adicion de energ¶ ¶ia a la magnetosfera
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ADICION DE ENERGIA A LA MAGNETOSFERA
por
Carlos Martınez
Director:
Juan Valdivia
UNA TESIS
PRESENTADA AL DEPARTAMENTO DE FISICA
COMO PARTE DE LOS REQUISITOS
PARA EL GRADO DE FıSICO
EN LA
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
BOGOTA, COLOMBIA
AGOSTO 2005
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE FISICA
El abajo firmante certifica que ha leıdo y recomienda al Departamento
de Fisica para su aceptacion la tesis titulada
“Adicion de energıa a la magnetosfera” por Carlos Martınez
como parte de los requisitos para optar por el grado de Fısico.
Fecha: Agosto 2005
Director:Juan Valdivia
ii
Yo, CARLOS MARTINEZ, manifiesto en este documento mi voluntad de ceder ala Universidad de Los Andes los derechos patrimoniales, consagrados en el artıculo 72de la Ley 23 de 1982 1 , del trabajo final de grado denominado Adicion de energıaa la magnetosfera, producto de mi actividad academica, para optar por el tıtulode Fısico en la Universidad de Los Andes. La Universidad de Los Andes, entidadacademica sin animo de lucro, queda por lo tanto facultada para ejercer plenamentelos derechos anteriormente cedidos en su actividad ordinaria de investigacion, docenciay publicacion. La cesion otorgada se ajusta a lo que establece la Ley 23 de 1982. Contodo, en mi condicion de autor me reservo los derechos morales de la obra antescitada con arreglo al artıculo 30 de la Ley 23 de 1982. En concordancia suscribo estedocumento en el momento mismo que hago la entrega del trabajo final a la BibliotecaGeneral de la Universidad de Los Andes.
NOMBRE FIRMA CEDULA
Bogota D.C.Agosto 2005
1“Los derechos de autor recaen sobre las obras cientıficas literarias y artısticas en las cuales secomprenden las creaciones del espıritu en el campo cientıfico, literario y artıstico, cualquiera que seael modo o forma de expresion y cualquiera que sea su destinacion, tales como: los libros, folletos y otrosescritos; las conferencias, alocuciones, sermones y otras obras de la misma naturaleza; las obras dramaticaso dramatico-musicales; las obras coreograficas y las pantomimas; las composiciones musicales con letrao sin ella; las obras cinematograficas, a las cuales se asimilan las obras expresadas por procedimientoanalogo a la cinematografıa, inclusive los videogramas, las obras de dibujo, pintura, arquitectura, escultura,grabado, litografıa; las obras fotograficas a las cuales se asimilan las expresas por procedimiento analogo ala fotografıa; las obras de artes plasticas; las ilustraciones, mapas, planos, croquis y obras plasticas relativasa la geografıa, a la topografıa, a la arquitectura o a las ciencias, en fin, a toda produccion del dominiocientıfico, literario o artıstico que pueda reproducirse o definirse por cualquier forma de impresion o dereproduccion, por fonografıa, radiotelefonıa o cualquier otro medio conocido o por conocer.´´ (artıculo 2de la Ley 23 de 1982)
iii
Dedicada a mi familia y amigos; quienes no solo fueron mi
motivacion, sino que nunca dejaron de creer en mi.
iv
Indice general
1. Introduccion 1
2. Magnetosfera y Viento Solar 3
2.1. Plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Viento Solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3. Magnetosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.1. Magnetopausa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.2. Corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.3. Lobulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4. Interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Campos magneticos sencillos 8
3.1. Partıculas en un campo magnetico constante en direccion z (B = B0z) . . 8
3.2. Partıculas dirigiendose hacia un campo magnetico constante en direccion z 9
3.3. Partıculas en un campo magnetico constante en direccion z mas otro tipo
de fuerza en la direccion x y z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. Adicion de energıa 13
4.1. Dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.1. Dipolo mas un campo constante en z . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.2. “Aporte energetico” D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2. Partıculas con un campo magnetico perturbado de la forma sin kz . . . . . 26
4.2.1. “Aporte energetico” D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. Conclusiones 34
v
A. Modelo Magnetosfera terrestre [3] 37
B. Normalizacion de las ecuaciones de movimiento 38
C. Movimiento de las partıculas 40
C.1. Drifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
C.1.1. E×B drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
C.1.2. Drift debido a un campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . 41
C.1.3. Campos magneticos curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
C.2. Puntos de espejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
D. Programa para mirar el ingreso de partıculas 43
D.1. Programa y resultados para 4.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
D.2. Programa y resultados para 4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Bibliografıa 48
vi
Capıtulo 1
Introduccion
El estudio de la interaccion entre la magnetosfera terrestre y el viento solar es algo que
solo se ha llegado a comprender desde hace un poco mas de 30 anos, pero que desde sus
comienzos ha interesado bastante a los cientıficos, no solo por lo interesante del fenomeno1
sino tambien por las implicaciones que esto trae para nuestra nueva forma de vida, una
vida llena de tecnologıa, satelites, telecomunicaciones, etc., ya que es justamente esta in-
teraccion la responsable de las tormentas geomagneticas2 y estas ultimas afectan no solo a
los satelites, sino tambien a los astronautas3.
Esa interaccion Sol-Tierra se puede tratar tambien como un ingreso de energıa (partıcu-
las) por parte del Sol hacia la Tierra. Existen diferentes formas para que este ingreso se de
pero en esta tesis solo se consideraron dos: reconexion e interaccion viscosa.
Ahora, lo que se realizo fue una breve aproximacion a lo que son estos dos fenomenos...digo
breve aproximacion ya que estos son bastante complejos, no solo de entender sino de simu-
lar ası que en este trabajo solo nos preocupamos por realizar una serie de simulaciones con
base en dipolos y campos magneticos sencillos, los cuales siempre estuvieron encaminados
a ilustrar de una forma bastante simple y entendible lo que pasa cuando estos fenomenos
1ya que aparte de ser el responsable en cierta medida de la vida en la Tierra tambien se encarga deafectar el como vivimos en estos dıas
2Una tormenta geomagnetica se puede entender como una alteracion, perturbacion del campo magnetico,en este caso serıa del campo magnetico terrestre
3Debido a la importancia de este fenomeno se han lanzado varios satelites como Wind, Ulysses, Yohkoh,entre otros, los cuales tienen como objetivo estudiar diferentes aspectos del viento solar y de partıculasprovenientes de Sol
1
2
se dan.
Los modelos tienen la siguiente forma:
B = B0z + Bdipolo (1.1)
B = B0z + δB (1.2)
Donde el primero hace referencia a lo que serıa la “reconexion”y el segundo a la “in-
teraccion viscosa”. Aunque estas simulaciones estuvieron hechas con base en este par de
modelos sencillos, siempre se mantuvieron dentro de una serie de parametros para que sus
resultados, aunque no pudieran ser comparados con la realidad, sı ilustraran de una manera
verosımil lo que sucede en ambos fenomenos.
Finalmente, con estas simulaciones lo que se busco fue:
Primero: Observar el fenomeno, es decir, mirar lo que sucede con las lıneas del campo
magnetico una vez el fenomeno ha tomado lugar.
Segundo: Seguir las posibles trayectorias de las partıculas dependiendo del fenomeno
que se estuviera trabajando.
Tercero: Mirar el aporte energetico de cada fenomeno dependiendo de ciertos paramet-
ros que se fueron cambiando. Este aporte se “midio”mirando la cantidad de partıculas
que ingresaban a la configuracion (de campo magnetico) que se estuviera trabajando.
Para despues extrapolar de una manera bastante tımida y discreta estos resultados a lo
que puede resultar si el fenomeno se lleva acabo entre la el campo magnetico terrestre y el
viento solar, es decir, en algun futuro tomar estos resultados como guıa para entender los
aportes que pueden generar la reconexion y la interaccion viscosa a la magnetosfera.
Capıtulo 2
Magnetosfera y Viento Solar
2.1. Plasmas
Un plasma consiste basicamente en una gran cantidad de partıculas de cargas opuestas,
dado que el numero de cargas positivas es practicamente igual al numero de cargas neg-
ativas, puede considerarse que un plasma es neutro. La interaccion entre plasmas se da a
traves de sus campos generados (E y B)
2.2. Viento Solar
El viento solar esta compuesto de partıculas altamente energeticas debido a que la
temperatura en la corona del Sol alcanza los millones de grados.
El viento solar cuando llega a la orbita terrestre usualmente viene con un velocidad
promedio de aproximadamente 400kms
, con una densidad de partıculas del orden de los
107m−3 y una temperatura de 105K.
Es justamente la interaccion entre el viento solar y el campo magnetico de la Tierra lo
que hace que este ultimo tenga esa forma tan particular, ya que las partıculas cargadas del
viento solar ejercen cierta presion sobre el campo terrestre.
En la figura 2.1 se puede apreciar graficamente la interaccion entre el viento solar y la
magnetosfera terrestre.
3
4
Figura 2.1: Tomado de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/f/f3/Magnetosphere−rendention.jpg
x
z
x
y
z
2D 3D
Figura 2.2: Vista lateral de la magnetosfera terrestre [3]
2.3. Magnetosfera
La magnetosfera terrestre se define como la region en la cual los iones son muy ligeros,
se presenta una disminucion en el campo gravitacional y los caminos libres medios de las
partıculas son muy largos, de manera que las trayectorias (movimiento) descritas por las
partıculas es controlado principalmente por el campo magnetico terrestre [1].
En las figuras 2.2, 2.3 tenemos varias vistas de un modelo simple, hecho a computador,
de la magnetosfera terrestre, este se realizo con base en el artıculo de J.G. Luhmann y L.M.
Friesen [3]. Para una mejor explicacion de este modelo ver el apendice A.
5
x
y
z
x
y
z
Vista frontal 3D Vista superior 3D
Figura 2.3: Vistas magnetosfera terrestre [3]
2.3.1. Magnetopausa
De manera muy coloquial se puede definir la magnetopausa como el envoltorio del
campo magnetico terrestre, es decir, vendrıa siendo la zona lımite (interfaz) entre el campo
magnetico terrestre y el viento solar. Tambien se puede pensar esta como la que crea una
cavidad, la cual esta llena por la magnetosfera. La distancia que hay entre la tierra y el
“frente”es de aproximadamente 10.5RTerrestes
2.3.2. Corrientes
Esas corrientes se generan debido a que los iones positivos se mueven en una direccion
opuesta a los electrones y debido a esto lo que tenemos es que las corrientes generadas por
ambos se adicionan (ver figura 2.4). Existen varios tipos de corrientes, algunos de ellos son:
Corrientes de anillo Estas se generan alrededor de la Tierra.
Corrientes de Chapman-Ferraro Estas se encuentran alrededor de la magnetos-
fera, principalmente en la magnetopausa. El objetivo de estas es principalmente el de
anular el campo magnetico fuera de la cavidad que la magnetopausa encierra.
Laminas de corriente Estas se encuentran en la cola de la magnetosfera, es decir,
en la mitad de la magnetocola atravesando el ecuador.
6
Figura 2.4: Corrientes (Tomado de http://www-ssc.igpp.ucla.edu/ssc/tutorial/pm4.gif)
2.3.3. Lobulos
Estos se encuentran entre la magnetopausa y la lamina de plasma, por esa misma
razon son los que ocupan la mayor cantidad del volumen de la magnetocola1, tambien
tienen direcciones opuestas, es decir, del ecuador hacia el norte entran2 (a la Tierra), y del
ecuador hacia el sur salen.
2.4. Interes
Estamos interesados en la forma en que ingresa energıa, y en esta tesis vamos a estudiar
dos maneras. La primera de estas es la reconexion, en la que se tiene, en su forma mas
simple, un dipolo al cual le adicionamos un campo magnetico en la direccion de −z, y
la segunda es la interaccion viscosa, en esta lo que tenemos que hacer es adicionar un
campo magnetico perturbado, que en este caso serıa el de las partıculas, para lograr que
algunas de estas penetren en los sitios donde el campo magetico es diferente de cero3. (Ver
figuras 2.5, 2.6)
1La magnetocola es aquella region de la magnetosfera que esta del lado contrario de la Tierra que apuntaal Sol.
2En este trabajo el dipolo esta orientado de tal forma que sus lıneas de campo van de sur a norte3Es importante resaltar que en este trabajo solo se realizara una breve aproximacion a lo que verdadera-
mente es este fenomeno (ver seccion 4.2)
7
x
z
x
z
Dipolo “Reconexion”
Figura 2.5: Dipolo mas un campo magnetico constante en direccion opuesta a la suya
x
z
x
z
NO “Reconexion” “Interaccion Viscosa”
Figura 2.6: Dipolo mas un campo magnetico constante en la misma direccion suya y lıneasde campo para B0z + δB
Capıtulo 3
Campos magneticos sencillos
A continuacion se mostraran algunas simulaciones, las cuales presentan campos magneticos
diferentes. Estas se usaran con el unico proposito de mostrar diferentes aspectos relevantes
de las trayectorias de las partıculas, todas corresponden a soluciones de la ecuacion 3.1
dv
dt=
qE(x, t)
m+
q
mcv×B(x, t) (3.1)
3.1. Partıculas en un campo magnetico constante en
direccion z (B = B0z)
Aca lo que tenemos es el ejemplo clasico de unas partıculas cargadas, con una velocidad
incial y constante en x sometidas a un campo magnetico constante en la direccion z (Ver
figura 3.1, y ecuaciones 3.2 a 3.7).
x (t) =cmv
qBsin
qB
cmt (3.2)
y (t) = −cmv
qB+
cmv
qBcos
qB
cmt (3.3)
z (t) = vzt (3.4)
x′ (t) = v cosqB
cmt (3.5)
y′ (t) = −v sinqB
cmt (3.6)
8
9
x
y
z
x
Campo magnetico Partıculas sometidas al campo
Figura 3.1: Campo magnetico Bz y trayectorias
z′ (t) = vz (3.7)
3.2. Partıculas dirigiendose hacia un campo magnetico
constante en direccion z
En este caso lo que tenemos es una coleccion de partıculas que se estan moviendo en
lınea recta y en la direccion de x hacia un campo magnetico uniforme en la direccion z,
este campo aparece un “x”(distancia) despues que las partıculas hayan recorrido cierta
distancia. El campo tiene la siguiente forma:
B = Bz (3.8)
Donde
B =
0 x < 0
1 x > 0(3.9)
10
xy
z
x
Figura 3.2: Trayectorias de las partıculas antes y despues de interactuar con B = Bz
En la figura 3.2 se ve claramente como el resultado obtenido es el esperado, ya que en
el momento en que las partıculas entran al campo describen un movimiento circular y se
devuelven (en la tabla 3.1 estan indicados los parametros utilizados1).
Campo magnetico Velocidad-0.45 10
Cuadro 3.1: Parametros
1Aunque la velocidad es bastante alta, solo se hizo con el proposito de ilustrar el fenomeno, ya que deesta forma tenıamos un rlarmor bastante grande.
11
x
y
z
Figura 3.3: (B = Bzz) + Fxx + Fzz
3.3. Partıculas en un campo magnetico constante en
direccion z mas otro tipo de fuerza en la direccion
x y z
Esta simulacion se hace basicamente con el fin de mostrar el drift que presentan las
partıculas. Aca, nuevamente tenemos una coleccion de partıculas dirigiendose hacia algun
campo magnetico constante y en direccion z, pero tambien estan presentes otro tipo de inter-
acciones. En este caso la ecuacion de fuerza que tenemos es la siguiente (ver ecuacion 3.10):
dv
dt=
Fxx
m+
Fzz
m+
q
mcv×B (3.10)
Las soluciones a la ecuacion 3.10 son las siguientes (ver ecuaciones 3.11 a 3.16):
x(t) =cm
(cFx
(1− cos Bzqt
cm
)+ qBzv⊥ sin Bzqt
cm
)
B2zq
2(3.11)
y(t) = −cFxt
Bzq+
cm(cFx sin Bzqt
cm+ Bzqv⊥
(cos Bzqt
cm− 1
))
B2zq
2(3.12)
12
z(t) =Fzt
2
2m+ vzt + z0 (3.13)
x′ (t) = v⊥ cosqBz
cmt +
cFx
qBz
sinqBz
cmt (3.14)
y′ (t) = −v⊥ sinqBz
cmt +
cFx cos qBz
cmt
qBz
− cFx
qBz
(3.15)
z′ (t) =Fzt
m+ vz (3.16)
En la ecuacion 3.12 podemos ver claramente la presencia de un termino lineal en “t”,
este es justamente el responsable del drift que presentan las partıculas en el momento de la
interaccion, por lo general estas fuerzas (Fx, Fz) corresponden a campos electricos (ver C).
Igualmente se puede apreciar que la velocidad de drift esta dada en su forma mas general
como:
vdrift =c
q
F×B
B2z
(3.17)
De lo anterior, tambien se puede apreciar que la magnitud de esa fuerza debe ser menor
a la magnitud del campo magnetico, ya que de lo contrario su tratamiento seria relativista
y eso se sale de lo propuesto en este proyecto.
En la figura 3.3 se ve claramente como el mismo grupo de partıculas ahora presenta
un movimiento circular completo y a su vez se va desplazando en la direccion de y, que es
justamente el drift (ver tabla 3.2 y ecuacion 3.18 para los parametros2).
B = E, 0, Bz (3.18)
Campo magnetico VelocidadBz=0.45 y E=0.2 10
Cuadro 3.2: Parametros
2Al igual que en el caso anterior se trabajo con cuna velocidad bastante grande con el proposito deilustrar claramente lo que sucedıa
Capıtulo 4
Adicion de energıa
En este capıtulo se presentan varias simulaciones con campos magneticos mas compli-
cados, estas tienen como objetivo el ilustrar a una primera y sencilla aproximacion los dos
modelos de adicion de energıa mencionados en la seccion 2.4.
Antes de pasar a las simulaciones es necesario explicar el tipo de parametros que se
utilizaron para la realizacion de las mismas, lo anterior debido a que siempre se trabajaron
valores normalizados, tanto para los campos magneticos, como para las velocidades de las
partıculas. Ahora, los parametros de normalizacion son los siguientes:
La magnitud del dipolo magnetico se normalizo a 1
Las velocidades de las partıculas se mantuvieron dentro de un lımite clasico debido a
que los efectos relativistas no son importantes en este trabajo ya que vvientosolar
c¿ 1,
de esta manera tambien se normalizo c a 1
Por otro lado en la tabla 4.1 se muestran todos los parametros utilizados para realizar
las simulaciones para el dipolo y en la tabla 4.2 las del campo magnetico perturbado.
4.1. Dipolo
Aca lo que tenemos es un campo magnetico dipolar (ver figuras 4.1, y ecuacion 4.1).
BDipolo =1
4π
3r(p · r)− p
r3(4.1)
13
14
Figura Campo magnetico Velocidad
4.1 B03r(p·r)−p
r3 con B0 = 1 NA4.2 B0 = 1 Vx=0.014.3 Bz=-0.01 y B0=1 NA4.4 Bz=-0.01 y B0=1 Vx=0.014.5 Bz=0.001 y B0=1 NA4.6 Bz=0.001 y B0=1 Vx=0.01
4.7 a 4.16 Bz=Cambiando y B0=1 Vx=0.01
Cuadro 4.1: Parametros dipolo
Figura Campo magnetico krlarmor Velocidad4.17 Bz=1 y Bx=0.003 109 − 1012 Vx=0.01
4.21 a 4.30 Bz=1 y Bx=0.003 Cambiando Vx=0.01
Cuadro 4.2: Parametros campo magnetico perturbado
Ahora, si hacemos incidir un haz de partıculas sobre este tipo de campo las trayectorias
que describiran estas se pueden apreciar en las figura 4.2. Si miramos las figuras, podemos
ver como el campo dipolar crea una barrera impidiendo de esta manera que las partıculas
logren ingresar y llegar al centro.
La situacion anterior se puede pensar como una primera aproximacion a lo que es la
magnetosfera terrestre, digo aproximacion debido a que en realidad solo la parte izquierda
de la magnetosfera se puede aproximar a un dipolo, ya que tal y como se vio en la seccion 2.2
debido a la interaccion de la magnetosfera con el viento solar esta presenta una forma mas
achatada.
4.1.1. Dipolo mas un campo constante en z
Ahora, veamos lo que pasa cuando tenemos un dipolo mas otro tipo de campo en la
direccion de z1.
1Todas las partıculas salen con la misma velocidad pero desde diferentes puntos y en lınea recta haciael dipolo.
15
x
z
x
y
z
x
y
2D 3D
Figura 4.1: Lıneas de campo de un dipolo
x
z
x
y
z
x
y
2D 3D
Figura 4.2: Trayectorias seguidas por las partıculas al interactuar con un dipolo
16
x
z
x
y
z
x
y
2D 3D
Figura 4.3: Lıneas de campo para B10 < 0
B = Bdipolo + B0z (4.2)
En la figura 4.3 podemos ver como debido al campo magnetico que estamos adicionando
el campo total se abre, y es justamente aca donde ocurre la reconexion. Para esta nueva
configuracion las trayectorias de las partıculas son las que se muestran en la figura 4.42,
aca se ve claramente como al abrirse el campo algunas de las partıculas pueden ingresar y
llegar hasta la tierra (en este caso esta representada por el punto azul).
Por otro lado, si el campo que adicionamos fuera mayor que cero tendrıamos una con-
figuracion de la forma 4.5), donde se ve claramente como en esta configuracion las lıneas
de campo ya no se abren, sino que se cierran, esto se debe a que tanto el campo del dipolo
como el que nosotros adicionamos estan siempre en la misma direccion y por esto el campo
resultante resulta ser mas cerrado que el original. Para este caso, las trayectorias descritas
por las partıculas son de la forma 4.6, claramente se ve que estas ahora si no alcanzan a
penetrar el campo magnetico terrestre.
Lo ilustrado en la figura 4.3 se puede pensar como un ejemplo simple del fenomeno
de reconexion. Este ultimo consiste basicamente en una especie de ruptura, es decir, las
2Este esta entre 0 y pi, ademas se mide con respecto a z y este da la salida de las partıculas
17
x
z
x
z
Dirigiendose totalmente de frente Con un angulo θ respecto a z
Figura 4.4: Trayectorias seguidas por las partıculas al encontrarse con un B=Bdipolo−|B10 |z
x
z
x
y
z
2D 3D
Figura 4.5: Lıneas de campo para B0 > 0
18
x
z
x
y
z
x
y
2D 3D
Figura 4.6: Trayectorias seguidas por las partıculas al encontrarse con un B=Bdipolo + |B0|z
lıneas de campo magnetico de direcciones opuestas al encontrarse se rompen y a su vez se
reconectan en una nueva configuracion de menor energıa, debido a esto vamos a tener un
exceso de energıa el cual sera transmitido al plasma en esa region [2].
Hablando de la Tierra, lo que tenemos es un acoplamiento entre los campos magneticos
terrestre y el del plasma (en este caso este vendrıa siendo el viento solar), una vez esto
sucede se crea una especie de “brecha”y se permite el ingreso de partıculas a la magnetosfera
terrestre.
4.1.2. “Aporte energetico” D
Acontinuacion encontramos varios diagramas (figuras 4.7- 4.16), en cada uno de estos
tenemos las siguientes convenciones:
El eje horizontal corresponde a y
El eje vertical corresponde a z
Cada espacio en blanco corresponde a una partıcula que logra ingresar.
En todo el centro de las graficas se encuentra el (0,0) de las simulaciones.
19
En estos diagramas lo que estamos viendo es cuantas y cuales de las partıculas logran
penetrar el campo y llegar hasta la Tierra. Cada posicion en las matrices representa un
punto de salida de una partıcula en el plano “xy”
Campo magnetico # Partıculas-0.01 242-0.02 399-0.03 414-0.04 432-0.05 428-0.06 411-0.07 426-0.08 421-0.09 408-0.1 401-0.2 357-0.3 352-0.4 352-0.5 337-0.6 352-0.7 353-0.8 348-0.9 339-1 318
Cuadro 4.3: BzVs# Partıculas
Si miramos bien la figura 4.16 podemos darnos cuenta que dependiendo de la magnitud
del campo con el cual estemos perturbando nuestro dipolo el ingreso de las partıculas se
hace mayor o menor, pero tambien podemos darnos cuenta que la cantidad de partıculas
no es proporcional a el campo, es decir, mayor campo no corresponde a mayor ingreso de
partıculas. Por otro lado, si observamos las demas graficas podemos ver como la mayor
cantidad de partıculas que logra ingresar siempre se encuentra de frente al dipolo, en
sus extremos y en el medio, es decir, para y=0, esto se puede explicar de la siguiente
manera: recordemos la figura 4.3, si la observamos podemos ver como para latitudes bajas
hay una gran cantidad de lıneas de campo cerradas, mientras que a medida que subimos
estas estan abiertas, gracias a esto es que las partıculas mas altas son las que entran.
20
Bz=-0.01 Bz=-0.02
Figura 4.7: Partıculas que ingresan
Bz=-0.03 Bz=-0.04
Figura 4.8: Partıculas que ingresan
21
Bz=-0.05 Bz=-0.06
Figura 4.9: Partıculas que ingresan
Bz=-0.07 Bz=-0.08
Figura 4.10: Partıculas que ingresan
22
Bz=-0.09 Bz=-0.1
Figura 4.11: Partıculas que ingresan
Bz=-0.2 Bz=-0.3
Figura 4.12: Partıculas que ingresan
23
Bz=-0.4 Bz=-0.5
Figura 4.13: Partıculas que ingresan
Bz=-0.6 Bz=-0.7
Figura 4.14: Partıculas que ingresan
24
Bz=-0.8 Bz=-0.9
Figura 4.15: Partıculas que ingresan
250 275 300 325 350 375 400 425# Particulas
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Bz
Bz=-1 Partıculas que ingresan
Figura 4.16: Partıculas que ingresan
25
Ahora, otro aspecto importante es que a medida que ponemos un campo mayor, si bien
no necesariamente entran mas partıculas, sı tenemos que la probabilidad que entren las de
menor altitud aumenta hasta llegar al punto que las partıculas de todas las altitudes logran
ingresar, tambien tenemos algo curioso, esto es que solo ingresan partıculas por uno de los
costados, esto se debe a la presencia tanto del campo de perturbacion, como del campo
del dipolo, como a la carga de las partıculas que estamos enviando, debido a que todas
tienen la misma carga todas tenderan a “girar”hacia el mismo costado y por eso es que
en las graficas entran por el mismo lado. El hecho que cada vez se acerquen mas al centro
es porque siempre tienen la misma velocidad (en las 19 simulaciones) pero el Bz (campo
de perturbacion) cada vez se hace mas grande, esto genera que el radio de larmor se haga
cada vez menor y por eso cada vez estan mas cerca al centro.
Por otro lado, si miramos de nuevo la figura de la derecha de 4.16 y la tabla 4.3 podemos
darnos cuenta que la mayor cantidad de partıculas ingresa para un campo perturbativo que
se encuentra entre -0 y -0.1, de hecho se podrıa llegar a pensar que en cierta forma -0.1
marca un lımite, una especie de tope para el ingreso de partıculas y a partir de ahı el ingreso
empieza a ser menor, pero esto no es del todo cierto debido a que al nosotros cambiar el
campo magnetico externo se presentan dos casos, el primero de estos es cuando hacemos
que el campo magnetico externo se haga cada vez mas pequeno, esto genera que el radio de
larmor de las partıculas se haga cada vez mas grande y esto afecta las trayectorias descritas
por las partıculas, y el segundo caso es cuando agrandamos el campo magnetico externo,
aca lo que tenemos es que la “distancia de reconexion”se hace cada vez menor, es decir esta
cada vez mas cerca a la Tierra y por ende las partıculas tienen que atravesar una distancia
menor, con base en lo anterior se puede complementar el porque a mayor campo magnetico
externo existe una mayor probabilidad que las partıculas de bajas altitudes ingresen (lo
anterior complementando lo dicho en los parrafos anteriores).
26
-10-5
05
1015
x
-10
0
10y
-10
0
10
z
-10-5
05
10x
-10
0
10y
-10-5
05
1015
x
-10
0
10y
-10
0
10
z
-10-5
05
10x
-10
0
10y
Con un angulo θ con respecto a z Totalmente de frente al campo
Figura 4.17: Posibles trayectorias de las partıculas al entrar a un campo magnetico confluctuaciones (krlarmor À 1)
4.2. Partıculas con un campo magnetico perturbado
de la forma sin kz
Esta simulacion se hace con el proposito de ilustrar de una manera simple lo que es el
fenomeno de la interaccion viscosa. Aca lo que tenemos es un campo que presenta fluctua-
ciones, las cuales hacen que algunas partıculas entren y otras se devuelvan, en este caso el
campo que estamos perturbando es de la siguiente forma3
B =
Bx sin kz
0
Bz
(4.3)
de manera que las trayectorias descritas por las partıculas son como las de la figura 4.17
3Donde todas las partıculas salen con la misma velocidad (en magnitud), pero este vector se encuentraapuntando en alguna direccion (θ) en el plano ”xz”, ademas este campo magnetico solo se “activa”parax>0.
27
0 500 1000 1500 2000 2500# Particulas
0
500000
1·106
1.5·106
2·106
2.5·106
k*rl
Figura 4.18: krl vs # Partıculas
Lo anterior se puede pensar como un ejemplo simple de lo que es el fenomeno de la
interaccion viscosa. Este ultimo consiste principalmente en el ingreso de partıculas ya no
debido al acoplamiento entre campos directamente, sino a ciertas fluctuaciones (de las
partıculas) que se pueden presentar cerca de la magnetopausa y gracias a esto existe la
posibilidad que ellas ingresen a la magnetosfera contribuyendo de esta forma al aporte
enrgetico que se desea estudiar.
4.2.1. “Aporte energetico” D
Aca, al igual que en el caso del dipolo estamos viendo cuantas y cuales de las partıculas
logran penetrar el campo. Cada posicion en las matrices representa un punto de salida de
una partıcula en el plano “xy”, solo que en este caso no se normalizo con respecto a un Bz
externo sino a un Bx, ademas en esta caso el valor que se iba cambiando era un parametro
krlarmor dentro de una funcion sin krlarmorz
rlarmor
Si ahora miramos las figuras 4.19- 4.30 podemos darnos cuenta de varias cosas: la
primera de estas, es que a medida que nosotros hacemos que el krlarmor sea mas grande
tenemos una mayor cantidad de partıculas que ingresan, de hecho si miramos la tabla 4.4
podemos darnos cuenta que a partir de krlarmor=1 se dispara el ingreso de partıculas, por
lo cual es correcto afirmar que para el tipo de perturbacion que estamos trabajando se
cumple la siguiente condicion para el ingreso de partıculas:
28
krlarmor # Partıculas10−10 4910−9 5910−8 6410−7 5710−6 6610−5 7710−4 8410−3 5810−2 6110−1 57100 78101 375102 864103 1417104 2067105 2548106 2664107 2670108 2742109 2677
Cuadro 4.4: krlarmorVs# Partıculas
krl=10−10 krl10−3
Figura 4.19: Partıculas que ingresan
29
krl=103 krl109
Figura 4.20: Partıculas que ingresan
0 10 20 30 40 50Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
0 10 20 30 40 50 60Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
krl=10−10 krl10−9
Figura 4.21: Angulos (densidad)
0 10 20 30 40 50 60Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
0 10 20 30 40 50Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
krl=10−8 krl10−7
Figura 4.22: Angulos (densidad)
30
0 10 20 30 40 50 60Particula
0
25
50
75
100
125
150
175Angulo
0 20 40 60Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
krl=10−6 krl10−5
Figura 4.23: Angulos (densidad)
0 20 40 60 80Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
0 10 20 30 40 50Particula
0
25
50
75
100
125
150
175Angulo
krl=10−4 krl10−3
Figura 4.24: Angulos (densidad)
0 10 20 30 40 50 60Particula
0
25
50
75
100
125
150
Angulo
0 10 20 30 40 50Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
krl=10−2 krl10−1
Figura 4.25: Angulos (densidad)
31
0 20 40 60Particula
0
25
50
75
100
125
150
175Angulo
0 50 100 150 200 250 300 350Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
krl=100 krl101
Figura 4.26: Angulos (densidad)
0 200 400 600 800Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
0 200 400 600 800 1000 1200 1400Particula
0
25
50
75
100
125
150
175Angulo
krl=102 krl103
Figura 4.27: Angulos (densidad)
0 500 1000 1500 2000Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
0 500 1000 1500 2000 2500Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
krl=104 krl105
Figura 4.28: Angulos (densidad)
32
0 500 1000 1500 2000 2500Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
0 500 1000 1500 2000 2500Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
krl=106 krl107
Figura 4.29: Angulos (densidad)
0 500 1000 1500 2000 2500Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
0 500 1000 1500 2000 2500Particula
0
25
50
75
100
125
150
175
Angulo
krl=108 krl109
Figura 4.30: Angulos (densidad)
33
krlarmor ≥ 1 (4.4)
Por otro lado, si miramos ahora las graficas de los angulos podemos ver como existe
una cierta tendencia por parte de las partıculas a ingresar cuando su angulo de salida se
encuentra entre [30, 150], esto ultimo nos da otro criterio de seleccion para el ingreso de
partıculas, de hecho si miramos un poco mas nos damos cuenta que tenemos un rango de
120 dentro del cual podemos casi que asegurar que una partıcula va a entrar, esto es como
tener un canon de radio (medido en grados) 60. Es importante recordar que este angulo
(θ) esta medido con respecto al eje z, de manera que si ponemos un vector apuntando en la
direccion de θ tendremos θ=0 cuando el vector este apuntando directamente en la direccion
+z
Capıtulo 5
Conclusiones
Es importante resaltar el hecho que todas estas simulaciones estan hechas con base a
dipolos y a campos magneticos sencillos, razon por la cual serıa muy osado lanzarse a decir
que estos resultados se puedan extrapolar al caso de la magnetosfera terrestre, aunque el
caso del dipolo es en cierta forma una aproximacion, no es 100 % confiable y se debe tener
cuidado. El proposito de las simulaciones es mas bien el de ilustrar en que consisten los
fenomenos mas que el de botar resultados confiables y comparables con los reales. Aunque
en el caso de la simulacion del dipolo mas un campo constante en z, uno podrıa llegar
a preguntarse lo siguiente; sera que ası como para el dipolo existe en cierta forma un
campo magnetico maximo para el cual ingresan un gran numero de partıculas, ¿tambien
existira uno para la interaccion entre el viento solar y la magnetosfera?. Lo anterior lo
planteo a manera de pregunta, ya que para poder resolverla es indispensable tener datos
reales con los cuales trabajar, y en dado caso que se quiera simular se necesitarıa tener en
cuenta muchos otros aspectos que no fueron tocados en este trabajo.
Con base en el punto anterior, y volviendo un poco a esos “otros aspectos”es importante
resaltar el hecho del porque no se pueden comparar con datos reales, esto se debe prin-
cipalmente a que los modelos que se estan trabajando se han hecho de forma clasica, sin
tener en cuenta aspectos relativistas, ademas tanto el fenomeno de reconexion como el de
interaccion viscosa son bastante complejos y requieren de estudios mucho mas profundos y
avanzados que los realizados en este trabajo, tambien es importante resaltar el hecho que la
densidad de partıculas usadas en este trabajo no es ni siquiera comparable con la densidad
34
35
de partıculas provenientes del sol1.
Bueno, lo anterior fue con base en las simulaciones del dipolo, pero tambien se real-
izo otro tipo de simulacion, la del campo perturbado, en esta se vio como dependiendo de
un parametro de perturbacion krlarmor de manera quasi proporcional se tenıa un ingreso
cada vez mayor de partıculas, tambien se observo que se creaba una especia de canon, el
cual determinaba que partıculas penetraban el campo con mayor probabilidad.
En resumen, si tomaramos estos dos modelos como representaciones sencillas de lo que
son la reconexion y la interaccion viscosa, si bien no podemos extrapolar los resultados
hacia la interaccion concreta entre el viento solar y la Tierra, si podemos afirmar que
ambos modelos permiten un transporte de partıculas cargadas entre campos magneticos
distintos, de hecho se podrıa pensar que el fenomeno de la reconexion es mas importante en
cuanto al aporte de partıculas debido no solo a que mientras este implica una transmision
de energıa hacia las partıculas, la “interaccion viscosa”lidia con fluctuaciones en el campo
magnetico, sino tambien a que en este ultimo Bxo¿Bzo, entonces si colocaramos ambos
fenomenos juntos2 tenemos que la nueva configuracion sera muy similar a aquella de la
reconexion, dejando este ultimo como el dominante en cuanto al ingreso de partıculas se
refiere. Tambien se puede intuir de nuestros dos modelos para que tipo de partıculas estos
efectos tienen mayor relevancia, es decir, para los procesos de “reconexion”tenemos que el
ingreso de partıculas se hace mayor si estas se dirigen completamente de frente hacia el
campo, mientras que para el de “interaccion viscosa”tenemos que las partıculas deben estar
dirigidas en ciertos angulos para que el ingreso de las mismas sea significativo. Tambien es
importante recordar que por lo pronto todo lo que se obtuvo fueron unos modelos e ideas,
pero estos pueden ayudar como una primera guıa para entender los datos recogidos por los
satelites para la interaccion entre el Sol y la Tierra.
1Aunque la densidad de partıculas provenientes del Sol que alcanzan la Tierra es muy pequena esimportante recordar que en las simulaciones una unidad corresponde a un radio terrestre, razon por la cualla cantidad de partıculas utilizadas vendrıa siendo bastante menor a la real.
2Esto asumiendo que ambos tomaran lugar en el mismo sitio
36
Apendice A
Modelo Magnetosfera terrestre [3]
Para este modelo el campo se trabajo de la siguiente manera:
B = µ∇(
z
(x2 + y2 + z2)32
)+ bx (A.1)
En donde el primer termino corresponde al dipolo y la segunda es una lamina de corri-
ente donde b cumple con la siguiente condicion:
b > 0 z > 0 (A.2)
b < 0 z < 0 (A.3)
Los parametros que se utilizaron para obtener este modelo fueron los siguientes:
Parametros Valoresb 0.00015µ 0.031
Es importante resaltar el hecho que para el desarrollo de este modelo se trabajo todo
en radios terrestres.
37
Apendice B
Normalizacion de las ecuaciones de
movimiento
Siempre es importante normalizar todo antes de empezar a simular, de esta manera uno
evita que las simulaciones se traben o no funcionen bien. Acontinuacion se presenta una
forma para normalizar las ecuaciones de movimiento con respecto a Rlarmor y Ω, para
esto vamos a definir unas variables adimensionales r y τ .
Ω =qB0
mc(B.1)
Rlarmos = rl =v⊥Ω
(B.2)
De manera que nuestras variable adimensionales quedan:
r =r
rl
(B.3)
τ = Ωt (B.4)
Haciendo uso de lo anterior tenemos:
dr
dt=
dr
dr
dr
dτ
dτ
dt=
dr
dτΩrl (B.5)
d2r
dt2=
d
dt
dr
dt=
d
dt
dr
dτΩrl =
dτ
dt
d2r
dτ 2Ωrl =
d2r
dτ 2Ω2rl (B.6)
38
39
Si ahora reemplazamos lo anterior en la ecuacion de movimiento mas general F =
qE + qcv ×B y definimos v = v
v⊥entonces tenemos:
md2r
dτ 2Ω2rl = qE +
qv⊥B0
cv × b =⇒ b =
B
B0
(B.7)
d2r
dτ 2=
qE
mΩ2rl
+qv⊥B0
mcΩ2rl
v × b (B.8)
d2r
dτ 2=
qE
mΩv⊥+
qB0
mc
v⊥Ω2rl
v × b (B.9)
Pero Ω = qB0
mcy Ωrl = v⊥, entonces:
d2r
dτ 2=
qB0
mc
cE
B0Ωv⊥+
v⊥v⊥
v × b (B.10)
Finalmente
d2rdτ2 = cE
B0v⊥+ v × b
Apendice C
Movimiento de las partıculas
C.1. Drifts
Como ya se vio en la seccion 3.3 la velocidad de drift de las partıculas viene dada segun
la ecuacion 3.17 como:
vdrift =c
q
F×B
B2z
(C.1)
Ahora, con base en la ecuacion anterior podemos definir varios tipos de drift, 3 de estos
son:
C.1.1. E×B drift
En este tipo de drift la fuerza viene dada por
F = qE (C.2)
de manera que la ecuacion C.1 queda1
vdrift =c
B2E×B (C.3)
1De ahı viene el nombre de E×B drift
40
41
C.1.2. Drift debido a un campo gravitacional
En este caso la fuerza viene descrita por
F = mg (C.4)
Entonces, el drift viene dado por
vdrift =mc
qB2g ×B (C.5)
Es importante notar que en este caso, a diferencia del anterior tenemos que vdrift de-
pende tanto de la carga como de la masa, razon por la cual este tipo de drift genera una
corriente mientras que el anterior no.
C.1.3. Campos magneticos curvos
En este caso particular podemos definir una “Fuerza centrıfuga” de la forma
F =mv2
z
r2B
rB ×B (C.6)
donde rB es el radio de curvatura del campo. Entonces, nuestro drift queda:
vdrift =mcv2
z
qB2r2B
rB ×B (C.7)
Aca, al igual que en el caso anterior debido a la dependencia de vdrift en m y q tenemos
que se genera una corriente.
C.2. Puntos de espejo
Como es bien sabido, la velocidad de las partıculas se pude descomponer en 2 compo-
nentes (una paralela -v‖- y otra perpendicular -v⊥- al campo magnetico). En el caso de un
campo magnetico constante en la direccion z, la velocidad perpendicular al campo vendrıa
dada por la siguiente expresion
42
v⊥ =rq
mcBz (C.8)
Asociadas a estas velocidades existen dos energıas K‖ y K⊥ (K = K‖ + K⊥), las cuales
por conservacion de la energıa nos llevan a la siguiente expresion
dK⊥dt
= −dK‖dt
(C.9)
Ahora, a medida que la partıcula se va acercando a los polos la magnitud del campo
magnetico se va haciendo mas grande, haciendo de esta manera que v⊥ aumente, lo cual
genera una reduccion en K‖ (por conservacion de la energıa) hasta que en algun momento
K‖ = 0 y K = K⊥, es justamente aquı donde tenemos el punto de espejo [1] (es decir,
se devuelven).
Figura C.1: Tomado de http://physweb.bgu.ac.il/COURSES/SpaceRes2−Gedalin/particle−motion.pdf)
Apendice D
Programa para mirar el ingreso de
partıculas
Para la elaboracion de las secciones 4.1.2 y 4.2.1 se desarrollo un programa, el cual
asignaba a diferentes posiciones de una matriz un punto especıfico de salida de las partıculas
en el plano “yz”. Luego de esto se impusieron ciertas condiciones para determinar cuando
una partıcula estaba ingresando o no1. Estas fueron:
“Reconexion”: Si r(t + 1) ≤ RTierra < r(t) la partıcula lograba llegar a la tierra.
“Interaccion viscosa”: Si x(tmax) > 0 la partıcula lograba penetrar el campo.
Ahora, el programa retornaba 1 o 0 dependiendo de la evaluacion de la condicion, es
decir, si la condicion resultaba ser cierta tenıamos un 1, sino 0. Finalmente con un contador
se miraba cuantos 1 habıan en la matriz.
Acontinuacion tenemos los codigos de los programas usados para obtener los resultados
de las secciones 4.1.2 y 4.2.12.
1el ingreso de una partıcula se esta tomando como una medida del aporte energetico2En le primer caso se enviaron 2601 partıculas, y para el segundo 10201
43
44
D.1. Programa y resultados para 4.1.2
Programa3:
p = 0, 0,−1;r = x, y, z;ra =
√r · r;
r =r
ra
;
r0 = 1;
b0 = 1;
bz0 = [−0,01,−1];
Bx(x, y, z) = b0Simplify
[3r (p · r)− p
r3a
][[1]];
By(x, y, z) = b0Simplify
[3r (p · r)− p
r3a
][[2]];
Bz(x, y, z) = b0Simplify
[3r (p · r)− p
r3a
][[3]] + bz0;
Clear[sol];
sol[xo, yo, zo, vxo] := (
tmax = 50/vxo;
sol1 = NDSolve[x1′′[t] == y1′[t] ∗ bz[x1[t], y1[t], z1[t]]− z1′[t] ∗ by[x1[t], y1[t], z1[t]],
y1′′[t] == bzo ∗ vxo + z1′[t] ∗ bx[x1[t], y1[t], z1[t]]− x1′[t] ∗ bz[x1[t], y1[t], z1[t]],
z1′′[t] == x1′[t] ∗ by[x1[t], y1[t], z1[t]]− y1′[t] ∗ bx[x1[t], y1[t], z1[t]],
x1[0] == xo,
y1[0] == yo,
z1[0] == zo,
x1′[0] == vxo,
y1′[0] == 0,
z1′[0] == 0, x1[t], y1[t], z1[t], t, 0, tmax, MaxSteps− > 105];
x[t] = x1[t]/.Flatten@sol1;
y[t] = y1[t]/.Flatten@sol1;
z[t] = z1[t]/.Flatten@sol1;
3El angulo θ se mide con respecto a el eje vertical z
45
s = 0;
For[d = 0, d ≤ tmax && s == 0,
If[√
x[d + 1]2 + y[d + 1]2 + z[d + 1]2 ≤ ro &&√
x[d]2 + y[d]2 + z[d]2 > ro, s = 1, 0];
d+ = 0,1];
Return[s]
)(D.1)
46
D.2. Programa y resultados para 4.2.1
Programa:
r0 = 1;
bxo0 = 0,003;
bzo0 = 1;
krlarmor =[10−10, 109
];
Bx(x, y, z) = bxo sin
(krlarmor
z
rlarmor
)→ If[x ≥ 0, 1, 0];
By(x, y, z) = 0;
Bz(x, y, z) = bzo → If[x ≥ 0, 1, 0];
Clear[sol];
sol[xo, yo, zo, vxo] := (
tmax = 1000/vxo;
θ = Random [<, 0, 1] ∗ π;
sol1 = NDSolve[x1′′[t] == y1′[t] ∗ bz[x1[t], y1[t], z1[t]]− z1′[t] ∗ by[x1[t], y1[t], z1[t]],
y1′′[t] == bzo ∗ vxo + z1′[t] ∗ bx[x1[t], y1[t], z1[t]]− x1′[t] ∗ bz[x1[t], y1[t], z1[t]],
z1′′[t] == x1′[t] ∗ by[x1[t], y1[t], z1[t]]− y1′[t] ∗ bx[x1[t], y1[t], z1[t]],
x1[0] == xo,
y1[0] == yo,
z1[0] == zo,
x1′[0] == vxo sin θ,
y1′[0] == 0,
z1′[0] == vxo cos θ, x1[t], y1[t], z1[t], t, 0, tmax, MaxSteps− > 105];
x[t] = x1[t]/.Flatten@sol1;
y[t] = y1[t]/.Flatten@sol1;
z[t] = z1[t]/.Flatten@sol1;
47
s = 0;
If[x[tmax] > 0, s = 1, s = 0];
If[x[tmax] > 0, AppendTo
[angulo,
180 ∗ θ
π
], 0];
Return[s]
) (D.2)
Bibliografıa
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[2] RUıZ, MONTOYA, Eduardo., Viento Solar y Magnetosfera, el Fenomeno de la re-
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