adalberto paternina a ciencia, viertud y amor angulos en posicion normal un angulo esta en posición...
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Adalberto Paternina A
Ciencia, Viertud y amor
ANGULOS EN POSICION NORMAL Un Angulo esta en posición normal si su vértice esta en el punto de corte de los ejes coordenados de un plano cartesiano y su lado inicial coincide con el eje de las X y su lado terminal esta en cualquiera de los 4 cuadrantes
ANGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOSUn ángulo se dice que es positivo si gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y es positivo cuando gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj
Ciencia, Viertud y amor
MEDIDAS DE ANGULOS• Los ángulos se pueden medir • En: Grados y en radianes
UN GRADO: Es la trescientos
sesentava parte de la circunferencia • UN RADIAN: Corresponde al • Angulo que se forma cuando• hacemos una abertura de un • arco con la misma medida del• radio de la circunferencia
• Ciencia, Viertud y amor
• para convertir grados a radianes: se multiplica la cantidad en grado por el constante y luego se hacen las simplificaciones del caso ejemplo:
• Convertir 30º a radianes• Solución 30º = 30º. =
=
Solución # 2: 270º = 270º .
=
=
Ciencia, Viertud y amor
TEOREMA DE PITÁGORAS
A
B C
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
2 2(CATETO) (CATETO) 2(HIPOTENUSA)
3
45 5
12
1320
21 29
La hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma al
cuadrado de los catetos
Ciencia, Virtud y amor
RAZONES TRIGONOMETRICAS
• En todo triangulo rectángulo se distinguen 3 partes
• CATETO hipotenusa
• opuesto CATETO adyacente
• Una razón trigonométricas: Es el cociente indicados entre 2 de los de los lados de un triangulo rectángulo estos son
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS
qq=
CatetoOpuestoasen
Hipotenusa
CatetoAdyacentea
cosHipotenusa
Hipotenusasec
CatetoAdyacentea
Hipotenusa
cscCatetoOpuestoa
CatetoAdyacentea
cotCatetoOpuestoa
CatetoOpuestoa
tanCatetoAdyacentea
CATETO
OPUESTO
A
CATETO ADYACENTE A
HIPOTENUSA
SENO COSENO
TANGENTE COTANGENTE
SECANTE COSECANTE
Ciencia, Viertud y amor
12
35
H2 2 2H 12 35
TEOREMA DE PITÁGORAS
H 1369 37
sen
cos
tan 12373537
1235
cot
sec
csc 3512
37353712
EJEMPLO :
EJEMPLO :
Sabiendo que es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....
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Ciencia, Viertud y amor
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
1sen
csc
1
cossec
1tan
cot
EJEMPLOS
o
1A)
sen36ocsc 36 o
1B)
cos 17osec 17
sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1
D)sen2 csc 2 1o oC)tan 49 cot 49 1
oE)cos 63 sec 1 o63
F) tan 2 cot 1 2 Ciencia, Viertud y amor
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PROPIEDAD :
“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
sen cos
cos
tan
sen
cot a
b ccot
sec
csc
tan
csc
sec Ciencia, Viertud y amor
EJEMPLOSoA)sen25 oB) tan 43 oC)sec 60
ocos 65ocot 47ocsc 30
...............
...............
...............
o o O25 65 90 o o O43 47 90 o o O60 30 90
oD)sen cos 20 o O20 90 o70
E) tan 5 cot o5 90 o15
F)sen5
cos
5 2
2 5
3
rad10
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TRIÁNGULOS NOTABLES
1 2
3
o30 (
)
O601
1
2
o45
o45
(
)3
4
5
o37
o53
(
)
osen30 12
otan 60 3
osec 45 2 ocot 37 43
otan 30 1
3
3x
333
osen45 1
22
x2
22
Ciencia, Viertud y amor
))
((o30
o37 o45
4 3
4
3 3
3 3
CALCULAR : cot
83 3
cot4
Ciencia, Viertud y amor
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
HHsen
H cos
L sec L tan
L
5
o62
o5sen62
o5 cos 62
8
8 tan8 sec
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO
Ciencia, Viertud y amor
L
L cot
L csc k
o24
ok csc 24
ok cot 24
EJEMPLO
)
)
mCalcular L en términos de m y ;
L
CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO
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SOLUCIÓN
m
m tanLL m tan
m
cot L m tan m cot
L m cot m tan L m (cot tan ) NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
F
yF
xF X
Y
xF F cos
yF Fsen Ciencia, Viertud y amor
ÁREA DEL TRIÁNGULO
A B
C
ab
c
abS senC
2
bcS senA
2
acS senB
2
EJEMPLO
5m
8m
O60
o(5)(8)S sen60
2
(5)(8) 3S ( )
2 2 210 3m
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ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
HORIZONTAL
VISUAL
VISUAL
))
Ciencia, Viertud y amor
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?
EJEMPLO :
SOLUCIÓN
) ) o37O53
70
12k 12k
) O539k
) o37
16k
+
9k +70 = 16k k = 10 H = 120
=H
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ÁNGULOS HORIZONTALES
Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O).
DIRECCIÓN
La dirección de B respecto de A es E30N o N60E o
La dirección de C respecto de A es oS56 O S34O o
o
o
RUMBOEl rumbo de Q respecto de P
o47
El rumbo de M respecto de P o27 al este del sur
al oeste del norte
N
S
EO
O30
O56A
B
C
EO
S
N
P
Qo47
o27
M
)(
()
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