actividad entregable 1 investigacion operativa
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Nombre de la asignatura: Investigación Operativa I
Parcial de estudio: Primero
Introducción La programación lineal (PL) es una clase de modelos de programación matemática destinados a la
asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las
metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). La característica distintiva de los
modelos de PL es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales, es
decir; inecuaciones o ecuaciones de primer grado.
La PL tuvo sus orígenes a raíz de la Segunda Guerra Mundial, cuando George Dantzin, realizó
investigaciones y aplicaciones en distintos casos de operación aéreo-militar.
Leonfiel aportó principalmente en relaciones interindustriales a través de su matriz de insumo-
producto.
Koopmans incursionó profundamente en aplicaciones microeconómicas resolviendo casos de
producción, asignación de recursos, maximización de beneficios, minimización de costos, entre otras
aplicaciones.
La PL es un modelo sistemático y matemático de enfocar determinado problema para lograr una
solución óptima o la mejor posible, empleando una ecuación objetivo (propósito del problema), un
conjunto de restricciones lineales y una condición de eliminar valores negativos (condición de no
negatividad).
Asesoría didáctica
A partir del presente semestre para la asignatura de Investigación de Operaciones I en el
Departamento se ha decidido optar por el texto �Investigación de Operaciones�, 9na. Edc., 2010,
del autor Hamdy A.TAHA. En lo personal considero que este texto a través de sus capítulos
presenta una secuencia lógica para el estudiante llevándolo a través de los métodos matemáticos de
la investigación de operaciones, iniciando con una importante introducción sobre �Que es la
investigación de operaciones?�, además de constituirse de mucha utilidad para la segunda parte de la
asignatura, a aquellos estudiantes que conforme a su programa de tercer nivel les corresponda
Investigación de Operaciones II.
Como mencionado fuere, importante es la revisión analítica por parte del estudiante del Capítulo 1,
�Que es la investigación de operaciones?�, esta parte introductoria le permite hacer conocer de
manera integral la programación lineal, los modelos matemáticos, términos específicos que serán
utilizados a lo largo del recorrido del texto y en detalle las fases de un estudio de Investigación de
Operaciones.
A partir del Capítulo 2 entraremos directamente en materia con el Modelado a través de la
programación lineal y los términos y conceptos empleados, así como la metodología de solución
grafica de la programación lineal, objetivo específico del primer parcial de nuestra asignatura.
Veremos la metodología de solución de los dos modelos y los aplicativos informáticos que pueden
apoyar nuestras actividades.
A través de los conceptos emitidos en el capítulo 3, podremos comprender la metodología de solución
empleando el método simplex y su correspondiente análisis de sensibilidad, actividad final del primer
parcial e inicio del segundo parcial respectivamente.
Para poder detenernos en cada uno de los temas expuesto en los capítulos del 1 al 3, deberemos ir
resolviendo ejercicios que nos permita comprender de manera práctica la metodología expuesta por el
autor, con lo que obtendremos las competencias necesarias para resolver gráfica, analítica y
algébricamente los métodos sugeridos, con ello nos será más fácil comprender el procedimiento de los
aplicativos informáticos que ahora están disponibles para facilitar la solución de los ejercicios
planteados, pues las áreas de aplicación a donde se orienta es la industria en general y dentro de esta
con mejores opciones en la industria química, hierro y acero, papel y cartón, petróleo, farmacéuticos,
Nombre de la asignatura: Investigación Operativa I
Parcial de estudio: Primero
alimenticios y textil. Con aplicaciones también en la agricultura, construcción, aviación, sistemas
hidroeléctricos, transporte, etc.
Estimado estudiante recuerde de realizar una revisión detallada de los índices que el autor
presenta antes del Capítulo 1, donde recomienda el material disponible en el sitio web del
libro y la categorización por herramienta de los archivos en el sitio web, que le será de
mucha utilidad y emplearemos en el presente semestre.
Conceptos básicos
Linealidad
Todo proceso, actividad o relación lineal utilizada se identifica con la cantidad unitaria de cada uno de
los factores con respecto a los demás y a las cantidades de cada uno de los productos.
Divisibilidad
Los procesos pueden utilizarse en extensiones positivas divisibles mientras se dispongan de recursos.
Finitud
Tanto el número de procesos identificados cuanto los recursos disponibles, deberán corresponder a
cantidades finitas, esto es, conocidas y cuantificadas en forma determinística.
Algoritmos o iteraciones
Como se dijo anteriormente, la Investigación de Operaciones en lo que a PL se refiere utiliza métodos
matemáticos con aproximaciones sucesivas, ensayos, intentos que reciben el nombre de algoritmos o
iteraciones, y según los cuales se determinan pasos o etapas hasta obtener el meta planteada.
El problema general de la PL
Los problemas de la PL se presentan por la limitación de recursos que se tratan de distribuir de la
mejor forma. Los recursos a la vez que son limitados en términos �per se� (por sí mismo) pueden ser
distribuidos en tantas formas como combinaciones matemáticas permitan relacionarlos a un mismo
objetivo, de allí que es necesario distribuirlos adecuadamente en forma equilibrada y armónica entre
los factores que intervienen en el problema, a fin de encontrar las mejores alternativas de uso,
cumpliendo con el propósito fijado.
Un problema de PL trae implícitamente el sentido de función, propósito o meta, recursos disponibles y
habilidad o forma para seleccionar, comparar y decidir la mejor alternativa (decisión).
Los problemas de PL planteados y resueltos por cualquiera de los métodos deberán cumplir cuatro
condiciones necesarias y suficientes:
1.ª Función objetivo
Planteamiento de la función objetivo, es la ecuación que expresa la cantidad que va a ser maximizada
o minimizada según sea el propósito del problema planteado y es de la forma:
nnXCXCXCXCXCZ ......................44332211
Z(MAX) para los casos de maximización
Z(MIN) para los de minimización
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Parcial de estudio: Primero
DONDE:
nCCCCC .............,,, 4321 Son los coeficientes de la función objetivo, que pueden
ser márgenes de beneficios, precios, costos unitarios,
etc.
nXXXXX ............,,, 4321 Son las variables del problema, lo que queremos lograr.
2.ª Limitaciones y restricciones
Determinación del conjunto de inecuaciones o ecuaciones que expresan las condiciones finitas del
problema, denominadas también COEFICIENTES TÉCNICOS de producción, tecnológicos, de
transporte, etc., según sea el caso de estudio. Su planteamiento responde a una expresión matricial.
nnnmnmmm
nn
nn
nn
bTXAXAXAXA
bTXAXAXAXA
bTXAXAXAXA
bTXAXAXAXA
..............
......................................................................................
......................................................................................
...............
...............
...............
332211
333333232131
222323222121
1113132121.11
Donde:
mnmmm
n
n
n
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
.........
............................
............................
..........
..........
..........
321
3333231
2232221
1131211
Son los coeficientes técnicos
nXXXX ..........,, 321 Son las variables o incógnitas del problema
nTTTT .............,, 321 Son los signos o límites del sistema
Igual o menor que
Mayor o igual que
Igual
3.ª No negatividad
Condición de la resolución de los problemas de PL, que indica que en ningún caso se aceptará
resultados negativos en las respuestas, pues, no se concibe producción negativa, gastos negativos,
tendrán que ser por lo menos igual o mayor que cero.
Xn 0
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4.ª Condiciones de optimización
Esto es parte del desarrollo del modelo, donde se van obteniendo por aproximaciones sucesivas, hasta
llegar a la solución factible, aquella que satisface las limitaciones y restricciones planteadas del
problema.
Entonces, solución básica factible, es aquella que satisface tanto las limitaciones o restricciones, como
la función objetivo del problema (optimización).
Para su solución se emplea un procedimiento muy eficiente llamado, método Simplex, Capítulo 3, se
fundamenta en el álgebra, pero es necesario comprender inicialmente conceptos geométricos, sobre la
forma en que opera el método y las razones de su eficiencia, tanto en problemas de maximización
como de minimización.
Por ello la necesidad de inicialmente revisar y trabajar en ejercicios del Capítulo 3, donde nos
centramos en la solución grafica de problemas de PL, trabajando paso a paso en la formulación del
modelo y en la solución de ejercicios planteados solo a través de solución de ecuaciones.
Posterior a ello, analizaremos y trabajaremos en el método Simplex, que es un proceso repetitivo
numérico que permite alcanzar la solución óptima partiendo de un punto extremo conocido; es decir,
partiendo de una solución básica; si esta solución básica factible tomada como punto de partida no
satisface, es necesario tomar otra solución que nos da un valor para Z mayor o menor y así
sucesivamente hasta llegar a la solución final.
Es un método iterativo (aproximaciones sucesivas), fue ideado por George Dantrig (1947) quien
realizó investigaciones basado en relaciones matemáticas de carácter lineal.
Existen tres requisitos en la solución de un problema de programación lineal por el método simplex.
a) Todas las limitaciones deben estar establecidas como ecuaciones.
b) El segundo miembro de una limitante, no puede ser negativo.
c) Todas las variables están restringidas a valores no negativos.
Actividades de aprendizaje Actividad de aprendizaje 1.1
Planteamientos
Del texto enunciado, lea con detenimiento el capítulo 1, introducción para el
planteamiento de ejercicios de Programación Lineal.
Del capítulo 2, a partir de la página 13 lea detenidamente y siga las lecciones del
autor de este capítulo completo. De su trabajo analítico, requiero que del Conjunto
de Problemas 2.1 A (a partir de la página 15), resuelva el ejercicio 2.
Lea analíticamente a partir de la página 16 el numeral 2.2 en adelante, le será de
mucha utilidad para la solución de ejercicios usando el método gráfico. Del Conjunto
de Problemas 2.2 A (a partir de la página 20) resuelva el ejercicio 3 solamente el
literal a) por el método gráfico y analítico.
Del Conjunto de Problemas 2.2 B (a partir de la página 26), resuelva el ejercicio 2
(modelo dieta página 24), resuélvalo por el método gráfico y analítico.
Además, los ejercicios resueltos anteriormente, el 3 a) del Conjunto de Problemas
2.2 A y el 2 del Conjunto de Problemas 2.2 B, con el apoyo de las herramientas
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Parcial de estudio: Primero
informáticas sugeridas por el autor y que sea de su preferencia, resuélvalos usando
herramientas informáticas, y documéntelos (en Word, como fotografías, print
screen, etc.), y junte a su trabajo.
El interés de la actividad es que usted resuelva paso a paso la metodología gráfica y
matemática de los pedidos, obtenga los conocimientos del tema, pero con el apoyo
de las herramientas informáticas apoye su actividad y gane experiencia en la
solución de los mismos problemas.
Recuerde que tanto la solución gráfica y analítica, como la solución informática
serán paso a paso calificadas.
Objetivos
1. Comprender la metodología de la PL, empleando inicialmente el planteamiento y
la geometría, para llegar a determinar las soluciones óptimas a los problemas.
2. Comprender los criterios pesimista, optimista y de valor esperado.
Orientaciones
didácticas
Solución gráfica
El método gráfico permite una comprensión visual de la resolución de un problema.
De acuerdo con las condiciones deberá cumplir con los cuatro requisitos básicos.
1. Función objetivo
2. Conjunto de limitaciones o restricciones
3. Condición de no negatividad
4. Condiciones u optimización
4.1. Solución factible
4.2. Solución básica factible
4.3. Solución óptima factible
Mediante el método gráfico se trata de resolver por aproximaciones o interacciones
gráficas las posibilidades de mejorar las soluciones de conformidad a la función
objetivo determinada.
Maximización
2211)( XCXCMAXZ
Cuando se trata de problemas de maximización, la solución está determinada por la
región interior formada por el polígono convexo.
Para este caso se utilizarán las expresiones (menor o igual) lo que indica que la
empresa no podrá utilizar más recursos de los que dispone (Finitud) y los coeficientes
de X1 y X2 corresponden a las necesidades técnicas de producción.
Las restricciones o limitaciones serán:
3232131
2222121
1212111
bXAXA
bXAXA
bXAXA
0, 21 XX
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Parcial de estudio: Primero
La función objetivo puede representarse mediante un conjunto de rectas paralelas
con pendiente.
2
1
C
CM
Donde C1 es el coeficiente de X1 y C2 el coeficiente de X2. Cada recta indica un
conjunto de puntos que proporcionan un beneficio idéntico.
Criterios de
evaluación
Desarrollo de ejercicios y la evaluación de los mismos.
Actividad de aprendizaje 1.2.
Planteamiento
Del texto guía, de manera comprensible analice el capítulo 3 (a partir de la página
69), y como comprobación de su aprendizaje del Conjunto de Problemas 3.1 A
(página 70), resuelva el problema 1, por el método simplex.
Del Conjunto de Problemas 3.3 B (página 85), resuelva el problema 8, sin considerar
ningún literal en particular solo resuelva empleando el método simplex.
Objetivos
1. Resolver manualmente problemas de PL empleando el método SIMPLEX.
2. Explicar detalladamente por qué el método simplex encuentra soluciones óptimas
para problemas de programación lineal.
Orientaciones
didácticas
Procedimiento
Cualquiera que sea el número de inecuaciones y de incógnitas de un sistema, este
por sí mismo se ajusta a un tratamiento de identificación que nos dé una idea de que
sea sujeto de solución.
Cuando el sistema reúne a un número de ecuaciones inferior al número de
incógnitas, existen muchas soluciones. Justamente este es el caso más frecuente de
los problemas de programación lineal, de allí que es necesario introducir (+)
variables de Holgura en los casos de la expresión (igual o menor), restar (-)
variables de holgura e introducir variables artificiales en los casos de (mayor o
igual) y en los casos de = se introducen variables artificiales con signo más.
+ VARIABLE DE HOLGURA
- VARIABLE DE HOLGURA + VARIABLE ARTIFICIAL
= + VARIABLE ARTIFICIAL
Cada caso se comprenderá con un ejemplo y así podremos establecer su similitud y
diferencias.
MAXIMIZACIÓN MEDIANTE SIMPLEX
En problemas de matización (Ej. Producción) se debe tomar en cuenta.
PLANTEAMIENTO
Identificación de Producto I = X1
Variables Producto II = X2
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Producto III = X3
Producto IV = X4
Función objetivo
Z(MAX) = C1X1 + C2X2 + C3X3+ ------------ + CnXn
Limitaciones o restricciones
A11X1 + A12X2 + A13X3 + ----------------- + A1nXn b1
A21X1 + A22X2 + A23X3 + ----------------- + A2nXn b2
A31X1 + A32X2 + A33X3 + ----------------- + A3nXn b3
...................................................................................
Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 + ----------------- + AmnXn bn
No negatividad
Xj 0
SOLUCIÓN
Cuando se trata de un sistema de inecuaciones, no existe solución única, si no que
implica muchas posibilidades, razón por la cual el método simplex va generando
soluciones básicas.
Introducción de variables de holgura
Como el primer miembro de la inecuación es inferior al otro, es necesario introducir
una variable denominada de HOLGURA que cubra imaginariamente el valor faltante,
para convertirlo en igualdad.
S1, S2, S3, ..... Sn = Variables de Holgura
A11X1 + A12X2 + A13X3 + ----- + A1nXn + S1 = b1
A21X1 + A22X2 + A23X3 + ----- + A2nXn + S2 = b2
A31X1 + A32X2 + A33X3 + ----- + A3nXn + S3 = b3
...............................................................................................
Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 + ----- + AmXn + ---------------+ Sn = bn
Al convertir el sistema de desigualdades en un sistema de ecuaciones mediante la
introducción de variables de holgura, se ha logrado un importante punto de partida.
Estas variables en la función objetivo irán antepuestas de un coeficiente cero de
beneficio.
Z(MAX) = C1X1 + C2X2 + ---- + CnXn + 0S1 + 0S2 + ---- + 0Sn
Generación de una solución básica factible
En el caso de un ejemplo de producción, el primer supuesto o alternativa del método
simplex es no fabricar nada de los productos reales (variables fundamentales), esto
quiere decir dar respuesta al sistema manteniendo inutilizados los recursos
existentes, es decir:
X1 = 0 S1 = b1
X2 = 0 S2 = b2
X3 = 0 S3 = b3
......................................
Xn = 0 Sn = bn
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Parcial de estudio: Primero
Proceso iterativo
En función de los criterios del método simplex se van obteniendo ensayos,
interacciones o algoritmos hasta lograr la respuesta ideal.
El objetivo es ir eliminando las variables de holgura e irlas reemplazando por
alternativas en función de variables fundamentales, propósito del problema.
El proceso se lo desarrolla por cuadros o etapas. Cada una de ellas nos representará
una mejor combinación de producción y un mayor beneficio, para lo cual se necesita
aplicar el método matricial de coeficientes.
Cj = Coeficiente de la función objetivo
Xj = Solución básica de cada etapa: es la base vectorial que da solución al sistema.
* = Elemento Pivote
°
= Elementos semipivotales
bn = Parámetros; datos conocidos, nos indican la cuantificación de recursos.
Zj = Valores que va tomando la función objetivo en cada posición.
Se la conoce como el "Criterio del simplex�; permite continuar o no con la
generación de alternativas.
Cuando la expresión Cj - Zj corresponde en todas las posiciones a valores
NEGATIVOS O CEROS habrá terminado el problema de maximización.
Pasos para formar la nueva tabla
Se elige el elemento (Cj - Zj) de mayor valor positivo, la variable que le corresponde
debe entrar a la base de la nueva tabla para mejorar la solución.
Para determinar que fila sale, se obtiene el elemento pivote, el que es la intersección
de la columna que ingresa y la fila que sale, para lo cual se dividen los elementos de
la columna de bn para los elementos de la columna que ingresó, se escoge el menor
cociente que representará al pivote, los restantes elementos de la columna son los
semipivotes. No se toma en cuenta la división para números negativos o
cero.
Formar los nuevos elementos de la fila de la variable de holgura que es reemplazada
por la variable fundamental, basándose en el elemento PIVOTE, que se encuentra en
la intersección de la columna que entra y la fila que sale.
Los restantes elementos de la columna que entra se denominan SEMIPIVOTES (°)
Los elementos de las demás filas se obtienen restando los elementos anteriores de
dicha fila menos los elementos de la nueva fila que ingresó, multiplicados por el
semipivote correspondiente.
�Elementos de otra fila Zj se obtiene multiplicando el coeficiente de la variable
fundamental que ingresó por todos los elementos de dicha fila.
PIVOTE
ANTERIORESELEMENTOSFILANUEVALADEELEMENTOS ""
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Parcial de estudio: Primero
Obtenemos la fila Cj - Zj, restando los elementos de la fila de Cj menos los
elementos de la fila Zj, si todos sus elementos son negativos o ceros el proceso ha
terminado, esto quiere decir que la tabla es óptima, caso contrario construimos una
nueva tabla, eliminando el mayor positivo que exista y realizar el mismo proceso
anterior.
El máximo beneficio está dado por el valor del elemento de Zj de la columna bn.
EL MÉTODO SIMPLEX EN LOS CASOS DE MINIMIZACIÓN
Los casos de minimización se resuelven empleado también la metodología conocida
�Simplex�, con algunas variaciones.
En los problemas de minimización se introduce variables de holgura con signo
negativo y las variables artificiales con signo positivo.
Sj = Variables de holgura
mj = Variables artificiales
Las variables artificiales tienen un coeficiente (M) que es un valor indeterminado.
Cuando hay variables de holgura y artificiales, primero se eliminan las artificiales,
luego las de holgura.
Si la restricción es una igualdad, entonces se introduce solamente variables artificiales
con signo positivo.
Maximización () + SJ
Minimización () � Sj + mj
Igualdad (=) + mj
Para resolver un problema de minimización, se empieza eliminando los mayores
valores positivos M de la fila Cj - Zj.
El proceso habrá concluido cuando en la fila Cj � Zj queden valores negativos o ceros.
La función objetivo se representará por Z(MIN) y las variables artificiales llevarán en
esta función un coeficiente M.
Z(MIN) = ?X1 + ?X2 ---- + 0S1 + 0S2 + ------ + Mn1 + Mm2 --- Mmn
Restricciones, variables de holgura y artificiales
A11X1 + A12X2 - S1 + m1 = b1
A21X1 + A22X2 - S2 + m2 = b2
A31X1 + A32X2 -S3 + m3 = b3
------------------------------------------------------------------
Xj 0
Criterios de
evaluación
Desarrollo de ejercicios y la evaluación de los mismos.
Actividad de aprendizaje 1.3.
Planteamiento
Como se había manifestado uncialmente, el interés también es introducir al
estudiante en la experiencia del empleo de las herramientas informáticas para la
soluciones de este tipo de ejercicios, en consecuencia, y empleando las herramientas
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de software sugeridas por el autor en el texto, o el programa explicado a
continuación en la presente actividad, resuelva:
- Del capítulo 3, del Conjunto de Problemas 3.3 B (pagina 88), resuelva el
problema 11; la pregunta (a) y en lugar de la pregunta (b) planteada por el
autor, Sr. Estudiante resuelva el mismo ejercicio empleando el método simplex.
Objetivo
Emplear las herramientas de software sugeridas por los autores del texto guía para
resolver problemas básicos de PL.
Orientaciones
didácticas
PROGRAMA EXCEL SOLVER
En su programa de EXCEL deberá incluir las herramientas y complementos para resolver
los pedidos. De manera que cuente con las instrucciones superiores que a continuación
de la pestaña VISTA en Excel se presenta, como en el grafico siguiente.
UTILIZACION DEL PROGRAMA QM for windows
EJERCICIO
Un fabricante produce tres modelos I, II y III de cierto producto utilizando materias
primas A y B. La siguiente tabla proporciona los datos para el problema.
Requerimientos por unidad
Materia prima I II III
Disponibilidad
A 2 3 5 4.000
B 4 2 7 6.000
Demanda mínima 200 200 150
Unidad por unidad ($) 30 20 50
El tiempo de mano de obra por unidad del modelo I es el doble del II y el triple del
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III. Todos los trabajadores de la fábrica pueden producir el equivalente de 1.500
unidades del modelo I. Los requerimientos del mercado especifican las proporciones
de 3:2:5 para la producción de los tres modelos respectivos.
a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre la solución óptima.
b) Supongamos que el fabricante puede comprar unidades adicionales de la
materia prima A a 12 dólares por unidad. ¿Sería aconsejable hacerlo?
c) ¿Recomendaría usted que el fabricante comprara unidades adicionales de la
materia prima B a 5 dólares por unidad?
Función objetivo
321 502030)(
º
XXXMAXZ
producidasunidadesdeNXJ
Restricciones y limitaciones
ORIGINALES TRANSFORMADAS
0
150
200
2005
1
2
12
1
3
1
15003
1
2
1
6000724
4000532
3
2
1
32
1
321
31
321
JX
X
X
X
XX
XX
XXX
XXX
XXX
0
150
200
200
025
032
9000236
6000724
4000532
3
2
1
32
21
321
31
321
JX
X
X
X
XX
XX
XXX
XXX
XXX
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Puntaje por actividad
EL TUTOR DE LA ASIGNATURA
Para regresar a los datos de clic en Solve
Criterios de
evaluación
Desarrollo de ejercicios y la evaluación de los mismos.
Formato de
entrega Archivo de Microsoft Office 2003.
Enviar a
Envíe las actividades de aprendizaje a través de la plataforma, mediante la sección
Contenidos, en un archivo cuyo nombre debe ser:
Formato: G#.Apellido.Apellido.Nombre.Asignatura
Preguntas o
dudas
Envíe sus preguntas o dudas a través de la plataforma: utilice la sección Enviar
correo y marque el nombre de su tutor.
Actividades de aprendizaje
Puntaje
Actividad de aprendizaje 1.1 (Capitulo 1, un punto; Capitulo 2, 2 puntos cada
ejercicio).
10
Actividad de aprendizaje 1.2 (tres puntos cada ejercicio). 6
Actividad de aprendizaje 1.3. 4
TOTAL DE LA ACTIVIDAD DEL PRESENTE PERIODO 20
�En caso de que el examen sea estrictamente
necesaria la consulta de tablas, fórmulas, esquemas o
gráficos, estos serán incluidos como parte del examen
o en un anexo�.
EL EXAMEN SERÁ SIN CONSULTA.
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