
⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
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ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =
〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes
⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
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ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces
〈p,D∗q〉 =
〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes
⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
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ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =
〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
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ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉
= p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
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ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉
porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
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ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes
⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
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ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
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ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
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ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRiesz
la clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
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ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene
⇒ D no tiene adjunta
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto interno
T1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → U
entonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
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proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
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proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
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demostración
ejercicio
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 2
proposición 2V ,W e.v. de dimensión finita
T : V →W transformación lineal⇒
(T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 2
proposición 2V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal
⇒(T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 2
proposición 2V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal⇒
(T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉
= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉
= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉
= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉
= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
proposición 3V ,W e.v. de dimensión finita
sea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertibley
(T ∗)−1 = (T−1)∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación lineal
entonces T invertible⇔ T ∗ invertibley
(T ∗)−1 = (T−1)∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertible
y(T ∗)−1 = (T−1)∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertibley
(T ∗)−1 = (T−1)∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Supongamos que T es invertible
〈v1, v2〉 =
〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉
⇒ T ∗ invertible
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Supongamos que T es invertible
〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉
= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉
⇒ T ∗ invertible
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Supongamos que T es invertible
〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉
⇒ T ∗ invertible
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Supongamos que T es invertible
〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉
⇒ T ∗ invertible
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 4
proposición 4V ,W e.v. de dimensión finita
T : V →W transformación linealentonces
λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 4
proposición 4V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal
entonces
λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 4
proposición 4V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación linealentonces
λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗
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demostración
λ valor propio de T
⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible
⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible
⇔ λ valor propio de T ∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗
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