a mis padres, por lo que soy. a patricia, por lo que seré...

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A mis padres, por lo que soy. A Patricia, por lo que seré. A Dios, por bendecirme con mis padres y con Patricia.

“Llevo dentro de mí mismo un peso agobiante: el peso de las riquezas que no he dado a los demas”

-Rabindranath Tagore-

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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN Y OBJETO DEL PROYECTO. 4

1 EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRECIO DEL TRANSPORTE DE MERCANCÍAS POR FERROCARRIL 6

1.1. INTRODUCCIÓN. 6

1.2. VARIABLES ESCOGIDAS. 7

1.3. ELECCIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN. 13

1.4. MÉTODO DE ELECCIÓN DE VARIABLES. 15

1.5. RESULTADOS OBTENIDOS. 18

1.6. CONCLUSIONES. 23

2 DEPENDENCIA DE LAS OFERTAS Y DEMANDAS DE LOS PRODUCTOS EN FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES 24

2.2. VARIABLES ESCOGIDAS. 25

2.3. ELECCIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN. 29

2.4. RESULTADOS OBTENIDOS. 30

3 DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ ORIGEN-DESTINO PARA EL TRANSPORTE DE MERCANCÍAS ENTRE LAS CC.AA. 36

3.2. MODELOS CONSIDERADOS. 38 3.2.1. MODELO DE MINIMIZACIÓN DE COSTES. 39 3.2.2. MODELO DE ENTROPÍA. 40 3.2.3. MODELO GRAVITACIONAL. 41

3.3. DATOS DISPONIBLES. 42 3.3.1. MATRIZ DE COSTES. 42 3.3.2. FLUJOS OFERTADOS Y DEMANDADOS. 43 3.3.3. FLUJO TOTAL TRANSPORTADO. 44

3.4. RESULTADOS OBTENIDOS. 48 3.4.1. MODELO DE MINIMIZACIÓN DE COSTES. 48 3.4.2. MODELO DE ENTROPÍA. 55 3.4.3. MODELO GRAVITACIONAL. 65

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3.4.3.1. El método de las secantes. 66 3.4.3.1.1. Definición del método. 66 3.4.3.1.2. Archivos utilizados y resultados obtenidos para la función de costes potencial. 69 3.4.3.1.3. Archivos utilizados y resultados obtenidos para la función de costes exponencial. 92

3.4.3.2. Método iterativo sobre modelo de minimización no lineal. 114 3.4.3.3. Algoritmo genético. 135

3.4.3.3.1. Definición del método. 135 3.4.3.3.2. Archivos utilizados y resultados obtenidos. 137

3.5. CONCLUSIONES. 157

CONCLUSIONES FINALES DEL PROYECTO. 158

BIBLIOGRAFÍA Y FUENTES DOCUMENTALES. 160

Introducción y objeto del proyecto

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INTRODUCCIÓN Y OBJETO DEL PROYECTO.

El transporte multimodal se define como el movimiento de mercancías o personas mediante dos o más medios de transporte. Se concibe como un elemento de racionalización y mejora de la calidad del transporte pues se basa en una mayor cooperación entre todos los modos de transporte, siendo un puntal clave para la mejora de costes en la cadena logística e influyendo en el precio final de los servicios de transporte. De esta forma, pretende afrontar con garantías de éxito un aspecto particularmente crítico en el ámbito internacional, ya que la globalización y la nueva economía mundial exigen mejoras constantes en los procesos logísticos.

El presente proyecto tiene como objeto marcar las pautas de una línea de

investigación que ayude a explotar las ventajas competitivas de estos dos modos de transporte en el ámbito interregional español. Para ello, es necesario conocer con la mayor profundidad posible los factores que intervienen en los distintos modos de transporte, a fin de comprender las decisiones que hoy en día se toman en este ámbito del transporte. El análisis de dichos factores, así como el conocimiento de sus cambios, permitirá proponer variaciones y soluciones futuras que ayuden a convertir el mercado del transporte en un mercado más competitivo y eficiente.

Como es lógico, el estudio de todo lo concerniente al transporte multimodal

supone un esfuerzo que escapa al objetivo de este proyecto. Conocer exhaustivamente el carácter de este tipo de transporte requiere muchos estudios de muy diversa índole. Por ello, este estudio se centrará en tres aspectos muy concretos que abren el análisis de la línea de investigación antes descrita.

En primer lugar, se hará una primera aproximación al transporte ferroviario,

intentando descubrir los factores que influyen en los precios aplicados por RENFE para la contratación de sus servicios. El objetivo de este análisis es poder conocer la tarifa que aplicará esta compañía al transporte de varios tipos de contenedores en función de unas variables que se llamarán explicativas. Para ello, se hará uso de técnicas de regresión, proponiendo modelos matemáticos que puedan explicar la variabilidad de la variable que es objeto de estudio en función de dos regresores.

En segundo lugar, se hará un estudio del transporte por carretera.

Concretamente, se tratarán de explicar, al igual que se hizo con las tarifas de RENFE, los factores que determinan la oferta y la demanda de diez tipos de productos en las regiones españolas, a fin de conocer los motivos que promueven las diferencias en este aspecto entre las CC.AA. Para este trabajo se recurrirá igualmente a técnicas de regresión. Sin embargo, en esta ocasión se considerarán cuatro regresores y será necesario plantear una expresión matemática más compleja que en la primera parte del proyecto. Estas variables que explicarán los cambios en la oferta y la demanda pertenecen al ámbito demográfico y macroeconómico. La recogida de estos datos fue posible a través de la página web del Instituto Nacional de Estadística (INE). Durante el desarrollo de este segundo capítulo se comentarán todas las incidencias que surgieron durante los ajustes por regresión.

Introducción y objeto del proyecto

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Por último, el análisis de mayor complejidad de este proyecto está destinado a la obtención de un modelo matemático que, apoyado en los datos aportados por la Encuesta Permanente de Transporte de 2005 del Ministerio de Fomento, otorgue unos valores posibles y acordes con la realidad en cuanto al flujo interregional de mercancías. Para ello, se propondrán tres modelos matemáticos distintos (minimización lineal de costes, entropía y gravitacional) que se probarán y cuya bondad se medirá en función de un criterio bien definido: el error medio ponderado. El modelo gravitacional será, a su vez, abordado desde tres métodos distintos (método de las secantes, método iterativo y algoritmo genético), obteniéndose en cada caso resultados distintos que también serán comparados entre sí y respecto a los resultados de los dos modelos ensayados previamente.

Expresión analítica del precio del transporte de mercancías por ferrocarril

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1 EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRECIO DEL TRANSPORTE DE MERCANCÍAS POR FERROCARRIL

1.1. INTRODUCCIÓN.

El primer capítulo de este estudio está dedicado al transporte de mercancías por ferrocarril. Tal y como se comentó al comienzo de este proyecto, el alcance del mismo tiene carácter multimodal, por lo que resulta interesante ofrecer una visión, aunque sea superficial, de este modo de transporte. En particular, este capítulo se centrará en intentar comprender las pautas que sigue RENFE a la hora de establecer sus tarifas, dado que esta compañía no tiene una política de precios transparentes y éstas se encuentran tabuladas. Por ello, se recurrirá a un análisis de regresión. De la misma forma, se buscarán algunas variables en función de las cuales expresar la variabilidad de estos precios. Concretamente, el estudio se centrará en sólo dos factores explicativos, a saber, distancia entre origen y destino y número de terminales intermedias entre ambos puntos. En las próximas líneas se explicará cómo se llevo a cabo este ajuste, los datos que se utilizaron y las incidencias que surgieron durante el proceso.

El uso de la regresión como herramienta de análisis implica la utilización de

técnicas estadísticas tras la aplicación de un ajuste por mínimos cuadrados. Una vez conocida la variable Y que se quiere explicar, se deben buscar otras variables, denominadas explicativas y denotadas por Xi, que sean capaces reproducir a Y de manera fiable. En el caso particular de que sólo se emplee una variable explicativa, se estará procediendo a una regresión simple. En caso contrario, se plantea una regresión múltiple.

Para llevar a cabo una regresión es necesario partir de unos datos históricos.

Éstos ayudarán al ajuste de una función matemática que explique Y en función de Xi. Existen distintos criterios para el ajuste de funciones; en este estudio se hará un ajuste por mínimos cuadrados de una función lineal de varias variables, esto es, una regresión lineal múltiple. Por tanto se estimaran valores de Y tales que:

Equation Section 1.1 0 1 1 2 2 ... k kY b b X b X b X e= + + + + + (1.1)

donde e es el error en la previsión, que resulta ser una variable aleatoria de media cero y desviación típica σe. El estimador de la variable independiente es

0 1 1 2 2ˆ ... k kY b b X b X b X= + + + + (1.2)

Por otro lado, el ajuste por mínimos cuadrados de n observaciones equivale a

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2 20 1 1, 2 2, ,

1 1 1

ˆ ( ) ( ... )n n n

i i i i i k k ii i i

Min S e Y Y Y b b X b X b X= = =

= = − = − − − − −∑ ∑ ∑ (1.3)

donde el subíndice i hace referencia a la observación i. La derivación parcial de esta expresión y su posterior igualación a cero para cada variable independiente garantiza la formación de un sistema de ecuaciones que permite conocer las constantes b0, b1, …, bk tales que la función S alcanza su mínimo.

1.2. VARIABLES ESCOGIDAS.

En el párrafo anterior ya se puntualizó cuáles eran las variables escogidas para explicar las tarifas de RENFE. Es conveniente saber que tanto las distancias a recorrer como el número de terminales intermedias a atravesar vienen dadas por unas rutas que ya están establecidas. Estas rutas articulan España para facilitar el intercambio de mercancías a lo largo de la península, aunque lógicamente existen multitud de puntos de oferta y demanda a los que se debe acceder más tarde o más temprano por carretera. En la Figura 1.1 se muestran las distintas rutas con las que trabaja RENFE a la hora de transportar mercancías para sus clientes.

Figura 1.1. Rutas de RENFE para el transporte de mercancías.

Las distancias y el número de terminales intermedias para cada par origen-destino son valores estimados. Esto es así porque las rutas exactas que siguen los trenes encargados del transporte de mercancías no son conocidas. En su lugar se han estimado estos valores buscando distancias lo más pequeñas posibles con el menor número de terminales posibles cuando dos o más rutas son factibles según la Figura 1.1. En otros casos no fue necesario. Por ejemplo, la ruta entre El Puerto de Santa María y Sevilla es única según dicha figura. Además se harán varias regresiones en función de si el tipo de contenedor (20, 30, 40 o 45 pies) es transportado cargado o

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vacío. A continuación se adjuntan las distintas combinaciones origen-destino, que fueron descargadas de la página web de la compañía, con las que RENFE trabaja.

Ruta X1 X2

CONTENEDORES VACÍOS

CONTENEDORES CARGADOS

Origen Destino Distancia (km)

Terminales intermedias 20' 30' 40' 45' 20' 30' 40' 45'

A CORUÑA S.D. BARCELONA MORROT 1246 3 388,13424,66456,62525,11 456,62 499,6 537,2 617,78

A CORUÑA S.D. CORDOBA EL HIGUERON 1018 2 375,18410,49441,38507,59 441,38 482,93 519,28 597,17

A CORUÑA S.D. MADRID ABROÑIGAL 593 0 254,35278,29299,24344,13 299,24 327,4 352,05 404,85

A CORUÑA S.D. MALAGA 1147 2 482,89528,34568,11653,32 568,11 621,58 668,36 768,61

A CORUÑA S.D. SAN ROQUE 1284 2 523,79573,09616,22708,66 616,22 674,22 724,97 833,71

A CORUÑA S.D. SEVILLA LA NEGRILLA 1127 2 395,38432,59465,15534,92 465,15 508,93 547,24 629,32

A CORUÑA S.D. SILLA 945 1 346,73379,37407,92469,11 407,92 446,31 479,91 551,89

A CORUÑA S.D. TARRAGONA CONSTANTI 1146 2 359,39393,21422,81486,23 422,81 462,6 497,42 572,03

A CORUÑA S.D. ZARAGOZA 910 1 275,9 301,86324,58373,27 324,58 355,13 381,86 439,14

ALACANT BENALUA

BARCELONA MORROT 538 3 205,88225,25242,21278,54 242,21 265 284,95 327,69

ALACANT BENALUA

BILBAO MERCANCÍAS 815 2 258,51282,84304,13349,75 304,13 332,75 357,8 411,47

ALACANT BENALUA

MADRID ABROÑIGAL 420 0 157,23172,03184,98212,73 184,98 202,39 217,63 250,27

ALACANT BENALUA VIGO GUIXAR 1020 1 374,87410,15441,03507,18 441,03 482,53 518,85 596,68

BARCELONA MORROT A CORUÑA S.D. 1246 3 487,08532,92573,03658,99 573,03 626,96 674,16 775,28

BARCELONA MORROT

ALACANT BENALUA 538 3 205,88225,25242,21278,54 242,21 265 284,95 327,69

BARCELONA MORROT

BILBAO MERCANCÍAS 640 2 304,8 333,48358,59412,37 358,59 392,33 421,87 485,14

BARCELONA MORROT

BILBAO PUERTO TMB 640 2 351,11384,16413,07475,03 413,07 451,95 485,97 558,86

BARCELONA MORROT

CORDOBA EL HIGUERON 1078 4 338,6 370,47398,35458,11 398,35 435,85 468,65 538,95

BARCELONA MORROT LEON 810 2 368,35403,02433,36498,36 433,36 474,14 509,83 586,31

BARCELONA MORROT

BARCELONA MORROT MALAGA 1207 4 436,26477,32513,25590,23 513,25 561,55 603,82 694,39

BARCELONA MORROT PTO STA MARIA 1304 5 432,87473,61509,26585,64 509,26 557,19 599,12 688,99

BARCELONA MORROT SAN ROQUE 1344 4 457,72 500,8 538,49619,27 538,49 589,18 633,52 728,55

BARCELONA MORROT

SEVILLA LA NEGRILLA 1187 4 390,64 427,4 459,57528,51 459,57 502,83 540,67 621,77

BARCELONA MORROT SILLA 374 2 131,59143,98154,82178,04 154,82 169,39 182,14 209,46

BARCELONA MORROT VIGO GUIXAR 1208 3 457,4 500,45538,12618,84 538,12 588,77 633,08 728,05

BARCELONA MORROT ZARAGOZA 336 1 135,61148,38159,54183,48 159,54 174,56 187,7 215,85

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Ruta X1 X2 CONTENEDORES

VACÍOS CONTENEDORES

CARGADOS

BILBAO MERCANCÍAS

ALACANT BENALUA 809 3 258,51282,84304,13349,75 304,13 332,75 357,8 411,47

BILBAO MERCANCÍAS

BARCELONA MORROT 640 2 304,8 333,48358,59412,37 358,59 392,33 421,87 485,14

BILBAO MERCANCÍAS

CORDOBA EL HIGUERON 821 3 349,82382,75411,56473,29 411,56 450,29 484,19 556,81

BILBAO MERCANCÍAS

MADRID ABROÑIGAL 396 1 244,22 267,2 287,31330,41 287,31 314,35 338,02 388,72

BILBAO MERCANCÍAS MALAGA 950 3 420,61 460,2 494,84569,06 494,84 541,41 582,16 669,49

BILBAO MERCANCÍAS MURCIA 797 2 414,36453,36487,48560,61 487,48 533,36 573,51 659,54

BILBAO MERCANCÍAS SAN ROQUE 1087 3 565,88619,14665,74 765,6 665,74 728,4 783,23 900,71

BILBAO MERCANCÍAS

SEVILLA LA NEGRILLA 930 3 419,67459,16493,72567,78 493,72 540,19 580,85 667,98

BILBAO MERCANCÍAS SILLA 630 1 225,47246,69265,26305,04 265,26 290,22 312,06 358,87

BILBAO MERCANCÍAS ZARAGOZA 304 0 112,36122,94132,19152,02 132,19 144,64 155,52 178,85

BILBAO PUERTO TMB

BARCELONA MORROT 640 2 351,2 384,25413,17475,15 413,17 452,06 486,09 559

CORDOBA EL HIGUERON A CORUÑA S.D. 1018 2 298,96 327,1 351,72404,48 351,72 384,82 413,79 475,85

CORDOBA EL HIGUERON

BARCELONA MORROT 1078 4 272,82 298,5 320,96369,11 320,96 351,17 377,61 434,25

CORDOBA EL HIGUERON

CORDOBA EL HIGUERON IRUN 908 4 292,61320,15344,25395,89 344,25 376,65 405 465,75

CORDOBA EL HIGUERON JUNDIZ 773 3 260,25284,74306,17 352,1 306,17 334,99 360,2 414,23

CORDOBA EL HIGUERON LEON 767 3 244,76 267,8 287,96331,15 287,96 315,06 338,77 389,59

CORDOBA EL HIGUERON

MADRID ABROÑIGAL 425 1 120,18 131,5 141,39 162,6 141,39 154,7 166,35 191,3

CORDOBA EL HIGUERON SILLA 777 2 163,75179,16192,65221,55 192,65 210,78 226,65 260,64

CORDOBA EL HIGUERON

TARRAGONA CONSTANTI 978 3 257,72281,97 303,2 348,68 303,2 331,73 356,7 410,21

CORDOBA EL HIGUERON ZARAGOZA 742 2 200,71 219,6 236,13271,55 236,13 258,35 277,8 319,47

IRUN CORDOBA EL HIGUERON 908 4 367,21401,77432,01496,82 432,01 472,67 508,25 584,49

IRUN JUNDIZ 139 0 90 90 95 100 100 120 130 150 IRUN MALAGA 1037 4 444,03485,82522,39600,75 522,39 571,56 614,58 706,77IRUN SAN ROQUE 1174 4 485,84531,57571,58657,32 571,58 625,37 672,45 773,31

IRUN SEVILLA LA NEGRILLA 1017 4 375,55 410,9 441,83 508,1 441,83 483,41 519,8 597,77

JUNDIZ CORDOBA EL HIGUERON 773 3 326,59357,33384,23441,86 384,23 420,39 452,03 519,84

JUNDIZ IRUN 139 0 90 90 95 100 100 120 130 150 JUNDIZ MALAGA 902 3 395,4 432,62465,18534,96 465,18 508,96 547,27 629,36

JUNDIZ PTO STA MARIA 999 4 372,54 407,6 438,28504,02 438,28 479,53 515,62 592,97

JUNDIZ SAN ROQUE 1039 3 438,02479,25515,32592,62 515,32 563,82 606,26 697,19

10

CARGADOS

JUNDIZ SEVILLA LA NEGRILLA 882 3 311,08340,35365,97420,87 365,97 400,42 430,56 495,14

LEON BARCELONA MORROT 810 2 241,57264,31 284,2 326,83 284,2 310,95 334,36 384,51

LEON CORDOBA EL HIGUERON 767 3 307,16336,07361,37415,57 361,37 395,38 425,14 488,91

LEON MADRID ABROÑIGAL 342 1 125,56137,38147,72169,88 147,72 161,62 173,79 199,86

LEON SAN ROQUE 1033 2 373,29408,42439,17505,04 439,17 480,5 516,67 594,17

LEON SEVILLA LA NEGRILLA 876 3 278,73304,96327,92377,11 327,92 358,78 385,79 443,66

LEON SILLA 694 2 205,82225,19242,14278,46 242,14 264,93 284,87 327,6

LINARES BAEZA MADRID ABROÑIGAL 306 0 85,63 93,69 100,74115,85 100,74 110,23 118,52 136,3

LINARES BAEZA SAN ROQUE 385 0 148,9 162,91175,18201,45 175,18 191,66 206,09 237

LUGO MADRID ABROÑIGAL 501 0 215,67235,97253,73291,79 253,73 277,61 298,51 343,28

LUGO SEVILLA LA NEGRILLA 1035 2 428,2 468,51503,77579,33 503,77 551,18 592,67 681,57

MADRID ABROÑIGAL A CORUÑA S.D. 593 0 202,68221,76238,45274,22 238,45 260,89 280,53 322,61

MADRID ABROÑIGAL

ALACANT BENALUA 420 0 126,8 138,73149,17171,55 149,17 163,21 175,5 201,82

MADRID ABROÑIGAL

BARCELONA MORROT 653 2 183,88201,19216,33248,78 216,33 236,69 254,51 292,69

MADRID ABROÑIGAL

MADRID ABROÑIGAL LEON 342 1 100,05109,47117,71135,37 117,71 128,79 138,48 159,26

MADRID ABROÑIGAL LINARES BAEZA 306 0 107,46117,58126,43145,39 126,43 138,33 148,74 171,05

MADRID ABROÑIGAL LUGO 501 0 171,86188,03202,18232,51 202,18 221,21 237,86 273,54

MADRID ABROÑIGAL MALAGA 554 1 205,12224,43241,32277,52 241,32 264,03 283,91 326,49

MADRID ABROÑIGAL MURCIA 401 0 116,58127,55137,15157,73 137,15 150,06 161,36 185,56

MADRID ABROÑIGAL PTO STA MARIA 651 3 241,32264,03283,91326,49 283,91 310,63 334,01 384,11

MADRID ABROÑIGAL SAN ROQUE 691 1 245,09268,16288,34331,59 288,34 315,48 339,23 390,11

MADRID ABROÑIGAL

MADRID ABROÑIGAL SILLA 352 0 169,46185,41199,36229,27 199,36 218,13 234,54 269,73

MADRID ABROÑIGAL

TARRAGONA CONSTANTI 553 1 173,07189,35203,61234,15 203,61 222,77 239,54 275,47

MADRID ABROÑIGAL TORRELAVEGA 397 1 118,08 129,2 138,92159,76 138,92 151,99 163,43 187,95

MADRID ABROÑIGAL

VALENCIA PTO MUELLE PP

FELIPE 352 1 217,36237,82255,72294,07 255,72 279,78 300,84 345,97

MADRID ABROÑIGAL VIGO GUIXAR 600 0 215,4 235,67253,41291,42 253,41 277,26 298,13 342,84

11

CARGADOS

MADRID ABROÑIGAL ZARAGOZA 317 0 113,9 124,62134,01154,11 134,01 146,62 157,65 181,3

MALAGA A CORUÑA S.D. 1147 2 385,98422,31 454,1 522,21 454,1 496,84 534,23 614,37

MALAGA BARCELONA MORROT 1207 4 317,59347,48373,63429,68 373,63 408,8 439,57 505,5

MALAGA BILBAO MERCANCÍAS 950 3 337,62 369,4 397,2 456,78 397,2 434,58 467,3 537,39

MALAGA IRUN 1037 4 353,83387,13416,27478,71 416,27 455,45 489,73 563,19MALAGA JUNDIZ 902 3 315,08344,73370,68426,28 370,68 405,57 436,09 501,51

MALAGA MADRID ABROÑIGAL 554 1 163,45178,84 192,3 221,14 192,3 210,39 226,23 260,17

MALAGA SILLA 906 2 215,95236,28254,06292,17 254,06 277,98 298,9 343,73

MURCIA BILBAO MERCANCÍAS 797 2 276,24302,24324,99373,74 324,99 355,57 382,34 439,69

MURCIA MADRID ABROÑIGAL 401 0 151,2 165,43177,88204,57 177,88 194,63 209,28 240,67

PTO STA MARIA BARCELONA MORROT 1304 5 344,93377,39 405,8 466,67 405,8 443,99 477,41 549,02

PTO STA MARIA JUNDIZ 999 4 296,86 324,8 349,24401,63 349,24 382,11 410,87 472,51

PTO STA MARIA MADRID ABROÑIGAL 651 2 194,7 213,02229,06263,42 229,06 250,62 269,48 309,9

PTO STA MARIA SILLA 1003 3 237,37259,71279,25321,14 279,25 305,54 328,53 377,81

PTO STA MARIA ZARAGOZA 968 3 288,44315,59339,35390,25 339,35 371,28 399,23 459,11

SAN ROQUE A CORUÑA S.D. 1284 2 462,26505,77543,84625,41 543,84 595,02 639,81 735,78

SAN ROQUE BARCELONA MORROT 1344 4 403,95441,97475,24546,53 475,24 519,97 559,11 642,97

SAN ROQUE BILBAO MERCANCÍAS 1087 3 387,68424,16456,09 524,5 456,09 499,02 536,58 617,06

SAN ROQUE IRUN 1174 4 428,62468,97504,26 579,9 504,26 551,72 593,25 682,24SAN ROQUE JUNDIZ 1039 3 386,57422,95454,79 523 454,79 497,59 535,04 615,3SAN ROQUE LEON 1033 3 364,72399,04429,08493,44 429,08 469,46 504,8 580,52

SAN ROQUE LINARES BAEZA 385 0 108,15118,33127,24146,32 127,24 139,21 149,69 172,14

SAN ROQUE MADRID ABROÑIGAL 691 1 218,63239,21257,21295,79 257,21 281,42 302,6 347,99

SAN ROQUE SILLA 1043 3 274,95300,83323,47371,99 323,47 353,92 380,56 437,64

SAN ROQUE TARRAGONA CONSTANTI 1244 3 394,73431,88464,39534,05 464,39 508,09 546,34 628,29

SAN ROQUE VIGO GUIXAR 1291 2 418,56457,95492,42566,28 492,42 538,77 579,32 666,22SAN ROQUE ZARAGOZA 998 2 301,8 330,2 355,06408,32 355,06 388,47 417,71 480,37SEVILLA LA NEGRILLA A CORUÑA S.D. 1127 2 316,79 346,6 372,69428,59 372,69 407,77 438,46 504,23

SEVILLA LA NEGRILLA

BARCELONA MORROT 1187 4 319,54349,61375,92432,31 375,92 411,3 442,26 508,6

SEVILLA LA NEGRILLA

BILBAO MERCANCÍAS 930 3 280,33306,72 329,8 379,27 329,8 360,84 388 446,2

SEVILLA LA NEGRILLA IRUN 1017 4 297,46325,45349,95402,44 349,95 382,89 411,71 473,46

SEVILLA LA NEGRILLA JUNDIZ 882 3 247,88271,21291,63335,37 291,63 319,07 343,09 394,55

SEVILLA LA NEGRILLA LEON 876 3 222,11243,01 261,3 300,5 261,3 285,9 307,42 353,53

12

CARGADOS

SEVILLA LA NEGRILLA LUGO 1035 2 341,22373,33401,43461,64 401,43 439,21 472,27 543,11

SEVILLA LA NEGRILLA

SEVILLA LA NEGRILLA SILLA 886 2 254,46278,41299,36344,27 299,36 327,54 352,19 405,02

SEVILLA LA NEGRILLA

TARRAGONA CONSTANTI 1087 3 314,37343,95369,84425,32 369,84 404,65 435,11 500,37

SEVILLA LA NEGRILLA TORRELAVEGA 931 3 293,63321,27345,45397,27 345,45 377,97 406,41 467,38

SEVILLA LA NEGRILLA VIGO GUIXAR 1134 2 279,73306,06329,09378,46 329,09 360,07 387,17 445,25

SEVILLA LA NEGRILLA ZARAGOZA 851 2 259,3 283,7 305,06350,82 305,06 333,77 358,89 412,73

SILLA A CORUÑA S.D. 945 1 388,34424,89456,87 525,4 456,87 499,87 537,5 618,12

SILLA BARCELONA MORROT 945 2 131,59143,98154,82178,04 154,82 169,39 182,14 209,46

SILLA BILBAO MERCANCÍAS 630 1 203,71222,89239,66275,61 239,66 262,22 281,96 324,25

SILLA CORDOBA EL HIGUERON 777 2 205,5 224,84241,76278,03 241,76 264,52 284,43 327,09

SILLA LEON 694 2 258,29 282,6 303,87349,45 303,87 332,47 357,49 411,11

SILLA MADRID ABROÑIGAL 352 0 169,46185,41199,36229,27 199,36 218,13 234,54 269,73

SILLA MALAGA 906 2 271,01296,52318,83366,66 318,83 348,84 375,1 431,36

SILLA PTO STA MARIA 1003 3 301,65330,04354,88408,11 354,88 388,28 417,51 480,13

SILLA SAN ROQUE 1043 3 341,24373,36401,46461,68 401,46 439,24 472,31 543,15

SILLA SEVILLA LA NEGRILLA 886 2 319,33349,39375,68432,04 375,68 411,04 441,98 508,28

SILLA TORRELAVEGA 749 1 290,56 317,9 341,83393,11 341,83 374,01 402,16 462,48

SILLA VIGO GUIXAR 952 1 366,21400,68430,84495,47 430,84 471,39 506,87 582,9TARRAGONA CONSTANTI A CORUÑA S.D. 1146 2 451,01493,46 530,6 610,19 530,6 580,54 624,23 717,87

TARRAGONA CONSTANTI

MADRID ABROÑIGAL 553 1 201,35 220,3 236,88272,42 236,88 259,18 278,69 320,49

TARRAGONA CONSTANTI SAN ROQUE 1244 3 447,27489,36 526,2 605,13 526,2 575,72 619,06 711,91

TARRAGONA CONSTANTI

TARRAGONA CONSTANTI VIGO GUIXAR 1153 2 424,18 464,1 499,03573,89 499,03 546 587,1 675,16

TORRELAVEGA MADRID ABROÑIGAL 397 1 180,05 197 211,83 243,6 211,83 231,76 249,21 286,59

TORRELAVEGA SEVILLA LA NEGRILLA 931 3 368,49403,17433,52498,55 433,52 474,32 510,03 586,53

TORRELAVEGA SILLA 749 219,34239,98258,04296,75 258,04 282,33 303,58 349,12

VALENCIA PTO MUELLE PP

FELIPE

VIGO GUIXAR ALACANT BENALUA 1020 1 298,72326,83351,43404,15 351,43 384,51 413,45 475,47

13

CARGADOS

VIGO GUIXAR BARCELONA MORROT 1208 3 364,48398,79 428,8 493,12 428,8 469,16 504,47 580,14

VIGO GUIXAR MADRID ABROÑIGAL 600 0 222,47 243,4 261,73300,98 261,73 286,36 307,91 354,1

VIGO GUIXAR SAN ROQUE 1291 2 471,33515,69 554,5 637,68 554,5 606,69 652,36 750,21

VIGO GUIXAR SEVILLA LA NEGRILLA 1134 2 351,04384,08412,99474,94 412,99 451,86 485,87 558,76

VIGO GUIXAR SILLA 952 326,35357,07383,94441,54 383,94 420,08 451,7 519,45

VIGO GUIXAR TARRAGONA CONSTANTI 1153 2 338,01369,82397,66 457,3 397,66 435,08 467,83 538,01

VIGO GUIXAR ZARAGOZA 917 1 254,6 278,56299,53344,45 299,53 327,72 352,38 405,24

ZARAGOZA A CORUÑA S.D. 910 1 349,69 382,6 411,4 473,11 411,4 450,12 484 556,6

ZARAGOZA BARCELONA MORROT 336 1 135,61148,38159,54183,48 159,54 174,56 187,7 215,85

ZARAGOZA BILBAO MERCANCÍAS 304 0 122,17133,67143,73165,29 143,73 157,25 169,09 194,45

ZARAGOZA CORDOBA EL HIGUERON 742 2 273,37 299,1 321,61369,85 321,61 351,88 378,37 435,12

ZARAGOZA MADRID ABROÑIGAL 317 0 148,9 162,91175,18201,45 175,18 191,66 206,09 237

ZARAGOZA PTO STA MARIA 968 3 361,98396,05425,86489,74 425,86 465,94 501,01 576,16

ZARAGOZA SAN ROQUE 998 2 361,98396,05425,86489,74 425,86 465,94 501,01 576,16

ZARAGOZA SEVILLA LA NEGRILLA 851 2 325,4 356,03382,83440,25 382,83 418,86 450,39 517,94

ZARAGOZA VIGO GUIXAR 917 1 319,5 349,57375,89432,27 375,89 411,26 442,22 508,55

Tabla 1.1. Rutas de RENFE y tarifas por tipo de contenedor.

1.3. ELECCIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN. Una vez escogidas las variables que tratarán de explicar a la variable

dependiente, cabe preguntarse en qué forma lo harán. Dicho de otra forma: ¿existirá una combinación lineal fiable de las variables independientes que pueda arrojar predicciones fiables de la variable que se quiere medir? En caso contrario, ¿será apropiada una expresión polinómica? ¿Tal vez logarítmica o exponencial?

Para decidir qué expresión matemática proponer para el ajuste, se representaron

los precios de cada producto de manera separada frente a las dos variables explicativas consideradas. Como las representaciones fueron muy similares entre sí, a continuación se muestra sólo la relación entre el precio de un contenedor vacío de 20 pies, la distancia entre origen y destino y el número de terminales intermedias:

14

Figura 1.2. Relación entre precio y las variables explicativas.

La Figura 1.2 muestra todas las relaciones posibles entre los elementos de la

diagonal. De esta forma, la relación entre el primer y segundo elemento de la diagonal está representado en la casilla (1,2) y simétricamente en (2,1). Se advierte una clara relación entre el precio del contenedor y la distancia a la que será transportado. En cuanto a la relación entre la tarifa y el número de terminales intermedias, los rangos de precios para un número concreto de terminales intermedias son bastante amplios, si bien se puede apreciar que dichos rangos se desplazan hacia arriba a medida que éste valor aumenta. En vista de las posibles relaciones que se advierten, se propuso una ecuación de regresión de la forma:

1 22 2

0 1 1 2 2 3 1 4 2 5 1 2 6 7ˆ X XY b b X b X b X b X b X X b e b e= + + + + + + + (1.4)

donde X1 hace referencia a la distancia y X2 al número de terminales intermedias.

Sin embargo, no debe olvidarse la afirmación que se hizo en el Apartado 1.1. En él se aseguró que la solución que se adoptó para abordar este problema fue la de un ajuste de regresión lineal múltiple por mínimos cuadrados. Efectivamente, la expresión anterior puede transformarse mediante sencillos cambios de variable, de manera que ahora

0 1 1 2 2 7 7

ˆ ...Y b b Z b Z b Z= + + + + (1.5)

El ajuste de una función de esta forma equivale a encontrar un hiperplano en 8R que se ajuste por mínimos cuadrados a los datos que se tienen. Ahora se dispone de una expresión lineal con 7 variables. Sin embargo, ocurrirá que no todos estos

15

términos estarán incluidos en la expresión matemática final de los análisis de regresión. De la selección de aquellas variables que son realmente explicativas de la variable dependiente nos encargaremos a continuación.

1.4. MÉTODO DE ELECCIÓN DE VARIABLES.

Existen diversas maneras de encontrar una lista de variables independientes que expliquen el comportamiento de la variable dependiente que se quiere estudiar. El método más completo, pero a la vez más costoso es el de la regresión por subgrupos o subsets regression. Su fundamento consiste en seleccionar subgrupos de variables e ir realizando todas las regresiones posibles, comparándolas y decidiendo cual es la mejor. Esta sencilla idea se convierte en un obstáculo cuando se intenta poner en práctica. En el caso que nos ocupa, en el que se consideran hasta 7 regresores (Z1, Z2, ..., Z7), este método exige examinar la calidad de todas las regresiones posibles con un regresor, dos regresores, etc., hasta 7 regresores. Ello supone un total de

7

1

71 127

i i=

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ regresiones posibles. En el siguiente capítulo se planteará una

regresión con hasta 38 regresores, lo que suponen 38

1

381 274.877.906.944

i i=

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

regresiones posibles. Como es lógico, llevar a cabo tantos cálculos resulta inviable a este nivel. Sin embargo, es importante conocer el criterio que se utiliza para escoger la mejor de todas las regresiones. Para ello se parte del análisis de varianza, de manera que se divide la variabilidad total del modelo tal y como sigue:

ˆ ˆ( ) ( )i i i iY Y Y Y Y Y− = − + − (1.6)

Si se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación y se suma para todas las observaciones se tiene que

2 2 2

1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 2 ( )( )n n n n

i i i i i i ii i i i

Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y= = = =

− = − + − + − −∑ ∑ ∑ ∑ (1.7)

pero

1 1 1

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( )( ) 2 ( ) 2 ( )

ˆ ˆ2 2 0

n n n

i i i i i i i ii i i

n n

i i ii i

Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Y e Y e

= = =

= =

− − = − − − =

= − =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ (1.8)

por lo que

2 2 2

1 1 1

ˆ ˆ( ) ( ) ( )n n n

i i i ii i i

Y Y Y Y Y Y= = =

− = − + −∑ ∑ ∑ (1.9)

16

Al término de la izquierda se le denomina suma de cuadrados totales (SST). El primer término de la derecha es la suma de cuadrados de regresión (SSR) y el segundo se conoce como suma de cuadrados residuales (SSRes). A partir estos conceptos se define el coeficiente de determinación R2 como:

2 Re1 sR

T T

SSSSRSS SS

= = − (1.10)

En virtud de su definición, el coeficiente de determinación está comprendido entre 0 y 1 y establece en tanto por uno el porcentaje de la variabilidad de la variable dependiente que explica el modelo. Por tanto, una regresión será mejor que otra si su coeficiente de determinación es mayor, a igualdad de regresores. Y es importante tener en cuenta que este valor tiene relevancia cuando se comparan regresiones con el mismo número de regresores puesto que, por su definición, R2 aumenta con el número de regresores. A fin de poder comparar la bondad relativa de dos regresiones con distinto número de términos se acude al coeficiente de determinación ajustado, R2

Aj:

2 211 (1 )AjnR Rn p

⎛ ⎞−= − −⎜ ⎟−⎝ ⎠

(1.11)

donde n es el número de observaciones y p es el número de regresores.

Una vez completado este análisis, hay que volver a plantearse cómo abordar la

obtención de una buena regresión sin tener que recurrir a la regresión por subgrupos. Existen otros métodos entre los cuales se encuentra el ajuste paso a paso o stepwise regression, que fue el escogido. Este método se basa en las pruebas sobre coeficientes individuales de regresión. La hipótesis para probar la importancia de cualquier coeficiente individual de regresión es:

0:

1

0

≠

=

j

bH

Si no se rechaza la hipótesis nula H0, se considera que el regresor Xj del modelo

puede ser eliminado. El estadístico de prueba para esta hipótesis es

0 2

ˆ

ˆj

jj

bt

Cσ= (1.12)

donde 2σ es el estimador de la varianza de Y, cuyo valor es pn

SS s

−Re . Nótese que el

estimador de un valor que es independiente del modelo (la varianza de las observaciones) está expresado en función de dicho modelo. Cjj es el elemento diagonal de (X’X)-1. La matriz X para un ajuste con k regresores y n observaciones se define como:

17

11 12 1

21 22 2

1 2

1 ...1 ...: : : : . :: : : : . :1 ...

k

n n nk

X X XX X X

X X X

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X (1.13)

Se rechazará la hipótesis nula si 1,20 −−> kntt α , siendo 1,2 −−kntα el valor del estadístico de la función t de Student. Esta prueba resulta ser parcial, porque el coeficiente de regresión jb depende de todas las demás variables regresoras que estén en el modelo.

a) Seleccionar la variable explicativa que mejor se ajuste a la variable

independiente mediante una regresión lineal simple. Para ello, se recurre al coeficiente de determinación R2. Acto seguido se calcula el estadístico t0 de esa variable, de manera que si t0 en una regresión es mayor que un determinado valor, se estima que el regresor en cuestión debe incluirse en el ajuste.

b) Se calculan las correlaciones parciales, esto es, se realizan ajustes de las

variables no incluidas en el modelo prescindiendo de la influencia que ejercen las que ya están incluidas en él. Se escoge la variable que presente una mayor correlación parcial.

c) Se calcula el modelo de regresión de Y con respecto a las variables

introducidas en el modelo y la variable escogida anteriormente, obteniendo así nuevos valores de los estadísticos t0 de todas ellas.

d) Se comprueban los nuevos estadísticos de las variables anteriormente

añadidas al modelo. Si el menor t0 es menor que el valor mínimo de aceptación, la variable asociada a ese estadístico saldrá del modelo. De igual forma, si el mayor t0 es mayor que el valor de este umbral, la variable asociada a ese estadístico entrará del modelo. Si ninguna variable entra o sale del modelo, el algoritmo habrá acabado.

e) Volver al paso b).

Este algoritmo no garantiza la consecución de la mejor regresión posible, pero en muchos casos ayuda a conseguir ajustes bastante buenos. Matlab incluye una herramienta interactiva que se activa con el comando stepwise. En ella, el usuario recibe los valores del estadístico t0 de cada variable. Dichos valores se van actualizando conforme avanza el proceso de inclusión y exclusión de variables. Aunque en principio se deben incluir los regresores cuyo t0 esté por encima del valor umbral y excluir aquellos cuyo t0 esté por debajo de él, Matlab permite que se añadan o se eliminen los regresores que convenga. Puede ocurrir que un regresor con un valor del estadístico t0 demasiado pequeño para entrar en el modelo pueda ser incluido más tarde en el modelo tras incluir otro que tampoco debería estar en él en ese preciso momento. Es por esto que el ajuste de la oferta y la demanda de los diez productos bajo estudio no resultó una tarea inmediata, sino

18

que en la mayoría de los casos exigió la inclusión y exclusión de variables de manera manual hasta obtener unos buenos valores de R2

Aj.

1.5. RESULTADOS OBTENIDOS.

Recuérdese que la expresión matemática que se propuso para llevar a cabo el análisis de regresión fue la escrita en (1.4), esto es:

1 22 2

0 1 1 2 2 3 1 4 2 5 1 2 6 7ˆ X XY b b X b X b X b X b X X b e b e= + + + + + + +

o linealizada,

0 1 1 2 2 7 7ˆ ...Y b b Z b Z b Z= + + + +

Se probó ajustar esta ecuación con la herramienta stepwise de Matlab para los

precios de cada tipo de contenedor en sus dos posibles estados (cargado o vacío), y en todos los casos (8 en total), se llegó a la conclusión de que el número de terminales no afecta en modo alguno a la variabilidad de los precios. La inclusión en el modelo de las variables relacionadas con X2 (Z2, Z4, Z5 y Z7) no mejoró el coeficiente de determinación ajustado RAj

2 en ningún caso De hecho, se probó a ajustar el precio en función únicamente del número de terminales intermedias con varios tipos de funciones, no obteniendo en ningún caso un coeficiente de determinación R2 mayor de 0,45.

Ahora que el precio sólo depende de la distancia, se puede trabajar en el plano

para intentar conseguir una función fiable que relaciones estas dos variables. Tras probar ajustes de diversas formas, ya sean lineales, cuadráticos, cúbicos, exponenciales o potenciales, se concluyó que en todos los casos un ajuste lineal ofrece la regresión de mayor calidad. Por tanto, la expresión de la función que relaciona precio y distancia para cada tipo de contenedor será de la siguiente forma:

0 1 1Y b b X= + (1.14)

Seguidamente se podrán ver los gráficos de las regresiones, pues al estar hechas

en 2R son perfectamente representables. Las rectas son muy parecidas entre sí, con pendientes con puntos de corte en el eje de ordenadas bastante similares, y pendientes no muy diferentes unas de otras. Al redondear con dos decimales el coeficiente de determinación R2 de todas las funciones, resulta que dicho valor es igual en todas las regresiones e igual a 0,74.

19

Figura 1.3. Ajuste para un contenedor vacío de 20’.

20

21

Figura 1.7. Ajuste para un contenedor lleno de 20’.

22

23

Figura 3.11. Ajustes obtenidos.

1.6. CONCLUSIONES.

Los resultados obtenidos tras el análisis de regresión revelan que efectivamente existe una relación entre la distancia a la que se transporta la mercancía y el precio que se paga por ello. No parece que exista relación alguna con el número de paradas en otras terminales que tenga que realizar durante el trayecto, a pesar de que en ellas se realizan operaciones de carga, descarga, reorganización de convoyes, etc.

Nótese que los ajustes de las figuras 1.5 y 1.7 son muy parecidos.

Consecuentemente, en la Figura 1.11, las rectas correspondientes a los precios de un contenedor vacío de 40’ y uno lleno de 20’ se superponen y aparecen como una sola línea. Tras analizar las rectas de regresión se puede concluir que RENFE, en función del tipo de contenedor acordado y el estado de éste durante el transporte, aplica un coste fijo de entre 35 y 56 € aproximadamente por la contratación del servicio más un coste variable que oscila entre los 0,30 y 0,49 €/km.

Dependencia de las ofertas y demandas de los productos en función de varias variables

24

2 DEPENDENCIA DE LAS OFERTAS Y DEMANDAS DE LOS PRODUCTOS EN FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

2.1.INTRODUCCIÓN.

Para comprender mejor el motivo de este segundo capítulo, es conveniente hacer una referencia al tercero que le seguirá. En esa última parte este estudio se procederá a la elaboración de un modelo matemático que refleje una distribución del flujo de varias mercancías entre regiones españolas de una manera real. Para ello, se partirá de una serie de datos recopilados del Instituto Nacional de Estadística (INE), entre los cuales estarán los niveles de oferta y demanda de cada uno de cada comunidad para cada uno de los diez productos que se considerarán en la construcción de dicho modelo. Estos bienes serán los siguientes:

1. Productos agrícolas y animales vivos. 2. Productos alimenticios y forrajes.

3. Combustibles minerales sólidos.

4. Productos petrolíferos.

5. Minerales y residuos para refundición.

6. Productos metalúrgicos.

7. Minerales en bruto o manufacturados y materiales de construcción.

8. Abonos.

9. Productos químicos.

10. Máquinas, vehículos, objetos manufacturados y transacciones especiales.

Si bien los niveles ofertados y demandados de esos diez productos son un dato,

ello no es óbice para conocer la relación de dichos niveles con determinados aspectos económicos y humanos. A tal fin, y de igual forma que en el primer capítulo de este proyecto, se recurrirá al análisis de regresión para plantear un ajuste de dichos factores (oferta y demanda) en función de variables demográficas y macroeconómicas, de forma que se pueda encontrar una correlación aceptable entre ellas que ayude a predecir los niveles de estos factores una vez son conocidas dichas variables.

25

2.2.VARIABLES ESCOGIDAS.

La preparación del modelo de regresión requiere en primer lugar recopilar un conjunto de variables que puedan explicar el comportamiento de la variable dependiente. A tal efecto se escogieron cuatro variables de tipo demográfico y macroeconómico, a saber:

• Tipo demográfico: población en 2005 de cada región española.

• Tipo macroeconómico:

o PIB de cada comunidad autónoma en 2005.

o Tasa de desempleo de cada comunidad autónoma en 2005.

o Número de empleados de cada comunidad autónoma

involucrados en los sectores correspondientes a cada uno de los diez tipos de mercancías del estudio en 2005.

Nótese que de las cuatro variables, tres reflejan datos globales de cada

comunidad, mientras que el número de empleados es una variable característica del sector del producto que se analice en cada momento. Conocidos estos datos y dada la oferta (o demanda) de un producto concreto, se puede ajustar un modelo matemático que explique las diferencias entre las ofertas (o demandas) de cada comunidad autónoma en función de estas cuatro variables. En las próximas líneas se presentarán los datos recogidos del INE y se comentarán algunas incidencias. Las unidades en las que se expresan los datos son las mismas que se utilizaron a la hora de llevar a cabo el ajuste por mínimos cuadrados.

Las poblaciones de las quince CC.AA. consideradas en este estudio en el año

2005 fueron las que se muestran el la Tabla 2.1:

Comunidad Autónoma Población (millones de hab.) Andalucía 7,849799 Aragón 1,269027 Asturias 1,076635 Cantabria 0,562309 Castilla y León 2,510849 Castilla-La Mancha 1,894667 Cataluña 6,995206 C. Valenciana 4,692449 Extremadura 1,083879 Galicia 2,762198 Comunidad de Madrid 5,964143 Murcia 1,335792 Navarra 0,593472 País Vasco 2,124846 La Rioja 0,301084

Tabla 2.1. Población de las CC.AA españolas.

26

El PIB de las quince CC.AA. consideradas en este estudio en el año 2005 se

muestran el la Tabla 2.2:

Comunidad Autónoma PIB (miles de millones de €) Andalucía 125,142174 Aragón 27,854813 Asturias 19,475748 Cantabria 11,33538 Castilla y León 48,76166 Castilla-La Mancha 30,629895 Cataluña 169,855354 C. Valenciana 87,706759 Extremadura 15,082114 Galicia 46,060314 Comunidad de Madrid 160,562081 Murcia 22,959104 Navarra 15,375146 País Vasco 55,620098 La Rioja 6,638887

Tabla 2.2. Población de las CC.AA españolas.

Las tasas de paro de las quince CC.AA. consideradas en este estudio en el año

2005 se muestran el la Tabla 2.3:

Comunidad Autónoma Tasa de paro (%)Andalucía 13,85 Aragón 5,83 Asturias 10,24 Cantabria 8,51 Castilla y León 8,72 Castilla-La Mancha 9,16 Cataluña 6,95 C. Valenciana 8,81 Extremadura 15,78 Galicia 9,94 Comunidad de Madrid 6,80 Murcia 8,01 Navarra 5,65 País Vasco 7,33 La Rioja 6,18

Tabla 2.3. Tasa de desempleo de las CC.AA españolas.

27

Los datos que se recogieron del INE fueron los siguientes:

Sectores (en miles de trabajadores)

Comunidad Autónoma 1.Agricultura, ganadería y

pesca

2.Industrias de

alimentación

3.Industrias extractivas,

petróleo, química,

metalurgica

4.Construcción de maquinaria,

materiales eléctricos, de

transporte

5.Construcción

Andalucía 283,5 111,6 135,9 95,7 455,3 Aragón 42,4 34,5 43,2 47,7 65,2 Asturias 21,8 23,3 45,8 14,3 47,7 Cantabria 13,2 12,7 15,2 12,3 30,7 Castilla y León 88,2 72,4 65,9 44,7 132,6 Castilla-La Mancha 63,7 71,2 51,5 28,1 126 Cataluña 80,3 292,7 261,1 237,5 356,7 C. Valenciana 69,7 173 160,2 99,3 289,9 Extremadura 52,2 19,3 15,6 5,6 56,2 Galicia 110,3 97,9 55,3 57,7 130,4 Comunidad de Madrid 30,5 107,5 123,1 113,4 311,5 Murcia 68,5 37,6 30,7 25,1 97,9 Navarra 12,5 21,2 20,3 27 30,3 País Vasco 13,6 35,1 110,2 96,8 79,9 La Rioja 11,1 19,6 13,3 6,7 16,2

Tabla 2.4. Número de empleados por sector de las CC.AA españolas.

Tal y como se puede observar, esta clasificación por sectores no corresponde

exactamente a los diez tipos de productos que se consideran en el estudio. Por ello, se han identificado los productos con los sectores de la manera que se expone en la Tabla 2.5. Los números de la columna de sectores implicados de esta tabla hacen referencia a los ordinales de las columnas correspondientes de la Tabla 2.4 que están implicadas en el producto en cuestión. Así, los empleados dedicados a los productos agrícolas y animales vivos son los que se encuentran en la columna 1 del rango de sectores de la Tabla 2.4. En la Tabla 2.6 se han presentado el número total de empleados por producto y CC.AA.

Producto Sectores implicados

Productos agrícolas y animales vivos 1 Productos alimenticios y forrajes 2 Combustibles minerales solidos 3 Productos petrolíferos 3 Minerales y residuos para refundición 3 Productos metalúrgicos 3 Minerales y materiales para construcción 4+5 Abonos 1 Productos químicos 3 Máquinas, vehículos, objetos manufacturados 4

Tabla 2.5. Relación entres productos y sectores implicados.

28

Empleados por tipo de material (en miles de trabajadores) CC.AA.

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 Tipo 7 Tipo 8 Tipo 9 Tipo 10Andalucía 283,5 111,6 135,9 135,9 135,9 135,9 551 283,5 135,9 95,7

Aragón 42,4 34,5 43,2 43,2 43,2 43,2 112,9 42,4 43,2 47,7 Asturias 21,8 23,3 45,8 45,8 45,8 45,8 62 21,8 45,8 14,3

Cantabria 13,2 12,7 15,2 15,2 15,2 15,2 43 13,2 15,2 12,3 Castilla-La Mancha 88,2 72,4 65,9 65,9 65,9 65,9 177,3 88,2 65,9 44,7

Castilla y León 63,7 71,2 51,5 51,5 51,5 51,5 154,1 63,7 51,5 28,1 Cataluña 80,3 292,7 261,1 261,1 261,1 261,1 594,2 80,3 261,1 237,5

C.Valenciana 69,7 173 160,2 160,2 160,2 160,2 389,2 69,7 160,2 99,3 Extremadura 52,2 19,3 15,6 15,6 15,6 15,6 61,8 52,2 15,6 5,6

Galicia 110,3 97,9 55,3 55,3 55,3 55,3 188,1 110,3 55,3 57,7 Comunidad de Madrid 30,5 107,5 123,1 123,1 123,1 123,1 424,9 30,5 123,1 113,4

Murcia 68,5 37,6 30,7 30,7 30,7 30,7 123 68,5 30,7 25,1 Navarra 12,5 21,2 20,3 20,3 20,3 20,3 57,3 12,5 20,3 27

País Vasco 13,6 35,1 110,2 110,2 110,2 110,2 176,7 13,6 110,2 96,8 La Rioja 11,1 19,6 13,3 13,3 13,3 13,3 22,9 11,1 13,3 6,7

Tabla 2.6. Empleados por tipo de producto.

Es conveniente conocer si existe relación entre las variables que se escogen. Si

esto ocurre, en mayor o menor medida, se dice que existe multicolinealidad. La existencia de relación lineal entre dos variables explicativas hace poco fiable la capacidad del modelo de medir la influencia por separado de estas variables sobre el modelo. Sin embargo, la multicolinealidad no afecta la habilidad global del modelo para predecir la oferta o la demanda. Supóngase por ejemplo que se quiere comprobar la existencia de multicolinealidad en la oferta del producto Tipo 1. La única diferencia con respecto a la oferta de cualquier otro producto se encontrará en la única variable explicativa que contiene información del sector en cuestión, esto es, el número de empleados. No obstante, valdrá como ejemplo. En la figura que se muestra debajo, se representan las relaciones, de dos en dos en forma de matriz. Las variables están escritas en la diagonal. De esta forma, por ejemplo, la relación entre la primera y la tercera variable (PIB y desempleo respectivamente) se puede consultar en la casilla (1,3) o en su simétrica (3,1). Nótese que existe una relación muy clara entre el PIB y la población de las CC.AA., tal y como era previsible.

29

Figura 2.1. Relación entre las variables explicativas.

2.3.ELECCIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN.

Resulta fácil de comprender que, a efectos de una regresión múltiple, todo lo que no sea una relación lineal resulta computacionalmente más complicado de resolver. Sin embargo, que las cuatro variables escogidas puedan relacionarse linealmente para obtener buenas predicciones de la oferta y la demanda de los productos descritos no deja de ser algo improbable.

Una vez que se ha supuesto que la relación no es lineal, cabe reflexionar sobre

qué expresión escoger. En aras de la sencillez, se escogió una relación polinómica con grados comprendidos entre –2 y 2. Se consideraron también los productos de primer grado entre las variables independientes. A fin de ilustrar esta idea, diremos que la función propuesta es de la forma:

Equation Section 2.1

PIB

Población

Desempleo

Empleados

30

2 2 2 20 1 1 2 2 3 3 4 4 5 1 6 2 7 3 8 4 9

1

10 11 12 13 14 15 16 17 1 22 2 2 22 3 4 1 2 3 4

18 1 3 19 1 4 20 2 3 21 2 4 22 3 4 231 2

24 25 26 271 3 1 4 2 3

1ˆ

1 1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 1

Y b b X b X b X b X b X b X b X b X bX

b b b b b b b b X XX X X X X X X

b X X b X X b X X b X X b X X bX X

b b b bX X X X X X

= + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + 28 29 1 2 32 4 3 4

30 1 2 4 31 1 3 4 32 2 3 4 33 341 2 3 1 2 4

35 36 37 1 2 3 4 381 3 4 2 3 4 1 2 3 4

1

1 1

1 1 1

b b X X XX X X X

b X X X b X X X b X X X b bX X X X X X

b b b X X X X bX X X X X X X X X X

+ + +

+ + + + + +

+ + + +

(2.1)

A la vista de este modelo, se puede concluir que la regresión tendrá lugar en 5R ,

pues existen 4 variables independientes. Esta ecuación no pretende sino dar a conocer cuáles son los posibles términos que se contemplan. Los ajustes que se obtengan no tienen por qué arrojar valores de bi distintos de cero para los 38 bi de la ecuación. Queda claro por tanto, que cualquiera sea la regresión que se obtenga, ésta contendrá estos términos y no otros.

Al igual que se hizo en el capítulo anterior, realizar un ajuste de regresión lineal

múltiple por mínimos cuadrados requiere la linealización de la expresión anterior mediante cambios de variable, tal que

0 1 1 2 2 38 38

ˆ ...Y b b Z b Z b Z= + + + + (2.2)

En esta ocasión no se ajustará un hiperplano en 5R sino en 39R . La ecuación (2.5) cuenta con 38 variables regresoras de las cuales sólo algunas serán significativas al llevar a cabo las regresiones.

2.4.RESULTADOS OBTENIDOS.

A continuación se presentan los resultados que se obtuvieron para cada uno de los diez productos del estudio. De igual forma que en el primer capítulo, se recurrió a la función stepwise de Matlab. Sin embargo, al haber 38 variables en lugar de las 7 del Capítulo 1, el proceso fue más complejo. En la mayoría de ocasiones se tuvieron que añadir variables que en principio no eran aptas para entrar en el modelo, y ello requirió hacer muchas pruebas. Afortunadamente, se hallaron excelentes coeficientes de determinación que se muestran en la tabla 2.7. En vista de los valores de estos coeficientes, se puede concluir que las regresiones reproducen con enorme exactitud la variabilidad de la variable dependiente. Téngase en cuenta que regresiones con coeficientes de determinación del orden de 0,7 indican que existe relación entre las variables explicativas y la variable dependiente, por lo que coeficientes como los obtenidos (del orden de 0,9) son resultados muy satisfactorios.

31

Oferta DemandaProducto R2 R2

Aj R2 R2Aj

1 0,99 0,97 0,89 0,822 0,92 0,83 0,81 0,743 1 0,99 0,97 0,874 0,93 0,85 1 0,995 0,98 0,91 0.99 0,966 0,94 0,90 0,90 0,837 0,98 0,90 0,89 0,858 0,89 0,82 0,96 0,869 0,91 0,89 0,91 0,8610 0,94 0.90 0,92 0,89

Tabla 2.7. Coeficientes de determinación.

Una vez conocidas las regresiones y por tanto ajustado el hiperplano

correspondiente, se pueden formular las expresiones matemáticas en la forma expuesta en la ecuación (2.4), esto es, una vez deshecho el cambio de variables. Se puede observar que estos resultados muestran cómo las ofertas y las demandas de los distintos productos dependen casi siempre de las cuatro variables explicativas, aunque el número de términos en cada ecuación es mucho menor a los 39 que se supusieron en (2.4).

X1: PIB X2: población X3: tasa de desempleo X4: empleados en el sector

Producto 1:

• Oferta:

21 3 4 3

4

1 2 2 3 424 1 3 4

116052 1025,0498 150,659 585246,0414 58,2672

1 15009113,0067 2,3141 1,0446 2655971,0589

O X X XX

X X X X XX X X X

= + − − − +

+ + − (2.3)

• Demanda:

1 43 4

2 21 2

1 12945,2 37,3841 21466,8276 59996,2706

0,3675 250,2771

D XX X

X X

= − + − −

− +

(2.4)

32

Producto 2:

• Oferta:

2 2 44

2 3 3 4 1 2 4 2 3 4

18672,3 10570,0245 828,7536 70029,6191

1565,032 75,7431 0,0824 3,3616

O X XX

X X X X X X X X X X

= − − + + +

+ − − − (2.5)

• Demanda:

2 2 1 3 1 2 4531,25 6968,1361 4522,6536 1204,5666D X X X X X X= + − − (2.6)

Producto 3:

• Oferta:

3 32

21

3 4

1 42 23 4

2 3 1 2 4 2 3 4

2 3

114294 2309,4756 10307,1649

1 17886,3589 4115,0038 2617,604

1 16825,5509 5676,2724 10783,2632

6206,0238 4953,9087 6463,425717607,7328

O XX

XX X

X XX XX X X X X X X X

X X

= − + −

− + − +

+ − + +

+ − − −

−

(2.7)

• Demanda:

3 12 4

2 21 3 1 2 3 42

1

1 2 2 3 2 4

1 3 4

1 1531, 25 21248,8141 8053,3127 23739, 4096

117413, 2651 3553,826 45565, 246 3060,0396

1 1 194230,3667 4855,1663 28117,7651

138891, 4823

D XX X

X X X X X XX

X X X X X X

X X X

= − − − +

+ + + − −

− + + +

+

(2.8)

33

Producto 4:

• Oferta:

24 3 3

3

2 21 3 2 3

2 4

1296171 17572,8169 2096544,4336 368,6238

1 1 1271461,8943 5270444,935 20058,3936

117070,3193

O X XX

X X X X

X X

= − + + − −

− − + −

−

(2.9)

• Demanda:

4 1 33

2 23 4 1 22

3

1 3 3 4 1 2 4

1 4 2 3

1811174 5695,6901 172153,7194 156597,7782

196026, 4741 13910,8106 81237,9881 10174,5406

4658,5842 8971,1464 14228,02981 11730,9635 1293,6825

D X XX

X X X XX

X X X X X X X

X X X X

= + − − +

+ − + − −

− + + +

+ −

(2.10)

Producto 5:

• Oferta:

5 1 223 4

3 4 1 2 4 1 3 4

1 2 3 41 2 3 4

1 3 4

1 10 4254,4 15444,5276 616360,7603 6,3502

11,7843 0,0574 0,19471 10,0075 75947,8603 243379,3341

115233497,6900

X XX X

X X X X X X X X

X X X XX X X X

X X X

= − + + + +

+ + − +

+ − − +

+

(2.11)

34

• Demanda:

5 1 42

1 2 1 3 3 421

1 2 4 1 3 42 3

11732,1 178,7354 172,6368 3658,0092

1161513,5046 11,0974 18, 2358 16,6516

10,0242 0,0314 13441,743

D X XX

X X X X X XX

X X X X X XX X

= − − + + −

− + + − −

− − −

(2.12)

Producto 6:

• Oferta:

2

6 4 2 2 4

1 2 3 1 3 4

241, 23 30,5671 1346, 2199 93, 4298,5191 0,5483

O X X X XX X X X X X

= + + − −− +

(2.13)

• Demanda:

6 1 2 2

1

1 2 31 2 3 4

11994,3 23,1086 677,383 390332,7156

10,1673 1249752,3385

D X XX

X X XX X X X

= + − − +

+ + (2.14)

Producto 7:

• Oferta:

7 1 42

22 2

4 4

1 4 2 3 4 1 2 3 4

1 2 1 2 3 4

11218494 4698,1278 6880,8873 484233,5486

1 115992193,06 31344,0054 3204696999

55,8343 118,1554 ,761 13730055,3369 518273983,85

O X XX

XX X

X X X X X X X X X

X X X X X X

= − + + − +

+ − −

− − + +

+ +

(2.15)

• Demanda: 7 1 2 2 3 1 2 42385 82,9106 77,1945 0,1305D X X X X X X X= + − − (2.16)

35

Producto 8:

• Oferta:

8 1 2 4

3 2 3

591,79 40,3458 1046,1733 9,32171 18726,2807 1361,3395

O X X X

X X X

= − − + − +

+ − (2.17)

• Demanda:

8 1 3 4

22

3 4

1 32 23 4

2 3 4

39323 69,6696 1098,5822 62,78791 1289968,0285 199700,4364 119,7596

1 1784443,6863 1558649,0394 6,3008

0,6923

D X X X

XX X

X XX X

X X X

= + − − −

− − − +

+ + − +

+

(2.18)

Producto 9:

• Oferta:

29 4536,65 0,0655O X= + (2.19)

• Demanda:

29 1 2

4

3 41 2 1 2 4

1570,47 0,0381 65356,8291

1 10,7478 38832,286 459775,1797

D XX

X XX X X X X

= − + +

+ − + (2.20)

Producto 10:

• Oferta:

10 1 2

24 4 3 4

874,67 150,8197 5343,9124

347,572 0,3893 35, 4977

O X X

X X X X

= − − + +

+ − − (2.21)

• Demanda: 10 2 3 2 3 44613,3 2449,9622 440,1268 0,7267D X X X X X= + − − (2.22)

Determinación de la matriz origen-destino para el transporte de mercancías entre las CC.AA.

36

3 DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ ORIGEN-DESTINO PARA EL TRANSPORTE DE MERCANCÍAS ENTRE LAS CC.AA.

3.1. INTRODUCCIÓN.

La oferta y la demanda de materias primas y productos elaborados en España trae consigo el transporte de las mismas a distintos niveles, a saber:

• Transporte interior.

o Intrarregional: el origen y destino de las mercancías se encuentran dentro de una misma Comunidad Autónoma.

o Interregional: el origen y destino de las mercancías se encuentran en distintas comunidades autónomas.

• Transporte internacional.

o Recibido: mercancías importadas desde el extranjero. o Expedido: mercancías exportadas al extranjero.

A su vez, estas mercancías pueden trasladarse desde su origen a su destino siguiendo distintos modos de transporte, ya sean carreteras, ferrocarriles, vía aérea o vía marítima. El transporte de mercancías a través de dos o más de estos modos se denomina transporte multimodal de mercancías. En el presente proyecto los modos de transporte sobre los que se va a realizar el estudio son el transporte por carretera y por ferrocarril.

El análisis que se presentará a continuación tiene como objetivo la

determinación del flujo de distintos tipos de mercancías entre las CC.AA., esto es, el transporte interior interregional de los siguientes tipos de mercancías:

1. Productos agrícolas y animales vivos. 2. Productos alimenticios y forrajes. 3. Combustibles minerales sólidos. 4. Productos petrolíferos. 5. Minerales y residuos para refundición. 6. Productos metalúrgicos.

37

7. Minerales en bruto o manufacturados y materiales de construcción. 8. Abonos. 9. Productos químicos. 10. Máquinas, vehículos, objetos manufacturados y transacciones especiales.

Los distintos flujos interregionales de mercancías están agrupados en la llamada

matriz origen-destino, cuya determinación es el objetivo de este estudio. Dicha matriz tiene como elemento en la posición (i,j) a la variable xij

k, que representa el volumen transportado de la mercancía k entre los nodos i y j. Estará por tanto constituida por i filas y j columnas. A fin de conocerla, son necesarios varios datos que se pueden encontrar en la Encuesta Permanente de Transporte del año 2005, elaborada por el Ministerio de Fomento. Dichos datos son los que siguen:

• Distancias entre los nodos de oferta y demanda, Cij.

• Flujo total ofertado por cada C.A. por tipo de material, Oi

k. • Flujo total demandado por cada C.A. por tipo de material, Dj

k.

• Flujo total de mercancías que cada C.A. transporta a todas y cada una de las restantes CC.AA., ∑

kijt

donde k es el tipo de mercancía, i es la Comunidad Autónoma de origen y j la de destino. Estos datos pueden ser consultados en las tablas 3.3 y 3.4. El motivo por el que estos datos son necesarios surge de la necesidad de cotejar los resultados del modelo, es decir, los elementos de la matriz origen-destino, con ellos. En efecto, se debe cumplir la relación que sigue: Equation Section 3.1

1

, ;

nk kij i

j

nk kij j

i

x O i k

x D j k

=

= ∀ ∀

∑

∑ (3.1)

donde n es el número de comunidades autónomas. La primera relación impone que la suma de todos los flujos de una mercancía determinada k que sale de un origen i debe coincidir con el nivel de dicha mercancía que ofrece esta comunidad. El razonamiento es análogo para la segunda relación. Para que los modelos que se van a presentar a continuación tengan solución, ha de cumplirse siempre la conservación del flujo en el sistema, esto es, que todo lo que se oferte en el sistema sea demandado:

38

1 1

n m

i ji j

O D= =

=∑ ∑ (3.2)

Estos datos, aportados por el Ministerio de Fomento, no cumplen exactamente

esta relación. Más adelante se discutirá la razón de este desajuste y la solución que se adoptó.

Una vez aplicado el modelo que se esté analizando, se comprobará su validez

sumando las matrices origen-destino de las diez mercancías consideradas en el análisis. Se busca que dicha suma sea lo más parecida posible a la matriz de datos Tij de elementos ∑

kijt para cada posición i, j. De esta forma, se habrá estimado un

modelo que representa con suficiente exactitud la realidad del transporte interregional.

Con objeto de comprobar si los resultados son buenos se define el error medio ponderado entre la matriz de datos y la matriz obtenida. Esto se puede conseguir, calculando primero la matriz de error, en la que cada elemento es:

ij ij

ij

t xt−

(3.3)

donde tij es el elemento en la posición (i,j) de la matriz de datos y xij es el elemento en la misma posición de la matriz origen-destino hallada. El error medio ponderado se obtiene como

, ,

ij ij ij ijij

i j i jij ij iji j i j

t x t xtt t t− −

⋅ =∑ ∑∑ ∑ (3.4)

3.2. MODELOS CONSIDERADOS.

Abordar la resolución de este problema requiere la elección de un tipo de modelo. La idoneidad de cada modelo aplicado a una situación determinada viene dado por la validez de sus resultados. En particular, para la obtención de la matriz origen-destino en este problema se han considerado tres tipos de modelos, que se citan a continuación y que se expondrán en los siguientes subapartados:

• Modelo de minimización de costes. • Modelo gravitacional.

• Modelo de entropía.

39

3.2.1. MODELO DE MINIMIZACIÓN DE COSTES.

La teoría básica sobre algoritmos de transporte enseña como modelo fundamental aquel que minimiza los costes a la hora de suministrar bienes desde unos nodos de origen a otros de destino. Se puede escribir de la manera que sigue:

ij1 1

ij1

Minimizar z f(c )

sujeto a

i 1,2,...,n

j 1,2,...,m

0 i 1,2,...,n; j 1,2,...,m

n m

iji j

m

ij

n

ji

ij

x

x O

x D

x

= =

=

= ∀ =

≥ ∀ = ∀ =

∑∑

∑

(3.5)

o de forma matricial:

Minimizar sujeto a =

≥

f(c)x

Αx b x 0

(3.6)

donde el vector x contiene los elementos de la matriz origen-destino. La función de costes f(cij) puede tomar distintas formas. Si los costes de llevar una unidad de flujo a través de cualquier arco de la red son constantes, la función objetivo z será una función lineal.

Sobre este modelo básico y lineal en sus restricciones se pueden hacer tantas

variaciones como se quiera, cambiando así su naturaleza. Esto variará su dificultad en la resolución del mismo y requerirá un mayor tiempo de computación. Sin embargo, a pesar de ser muy tentadora la opción de alcanzar un punto óptimo donde los costes sean mínimos, no debe perderse nunca la noción de lo que se está planteando. Un modelo de esta índole requiere un control total sobre las decisiones de envío de mercancías a través de las rutas disponibles. En resumen, la solución que este modelo puede arrojar lleva consigo la toma de unas decisiones (por dónde enviar y cuánto) que pueden no estar en nuestras manos. Y es este precisamente el caso que nos ocupa: no es posible decidir por dónde deben operar las empresas implicadas y cuánta mercancía deben transportar. A pesar de ello, y a modo de prueba, este modelo será resuelto posteriormente.

Es justo aclarar que, por otro lado, este modelo puede sugerir muy importantes

conclusiones y resultados en otras aplicaciones. Muchas empresas, que lógicamente controlan y deciden qué, cuánto y dónde enviar, emplean este tipo de modelos. Evidentemente, la complejidad de éstos varía enormemente en función del número de centros de oferta y demanda, modos de transporte, precisión en la función de costes, número de mercancías distintas, etc. Con objeto de ilustrar esta idea, valga

40

de ejemplo un estudio realizado por el Département d’informatique et de reserche óperationnelle de la Universidad de Montreal, Canadá. Tras el planteamiento de un modelo no lineal y la concepción de un algoritmo de resolución basado en la resolución previa de subproblemas lineales, se procedió a probarlo con escenarios relacionados con el transporte de carbón en Finlandia. El problema resultó tener más de 2.500 nodos y 6.600 arcos, lo que da una visión de la magnitud que pueden llegar a alcanzar estos problemas.

3.2.2. MODELO DE ENTROPÍA.

Aunque este modelo de interacción espacial cuenta con numerosos seguidores y detractores, es normalmente reconocido como una de las más importantes contribuciones al modelado de redes de transporte. La validez de este modelo se ha comprobado sobre todo en los problemas relacionados con el transporte urbano de mercancías, por lo que en principio su aplicación al transporte interregional parece de dudosa efectividad.

El concepto de entropía puede ser interpretado en términos de probabilidad.

Considérese un sistema de partículas que evolucionan desde unos estados iniciales hacia unos estados finales. El estado final de cada una de las partículas del sistema se denomina micro-estado, mientras que al conjunto de estados finales de todas las partículas del sistema se le denomina macro-estado. La función de entropía reproduce la probabilidad de que dichas partículas se extiendan de manera equiprobable hacia cada micro-estado, encontrando en última instancia el macro-estado más probable cuando dicha función se maximiza. En términos de ingeniería del transporte, la entropía se considera un medidor de la dispersión de los envíos desde un nodo origen i. Por tanto, su maximización pretende que los nodos de origen envíen mercancías a todos los nodos destino de la forma más dispersa posible. Su formulación matemática es la que sigue:

!

ijij

xW

x=∑∏

(3.7)

Un desarrollo matemático sobre la expresión anterior (ORTÚZAR, 1990) arroja

un resultado equivalente: ( ln )ij ij ij

ijW x x x= − −∑ (3.8)

De esta forma, y teniendo en cuenta que maximizar una función cualquiera f(x)

es igual que minimizar la función –f(x), el modelo a resolver resulta ser no lineal. Además, ij

ij

x∑ es constante por lo que puede excluirse de la minimización. Con

todo, el modelo es el que se muestra a continuación:

41

ij1

Minimizar -W ( ln )

sujeto a

i 1,2,...,n

j 1,2,...,m

0 i 1,2,...,n; j 1,2,...,m

ij ijij

m

ij

n

ji

ij

x x

x O

x D

x

=

= ∀ =

≥ ∀ = ∀ =

∑

(3.9)

o de forma matricial:

Minimizar - Wsujeto a =

≥Αx b

x 0

(3.10)

3.2.3. MODELO GRAVITACIONAL.

Entre los modelos de interacción espacial más utilizados para el transporte interregional se encuentra el modelo gravitacional. Los modelos de interacción espacial tuvieron un importante crecimiento a partir de la segunda mitad del siglo XX, coincidiendo con un gran crecimiento urbano, debido a su gran aplicabilidad y a sus buenos resultados.

El primer modelo de este tipo fue precisamente el modelo gravitacional. Este

modelo representa una analogía con la Ley de Gravitación Universal formulada por Isaac Newton, en la que se afirma que la fuerza con la que dos partículas se atraen es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esto es:

2

MmF kd

= (3.11)

El modelo que aquí se presenta es aquel que establece que el flujo que va de un

nodo de origen a otro de destino es proporcional al producto de la cantidad ofertada y demandada por los nodos de origen y destino respectivamente e inversamente proporcional a una función de los costes en que se incurre al transportar dichas mercancías de entre esos nodos. Su expresión matemática será por tanto:

i 1,2,...,n; j 1,2,...,m( )

i i j jij

ij

O Dx

f cα β

= ∀ = ∀ = (3.12)

donde:

42

αi, βj son constantes. Oi, Dj son las cantidades ofertadas y demandas por los nodos i y j respectivamente. f(cij) es una función de costes.

La función de costes puede tomar diversas formas. Sin embargo, son tres tipos

los que se utilizan con más frecuencia: • Tipo potencial: f(cij)=cij

n, donde el exponente n suele tomar valores comprendidos entre 0,6 y 3,5.

• Tipo exponencial: f(cij)=eθcij

• Tipo combinado: f(cij)=cij

neθcij

3.3. DATOS DISPONIBLES.

Tal y como se señaló al comienzo de este capítulo, los datos que se manejarán para la obtención del modelo fueron extraídos de la Encuesta Permanente de Transporte del año 2005. A continuación se detallan todos ellos y se comentan algunos problemas que se encontraron para adecuarlos al estudio.

3.3.1. MATRIZ DE COSTES.

Los costes en los que incurren las empresas dedicadas al transporte de mercancías pueden ser función de muchos parámetros. En relación a esto, dichas empresas decidirán qué rutas utilizar para el transporte de sus productos, de manera que puedan satisfacer las necesidades de sus clientes a un precio razonable, a ser posible mínimo. Factores como el precio del combustible, el coste de almacenamiento en los lugares de origen y destino, el coste de la mano de obra, el tiempo invertido, etc. son algunos de los que determinarán cuánto y por dónde enviar las mercancías.

Sin embargo, entre estos costes se pueden diferenciar dos tipos, a saber, costes

diferenciales y no diferenciales. Se entiende por coste diferencial aquel que puede hacer que una ruta suponga una ventaja comparativa sobre otra. Por ejemplo, si cargar y descargar mercancía de un camión tiene el mismo coste en toda España, éste será un coste no diferencial, pues se va a pagar la misma cantidad por este concepto cualquiera sea el trayecto escogido.

A fin de plantear un modelo sencillo, se va a considerar que la distribución

interregional de mercancías en España depende exclusivamente de la distancia ente los centros de oferta y demanda. En este concepto se pueden incluir algunos costes diferenciales, pues a mayor distancia mayor consumo de gasolina, mayor tiempo de empleo del personal encargado del transporte, etc. En la Tabla 3.2 que se presenta a continuación, se expone la matriz de distancias entre CC.AA.; dichos valores son las distancias kilométricas entre las capitales de cada región. Así, la distancia entre la

43

Comunidad Valenciana y Castilla La Mancha es en realidad la distancia entre Valencia y Toledo. Por otro lado los elementos de la diagonal, que son nulos, tendrán un valor varios órdenes de magnitud por encima del resto a la hora de aplicar la matriz de costes a los modelos. Nótese que esto no es más que un artificio matemático para evitar que los modelos que se aplicarán a continuación asignen transporte de mercancías con origen y destino en una misma Comunidad Autónoma. Las capitales de las CC.AA. se muestran a continuación en la Tabla 3.1.

Comunidad Autónoma Capital

Andalucía Sevilla Aragón Zaragoza Principado de Asturias Oviedo Cantabria Santander Castilla-La Mancha Toledo Castilla y León Valladolid Cataluña Barcelona Comunidad Valenciana Valencia Extremadura Mérida Galicia Santiago de Compostela Comunidad de Madrid Madrid Región de Murcia Murcia Comunidad Foral del Navarra Pamplona País Vasco Vitoria La Rioja Logroño

Tabla 3.1. CC.AA. y sus capitales.

Debe destacarse que se ha reducido el ámbito de estudio a la Península Ibérica,

excluyendo del análisis a las Islas Canarias y a las Islas Baleares. Esta decisión se tomó porque el flujo de mercancías por carretera es muy reducido en estas dos regiones y la Encuesta Permanente de Transporte lo desprecia.

3.3.2. FLUJOS OFERTADOS Y DEMANDADOS.

La Encuesta Permanente de Transporte de 2005 elaborada por el Ministerio de Fomento incluye, clasificados por mercancías, las toneladas expedidas y recibidas por cada región. Estos valores corresponden a los niveles ofertados y demandados por éstas, Oi

k y Djk. Para cada mercancía se debe cumplir que la suma de todos los

niveles ofertados y demandados debe coincidir. De lo contrario la resolución del problema no sería posible.

En este sentido, los datos aportados por la Encuesta Permanente de Transporte

no son válidos. En ella, no se especifican los niveles de oferta y demanda de las Islas Baleares, Islas Canarias, Ceuta y Melilla en las casillas correspondientes puesto que, tal y como se comentó, se consideran despreciables en comparación con los niveles que ofertan otras regiones. Sin embargo, esos datos sí están incluidos implícitamente en los valores de los niveles ofertados y demandados por otras CC.AA. Por tanto, puesto que estos valores están incluidos en algunos lugares y excluidos de otros, las cantidades totales exportadas e importadas de una mercancía no coinciden y en esta situación el problema no tiene solución. A fin de salvar este obstáculo, se modificaron levemente los datos de la Encuesta Permanente de

44

Transporte, cuidando que los volúmenes exportados e importados de cada mercancía coincidieran. Los cambios que se hicieron en los datos que se tenían no sobrepasaron en la mayoría de ocasiones el 1% del valor que ya existía. La Tabla 1.3 recoge los datos de la Encuesta Permanente de Transporte ya modificada.

3.3.3. FLUJO TOTAL TRANSPORTADO. La formulación de distintos modelos tiene como objetivo obtener los flujos de

cada una de las diez mercancías consideradas que van de una región a otra. La validez de estos resultados se comprobará sumando las diez matrices origen-destino obtenidas. La matriz total se cotejará con la de la Tabla 3.4, extraída de la Encuesta Permanente de Transporte de 2005.

45

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C.M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0 863

789

837

458

589

1046

697

196

923

538

534

945

825

874

Ara

gón 0 60

4

397

396

367

296

326

664

846

325

539

175

258

172

Ast

uria

s

0 207

510

252

902

803

593

353

451

852

463

340

391

Can

tabr

ia

0 464

248

693

673

641

560

393

794

267

174

225

Cas

tilla

-La

Man

cha

0 258

692

372

306

688

71

390

478

422

407

Cas

tilla

y L

eón

0 663

545

393

468

193

594

325

236

237

Cat

aluñ

a

0 349

960

1131

621

590

437

530

468

C.V

alen

cian

a

0 654

974

352

241

501

236

481

Ext

rem

adur

a

0 737

339

654

718

629

663

Gal

icia

0 622

1023

751

562

663

C.M

adrid

0 401

407

351

336

Mur

cia 0 71

4

752

694

Nav

arra

0 93

88

Paí

s V

asco

0 86

La R

ioja

0

Tab

la 3

.2. M

atri

z de

dis

tanc

ias (

en k

ilóm

etro

s) e

ntre

CC

.AA

.

46

Tipo de material

Comunidad Autónoma Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 Tipo 7 Tipo 8 Tipo 9 Tipo 10

Expedido 4.285 4.825 188 551 759 895 4.065 559 1.356 4.903

Andalucía

Recibido 3.336 5.460 38 784 237 1.842 4.781 531 1.770 9.289

Expedido 2.477 3.618 0 226 185 697 6.518 560 1.200 7.268

Aragón

Recibido 3.225 2.551 355 984 481 1.159 3.291 726 2.317 5.831

Expedido 372 1.441 1.875 263 423 1.952 1.443 182 973 1.549

Asturias

Recibido 1.042 1.313 10 362 148 768 1.559 38 244 1.688

Expedido 1.021 988 497 211 238 944 1.621 238 744 2.212

Cantabria

Recibido 332 1.370 72 499 999 414 2.831 25 552 1.838

Expedido 3.369 6.492 30 850 423 818 24.859 302 1.370 5.884

Castilla-La Mancha

Recibido 2.834 4.653 171 1.614 113 1.450 12.545 572 1.584 5.983

Expedido 3.967 5.455 76 297 824 1.122 12.035 306 996 6.802

Castilla y León

Recibido 3.366 4.663 3.020 1.216 144 1.746 5.590 914 1.173 6.328

Expedido 2.999 5.724 438 1.051 631 2.027 3.338 388 5.152 12.742

Cataluña

Recibido 3.680 4.916 61 266 538 2.501 4.947 162 2.055 10.948

Expedido 4.588 4.577 204 766 594 1.728 10.150 1.152 1.755 11.849

C.Valenciana

Recibido 4.832 6.369 38 846 351 1.501 14.432 542 2.181 10.759

Expedido 1.172 1.091 42 2 224 934 1.500 20 45 769

Extremadura

Recibido 1.252 2.128 9 418 380 264 2.743 270 332 1.310

Expedido 1.581 2.904 823 376 342 1.072 1.543 17 486 3.088

Galicia

Recibido 932 1.657 63 82 44 779 2.150 35 1.253 3.727

Expedido 1.013 2.979 0 1.121 305 1.587 9.671 94 1.784 13.620

Comunidad de Madrid

Recibido 2.601 6.027 164 531 619 2.723 25.057 273 1.642 12.430

Expedido 3.041 2.379 0 1.617 215 458 7.815 320 624 3.004

Murcia

Recibido 2.414 2.306 39 481 42 887 4.284 334 617 4.880

Expedido 920 2.172 0 805 371 878 5.976 428 270 2.853

Navarra

Recibido 1.317 1.287 129 415 197 1.534 3.053 121 671 2.996

Expedido 1.854 2.283 73 1.838 440 5.122 3.099 324 1.434 7.545

País Vasco

Recibido 1.190 2.432 63 918 1.730 2.140 7.482 99 1.688 5.704

Expedido 588 1.059 0 6 66 162 3.783 0 54 1.267

La Rioja

Recibido 894 855 14 564 17 688 2.671 248 164 1.644

Tabla 3.3. Niveles ofertados y demandados.

47

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0 638

246

58

2924

1297

2275

3680

3864

549

3343

2693

220

508

91

Ara

gón

1095

0 196

232

1156

1532

7481

4638

166

398

1765

288

1479

1453

870

Ast

uria

s

417

260 0

1141

219

3536

432

295

74

1630

624

151

313

1245

136

Can

tabr

ia

142

277

586 0 109

2444

866

314

37

254

567

40

262

2750

66

Cas

tilla

-La

Man

cha

3906

777

223

205 0

2306

1923

7106

1752

456

2246

0

2392

275

441

175

Cas

tilla

y L

eón

1412

1275

1535

2391

2561

0

1930

2154

1097

3009

8012

294

783

4866

561

Cat

aluñ

a

3204

8876

415

682

1435

1921

0

7730

383

1035

3695

1071

1405

2095

543

C. V

alen

cian

a

4887

3278

235

242

5587

1691

6418

0 192

758

4635

7915

465

758

302

Ext

rem

adur

a

2421

155

11

30

765

575

268

276 0 42

924

70

60

146

56

Gal

icia

1248

336

1880

336

493

2806

1127

931

115 0

1601

124

65

1072

98

C.M

adrid

4194

1117

448

226

1281

4

2878

2329

2999

1081

1162

0 664

549

1605

108

Mur

cia

3735

125

84

23

2534

404

916

1007

8

86

140

1027

0 117

139

65

Nav

arra

282

1842

143

199

185

1096

1423

411

93

195

728

175 0

4792

3109

Paí

s V

asco

1015

1446

1059

2958

518

5028

2400

981

114

936

2305

366

3307

0

1579

La R

ioja

110

518

111

209

219

646

286

258

52

158

381

41

2420

1576

0

Tab

la 3

.4. F

lujo

s de

mer

canc

ías e

ntre

CC

.AA

.

48

3.4. RESULTADOS OBTENIDOS.

Para resolver los distintos modelos planteados se utilizó el software de cálculo numérico Matlab, en su versión R2006b. A pesar de ser un programa que permite resolver problemas de complejidad, se encontraron varios problemas que se irán especificando más adelante. En los siguientes subapartados se revisarán los resultados que se obtuvieron y métodos que se emplearon para resolver los modelos. Las tablas que muestren los resultados serán matrices con los valores hallados. Dichas matrices tendrán 15 filas y 15 columnas en las que, a fin de abreviar, no se especificarán las comunidades autónomas que corresponden a cada fila y cada columna. Por ello, a continuación se muestra una tabla con las correspondencias entre filas y columnas por un lado, y regiones peninsulares por otro:

Fila o columna Comunidad Autónoma

1 Andalucía 2 Aragón 3 Asturias 4 Cantabria 5 Castilla – La Mancha 6 Castilla y León 7 Cataluña 8 Comunidad Valenciana 9 Extremadura 10 Galicia 11 Comunidad de Madrid 12 Murcia 13 Navarra 14 País Vasco 15 La Rioja

Tabla 3.5. Correspondencia de filas y columnas con las CC.AA.

3.4.1. MODELO DE MINIMIZACIÓN DE COSTES.

Para resolver el modelo descrito en la ecuación (3.5) se recurrió a los ficheros siguientes:

49

Sistema transporte.m

Figura 3.1. Diagrama de flujo de Sistema transporte.m

50

%Crea la matriz A para resolver el problema de transporte Ax=b para una mercancía k. %También crea la matriz B. Cada vector columna de esta matriz será un b para una mercancía k determinada. %La matriz tiene dimensiones [m+n, m*n]. En este caso m=n=15. A=zeros(30,225); B=[]; f=[];% Este vector fila contendrá los valores de la matriz de costes. for i=1:15 f=[f;C(i,:)']; %La matriz C es la matriz de costes de dimensiones 15x15. end j=0; for i=1:15 j=j+1; A(i,(15*(j-1)+1):(15*j))=ones(1,15); end for i=16:30 z=i-16; for j=1:15 A(i,(z+1))=1; z=z+15; end end %Crea el vector columna b de dimensiones m+n. for i=1:10 b=[O(:,i);D(i,:)'];%Las matrices O y D son de dimensiones 15x10 y 10x15 respectivamente y contienen los niveles ofertados y demandados para cada una de las diez mercancías. B=[B,b]; end clear i;clear j;clear z; clear b;

51

Solcostlin.m

Inicio

k=1x

k>10

Sí

X=zeros(15,15)

Fin

Para el producto k, llamar a la función linprog y

almacenar resultado en x

Ordenar valores de x y formar T (matriz origen-destino del producto k)

X=X+Tk=k+1

No

Figura 3.2. Diagrama de flujo de Solcostlin.m %Calcula la suma de las matrices Tij para cada mercancía siguiendo el %modelo de costes lineales. X=zeros(15,15);%es la matriz que suma los flujos entrantes y salientes de cada comunidad para todas las mercancias. options=optimset('linprog'); options=optimset(options,'MaxIter',1500); for k=1:10 x=linprog(f,[],[],A,B(:,k),lowrbnd,[]);%lowrbnd es el vector de ceros que sirve de cota inferior para los elementos de la matriz otrigen-destino. T=[];%es la matriz que contiene los flujos entrantes y salientes de cada comunidad para la mercancía k.

52

t=[]; for i=1:15 for j=1:15 t=[t,x(15*(i-1)+j)]; end T=[T;t]; t=[]; end X=X+T; end X; X=round(X); %Redondea los elementos de la matriz obtenida. clear i;clear j;clear t;clear optimresults;clear k;clear T; clear k;clear x;clear options;

Nótese que para resolver este modelo se ha empleado la función de Matlab linprog que lleva a cabo la resolución de problemas de programación lineal. El resultado obtenido se muestra en la Tabla 3.6. Las figuras 3.3 y 3.4 representan gráficamente los datos de los que se dispone y los valores obtenidos. Para resolver el modelo para las mercancías 3 y 8, en donde hay niveles ofertados iguales a cero, se tuvo que aumentar ligeramente estos (0,5), para que Matlab pudiese resolver el problema. Para mantener la igualdad oferta-demanda se aumentó también la demanda de algún elemento en tales cantidades.

53

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0 0 0 0

8678

227 0 0

9106

0

3365

1010

0 0 0

Ara

gón

0 0 0 0 0 205

1266

9

948 0 0 0 0

6176

0

2751

Ast

uria

s

0 0 0 451 0

4736

0 0 0

5130

0 0 0 156 0

Can

tabr

ia

0 0 0 0 0

6758

0 0 0 0 0 0 11

1931

14

Cas

tilla

-La

Man

cha

1169

7

0 0 0 0 530 0 0 0 0

3217

0

0 0 0 0

Cas

tilla

y L

eón

0 0

1966

4722

2105

0 0 0 0

5592

1569

0

0 0

1805

0

Cat

aluñ

a

0

1392

3

0 0 0 0 0

1986

7

0 0 0 0 700 0 0

C. V

alen

cian

a

0 466 0 0 98

0

1707

3

0 0 0 46

1527

4

0

4406

0

Ext

rem

adur

a

5795

0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0

Gal

icia

304 0

5206

194 0

6528

0 0 0 0 0 0 0 0 0

C.M

adrid

6147

0 0 0

2058

2

5256

0 0 0 0 0 0 0 189 0

Mur

cia

4125

0 0 0 56

0 0

1529

2

0 0 0 0 0 0 0

Nav

arra

0

6048

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8457

168

Paí

s V

asco

0 0 0

3565

0

3920

332

5744

0 0 792 0

4833

0

4826

La R

ioja

0 483 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6502

0

Tab

la 3

.6. M

atri

z or

igen

-des

tino

obte

nida

por

el m

odel

o lin

eal d

e m

inim

izac

ión

de c

oste

s.

54

Figura 3.3. Datos del modelo.

Figura 3.4. Resultados del modelo lineal.

55

Como se puede observar tanto en la Tabla 3.6 como en la Figura 3.4, existen variables básicas y no básicas. Las variables no básicas no tienen cantidades asignadas. En consecuencia, la figura difiere mucho de los datos del modelo. Lógicamente, un modelo de este tipo no es aplicable a la situación que nos ocupa por las razones que ya se expusieron en el punto 3.2.1.

3.4.2. MODELO DE ENTROPÍA.

Para el resolver el modelo de entropía se hizo uso de los siguientes archivos:

56

SistemaTransporte.m

Figura 3.5. Diagrama de flujo de Sistema transporte.m

57

%Crea la matriz A para resolver el problema de transporte Ax=b para una %mercancia k. %Tambien se crea la matriz B. Cada vector columna de esta matriz sera un b %para una mercancia k determinada %La matriz tiene dimensiones [m+n,m*n]. En este caso m=n=15 A=zeros(30,225); B=[]; j=0; for i=1:15 j=j+1; A(i,(15*(j-1)+1):(15*j))=ones(1,15); end for i=16:30 z=i-16; for j=1:15 A(i,(z+1))=1; z=z+15; end end %Crea el vector columna b de dimensiones m+n for i=1:10 b=[O(:,i);D(i,:)'];%Las matrices O y D son de dimensiones 15x10 y 10x15 respectivamente y contienen los niveles ofertados y demandados para cada una de las diez mercancías. B=[B,b]; end clear i;clear j;clear z; clear b; Solentr.m

58

Figura 3.6. Diagrama de flujo de Solentr.m

%Calcula la suma de las matrices Tij para cada mercancía siguiendo el %modelo de entropía. X=zeros(15,15);%es la matriz que suma los flujos entrantes y salientes de cada comunidad para todas las mercancías. options=optimset('fmincon'); options=optimset(options,'MaxFunEvals',1e12,'MaxIter',10000,'LargeScale','Off'); for k=1:10 x=fmincon(@(x) entropia(x),z0,[],[],A,B(:,k),lowrbnd,upprbnd,[],options); T=[];%es la matriz que contiene los flujos entrantes y salientes de cada comunidad para la mercancía k. t=[]; for i=1:15 for j=1:15

59

t=[t,x(15*(i-1)+j)]; end T=[T;t]; t=[]; end X=X+T; end X=round(X); clear i;clear j;clear t;clear optimresults;clear k;clear T; clear k;clear x;clear options;

Nótese que al llamar a la función fmincon, que resuelve problemas de minimización de funciones no lineales con restricciones, se establecen cotas inferiores (lowrbnd) para que las variables sean no negativas. Como el modelo (3.9) no tiene en cuenta los costes, es previsible que a la hora de resolverlo, se asignen flujos a los elementos de la diagonal; para evitar esto se imponen a los elementos de la diagonal una cota máxima (upprbnd) igual a cero. La función entropia.m se creó para ser llamada desde este archivo. De ella se obtiene un escalar f que es resultado de introducir un vector x. Como se trata de maximizar la función, la función entropia.m calcula el valor de (-)entropía, de forma que minimizar ésta, sea igual a maximizar la otra.

entropía.m

Inicio

f=0x: vector inicial o resultado dado

por fmincon

Fin

Aplicar formula de entropía y almacenar resultado en f a partir

de x

Figura 3.7. Diagrama de flujo de entropía.m

function f=entropia(x)%obtiene la función (-)entropía. f=0; for i=1:15 for j=1:15 f=f+x(15*(i-1)+j)*log(x(15*(i-1)+j))-x(15*(i-1)+j); end end

A continuación se puede ver en las figuras 3.8 y 3.9 cómo el modelo de entropía, válido en muchas situaciones del transporte urbano, no se muestra efectivo para este

60

caso de logística interregional. La matriz origen-destino que se obtuvo se muestra en la Tabla 1.7.

61

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0

1683

.66

534.

63

626.

7

2387

.35

2240

.33

2516

.12

3256

.64

726.

83

759.

17

3408

.49

1241

.4

814.

61

1663

.81

526.

26

Ara

gón

2136

.73

0

473.

9

555.

43

2492

.59

1901

.74

2435

3294

.09

628.

75

769.

16

3945

.3

1210

.51

791.

99

1589

.08

524.

73

Ast

uria

s

811.

86

807.

84

0

334.

12

970.

51

1553

.84

988.

1

1067

.93

221.

02

358.

21

1402

.76

414.

93

479.

45

863.

24

199.

18

Can

tabr

ia

753.

03

593.

98

181.

24

0

812.

67

1188

.63

871.

75

1078

.02

205.

69

274.

13

1229

.89

400.

41

299.

85

651.

01

173.

7

Cas

tilla

-La

Man

cha

3579

.91

2517

.98

929.

69

1302

.59

0

3670

.77

3816

.54

7149

.9

1383

.22

1322

.74

1018

1.28

2346

.28

1567

.68

3453

.44

1174

.97

Cas

tilla

y L

eón

2825

.88

2064

.38

692.

52

888.

67

3802

0

3137

.56

4715

.56

949.

92

994.

84

5929

.58

1664

.6

1102

.3

2366

.77

745.

42

Cat

aluñ

a

3719

.94

2840

.96

797.

59

964.

62

3402

.59

3486

.62

0

4938

.8

910.

34

1455

.25

5272

.72

1846

.96

1312

.41

2806

.46

734.

75

C. V

alen

cian

a

3698

.77

2693

.79

889.

63

1033

.7

4363

.04

3514

.44

4265

.56

0

1115

.28

1356

.17

6921

.63

2148

.46

1457

.67

2938

.85

966

Ext

rem

adur

a

506.

53

355.

3

142.

8

155.

4

588.

25

532.

56

581.

32

762.

29

0

172.

2

905.

57

288.

71

222.

02

453.

87

132.

18

Gal

icia

1113

.66

842.

44

285.

14

309.

62

1116

.91

1694

.09

1270

.16

1513

.28

324.

61

0

1668

.65

578.

11

412.

56

856.

6

246.

16

C.M

adrid

3240

.12

2284

.76

743.

3

965.

99

4085

.84

2836

.39

3880

.1

5206

.59

857.

95

1264

.53

0

1850

.53

1298

.25

2825

.64

834.

02

Mur

cia

1620

.63

1259

.38

424.

03

517

2451

.1

1652

.17

1667

.44

2791

.71

581.

14

535.

98

3420

.85

0

663.

7

1380

.57

507.

29

Nav

arra

1186

.24

865.

19

304.

65

415.

74

1763

.81

1178

.41

1263

.3

2005

.3

418.

59

404.

52

2668

.19

714.

8

0

1118

.65

365.

62

Paí

s V

asco

2353

.24

1764

.41

639.

6

684.

97

2405

.92

2201

.57

2806

.86

3063

.93

592.

92

863.

06

3689

.13

1242

.93

1074

.73

0

628.

72

La R

ioja

521.

45

345.

91

133.

28

177.

45

876.

42

508.

44

574.

2

1006

.95

189.

74

192.

04

1422

.94

335.

38

222.

78

478 0

Tab

la 3

.7. M

atri

z or

igen

-des

tino

obte

nida

por

el m

odel

o de

ent

ropí

a.

62

Figura 3.8. Matriz de datos.

Figura 3.9. Resultados del modelo de entropía.

63

Si se comparan las figuras 3.8 y 3.9, se puede observar como el resultado del modelo de entropía favorece la dispersión de los flujos. Consecuentemente, hay pocos picos y los flujos están repartidos de una forma bastante uniforme. Aún siendo mucho mejor aproximación que el modelo lineal, no reproduce de una manera fiable los valores extremos de la matriz de datos. A continuación se muestra un gráfico con los errores relativos de todos los elementos de la matriz origen-destino obtenida. Si se calcula el error medio ponderado de esta matriz de error representada, se obtiene un valor de 1,3131 (en tanto por uno). Lógicamente, este es un valor que invalida el resultado y el modelo. En la Figura 3.10 se muestra un gráfico que representa dicha matriz de error. Préstese especial atención a los órdenes de magnitud del error. Éstos son en promedio demasiado elevados y de ahí que el error medio ponderado resulte inaceptable.

Figura 3.10. Error relativo entre la matriz de datos y la matriz obtenida por el modelo de entropía.

64

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0

1.64

1.17

9.81

0.18

0.73

0.11

0.12

0.81

0.38

0.02

0.54

2.7

2.28

4.78

Ara

gón

0.95

0

1.42

1.39

1.16

0.24

0.67

0.29

2.79

0.93

1.24

3.2

0.46

0.09

0.4

Ast

uria

s

0.95

2.11

0

0.71

3.43

0.56

1.29

2.62

1.99

0.78

1.25

1.75

0.53

0.31

0.46

Can

tabr

ia

4.3

1.14

0.69

0

6.46

0.51

0.01

2.43

4.56

0.08

1.17

9.01

0.14

0.76

1.63

Cas

tilla

-La

Man

cha

0.08

2.24

3.17

5.35

0

0.59

0.98

0.01

0.21

1.9

0.55

0.02

4.7

6.83

5.71

Cas

tilla

y L

eón

1

0.62

0.55

0.63

0.48

0

0.63

1.19

0.13

0.67

0.26

4.66

0.41

0.51

0.33

Cat

aluñ

a

0.16

0.68

0.92

0.41

1.37

0.82

0

0.36

1.38

0.41

0.43

0.72

0.07

0.34

0.35

C. V

alen

cian

a

0.24

0.18

2.79

3.27

0.22

1.08

0.34

0

4.81

0.79

0.49

0.73

2.13

2.88

2.2

Ext

rem

adur

a

0.79

1.29

11.9

8

4.18

0.23

0.07

1.17

1.76

0 3.1

0.02

3.12

2.7

2.11

1.36

Gal

icia

0.11

1.51

0.85

0.08

1.27

0.4

0.13

0.63

1.82

0

0.04

3.66

5.35

0.2

1.51

C.M

adrid

0.23

1.05

0.66

3.27

0.68

0.01

0.67

0.74

0.21

0.09

0

1.79

1.36

0.76

6.72

Mur

cia

0.57

9.08

4.05

21.4

8

0.03

3.09

0.82

0.72

5.76

2.83

2.33

0

4.67

8.93

6.8

Nav

arra

3.21

0.53

1.13

1.09

8.53

0.08

0.11

3.88

3.5

1.07

2.67

3.08

0

0.77

0.88

Paí

s V

asco

1.32

0.22

0.4

0.77

3.64

0.56

0.17

2.12

4.2

0.08

0.6

2.4

0.68

0 0.6

La R

ioja

3.74

0.33

0.2

0.15

3

0.21

1.01

2.9

2.65

0.22

2.73

7.18

0.91

0.7 0

Tab

la 3

.8. M

atri

z de

err

or d

el m

odel

o de

ent

ropí

a..

65

3.4.3. MODELO GRAVITACIONAL.

Finalmente se optó por intentar ajustar un modelo gravitacional. Recuérdese que éste era de la forma dada en (3.12). Extendiendo esta expresión para K mercancías:

1 2 1 2 1 2( )

k k k ki i j jk

ijij

O Dx i , ,...,n; j , ,...,m; k , ,...,K

f cα β

= ∀ = ∀ = ∀ = (3.13)

Además, se han de cumplir las restricciones dadas en la expresión (3.1) para

cada mercancía, esto es:

kjDx

kiOx

kj

n

i

kij

ki

n

j

kij

∀∀=

∑

=

;

1

,

Estas relaciones se pueden expresar en función de las constantes αi y βj tal y

como sigue:

1 1

, ;( )

k kn nj jk k k k

ij i i ij j ij

k km mk k k ki iij j j j

i i ij

Dx O O i k

f c

Ox D D j kf c

βα

αβ

= =

= = ∀ ∀

∑ ∑

∑ ∑ (3.14)

despejando dichas constantes y sabiendo que en el caso que nos ocupa m=n y K=10 se tiene que

1

( ) , ; 1, 2,...,10

nijk

i k kj j j

nijk

j k ki i i

f ci k

D

f cj k

O

αβ

βα

=

= ∀ ∀ =

∑

∑ (3.15)

El sistema formado por (3.13) y (3.15) consta para cada mercancía de:

• 255 ecuaciones, 225 en (3.13) y 30 en (3.15). • 255 incógnitas, que son los 225 elementos de la matriz origen-destino, y

las 30 constantes αi y βj.

Como función de costes se probaron las funciones potencial y exponencial. Esto añade una incógnita más al sistema, pues recuérdese que estas funciones eran:

• Tipo potencial: f(cij)=cij

n • Tipo exponencial: f(cij)=eθcij

66

En esta situación el sistema tiene 255 ecuaciones y 256 incógnitas. Sin embargo,

su tamaño puede ser reducido: nótese que las ecuaciones (3.14) pueden resolverse sin tener que recurrir a la ecuación (3.13). Por ello, se puede resolver el sistema (3.15) con 30 ecuaciones y 31 incógnitas y sustituir los resultados en (3.13) para obtener los 225 elementos de la matriz origen-destino. Se comprobó que, efectivamente, Matlab trabaja con mucha más celeridad con 30 ecuaciones que con 255, siendo además mucho más sencillo encontrar un punto inicial que acabe convergiendo hacia la solución del sistema. Lógicamente, al haber más incógnitas que ecuaciones, la resolución del mismo pasa por escoger un valor del parámetro en cuestión (n o θ) y resolver el sistema para dicho valor. La pregunta que surge a continuación es cuál es el valor del parámetro que hace que el modelo se ajuste más a la realidad. El proceso de ajuste de este parámetro se denomina calibración y se pueden utilizar diversos criterios para llevarlo a cabo. A continuación se describen los tres métodos de calibración utilizados: el método de las secantes, el método iterativo y el algoritmo genético.

3.4.3.1. El método de las secantes.

Este método fue propuesto por Hyman en 1969. Se basa en la construcción de una matriz, generada a partir del modelo gravitacional, que tenga un coste medio igual al de otra matriz de datos disponibles. De esta forma, se habrá obtenido una aproximación de la realidad mediante un modelo matemático. Seguidamente, se analizará en profundidad el fundamento matemático de este método y se mostrarán los resultados que se obtuvieron a raíz de su aplicación.

3.4.3.1.1. Definición del método. Siendo conocidos los valores de la matriz origen-destino y la matriz de costes, se

establece un coste medio que viene dado por

,

ij iji j

iji j

c tc

t=∑∑

(3.16)

Efectivamente, en este caso son conocidos la matriz origen-destino de la suma

de mercancías y la matriz de costes, tal y como se expuso en la sección 3.3. El método de las secantes propondrá una serie de pasos a seguir para obtener un valor del parámetro n o θ que, una vez establecido y resuelto el sistema correspondiente, dé como resultado una matriz origen-destino con un coste medio

,

ij iji j

iji j

c xc

x=∑∑

(3.17)

67

que debe ser lo más parecido posible al expresado en (3.16). Esto se conseguirá en varias iteraciones y definiendo un error permitido ε tal que ε≤− cc . El sistema de ecuaciones a resolver es equivalente al expresado en (3.15), pero particularizado para la matriz origen-destino total, esto es

101

1

101

1

( ) ,

nij

ikj

j jk

nij

jki

i ik

f ci

D

f cj

O

αβ

βα

=

= ∀

∑∑

(3.18)

y los elementos de la matriz origen-destino total ijt~ serán

10 10

1 1 ;( )

k ki i j j

k kij

ij

O Dt i j

f c

α β= == ∀ ∀∑ ∑

(3.19)

En el diagrama de flujo siguiente se muestran los pasos que deben darse hasta la

obtención de un coste medio apropiado:

68

Inicio

m=1

Fin

m=m+1

m=2

∑∑

=

jiij

jiijij

x

cx

mc

,

)(

)(β

β

ε≤− )(mcc

No

Sí

No

Sí

cc )1()1()2( ββ =

)1()2()2())1(()1())2(()(

−−−−−−−−−−

=mcmc

mmccmmccm βββ

c23)1( =β

Figura 3.11. Diagrama de flujo del Método de las secantes.

69

Nótese que este algoritmo da la posibilidad de hallar una matriz origen-destino que debe parecerse a la matriz de datos. Sin embargo, dicha matriz origen-destino será total, de todas las mercancías, y no parcial. Tal y como se propuso al comienzo, es necesaria la obtención de las matrices origen-destino para cada una de las mercancías. Por tanto, una vez calibrado el parámetro y conocido aquel valor que hace que los costes medios de la matriz de datos y la obtenida difieran en una cantidad menor o igual al límite admitido ε, se debe resolver el sistema de ecuaciones formado por (3.15) para cada mercancía por separado. Para ello se utilizará el valor del parámetro ya conseguido. Puesto que las ecuaciones que se están manejando no son lineales, no se cumplirá el Principio de Superposición y la suma de las matrices origen-destino para cada mercancía que ahora se obtengan no dará como resultado la matriz obtenida anteriormente con las ecuaciones (3.18) y (3.19). Recuérdese que dicho principio establece que el resultado de una suma equivale a la suma de los resultados. Este hecho no se cumple en esta situación tal y como se muestra a continuación:

10 10

101 1

k 1

; ( ) ( )

k kk k k k i i j ji i j j k k

ij ij

O DO Di j

f c f c

α βα β= =

=

≠ ∀ ∀∑ ∑

∑ (3.20)

Sin embargo, puesto que las restricciones de oferta y demanda del problema total son la suma de las de los diez problemas parciales, la nueva matriz origen-destino hallada respetará dichas restricciones y por tanto será una solución valida del sistema formado por (3.18) y (3.19).

3.4.3.1.2. Archivos utilizados y resultados obtenidos para la función de costes potencial.

Siguiendo el orden que da el diagrama de la Figura 3.11, el primer archivo que

se utilizó calcula el coste medio de la matriz de datos: Coste_medio.m %Calcula el coste medio de la matriz de datos y da el primer valor del %parámetro cm=sum(sum(C.*DATOS))/sum(sum(DATOS)) n=3*cm/2;% Éste será el primer valor del parámetro

Una vez obtenido el primer valor del parámetro se procede a calcular la primera matriz origen-destino con el siguiente archivo:

70

Solgrav.m

Inicio

v: vector inicial para iterar con fmincon

Fin

Llamar a la función fsolve para que llame a la función gravitacional y almacenar

resultado en x

Ordenar valores de x y formar los vectores a y b que contendrán las

constantes asociadas a oferta y demanda

Formar la matriz origen-destino T donde cada elemento es

( )i i j j

ij

a O b Df c

Figura 3.12. Diagrama de flujo de Solgrav.m

%Calcula la matriz origen-destino siguiendo un modelo determinado. options=optimset('fsolve'); options=optimset(options,'MaxFunEvals',1e12,'MaxIter',50,'NonlEqnAlgorithm','lm'); [x,y,z]=fsolve(@(v) gravitacional(v,o,d,C,n),v0,options); %Llama a la función "gravitacional" %para resolver el sistema de ecuaciones. T=[];%Es la matriz origen-destino resultado. t=[];%Es un vector fila que va recogiendo los elementos de todas las columnas para una fila %determinada. for i=1:15 a(i)=x(i);%Vector que recoge las constantes asociadas a la oferta. b(i)=x(15+i);%Vector que recoge las constantes asociadas a la demanda. end for i=1:15 for j=1:15

71

t=[t,o(i)*d(j)*a(i)*b(j)*C(i,j)^(-n)];%Calcula los elementos de la matriz con la ecuación (1.13). end T=[T;t]; t=[]; end clear i;clear j;clear t;clear optimresults;clear k; clear k;clear y;clear x;clear z;clear options;

Hay que destacar que las entradas o y d con las que se resuelve la función gravitacional son respectivamente los niveles de oferta y demanda totales de las CC.AA, que se pueden obtener sumando por filas y por columnas los elementos de la Tabla 3.4. Para mayor facilidad, estos datos se adjuntan a continuación:

Comunidad Autónoma Oferta Demanda Andalucía 22.386 28.068 Aragón 22.749 20.920 Principado de Asturias 10.473 7.172 Cantabria 8.714 8.932 Castilla-La Mancha 44.397 31.519 Castilla y León 31.880 28.160 Cataluña 34.490 30.074 Comunidad Valenciana 37.363 41.851 Extremadura 5.799 9.106 Galicia 12.232 10.722 Comunidad de Madrid 32.174 52.067 Región de Murcia 19.473 16.284 Comunidad Foral del Navarra 14.673 11.720 País Vasco 24.012 23.446 La Rioja 6.985 7.759 TOTAL 327.800 327.800

Tabla 3.9. Niveles ofertados y demandados totales.

En cuanto a la función gravitacional a la que hace mención el archivo solgrav.m,

se muestra a continuación:

72

gravitacional.m

Inicio

F=[ ]v: vector inicial o resultado dado

por fmincon

Fin

Construir el sistema de ecuaciones

y almacenar cada ecuación en F

1

( )

nijk

i k kj j j

nijk

j k ki i i

f cD

f cO

αβ

βα

=

∑

Figura 1.13. Diagrama de flujo de gravitacional.m

%Crea el sistema de ecuaciones F(x)=0 para resolver el modelo %gravitacional. function [F]=gravitacional(v,o,d,C,n) p=15; F=[]; for i=1:p den=0; for j=1:p den=den+v(p+j)*d(j)*C(i,j)^(-n); end F=[F;1/den-v(i)];%Obtiene la primera de las ecuaciones de (1.15) para la i en cuestión. end for j=1:p den=0; for i=1:p den=den+v(i)*o(i)*C(i,j)^(-n); end F=[F;1/den-v(p+j)];%Obtiene la segunda de las ecuaciones de (1.15) para la j en cuestión. end

Una vez calculada una posible solución, se procede a calcular su coste medio y su error medio asociado:

73

Coste.m %Cálculo del coste medio de la matriz origen-destino obtenida y medición %del error con respecto al de la matriz de datos. Q=T.*C; c=sum(sum(Q))/sum(sum(T)); e=abs((cm-c)/cm); %Error. clear Q;

Por último, y en función del número de iteración en que se halle el proceso, se calculará un nuevo valor del parámetro utilizando las expresiones de la Figura 3.11. Una vez obtenido éste, se recalculará la matriz origen destino y se repetirá el proceso hasta que la diferencia entre el coste medio de la matriz de datos y el coste medio de la matriz hallada sea menor o igual que ε. Sobre el uso de este método en esta situación se debe destacar que:

• Se escaló la matriz de costes. Concretamente, se expresaron los valores

de esta matriz en miles de kilómetros, lo que equivale a dividir la matriz de la Tabla 3.2 entre 1.000. Esta operación se llevó a cabo después de intentar trabajar con los datos en kilómetros y comprobar que esta tarea resulta difícil para Matlab. Dada la estructura de la función de costes, si los costes son números grandes, los valores del parámetro con los que se iterará serán pequeños. Si los costes son números pequeños, los valores del parámetro tendrán que ser mayores. Se comprobó que Matlab opera con más facilidad de esta segunda manera para resolver el sistema de ecuaciones con fsolve, pues de lo contrario era muy difícil introducir un vector inicial que permitiera alcanzar la solución de dicho sistema cuando el parámetro con que se iteraba alcanzaba ciertos valores.

• A los elementos de la diagonal se le asigno un valor de 1.000 miles de

kilómetros (un millón de kilómetros) para obligar al modelo a escoger flujos nulos en los elementos de la diagonal de la matriz origen-destino.

• Se escogió un valor de ε igual a 10-3.

Se obtuvo una solución en seis iteraciones. Los cambios en el valor del error se

pueden observar en la Figura 3.14. La evolución del coste medio de las matrices origen-destino que se hallaron también está reflejada en la Figura 3.15. El valor del parámetro convergió a 1,7274 y los valores que tomó a lo largo de las seis iteraciones se muestra en la Figura 3.16.

74

Figura 3.14. Evolución del error sobre el coste medio.

Figura 3.15. Evolución del coste medio.

75

Figura 3.16. Evolución del valor del parámetro.

En cuanto a la matriz origen-destino global resultado de la calibración, a continuación se muestran los valores de las constantes αi y βj, así como los gráficos de la matriz de datos y dicha matriz origen-destino. También se adjunta un gráfico con los errores relativos entre ambas matrices en el que además se anota el error medio ponderado. Una vez se halló esta matriz, se resolvió el sistema de ecuaciones para cada mercancía con el valor de parámetro descrito y se sumaron las matrices resultado para conseguir una nueva matriz origen-destino, tal y como se comentó anteriormente. En las siguientes páginas se facilitan los resultados que se obtuvieron.

i, j αi βj 1 0.0019 0.0021 2 0.0007 0.0007 3 0.001 0.001 4 0.0008 0.0008 5 0.0003 0.0004 6 0.0007 0.0007 7 0.0015 0.0015 8 0.0009 0.0008 9 0.0006 0.0007 10 0.0023 0.0022 11 0.0004 0.0004 12 0.001 0.001 13 0.0005 0.0005 14 0.0005 0.0005 15 0.0004 0.0004

Tabla 3.10. Valores de las constantes de la matriz origen-destino global.

76

Figura 1.19. Matriz origen-destino global.

77

Figura 3.19. Error relativo entre la matriz de datos y la matriz origen-destino global.

78

Tab

la 3

.11.

Val

ores

de

las c

onst

ante

s par

a ca

da ti

po d

e m

erca

ncía

.

79

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

A

ndal

ucía

0

236.

24

109.

72

29.3

515.

81

540.

09

374.

2

581.

73

845.

68

184.

47

187.

69

519.

11

61.4

7

61.4

38.0

9

Ara

gón

129.

18

0

36.7

22.4

139.

8

257.

78

698.

28

455.

7

21.6

6

45.2

94.5

107.

68

238.

6

96.4

133.

13

Ast

uria

s

35.8

8

21.9

4

0

16.4

2

21.4

8

117.

4

24.2

4

22.8

4

6.27

48.6

7

12.7

7

11.6

2

10.5

7

14.2

4

7.67

Can

tabr

ia

66.4

6

92.9

4

113.

88

0

51.8

9

247.

59

78.4

63.5

8

11.2

4

44.9

9

33.2

2

26.9

2

56.1

3

92.9

1

40.8

5

Cas

tilla

-La

Man

cha

382.

61

189.

64

48.7

3

16.9

7

0

469.

78

159.

67

359.

69

81.8

8

64.0

5

1296

.91

186.

71

41.7

40.8

5

29.8

1

Cas

tilla

y L

eón

469.

3

409.

64

311.

97

94.8

4

550.

33

0

325.

65

352.

25

100.

66

236.

06

436.

63

170.

98

153.

8

211.

18

143.

71

Cat

aluñ

a

222.

44

759.

1

44.0

6

20.5

4

127.

95

222.

77

0

972.

37

27.5

1

65.7

1

74.1

3

221.

12

117.

87

66.7

3

56.7

1

C. V

alen

cian

a

419.

46

600.

92

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8

20.2

1

349.

66

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31

1179

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0

49.9

3

79.5

6

184.

85

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07

87.0

6

252.

47

50.5

8

Ext

rem

adur

a

712.

46

33.3

8

16.1

4

4.17

93

97.6

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3

0

24.4

4

37.4

4

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5

8.87

8.81

5.52

Gal

icia

234.

79

105.

21

189.

45

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77

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7

140.

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51.2

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C.M

adrid

56.6

8

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9

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04

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75

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2

10.7

7

10.9

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Mur

cia

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27

185.

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33.4

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8

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24

185.

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.3

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66

0

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1

19.7

7

Nav

arra

31.9

5

226.

85

16.8

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09

62.7

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57

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Paí

s V

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03

La R

ioja

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8

13.1

9

10.2

9

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65

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7

0

Tab

la 3

.12.

Mat

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n-de

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1.

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Ara

gón

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4

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63

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95

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24

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72

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uria

s

164.

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57

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3

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8

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tabr

ia

86.0

5

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6

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3

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19.7

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37.1

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123.

11

24.9

1

Cas

tilla

-La

Man

cha

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31

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3

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3303

.91

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33

43.0

7

84.5

1

28.3

8

Cas

tilla

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eón

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87

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31.8

2

Ext

rem

adur

a

727.

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55

95.6

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58

28.8

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C.M

adrid

214.

49

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7

31.3

7

34.3

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1631

.64

399.

48

116.

78

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85

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0

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3

20.8

3

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5

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8

Mur

cia

481.

54

70.5

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7

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67

126.

98

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74

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34

39.6

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17.4

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9

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Nav

arra

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551.

39

191.

36

Paí

s V

asco

120.

23

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79

La R

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54

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2

14.7

7

149.

41

245.

95

0

Tab

la 3

.13.

Mat

riz

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rige

n-de

stin

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mer

canc

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2.

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ioja

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2

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9

120.

22

4.2

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4.09

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4.7

3.4

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Ara

gón

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ast

uria

s

11.0

8

63.0

8

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48.8

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47.2

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1527

.71

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1.77

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43.7

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7

19.3

1

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Can

tabr

ia

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6.07

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tilla

-La

Man

cha

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Cas

tilla

y L

eón

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15.2

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0

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a

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0

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cian

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14.1

11.4

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Ext

rem

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Gal

icia

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C.M

adrid

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Mur

cia

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Nav

arra

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La R

ioja

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Tab

la 3

.14.

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riz

de o

rige

n-de

stin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

3.

82

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Cas

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-La

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Cas

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y L

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ioja

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gón

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19.8

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Ast

uria

s

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Can

tabr

ia

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53.2

9.8

Cas

tilla

-La

Man

cha

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141.

44

13.1

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302.

25

52.7

7

9.16

38.3

9

11.7

4

Cas

tilla

y L

eón

26.1

8

23.4

7

31.0

7

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5

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aluñ

a

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21.7

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C. V

alen

cian

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94

11.3

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83

11.8

2

Ext

rem

adur

a

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adrid

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cia

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Nav

arra

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73

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05

Paí

s V

asco

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18

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35

0

310.

38

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ioja

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0.26

0.68

0.11

0.05

0.03

0.09

0.08

0.7

2.47

0

Tab

la 3

.15.

Mat

riz

de o

rige

n-de

stin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

4.

83

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0

35.6

4

17.0

3

80.9

8

15.0

6

20.6

1

75.9

2

44.8

5

266.

07

8.07

62.2

3

10.5

9

9.9

111.

31

0.74

Ara

gón

3 0

2.01

21.8

2

1.44

3.47

49.9

3

12.3

8

2.4

0.7

11.0

4

0.77

13.5

4

61.5

9

0.91

Ast

uria

s

10.0

8

14.1

4

0

193.

74

2.68

19.1

3

21

7.52

8.42

9.09

18.0

7

1.01

7.27

110.

22

0.64

Can

tabr

ia

3.96

12.6

8

15.9

8

0

1.37

8.54

14.3

8

4.43

3.2

1.78

9.96

0.5

8.17

152.

32

0.72

Cas

tilla

-La

Man

cha

14.5

9

16.5

8

4.38

27.1

7

0

10.3

9

18.7

7

16.0

7

14.9

3

1.62

249.

16

2.21

3.89

42.9

1

0.34

Cas

tilla

y L

eón

22.8

7

45.7

5

35.8

4

194.

03

11.8

9

0

48.9

20.1

23.4

4

7.64

107.

16

2.58

18.3

3

283.

39

2.06

Cat

aluñ

a

20.0

1

156.

53

9.35

77.6

1

5.11

11.6

2

0

102.

46

11.8

3

3.93

33.6

6.17

25.9

5

165.

35

1.5

C. V

alen

cian

a

16.1

5

53.0

2

4.57

32.6

7

5.97

6.52

139.

96

0

9.19

2.04

35.8

5

11.5

9

8.2

267.

7

0.57

Ext

rem

adur

a

90.1

9

9.68

4.82

22.1

8

5.22

7.16

15.2

1

8.65

0

2.06

23.8

7

1.29

2.75

30.7

2

0.21

Gal

icia

16.5

2

16.9

6

31.4

2

74.5

6

3.43

14.1

30.5

1

11.5

7

12.4

2

0

22.2

7

1.58

6.77

99.3

5

0.55

C.M

adrid

12.9

5

27.3

3

6.35

42.4

3

53.5

1

20.1

26.5

2

20.7

2

14.6

6

2.26

0

2.47

6.02

69.1

4

0.55

Mur

cia

18.1

9

15.8

1

2.93

17.4

5

3.91

4

40.1

7

55.2

5

6.53

1.33

20.3

4

0

3.16

25.7

0.22

Nav

arra

1.9

30.9

2

2.36

32.1

2

0.77

3.17

18.8

9

4.37

1.56

0.63

5.55

0.35

0

266.

25

2.15

Paí

s V

asco

6.28

41.3

5

10.5

1

175.

99

2.5

14.4

2

35.4

1

41.9

6

5.12

2.74

18.7

5

0.84

78.2

9

0

5.85

La R

ioja

0.31

4.6

0.46

6.24

0.15

0.79

2.43

0.68

0.26

0.11

1.12

0.05

4.76

44.0

4

0

Tab

la 3

.16.

Mat

riz

de o

rige

n-de

stin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

5.

84

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

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C.V

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cian

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adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0

27.1

9

32.3

3

8.18

77.8

72.0

8

128.

4

60.7

7

122.

81

46.2

6

147.

9

100.

22

13.6

51.8

2

5.64

Ara

gón

29.8

9

0

11.5

7

6.69

22.5

6

36.8

1

256.

4

50.9

4

3.37

12.1

3

79.6

9

22.2

5

56.5

2

87.0

7

21.1

Ast

uria

s

177.

36

57.7

5

0

104.

73

74.0

7

358.

17

190.

12

54.5

5

20.8

279.

05

229.

96

51.2

7

53.4

9

274.

7

25.9

6

Can

tabr

ia

49.4

8

36.8

3

115.

51

0

26.9

4

113.

75

92.6

1

22.8

7

5.62

38.8

5

90.1

1

17.8

9

42.7

7

269.

95

20.8

3

Cas

tilla

-La

Man

cha

47.9

12.6

4

8.31

2.74

0

36.3

31.7

2

21.7

5

6.88

9.3

591.

71

20.8

7

5.34

19.9

6

2.56

Cas

tilla

y L

eón

96.2

5

44.7

2

87.1

7

25.1

78.7

2

0

105.

97

34.9

13.8

6

56.1

5

326.

32

31.3

1

32.2

9

169.

04

20.1

9

Cat

aluñ

a

188.

52

342.

47

50.8

8

22.4

7

75.6

4

116.

52

0

398.

09

15.6

6

64.5

9

228.

94

167.

32

102.

26

220.

72

32.9

2

C. V

alen

cian

a

122.

74

93.6

20.0

8

7.63

71.3

6

52.7

9

547.

65

0

9.81

27

197.

1

253.

7

26.0

8

288.

33

10.1

4

Ext

rem

adur

a

548.

09

13.6

7

16.9

2

4.14

49.9

46.3

4

47.5

9

21.6

8

0

21.8

1

104.

96

22.5

7

6.99

26.4

6

2.91

Gal

icia

144.

66

34.5

1

159.

03

20.0

7

47.2

3

131.

47

137.

55

41.8

15.2

8

0

141.

14

39.9

8

24.8

1

123.

31

11.1

5

C.M

adrid

115

56.3

7

32.5

9

11.5

8

747.

21

190.

01

121.

24

75.8

8

18.2

9

35.1

0

63.0

7

22.3

7

87.0

1

11.2

9

Mur

cia

82.1

5

16.5

9

7.66

2.42

27.7

8

19.2

2

93.4

1

102.

95

4.14

10.4

8

66.4

8

0

5.97

16.4

5

2.27

Nav

arra

21.7

7

82.2

7

15.6

11.3

1

13.8

9

38.6

9

111.

44

20.6

6

2.51

12.7

46.0

3

11.6

6

0

432.

27

57.2

1

Paí

s V

asco

214.

51

327.

89

207.

26

184.

68

134.

21

524.

02

622.

31

590.

91

24.5

4

163.

26

463.

21

83.0

9

1118

.26

0

463.

86

La R

ioja

3.67

12.4

9

3.08

2.24

2.7

9.83

14.5

8

3.27

0.42

2.32

9.44

1.8

23.2

6

72.9

0

Tab

la 3

.17.

Mat

riz

de o

rige

n-de

stin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

6.

85

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0

78.5

4

64.5

9

82.4

6

590.

05

282.

87

163.

87

659.

33

1019

.16

149.

2

452.

13

338.

52

48.1

7

101.

24

34.8

8

Ara

gón

193.

75

0

67.2

9

196.

4

498.

14

420.

57

952.

54

1608

.88

81.3

2

113.

88

709.

15

218.

74

582.

42

495.

17

379.

74

Ast

uria

s

78.5

5

33.1

7

0

210.

06

111.

74

279.

58

48.2

6

117.

73

34.3

3

178.

99

139.

82

34.4

4

37.6

7

106.

75

31.9

2

Can

tabr

ia

64.2

5

62.0

3

134.

58

0

119.

16

260.

33

68.9

2

144.

67

27.1

8

73.0

5

160.

64

35.2

4

88.3

307.

55

75.1

Cas

tilla

-La

Man

cha

1001

.9

342.

86

156.

01

259.

67

0

1338

.1

380.

24

2217

.07

536.

62

281.

73

1699

0.14

662.

15

177.

7

366.

35

148.

45

Cas

tilla

y L

eón

669.

86

403.

69

544.

4

791.

19

1866

.13

0

422.

73

1183

.48

359.

6

565.

96

3117

.86

330.

52

357.

26

1032

.23

390.

08

Cat

aluñ

a

144.

64

340.

81

35.0

3

78.0

8

197.

66

157.

57

0

1488

.34

44.7

7

71.7

7

241.

15

194.

73

124.

74

148.

59

70.1

2

C. V

alen

cian

a

622.

78

616

91.4

4

175.

38

1233

.3

472.

06

1592

.68

0

185.

52

198.

42

1373

.03

1952

.57

210.

36

1283

.61

142.

83

Ext

rem

adur

a

664.

84

21.5

18.4

2

22.7

6

206.

16

99.0

6

33.0

8

128.

13

0

38.3

1

174.

79

41.5

2

13.4

8

28.1

6

9.79

Gal

icia

140.

55

43.4

9

138.

65

88.3

3

156.

3

225.

15

76.6

197.

89

55.3

3

0

188.

27

58.9

2

38.3

2

105.

12

30.0

8

C.M

adrid

281.

78

179.

15

71.6

6

128.

5

6236

.16

820.

59

170.

27

905.

96

167

124.

55

0

234.

4

87.1

3

187.

06

76.7

9

Mur

cia

670.

6

175.

65

56.1

89.5

8

772.

51

276.

5

437.

03

4095

.09

126.

09

123.

89

745.

05

0

77.5

3

117.

84

51.5

3

Nav

arra

116.

11

569.

13

74.6

7

273.

2

252.

29

363.

7

340.

68

536.

89

49.8

1

98.0

7

337.

04

94.3

5

0

2022

.89

847.

18

Paí

s V

asco

63.7

1

126.

3

55.2

3

248.

39

135.

77

274.

3

105.

93

855.

15

27.1

6

70.2

2

188.

86

37.4

3

528.

04

0

382.

51

La R

ioja

67.6

8

298.

67

50.9

3

187.

01

169.

64

319.

62

154.

15

293.

39

29.1

1

61.9

5

239.

05

50.4

7

681.

88

1179

.45

0

Tab

la 3

.18.

Mat

riz

de o

rige

n-de

stin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

7.

86

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0

36.2

1

3.91

1.66

90.6

6

108.

39

9

56.6

7

172.

49

5.11

19.4

8

42.8

9

3.99

2.83

5.73

Ara

gón

50.8

3

0

3.26

3.17

61.2

1

128.

89

41.8

3

110.

6

11.0

1

3.12

24.4

3

22.1

7

38.5

8

11.0

6

49.8

5

Ast

uria

s

21.7

1

12.8

8

0

3.57

14.4

6

90.2

5

2.23

8.53

4.9

5.17

5.07

3.68

2.63

2.51

4.41

Can

tabr

ia

21

28.5

8.11

0

18.2

5

99.4

2

3.77

12.3

9

4.59

2.5

6.9

4.45

7.29

8.56

12.2

8

Cas

tilla

-La

Man

cha

45.2

9

21.7

9

1.3

0.72

0

70.6

7

2.88

26.2

7

12.5

2

1.33

100.

87

11.5

6

2.03

1.41

3.36

Cas

tilla

y L

eón

53.9

9

45.7

4

8.09

3.92

70.4

6

0 5.7

25

14.9

6

4.77

33

10.2

9

7.27

7.08

15.7

3

Cat

aluñ

a

36.9

6

122.

42

1.65

1.23

23.6

6

47.0

4

0

99.6

7

5.9

1.92

8.09

19.2

2

8.05

3.23

8.97

C. V

alen

cian

a

170.

95

237.

67

4.63

2.96

158.

57

151.

37

73.1

7

0

26.2

8

5.69

49.5

207.

03

14.5

8

29.9

9

19.6

2

Ext

rem

adur

a

13.2

3

0.6

0.07

0.03

1.92

2.3

0.11

0.67

0

0.08

0.46

0.32

0.07

0.05

0.1

Gal

icia

3.21

1.4

0.58

0.12

1.67

6.02

0.29

1.19

0.65

0

0.57

0.52

0.22

0.2

0.34

C.M

adrid

5.33

4.77

0.25

0.15

55.2

9

18.1

4

0.54

4.49

1.63

0.25

0

1.71

0.42

0.3

0.73

Mur

cia

71.6

3

26.3

7

1.11

0.59

38.6

5

34.5

7.81

114.

63

6.95

1.38

10.4

5

0

2.09

1.07

2.75

Nav

arra

20.7

1

142.

65

2.46

3

21.0

7

75.7

6

10.1

7

25.0

9

4.58

1.83

7.89

6.5 0

30.7

1

75.6

Paí

s V

asco

16.1

5

45.0

1

2.58

3.87

16.1

2

81.2

4

4.5

56.8

2

3.55

1.86

6.29

3.67

33.8

0

48.5

3

La R

ioja

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tab

la 3

.19.

Mat

riz

de o

rige

n-de

stin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

8.

87

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0

80.6

6

21.0

2

30.1

2

140.

59

105.

01

196.

09

132.

6

196.

57

154.

91

113.

79

91.3

7

17.2

4

71.8

4

4.18

Ara

gón

74.7

4

0

8.78

28.7

4

47.5

5

62.5

5

456.

65

129.

63

6.28

47.3

7

71.5

23.6

5

83.5

4

140.

78

18.2

4

Ast

uria

s

101.

04

45.5

2

0

102.

5

35.5

7

138.

67

77.1

6

31.6

3

8.85

248.

3

47.0

1

12.4

2

18.0

2

101.

21

5.11

Can

tabr

ia

57.8

2

59.5

5

40.9

5

0

26.5

4

90.3

4

77.1

27.2

4.9

70.9

1

37.7

9

8.89

29.5

5

204.

03

8.42

Cas

tilla

-La

Man

cha

164.

12

59.9

1

8.64

16.1

4

0

84.5

2

77.4

1

75.8

6

17.6

1

49.7

7

727.

52

30.4

1

10.8

2

44.2

3

3.03

Cas

tilla

y L

eón

124.

67

80.1

5

34.2

6

55.8

6

85.9

5

0

97.7

8

46.0

1

13.4

1

113.

6

151.

69

17.2

5

24.7

2

141.

61

9.04

Cat

aluñ

a

556.

6

1398

.93

45.5

7

113.

98

188.

23

233.

79

0

1196

.32

34.5

1

297.

86

242.

57

210.

08

178.

49

421.

45

33.6

1

C. V

alen

cian

a

180.

85

190.

81

8.98

19.3

2

88.6

3

52.8

6

574.

82

0

10.7

9

62.1

4

104.

22

158.

96

22.7

1

274.

75

5.17

Ext

rem

adur

a

30.3

6

1.05

0.28

0.39

2.33

1.74

1.88

1.22

0

1.89

2.09

0.53

0.23

0.95

0.06

Gal

icia

97.3

5

32.1

3

32.4

7

23.2

1

26.7

9

60.1

3

65.9

4

28.6

3

7.68

0

34.0

9

11.4

4

9.87

53.6

7

2.59

C.M

adrid

156.

13

105.

88

13.4

2

27.0

1

855.

1

175.

31

117.

26

104.

85

18.5

4

74.4

3

0

36.4

1

17.9

5

76.3

9

5.3

Mur

cia

135.

73

37.9

2

3.84

6.88

38.6

9

21.5

8

109.

94

173.

13

5.11

27.0

4

39.4

2

0

5.83

17.5

8

1.3

Nav

arra

9.17

47.9

7

1.99

8.19

4.93

11.0

8

33.4

6

8.86

0.79

8.36

6.96

2.09

0

117.

81

8.34

Paí

s V

asco

79.7

2

168.

59

23.3

7

117.

91

42.0

4

132.

34

164.

74

223.

52

6.81

94.7

6

61.7

8

13.1

3

245.

69

0

59.6

1

La R

ioja

1.69

7.95

0.43

1.77

1.05

3.07

4.78

1.53

0.15

1.67

1.56

0.35

6.32

21.6

9

0

Tab

la 3

.20.

Mat

riz

de o

rige

n-de

stin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

9.

88

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0.01

179.

88

104.

51

78.1

4

249.

76

416.

87

619.

3

614.

56

664.

14

399.

38

792.

65

542.

59

57.2

5

154.

91

29.0

6

Ara

gón

485.

83

0

74.2

7

126.

95

143.

83

422.

76

2455

.48

1022

.9

36.1

5

207.

93

848.

01

239.

15

472.

16

516.

8

215.

77

Ast

uria

s

190.

19

50.0

4

0

131.

11

31.1

5

271.

38

120.

13

72.2

8

14.7

4

315.

58

161.

46

36.3

6

29.4

9

107.

58

17.5

1

Can

tabr

ia

199.

79

120.

18

184.

21

0

42.6

7

324.

54

220.

34

114.

07

14.9

8

165.

42

238.

24

47.7

8

88.7

8

398.

09

52.9

2

Cas

tilla

-La

Man

cha

500.

61

106.

74

34.3

1

33.4

5

0

268.

03

195.

33

280.

89

47.5

3

102.

5

4048

.64

144.

26

28.7

1

76.1

9

16.8

1

Cas

tilla

y L

eón

901.

37

338.

44

322.

44

274.

45

289.

15

0

584.

79

403.

79

85.7

8

554.

54

2000

.83

193.

92

155.

43

578.

14

118.

95

Cat

aluñ

a

1493

.53

2192

.51

159.

2

207.

83

235.

02

652.

25

0.01

3896

.68

81.9

4

539.

66

1187

.53

876.

71

416.

43

638.

62

164.

08

C. V

alen

cian

a

1371

.91

845.

44

88.6

6

99.6

312.

84

416.

88

3606

.96

0

72.4

5

318.

27

1442

.46

1875

.45

149.

82

1176

.97

71.3

Ext

rem

adur

a

527.

17

10.6

2

6.43

4.65

18.8

2

31.4

9

26.9

7

25.7

6

0

22.1

2

66.1

14.3

6

3.46

9.29

1.76

Gal

icia

641.

22

123.

61

278.

42

103.

88

82.1

1

411.

77

359.

28

228.

91

44.7

5

0

409.

62

117.

19

56.5

3

199.

62

31.1

C.M

adrid

1701

.35

673.

92

190.

43

200

4335

.6

1986

.19

1056

.92

1386

.94

178.

74

547.

61

0

617.

08

170.

09

470.

09

105.

06

Mur

cia

656.

41

107.

12

24.1

7

22.6

1

87.0

7

108.

5

439.

79

1016

.37

21.8

8

88.3

347.

8

0

24.5

4

48.0

1

11.4

3

Nav

arra

129.

84

396.

52

36.7

5

78.7

5

32.4

9

163.

04

391.

66

152.

23

9.87

79.8

6

179.

74

46

0

941.

56

214.

68

Paí

s V

asco

436.

25

538.

87

166.

48

438.

47

107.

05

753.

01

745.

75

1484

.81

32.9

7

350.

14

616.

79

111.

76

1169

.05

0

593.

57

La R

ioja

53.5

1

147.

11

17.7

2

38.1

1

15.4

4

101.

3

125.

29

58.8

1

4.08

35.6

6

90.1

3

17.4

174.

29

388.

13

0

Tab

la 3

.21.

Mat

riz

de o

rige

n-de

stin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

10.

89

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0.02

835.

19

478.

77

409.

76

2375

.58

2246

.89

2005

.47

2758

.73

4751

.87

1202

.33

2129

.84

2113

.12

263.

53

665.

69

149.

2

Ara

gón

1222

.01

0

258.

52

503.

43

1154

.34

1698

.93

6007

.08

4029

.39

211.

36

513.

81

2070

.32

760.

79

1734

.18

1628

.48

956.

35

Ast

uria

s

810.

54

349.

91

0

1012

.26

441.

76

3255

.51

594.

68

403.

14

139.

37

1356

.13

738.

38

194.

5

223.

26

833.

01

120.

55

Can

tabr

ia

561.

37

505.

22

750.

52

0

370.

31

1792

.58

648.

68

455.

27

91.8

6

461.

23

649.

2

167.

76

387.

02

1624

.57

248.

39

Cas

tilla

-La

Man

cha

3026

.45

948.

28

352.

74

449.

11

0

3095

.22

1143

.82

3564

.52

945.

35

641.

4

2762

2.35

1325

.53

322.

77

714.

95

244.

51

Cas

tilla

y L

eón

3128

.21

1663

.57

1732

.07

1786

.3

3756

.73

0

2033

.41

2489

.23

803.

71

1916

.09

7108

.88

926.

43

890.

66

2821

.47

823.

23

Cat

aluñ

a

3375

.98

6560

.05

461.

77

682.

22

1254

.18

2164

.11

0.02

1032

0.66

329.

76

1237

.87

2321

.7

2146

.75

1205

.77

1952

.23

476.

94

C. V

alen

cian

a

3530

.38

3077

.61

329.

63

429.

91

2718

.64

1853

.36

9080

.55

0.01

454

801.

75

3737

.92

6341

.49

595.

87

4067

.42

344.

45

Ext

rem

adur

a

3319

.21

105.

67

74.7

7

67.3

6

459.

31

381.

08

196.

97

287.

87

0

135.

25

460.

55

132.

9

41.0

7

113.

94

23.0

5

Gal

icia

1875

.75

514.

01

1206

.16

489.

91

708.

34

2462

.92

1099

.49

903.

04

283.

52

0

1083

.53

418.

47

246.

74

799.

44

140.

7

C.M

adrid

2585

.09

1214

.99

373.

21

464.

93

1518

2.29

3894

.71

1656

.21

2813

.81

489.

89

857.

68

0

1093

.46

342.

48

973.

62

231.

62

Mur

cia

2918

.53

757.

54

190.

69

209.

84

1687

.95

919.

39

1835

.05

8099

.48

299.

89

370.

41

1537

.7

0

190.

88

337.

33

118.

33

Nav

arra

455.

1

1915

.93

206.

45

543.

45

464.

9

1021

.04

1308

.11

977.

14

101.

3

272.

26

688.

78

228.

23

0

4864

.16

1626

.15

Paí

s V

asco

1066

.46

1764

.42

652.

02

1593

.14

695.

03

2715

.23

2019

.44

4293

.64

157.

93

819.

04

1521

.25

339.

36

4119

.51

0

2255

.53

La R

ioja

192.

9

707.

61

104.

68

290.

38

249.

63

659.

03

445.

02

455.

08

46.1

7

136.

74

396.

6

95.2

2

1156

.27

2049

.68

0

Tab

la 3

.22.

Mat

riz

de o

rige

n-de

stin

o su

ma

de la

s die

z m

atri

ces p

arci

ales

.

90

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0.02

0.31

0.95

6.06

0.19

0.73

0.12

0.25

0.23

1.19

0.36

0.22

0.2

0.31

0.64

Ara

gón

0.12

0

0.32

1.17

0

0.11

0.2

0.13

0.27

0.29

0.17

1.64

0.17

0.12

0.1

Ast

uria

s

0.94

0.35

0

0.11

1.02

0.08

0.38

0.37

0.88

0.17

0.18

0.29

0.33

0.11

Can

tabr

ia

2.95

0.82

0.28

0 2.4

0.27

0.25

0.45

1.48

0.82

0.14

3.19

0.48

0.41

2.76

Cas

tilla

-La

Man

cha

0.23

0.22

0.58

1.19

0

0.34

0.41

0.5

0.46

0.41

0.23

0.45

0.17

0.62

0.4

Cas

tilla

y L

eón

1.22

0.3

0.13

0.25

0.47

0

0.05

0.16

0.27

0.36

0.11

2.15

0.14

0.42

0.47

Cat

aluñ

a

0.05

0.26

0.11

0

0.13

0.02

0.34

0.14

0.2

0.37

1

0.14

0.07

0.12

C. V

alen

cian

a

0.28

0.06

0.4

0.78

0.51

0.1

0.41

0.01

1.36

0.06

0.19

0.2

0.28

4.37

0.14

Ext

rem

adur

a

0.37

0.32

5.8

1.25

0.4

0.34

0.27

0.04

0

2.22

0.5

0.9

0.32

0.22

0.59

Gal

icia

0.5

0.53

0.36

0.46

0.44

0.12

0.02

0.03

1.47

0

0.32

2.37

2.8

0.25

0.44

C.M

adrid

0.38

0.09

0.17

1.06

0.18

0.35

0.29

0.06

0.55

0.26

0

0.65

0.38

0.39

1.14

Mur

cia

0.22

5.06

1.27

8.12

0.33

1.28

1 0.2

2.49

1.65

0.5 0

0.63

1.43

0.82

Nav

arra

0.61

0.04

0.44

1.73

1.51

0.07

0.08

1.38

0.09

0.4

0.05

0.3 0

0.02

0.48

Paí

s V

asco

0.05

0.22

0.38

0.46

0.34

0.46

0.16

3.38

0.39

0.12

0.34

0.07

0.25

0

0.43

La R

ioja

0.75

0.37

0.06

0.39

0.14

0.02

0.56

0.76

0.11

0.13

0.04

1.32

0.52

0.3 0

Tab

la 3

.23.

Mat

riz

de e

rror

rel

ativ

o en

tre

la m

atri

z or

igen

-des

tino

sum

a de

las d

iez

mat

rice

s par

cial

es y

la m

atri

z de

dat

os.

91

Figura 3.21. Matriz origen-destino suma de las diez parciales.

92

Figura 3.22. Error relativo entre la matriz de datos y la origen-destino suma de las diez parciales.

Esta primera aproximación al modelo lineal resulta mucho más satisfactoria que los enfoques de minimización lineal de costes y maximización de entropía. Se puede observar cómo la Figura 3.21 se ajusta realmente bien a los datos del modelo, expuestos en la Figura 3.20. Nótese que las tendencias son las mismas y que los picos que muestran los datos se pueden ver también en los resultados del modelo. Esta aproximación presenta por tanto una desviación mucho menor con respecto a los datos de Fomento (figura 3.22). Obsérvese los órdenes de magnitud, mucho menores que en modelo de entropía y que además tras la suma de las diez matrices parciales, el error medio ponderado es menor que el de la matriz origen-destino global que se representa en la Figura 3.19.

3.4.3.1.3. Archivos utilizados y resultados obtenidos para la función de costes exponencial.

El procedimiento para obtener las soluciones necesarias es análogo al expuesto

en la sección anterior. Sin embargo, las funciones solgrav.m y gravitaciona.ml deben estar referidas a una función de costes exponencial, esto es:Siguiendo el orden que da el diagrama de la Figura 3.11, el primer archivo que se utilizó calcula el coste medio de la matriz de datos:

93

solgrav.m

Inicio

v: vector inicial para iterar con fmincon

Fin

Llamar a la función fsolve para que llame a la función gravitacional y almacenar

resultado en x

Ordenar valores de x y formar los vectores a y b que contendrán las

constantes asociadas a oferta y demanda

Formar la matriz origen-destino T donde cada elemento es

( )i i j j

ij

a O b Df c

Figura 3.23. Diagrama de flujo de Solgrav.m %Calcula la matriz origen-destino siguiendo un modelo determinado. options=optimset('fsolve'); options=optimset(options,'MaxFunEvals',1e12,'MaxIter',50,'NonlEqnAlgorithm','lm'); [x,y,z]=fsolve(@(v) gravitacional(v,o,d,C,n),v0,options); %Llama a la función "gravitacional" %para resolver el sistema de ecuaciones. T=[];%Es la matriz origen-destino resultado. t=[];%Es un vector fila que va recogiendo los elementos de todas las columnas para una fila %determinada. for i=1:15 a(i)=x(i);%Vector que recoge las constantes asociadas a la oferta. b(i)=x(15+i);%Vector que recoge las constantes asociadas a la demanda. end for i=1:15 for j=1:15

94

t=[t,o(i)*d(j)*a(i)*b(j)*exp(-n*C(i,j))];%Calcula los elementos de la matriz con la ecuación (1.13). end T=[T;t]; t=[]; end clear i;clear j;clear t;clear optimresults;clear k; clear k;clear y;clear x;clear z;clear options; gravitacional.m

Inicio

F=[ ]v: vector inicial o resultado dado

por fmincon

Fin

Construir el sistema de ecuaciones

y almacenar cada ecuación en F

1

( )

nijk

i k kj j j

nijk

j k ki i i

f cD

f cO

αβ

βα

=

∑

Figura 3.24. Diagrama de flujo de gravitacional.m %Crea el sistema de ecuaciones F(x)=0 para resolver el modelo %gravitacional. function [F]=gravitacional(v,o,d,C,n) p=15; F=[]; for i=1:p den=0; for j=1:p den=den+v(p+j)*d(j) )*exp(-n*C(i,j)); end F=[F;1/den-v(i)];%Obtiene la primera de las ecuaciones de (1.15) para la i en cuestión. end for j=1:p den=0; for i=1:p den=den+v(i)*o(i)* )*exp(-n*C(i,j)); end F=[F;1/den-v(p+j)];%Obtiene la segunda de las ecuaciones de (1.15) para la j en cuestión. end

95

Por otro lado, y al igual que se hizo anteriormente, los elementos de la matriz de

costes se expresaron en miles de kilómetros. Los valores de la diagonal de esta matriz fueron los mismos que se emplearon en el apartado anterior y el error ε permitido fue también de 10 -3.

Se obtuvo una solución en cuatro iteraciones. El método convergió a un valor

del parámetro igual a 4,8663. Tal y como se hizo en la presentación de resultados del modelo potencial, en las páginas que siguen se detallan los que se obtuvieron mediante la estimación de una función exponencial de costes.

Figura 3.25. Evolución del error sobre el coste medio.

96

Figura 3.26. Evolución del coste medio.

97

i, j αi βj 1 0.0143 0.0158 2 0.0038 0.0037 3 0.0062 0.006 4 0.0051 0.0048 5 0.0033 0.0039 6 0.0038 0.0039 7 0.0105 0.0105 8 0.0046 0.0045 9 0.0036 0.0043 10 0.019 0.0183 11 0.0034 0.0032 12 0.0058 0.0064 13 0.0041 0.004 14 0.0035 0.0034 15 0.0034 0.0032

Tabla 3.24. Valores de las constantes de la matriz origen-destino global.

98

99

Tab

la 3

.25.

Val

ores

de

las c

onst

ante

s par

a ca

da ti

po d

e m

erca

ncía

.

100

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0

130.

29

76.3

5

19.2

8

737.

88

539.

68

143.

37

494.

87

894.

96

130.

74

348.

06

656.

06

36.9

2

47.2

1

29.2

1

Ara

gón

65.8

0

27.3

4

23.8

8

145.

19

231.

33

802.

46

438.

01

13.3

6

27.6

7

142.

8

93.1

8

227.

78

108.

46

129.

44

Ast

uria

s

25.2

5

17.9

0

16.1

2

22.3

2

108.

39

11.2

6

11.5

1

5.05

81.6

20.7

1

5.44

15.0

2

19.4

8

11.9

4

Can

tabr

ia

41.7

7

102.

42

105.

54

0

58.3

3

230.

89

65.0

3

45.2

7

8.36

62.2

6

57.3

7

15.0

7

81.4

3

91.3

55.9

4

Cas

tilla

-La

Man

cha

626.

63

244.

16

57.3

2

22.8

7

0

521.

76

155.

02

464.

67

101.

19

79.2

3

652.

25

255.

31

69.1

9

64.8

54.7

4

Cas

tilla

y L

eón

466.

28

395.

77

283.

15

92.1

530.

83

0

251.

29

281.

85

93.2

7

325.

32

507.

07

133.

18

205.

05

225.

5

176.

22

Cat

aluñ

a

76.4

8

847.

7

18.1

6

16.0

2

97.3

8

155.

16

0

1109

.14

8.96

19.5

8

95.7

8

205.

89

180.

26

81.7

6

86.8

2

C. V

alen

cian

a

330.

15

578.

64

23.2

2

13.9

4

365.

04

217.

63

1387

.03

0

31.3

7

33.2

1

280.

12

888.

73

104.

28

270.

06

64.3

7

Ext

rem

adur

a

760.

19

22.4

6

12.9

7

3.28

101.

21

91.7

14.2

6

39.9

4

0

21.1

6

60.0

1

23.9

5

7.29

8.02

5.34

Gal

icia

160.

31

67.1

9

302.

52

35.2

4

114.

39

461.

68

45.0

1

61.0

3

30.5

5

0

109.

8

28.8

4

45.0

6

80.6

1

38.7

2

C.M

adrid

108.

45

88.1

1

19.5

1

8.25

239.

3

182.

86

55.9

4

130.

83

22.0

1

27.9

0

61.8

2

24.9

7

23.3

8

19.7

5

Mur

cia

593.

66

166.

96

14.8

8

6.3

272.

05

139.

48

349.

22

1205

.43

25.5

2

21.2

8

179.

53

0

30.0

9

17.8

4

18.5

7

Nav

arra

17.8

217.

46

21.8

9

18.1

2

39.2

8

114.

42

162.

91

75.3

6

4.14

17.7

2

38.6

3

16.0

3

0

97.6

1

78.5

4

Paí

s V

asco

50.0

7

227.

8

62.4

8

44.7

1

80.9

3

276.

82

162.

55

429.

33

10.0

2

69.7

2

79.6

20.9

1

214.

74

0

124.

43

La R

ioja

13.4

5

118.

01

16.6

2

11.8

9

29.6

8

93.9

74.9

2

44.4

2

2.89

14.5

4

29.1

9

9.45

75

54.0

1

0

Tab

la 3

.26.

Mat

riz

orig

en-d

estin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

1.

101

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0

62.2

9

66.8

9

49.8

917.

38

476.

71

152.

79

438.

54

1320

.79

154.

87

593.

52

484.

98

23.8

3

64.6

3

17.9

8

Ara

gón

124.

89

0

34.0

9

87.7

8

256.

96

290.

88

1217

.42

552.

55

28.0

6

46.6

6

346.

64

98.0

5

209.

26

211.

35

113.

42

Ast

uria

s

116.

44

29.6

0

143.

93

95.9

7

331.

09

41.4

9

35.2

8

25.7

8

334.

25

122.

12

13.9

33.5

1

92.2

3

25.4

1

Can

tabr

ia

55.5

8

48.8

6

92.2

7

0

72.3

8

203.

54

69.1

6

40.0

4

12.3

1

73.5

9

97.6

3

11.1

2

52.4

4

124.

73

34.3

6

Cas

tilla

-La

Man

cha

1423

.49

198.

85

85.5

4

100.

63

0

785.

19

281.

47

701.

54

254.

42

159.

88

1894

.86

321.

54

76.0

7

151.

11

57.4

Cas

tilla

y L

eón

752.

01

228.

85

300.

02

287.

69

798.

26

0

323.

93

302.

11

166.

5

466.

09

1045

.84

119.

08

160.

07

373.

35

131.

2

Cat

aluñ

a

239.

32

951

37.3

3

97.0

6

284.

13

321.

63

0

2306

.58

31.0

2

54.4

3

383.

28

357.

16

273.

01

262.

64

125.

4

C. V

alen

cian

a

438.

55

275.

58

20.2

6

35.8

7

452.

13

191.

51

1472

.65

0

46.1

2

39.1

9

475.

86

654.

49

67.0

5

368.

27

39.4

7

Ext

rem

adur

a

754.

51

7.99

8.46

6.3

93.6

6

60.2

9

11.3

1

26.3

4

0

18.6

6

76.1

7

13.1

8

3.5

8.17

2.45

Gal

icia

371.

51

55.8

3

460.

6

158.

19

247.

18

708.

77

83.3

7

94

78.3

5

0

325.

42

37.0

5

50.5

4

191.

77

41.4

2

C.M

adrid

417.

72

121.

67

49.3

7

61.5

7

859.

47

466.

61

172.

22

334.

91

93.8

5

95.4

7

0

132.

01

46.5

5

92.4

6

35.1

2

Mur

cia

583.

6

58.8

4

9.61

11.9

9

249.

36

90.8

3

274.

4

787.

57

27.7

6

18.5

9

225.

7

0

14.3

2

18

8.43

Nav

arra

59.2

259.

3

47.8

3

116.

75

121.

81

252.

11

433.

07

166.

59

15.2

4

52.3

4

164.

32

29.5

6

0

333.

29

120.

59

Paí

s V

asco

89.2

2

145.

52

73.1

5

154.

29

134.

45

326.

75

231.

5

508.

42

19.7

5

110.

37

181.

37

20.6

5

185.

2

0

102.

35

La R

ioja

33.9

6

106.

82

27.5

7

58.1

5

69.8

6

157.

07

151.

2

74.5

5

8.09

32.6

1

94.2

4

13.2

3

91.6

6

140 0

Tab

la 3

.27.

Mat

riz

orig

en-d

estin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

2.

102

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0

6.15

0.23

0.94

25.7

9

121.

07

2.21

2.52

4.84

1.33

13.3

4

7

1.51

0.87

0.19

Ara

gón

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ast

uria

s

11.5

4

53.0

2

0

49.3

9

48.9

2

1524

.86

10.8

6

3.68

1.71

52.0

2

49.7

7

3.64

38.5

3

22.5

5

4.84

Can

tabr

ia

2.19

34.8

7

2.33

0

14.7

373.

39

7.21

1.66

0.33

4.56

15.8

5

1.16

24.0

2

12.1

5

2.61

Cas

tilla

-La

Man

cha

0.79

2

0.03

0.19

0

20.3

4

0.41

0.1

0.14

4.34

0.47

0.49

0.21

0.06

Cas

tilla

y L

eón

2.88

15.8

4

0.73

3.82

15.7

2

0

3.28

1.22

0.43

2.8

16.4

7

1.2

7.11

3.53

0.97

Cat

aluñ

a

2.42

173.

87

0.24

3.4

14.7

8

151.

17

0

24.5

5

0.21

0.86

15.9

4

9.54

32.0

3

6.55

2.44

C. V

alen

cian

a

3.41

38.7

7

0.1

0.97

18.1

69.2

7

30.2

7

0

0.24

0.48

15.2

3

13.4

6

6.05

7.07

0.59

Ext

rem

adur

a

6.73

1.29

0.05

0.19

4.3

24.9

8

0.27

0.25

0

0.26

2.79

0.31

0.36

0.18

0.04

Gal

icia

7.76

21.0

9

6.14

11.4

5

26.5

7

688.

38

4.6

2.07

1.1 0

27.9

7

2.05

12.2

5

9.89

1.66

C.M

adrid

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Mur

cia

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nav

arra

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Paí

s V

asco

0.28

8.12

0.14

1.65

2.13

46.8

6

1.89

1.65

0.04

0.53

2.3

0.17

6.63

0

0.61

La R

ioja

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tab

la 3

.28.

Mat

riz

orig

en-d

estin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

3.

103

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0 10.2

11.0

9

8.01

143.

16

54.1

6

3.59

18

186.

49

3.94

28.0

1

61.4

4

3.2

15.0

2

4.69

Ara

gón

5.78

0 4.37

10.9

1

30.9

9

25.5

4

22.1

1

17.5

3

3.06

0.92

12.6

4

9.6

21.7

37.9

6

22.8

8

Ast

uria

s

12.8

9

8.97

0 42.8

27.7

69.5

7

1.8

2.68

6.73

15.7

3

10.6

6

3.26

8.31

39.6

4

12.2

7

Can

tabr

ia

5.9

14.2

27.1

5

0

20.0

4

41.0

2

2.88

2.92

3.08

3.32

8.17

2.5

12.4

8

51.4

2

15.9

1

Cas

tilla

-La

Man

cha

143.

9

55.0

3

23.9

7

27.3

3

0

150.

68

11.1

7

48.6

5

60.6

8

6.87

151.

06

68.8

1

17.2

4

59.3

2

25.3

1

Cas

tilla

y L

eón

23.6

4

19.7

26.1

4

24.3

65.4

4

0 4 6.51

12.3

5

6.23

25.9

3

7.92

11.2

8

45.5

8

17.9

9

Cat

aluñ

a

26.5

5

288.

81

11.4

8

28.9

3

82.1

9

67.7

3

0

175.

52

8.12

2.57

33.5

3

83.8

7

67.8

8

113.

13

60.6

8

C. V

alen

cian

a

47.2

8

81.3

4

6.06

10.3

9

127.

11

39.2

62.3

3

0

11.7

3

1.8

40.4

6

149.

37

16.2

154.

17

18.5

6

Ext

rem

adur

a

1.12

0.03

0.36

0.17

0.01

0.03

0 0.01

0.09

0.04

0.01

0.05

0.02

Gal

icia

23.7

9

9.79

81.7

5

27.2

2

41.2

7

86.1

6

2.1

4.13

11.8

4

0

16.4

3

5.02

7.25

47.6

8

11.5

7

C.M

adrid

83.1

66.2

6

27.2

2

32.9

1

445.

82

176.

21

13.4

5

45.7

44.0

5

8.08

0

55.5

9

20.7

5

71.4

2

30.4

7

Mur

cia

354.

2

97.7

7

16.1

7

19.5

4

394.

63

104.

66

65.3

8

327.

88

39.7

6

4.8

108.

02

0

19.4

8

42.4

2

22.3

1

Nav

arra

10.9

1

130.

88

24.4

4

57.8

3

58.5

6

88.2

4

31.3

4

21.0

7

6.63

4.1

23.8

9

11.5

4

0

238.

6

96.9

7

Paí

s V

asco

44.8

4

200.

23

101.

9

208.

34

176.

2

311.

76

45.6

7

175.

28

23.4

3

23.5

9

71.8

9

21.9

7

208.

62

0

224.

36

La R

ioja

0.1

0.86

0.23

0.46

0.54

0.88

0.18

0.15

0.06

0.04

0.22

0.08

0.61

1.6 0

Tab

la 3

.29.

Mat

riz

orig

en-d

estin

o pa

ra la

mer

canc

ía T

ipo

4.

104

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

aluñ

a

C.V

alen

cian

a

Ext

rem

adur

a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0

22.2

5

13.7

3

62.2

6

32.7

24.3

2

36.3

1

43.0

2

290.

86

5.85

112.

2

14.8

5

6.97

93.0

3

0.66

Ara

gón

1.4 0

1.38

21.6

6

1.81

2.93

57.1

10.7

1.22

0.35

12.9

3

0.59

12.0

8

60.0

4

0.83

Ast

uria

s

6.71

10.7

5

0

182.

94

3.48

17.1

7

10.0

2

3.52

5.77

12.8

3

23.4

7

0.43

9.96

134.

99

0.95

Can

tabr

ia

2.55

14.1

6

15.3

7

0

2.09

8.43

13.3

4

3.19

2.2

2.25

14.9

8

0.28

12.4

4

145.

69

1.03

Cas

tilla

-La

Man

cha

29.8

4

26.3

6.5

46.5

6

0

14.8

3

24.7

6

25.4

7

20.7

4

2.23

132.

59

3.64

8.23

80.5

1

0.78

Cas

tilla

y L

eón

23.0

1

44.1

7

33.2

7

194.

29

15.3

7

0

41.5

8

16.0

1

19.8

1

9.5

106.

8

1.97

25.2

9

290.

32

2.62

Cat

aluñ

a

6.63

166.

2

3.75

59.3

6

4.95

8.03

0

110.

68

3.34

1.01

35.4

4

5.35

39.0

5

184.

94

2.26

C. V

alen

cian

a

12.0

8

47.9

2.02

21.8

2

7.84

4.75

170.

26

0

4.94

0.72

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13.2

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ioja

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Tab

la 3

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la 3

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33

0

Tab

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287.

25

1469

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55

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62

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61

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01

2909

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6

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62

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49

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64

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58

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22

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4

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86

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5212

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.7

909.

09

1837

6.48

2163

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657.

72

1463

.08

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5

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.79

1497

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.23

4408

.52

0

1481

.9

1756

.12

712.

73

2401

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7752

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17

1143

.63

2939

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1342

.33

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52

1378

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1640

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1151

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71

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277.

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14

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83

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7

606.

53

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67.8

9

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26

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14

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3

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37

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6

Gal

icia

1293

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26

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617.

78

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41

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332.

12

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77

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14

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.65

2790

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2494

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4341

.54

139.

81

1161

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2480

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239.

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2700

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1421

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La R

ioja

136.

11

666.

62

150.

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369.

76

491.

87

733.

82

689.

78

538.

54

41.4

182.

44

907.

9

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112

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0.28

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0.38

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gón

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0.39

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0.19

1.56

0.14

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0.87

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0.4

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0.74

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0.27

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1.39

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0.2

0.03

1.34

0.46

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0.52

0.19

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0.15

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0.49

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0.98

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0.16

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cian

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0.43

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0.19

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ma

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s die

z m

atri

ces p

arci

ales

y la

mat

riz

de d

atos

.

113

114

En las figuras anteriores puede verse como la consideración de una función de costes exponencial otorga un buen resultado, aunque no tan bueno como el extraído mediante el uso de una función potencial. No obstante, el error medio ponderado tiene un valor más que aceptable y al igual que ocurrió con la función de costes potencial, mejora el valor de dicho error con respecto al de la matriz origen-destino global de las Figura 3.29, que puede verse en la Fiugra 3.30.

3.4.3.2. Método iterativo sobre modelo de minimización no lineal.

Una vez que se establece como objetivo la minimización del error medio ponderado expresado en (3.4), cabe pensar sobre la posibilidad de establecer un modelo como el que sigue para su posterior resolución:

,,

1

Minimizar

sujeto a

i 1,2,...,n

j 1,2,...,m

0 i 1,2,...,n; j 1,2,...,m

ij ij

i j iji j

m

ij ij

n

ij ji

ij

t xt

x O

x D

x

=

−

= ∀ =

≥ ∀ = ∀ =

∑ ∑

∑

(3.21)

115

donde xij viene dado por la expresión (3.12). La resolución de este modelo de 30 ecuaciones y 31 incógnitas (15 constantes αi, 15 constantes βj y un parámetro de la función de costes) supone la obtención de la función de costes que minimiza el error medio ponderado.

Sin embargo, llevar esto a cabo no fue es tan sencillo. En primer lugar, este es un problema que debe ser resuelto con la función fmincon de Matlab. Esta función tiene unos requerimientos para poder usarse. Concretamente, la función objetivo debe ser continua, al igual que su primera derivada; lógicamente, el término en valor absoluto que existe en la definición del error medio ponderado es un ejemplo de función con derivada primera no continua, por lo que fmincon no puede actuar sobre ella.

Con objeto de intentar paliar este problema, se cambió la función objetivo por

otra que contuviera una expresión perfectamente asimilable por Matlab. Suele ser muy común la minimización de diferencias cuadráticas para ajustar funciones, por lo que se apostó por esta opción, que no presenta discontinuidad alguna en sus derivadas. Recuérdese que minimizar la suma de diferencias al cuadrado equivale a minimizar la suma de varianzas. Si en la función objetivo del modelo (3.21), se sustituye el valor absoluto por le valor cuadrático y se tiene en cuenta que el denominador es constante, el nuevo modelo propuesto es entonces de la forma siguiente:

( )2

,

1

Minimizar

sujeto a

i 1,2,...,n

j 1,2,...,m

0 i 1,2,...,n; j 1,2,...,m

ij iji j

m

ij ij

n

ij ji

ij

t x

x O

x D

x

=

−

= ∀ =

≥ ∀ = ∀ =

∑

(3.22)

Se probó a resolver este modelo con Matlab suponiendo funciones de costes

potencial y exponencial siguiendo siempre la expresión para xij dada en (3.12), lo que hace que las restricciones sean fuertemente no lineales. Al igual que ocurrió con el método de las secantes, la solución de este modelo arrojará un valor del parámetro con el que montar las matrices parciales que, una vez sumadas, darán otra matriz global que cumplirá las restricciones. Sin embargo, en ambos casos, el programa fue incapaz de dar una solución a este problema, muy probablemente debido a la forma de las restricciones.

Se intentó por tanto resolver este modelo de otra forma más elaborada. Se trató

de resolver el sistema de ecuaciones (3.15), reescrito a continuación, para cada mercancía y una vez supuesto un valor del parámetro de la función de costes.

116

1

( ) , ; 1, 2,...,10

nijk

i k kj j j

nijk

j k ki i i

f ci k

D

f cj k

O

αβ

βα

=

= ∀ ∀ =

∑

Los valores de las 30 incógnitas obtenidas se sustituirán en la función objetivo,

que se dejará en función del parámetro que antes se estimó. Se derivará la función objetivo y se igualará a cero para conocer el valor del parámetro que hace mínima dicha función. Obtenido este valor, si la diferencia con respecto al valor supuesto es mayor que una tolerancia previamente establecida, se procederá a resolver de nuevo el sistema (3.15) para cada mercancía, iniciando así otra iteración. En el diagrama siguiente se explica esta secuencia de una manera más gráfica:

117

Inicioi=1

Fin

),...(),(),...,(),( 2121 iiii ββαα

ε≤− )(inn

No

Sí

)(in

Resolver sistema (3.15)

0)),...,(),(),...,(),((' 2121 =niiiif ββαα

0),...,,,...,,(. 2121 =≡ nfobjf ββαα

ninii=+=

)(1

Figura 1.33. Diagrama para la resolución del modelo iterativo. Al igual que se hizo con el método de las secantes, se probó con dos funciones

de costes distintas, a saber, exponencial y potencial. Sin embargo, no fue posible ajustar un valor del parámetro de la función exponencial. Debido a su forma, existen valores del parámetro para los que Matlab es incapaz de dar una solución de una manera sencilla. Matlab requiere un vector inicial para resolver sistemas de ecuaciones y en particular con el sistema (3.15) y la función exponencial, es necesario afinar mucho en los valores de dicho vector. Esto se debe posiblemente a problemas de tipo numérico: muy a menudo el valor de la exponencial del producto

118

del parámetro y el coste es tal que Matlab lo hace cero, siendo imposible resolver el sistema de ecuaciones en esas condiciones.

Afortunadamente no se encontraron problemas de esta índole cuando se probó la

función potencial, que se muestra mucho más estable para los valores del parámetro para los que el modelo converge. El proceso de resolución se llevó a cabo con unos ficheros que a continuación se detallan:

Solgrav.m El diagrama de flujo es idéntico al de la Figura 3.23. %Calcula la suma de las matrices Tij para cada mercancía siguiendo un %modelo determinado. X=[];%Vector que contendrá los valores de las constantes del modelo. T=zeros(15,15);%Matriz que contendrá los flujos obtenidos. options=optimset('fsolve'); options=optimset(options,'TolX',1.00e-12,'TolFun',1.00e-12,'MaxFunEvals',1e12,'MaxIter',200,'NonlEqnAlgorithm','dogleg'); for k=1:10 o=O(:,k); d=D(k,:); [x,y,z]=fsolve(@(v) gravitacional(v,o,d,C,n),v0,options);%Resuelve el sistema de ecuaciones que se forma en la función "gravitacional". if z~=1 k z end for i=1:15 for j=1:15 T(i,j)=T(i,j)+x(i)*O(i,k)*x(15+j)*D(k,j)*C(i,j)^(-n); end end X=[X;x];%Almacena las constantes de la mercancía k tras las de (k-1). end clear i;clear j;clear t;clear optimresults;clear k clear a;clear b;clear o;clear d;clear k;clear x;clear y;clear z;clear options; gravitacional.m El diagrama de flujo es idéntico al de la Figura 3.24. %Crea el sistema de ecuaciones F(x)=0 para resolver el modelo gravitacional function [F]=gravitacional(v,o,d,C,n) p=15; F=[]; for i=1:p den=0; for j=1:p den=den+v(p+j)*d(j)*C(i,j)^(-n); end F=[F;1/den-v(i)]; end for j=1:p den=0; for i=1:p

119

den=den+v(i)*o(i)*C(i,j)^(-n); end F=[F;1/den-v(p+j)]; end Derivación.m

Figura 3.35. Diagrama de flujo de Derivación.m %Calcula la derivada de la función de error cuadrático respecto a m. syms m S=0; for i=1:15 for j=1:15 sumatoriok=0; for k=1:10 sumatoriok=sumatoriok+X(30*(k-1)+i)*O(i,k)*X(30*(k-1)+15+j)*D(k,j); end S=S+(DATOS(i,j)-sumatoriok*C(i,j)^(-m))^2; end end fun=inline(S);%Es la función de error cuadrático respecto al parámetro m. derivada=inline(diff(S));%Deriva la función anterior. m=fzero(derivada,1.3)%Encuentra el valor que hace cero la derivada. Utiliza 1.3 como valor inicial. clear i;clear j;clear k;clear sumatoriok;

A continuación se adjuntan las figuras y tablas correspondientes a este método, tal y como se hizo con el método de las secantes. Las consideraciones sobre la matriz de costes son las mismas que en el método anterior. El criterio de parada para

120

la estimación del parámetro fue un error ε menor o igual a 2·10-4. Tras comenzar a iterar con un valor del parámetro de 1,3 se alcanzó un valor definitivo igual a 1,3533 a las 21 iteraciones. La matriz obtenida ésta vez sí es la suma de las diez matrices parciales, pues en el archivo solgrav.m se ha resuelto el sistema de ecuaciones para cada mercancía.

121

Tab

la 3

.29.

Val

ores

de

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da ti

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122

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0.04

274.

88

122.

48

33.1

7

501.

19

528.

39

411

623.

12

681.

97

172.

5

232.

2

490.

62

82.4

9

79.4

3

52.1

3

Ara

gón

156.

66

0.01

46.2

6

23.9

5

160.

54

263.

7

596.

99

458.

49

34.4

51.0

6

120.

84

127.

45

212.

71

100.

78

123.

8

Ast

uria

s

38.8

9

25.7

8

0

12.7

2

25.0

7

96.4

5

29.0

5

29.7

6

8.82

36.6

5

17.0

5

15.0

8

12.5

3

15.2

5

8.96

Can

tabr

ia

76.5

7

97

92.4

2

0

60.7

5

210.

19

88.5

2

80.6

16.9

2

41.8

5

43.8

2

35.3

8

56.3

1

80.5

5

40.3

6

Cas

tilla

-La

Man

cha

400.

57

225.

13

63.0

9

21.0

3

0

460.

84

205.

15

415.

94

106.

48

73.2

6

1027

.26

214.

21

59.2

1

56.1

6

41.8

5

Cas

tilla

y L

eón

467.

28

409.

18

268.

6

80.5

3

509.

92

0.01

356.

45

406.

74

124.

44

202.

38

435.

13

198.

74

163.

67

202.

23

142.

67

Cat

aluñ

a

253.

54

646.

19

56.4

4

23.6

6

158.

34

248.

65

0.02

877.

77

43.8

6

72.3

7

105.

61

236.

77

129.

41

79.8

6

67.0

6

C. V

alen

cian

a

459.

41

593.

11

69.1

25.7

5

383.

69

339.

1

1049

.06

0.02

77.1

2

92.6

6

238.

21

832.

06

112.

5

249.

71

67.5

9

Ext

rem

adur

a

557.

1

49.3

1

22.6

8

5.99

108.

83

114.

95

58.0

7

85.4

5

0

29.4

3

54.5

8

46.9

1

15.0

5

14.4

3

9.53

Gal

icia

223.

13

115.

88

149.

28

23.4

5

118.

57

296

151.

73

162.

57

46.6

0.01

78.3

83.5

2

46.2

54.8

1

31.0

9

C.M

adrid

73.3

4

66.9

7

16.9

6

405.

94

155.

4

54.0

7

102.

04

21.1

19.1

2

0

46.9

6

16.7

6

16.4

1

12.3

5

Mur

cia

470.

15

214.

29

45.5

1

14.6

9

256.

83

215.

36

367.

79

1081

.45

55.0

3

61.8

7

142.

49

0.01

49.7

37.1

2

29.3

6

Nav

arra

44.1

199.

52

21.1

13.0

4

39.6

1

98.9

4

112.

14

81.5

7

9.85

19.0

9

28.3

6

27.7

3

0

127.

64

97.6

Paí

s V

asco

89.4

7

199.

17

54.1

39.3

79.1

4

257.

55

145.

8

381.

46

19.8

9

47.7

2

58.5

1

43.6

3

268.

92

0

169.

97

La R

ioja

26.2

5

109.

39

14.2

1

8.8

26.3

7

81.2

4

54.7

4

46.1

6

5.88

12.1

1

19.6

9

15.4

3

91.9

4

76

0

T

abla

3.4

0. M

atri

z or

igen

-des

tino

para

la m

erca

ncía

Tip

o 1.

123

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

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a

C.V

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cian

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a

Gal

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C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

And

aluc

ía

0.06

155.

04

120.

93

97.6

5

599.

79

523.

16

469.

1

629.

31

991.

37

235.

62

409.

47

379.

99

60.6

4

117.

93

35.7

1

Ara

gón

278.

04

0

60.1

7

92.8

7

253.

08

343.

93

897.

58

609.

96

65.8

8

91.8

7

280.

71

130.

03

205.

97

197.

1

111.

71

Ast

uria

s

173.

34

48.0

9

0

123.

82

99.2

3

315.

9

109.

69

99.4

2

42.3

9

165.

6

99.4

9

38.6

4

30.4

8

74.9

1

20.3

Can

tabr

ia

93.7

5

49.7

2

82.9

3

0

66.0

7

189.

12

91.8

2

73.9

8

22.3

5

51.9

5

70.2

2

24.9

37.6

2

108.

67

25.1

2

Cas

tilla

-La

Man

cha

817.

15

192.

27

94.3

1

93.7

6

0.01

690.

88

354.

53

636.

05

234.

38

151.

52

2742

.93

251.

21

65.9

1

126.

25

43.4

1

Cas

tilla

y L

eón

732.

85

268.

65

308.

72

275.

95

710.

36

0.01

473.

59

478.

18

210.

57

321.

77

893.

23

179.

18

140.

05

349.

5

113.

76

Cat

aluñ

a

663.

93

708.

39

108.

31

135.

36

368.

31

478.

5

0.05

1723

.01

123.

91

192.

11

361.

99

356.

42

184.

89

230.

44

89.2

8

C. V

alen

cian

a

579.

15

313.

02

63.8

4

70.9

2

429.

65

314.

15

1120

.35

0.02

104.

9

118.

43

393.

06

602.

98

77.3

8

346.

88

43.3

2

Ext

rem

adur

a

574.

07

21.2

7

17.1

3

13.4

8

99.6

2

87.0

5

50.7

66

0

30.7

4

73.6

2

27.7

9

8.46

16.3

8

4.99

Gal

icia

495.

53

107.

74

242.

97

113.

8

233.

9

483.

1

285.

47

270.

64

111.

66

0.01

227.

6

106.

62

55.9

8

134.

13

35.1

1

C.M

adrid

264.

39

101.

07

44.8

2

47.2

3

1299

.99

411.

73

165.

15

275.

78

82.0

9

69.8

8

0

97.3

3

32.9

6

65.1

8

22.6

4

Mur

cia

442.

96

84.5

3

31.4

2

30.2

4

214.

94

149.

11

293.

57

763.

8

55.9

4

59.1

175.

72

0

25.5

5

38.5

4

14.0

7

Nav

arra

135.

15

255.

98

47.3

9

87.3

2

107.

82

222.

82

291.

15

187.

4

32.5

7

59.3

2

113.

78

48.8

5

0

431.

06

152.

08

Paí

s V

asco

148.

91

138.

78

65.9

9

142.

93

117.

01

315.

04

205.

59

475.

95

35.7

2

80.5

3

127.

46

41.7

5

244.

22

0

143.

84

La R

ioja

61.3

9

107.

1

24.3

5

44.9

9

54.7

8

139.

63

108.

45

80.9

3

14.8

3

28.7

60.2

8

20.7

5

117.

32

195.

86

0

T

abla

3.4

1. M

atri

z or

igen

-des

tino

para

la m

erca

ncía

Tip

o 2.

124

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

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Cat

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C.V

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Gal

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C,M

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Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

A

ndal

ucía

0 13

0.44

1.82

15.9

7

123.

98

4.06

2.71

2.78

3.07

10.1

9

4.06

3.87

1.67

0.4

Ara

gón

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ast

uria

s

12.5

1

80.2

6

0

45.9

6

52.5

9

1489

.79

18.8

9

8.51

2.36

42.8

7

49.2

8

8.22

38.7

3

21.1

4.5

Can

tabr

ia

2.84

34.8

5

2.53

0

14.7

1

374.

63

6.64

2.66

0.52

5.65

14.6

1

2.22

20.0

8

12.8

6

2.34

Cas

tilla

-La

Man

cha

0.33

1.79

0.04

0.19

0

18.1

5

0.34

0.3

0.07

0.22

7.57

0.3

0.47

0.2

0.05

Cas

tilla

y L

eón

2.01

17.0

2

0.85

3.89

14.2

9

0 3.1

1.55

0.45

3.16

16.8

1.45

6.76

3.74

0.96

Cat

aluñ

a

4.64

114.

6

0.76

4.87

18.9

2

218.

76

0

14.3

0.67

4.82

17.3

8

7.35

22.7

8

6.29

1.92

C. V

alen

cian

a

2.78

34.8

1

0.31

1.75

15.1

7

98.7

1

12.8

5

0

0.39

2.04

12.9

7

8.54

6.55

6.51

0.64

Ext

rem

adur

a

2.77

2.38

0.08

0.33

3.53

27.4

8

0.58

0.38

0

0.53

2.44

0.4

0.72

0.31

0.07

Gal

icia

9.78

49.2

4.83

11.5

6

33.9

2

623.

37

13.4

5

6.34

1.7 0

30.8

5

6.2

19.4

7

10.3

4

2.13

C.M

adrid

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Mur

cia

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nav

arra

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Paí

s V

asco

0.33

7.16

0.15

1.64

1.92

45.9

5

1.09

1.26

0.06

0.64

1.95

0.27

9.6 0

0.99

La R

ioja

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

T

abla

3.4

2. M

atri

z or

igen

-des

tino

para

la m

erca

ncía

Tip

o 3.

125

And

aluc

ía

Ara

gón

Ast

uria

s

Can

tabr

ia

Cas

tilla

-La

Man

cha

Cas

tilla

y L

eón

Cat

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C.V

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cian

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Ext

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a

Gal

icia

C,M

adrid

Mur

cia

Nav

arra

Paí

s V

asco

La R

ioja

A

ndal

ucía

0

30.0

2

20.8

2

18.0

3

104.

2

66.2

9

13.5

9

32.4

3

133.

43

6.6

22.5

54.7

5

8.4

30.5

9

9.43

Ara

gón

13.5

3

0

6.73

11.1

4

28.5

5

28.3

16.8

9

20.4

1

5.76

1.67

10.0

2

12.1

7

18.5

4

33.2

19.1

6

Ast

uria

s

21.2

1

15.2

0

37.3

2

28.1

4

65.3

5

5.19

8.37

9.32

7.57

8.93

9.09

6.9

31.7

2

8.75

Can

tabr

ia

11.8

8

16.2

8

24.1

5

0

19.4

1

40.5

3

4.5

6.45

5.09

2.46

6.53

6.07

8.82

47.6

7

11.2

2

Cas

tilla

-La

Man

cha

96.6

6

58.7

7

25.6

3

27.3

2

0

138.

19

16.2

2

51.7

4

49.7

9

6.7

237.

92

57.1

4

14.4

2

51.6

9

18.0

9

Cas

tilla

y L

eón

26.1

24.7

2

25.2

6

24.2

1

58.6

4

0

6.52

11.7

1

13.4

7

4.28

23.3

2

12.2

7

9.22

43.0

8

14.2

8

Cat

aluñ

a

80.9

2

223.

13

30.3

3

40.6

5

104.

07

98.6

2

0

144.

43

27.1

3

8.75

32.3

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8

0.01

232.

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63.9

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7

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31

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C.M

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356.

39

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96

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174.

92

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66

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54

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39

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86

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23

122.

02

Mur

cia

630.

46

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82

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9

118.

24

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79

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03

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49

Paí

s V

asco

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75

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02

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27

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92

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ioja

90.3

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31

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16

73.2

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39

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18

0

Tab

la 3

.46.

Mat

riz

orig

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129

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62

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a

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4

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Mur

cia

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La R

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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tab

la 3

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35

17.5

5

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168.

59

8.6

Cas

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5

62

4.7

Cas

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cia

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La R

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5

0

Tab

la 3

.48.

Mat

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orig

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Can

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Cas

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72

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a

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Mur

cia

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201.

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5

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59

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0

735.

01

179.

83

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73

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38

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03

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14

0

Tab

la 3

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132

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01

213.

26

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44

567.

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124.

32

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38

782.

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7

2394

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1621

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33

1107

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79

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2256

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2846

.09

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76

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1071

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46

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852.

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58

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56

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0.3

9073

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463.

88

1312

.11

2874

.55

2165

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1337

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2205

.19

570.

82

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3620

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31

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29

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7959

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0.15

608.

31

913.

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36

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11

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15

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13

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1909

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3387

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1882

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78

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63

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96

651.

81

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73

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6

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21

574.

54

138.

29

930.

81

1686

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la 3

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133

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s

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0.66

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ia

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Cas

tilla

y L

eón

1.14

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0.35

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0.14

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0.09

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0.17

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0.27

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1.02

0.05

C. V

alen

cian

a

0.26

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1.22

0.44

0.26

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0.15

2.17

0.21

0.04

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rem

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a

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icia

0.36

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0.34

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0

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0.07

0

Tab

la 3

.51.

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sum

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mat

rice

s par

cial

es y

la m

atri

z de

dat

os.

134

135

Tal y como ocurrió con el método de las secantes, el método iterativo ofrece una solución que se ajusta bastante bien a los datos del Ministerio de Fomento. El error medio ponderado es ligeramente superior al obtenido por la aplicación del método de las secantes. Sin embargo, teniendo en cuenta que la diferencia tan escasa en la bondad de ambos modelos, parece claro que el modelo gravitacional no puede ofrecer un resultado mucho mejor que los obtenidos hasta ahora.

3.4.3.3. Algoritmo genético.

3.4.3.3.1. Definición del método.

Los algoritmos evolutivos surgieron en las décadas de los 60 y 70 como intento de modelar el proceso evolutivo de las especies. En particular, el algoritmo genético fue presentado en 1975 por Holland con el objetivo de entender el mecanismo subyacente de los sistemas autoadaptativos.

En el ámbito de los algoritmos evolutivos, los individuos sujetos a la evolución

son considerados soluciones, más o menos eficientes, de un problema dado. El conjunto de individuos tratados de manera simultánea por el algoritmo constituyen una población. Este conjunto evolucionará a lo largo de un cierto número de iteraciones denominadas generaciones, hasta que se satisface un criterio de parada que concierne a la calidad de los individuos.

Durante cada generación, los individuos son sometidos a una serie de operadores

con el fin de obtener una nueva generación. Los individuos a los que se les aplica estos operadores son denominados padres (parents), mientras que los individuos

136

que se generan como consecuencia de esta aplicación son llamados progenie (offspring). A continuación se explican brevemente los operadores que se aplicarán a los individuos en cada generación:

• Reemplazo: determinará qué individuos son aptos para seguir

reproduciéndose de manera que el tamaño de la población se mantenga constante. Cuanto mejor sea un individuo, más frecuentemente será seleccionado para sobrevivir. Esto introduce el concepto de fitness, que mide la bondad de un individuo. En este sentido, el fitness será el valor de la función objetivo.

• Operadores de variación:

o Operadores de mutación (mutation operators): modifican un

individuo convirtiéndolo en otro distinto.

o Operadores de cruce (crossover operators): crean uno o más hijos a partir de la combinación de dos o más padres.

Para la puesta a punto de este algoritmo aplicado al problema de la distribución interregional de mercancías se siguió un modelo con función de costes potencial. Los problemas numéricos dados por la función exponencial a la hora de cumplir las restricciones del modelo, tal y como se expuso con anterioridad, fueron suficientes para descartar probar una función exponencial de costes. Por tanto, para la función potencial de costes e establecieron los siguientes parámetros:

a) La población individuos N en cada generación tendrá un tamaño de 28

individuos. Cada individuo se representa por el valor del parámetro de la función potencial de costes. Se tomaron valores equiespaciados una décima ente 0 y 2,7. Se escogió este rango porque parece comprender el valor óptimo del parámetro, tal y como se vio en los dos métodos de calibración anteriores, y porque para valores mayores Matlab presenta los problemas numéricos y de convergencia que se comentaron.

b) El fitness de este algoritmo será el error medio ponderado que se busca

minimizar, esto es:

,

ij ij

i j iji j

t xt

−∑ ∑

Por tanto, un individuo será mejor cuanto más bajo sea su fitness. Una vez se conozca el individuo, es decir, el valor del parámetro de la función de costes, se resolverá el sistema de ecuaciones (3.15) para ese individuo y se calculará el valor de la función objetivo

c) Se tomará como operador de mutación una probabilidad. Se convino la

mutación de cada individuo de la población con una probabilidad

137

uniforme del 15% en cada generación. Dicha mutación consistirá en cambiar el valor del individuo, esto es, el valor del parámetro por un número al azar entre 0 y 2,7.

d) El operador de cruce será el denominado operador aritmético. Este

operador toma los individuos de la población de dos en dos al azar, generando otro individuo de valor la media aritmética de los dos padres. Al final, se habrán generado N/2 individuos (14 en este caso) y se tendrán 3N/2 individuos de los cuales habrá que escoger N para iniciar la próxima generación.

3.4.3.3.2. Archivos utilizados y resultados obtenidos.

Para que Matlab resolviera este algoritmo fue necesario elaborar un archivo que lo implementase. Entre las múltiples herramientas con la que cuenta Matlab, hay una dedicada al algoritmo genético. Esta herramienta es capaz de aplicar cruces y mutaciones a los individuos de una población, de admitir restricciones no lineales como las expresadas en (3.15) y por supuesto de calcular el fitness. Sin embargo, identifica las constantes del sistema (3.15) como variables a las que aplicar los operadores de cruce y mutación. Por tanto, Matlab cruza y muta no sólo el parámetro de la función de costes potencial sino también estas constantes. Lógicamente la aplicación de estos operadores a las constantes carece de sentido para la calibración del modelo, y en consecuencia resulta imprescindible programar este algoritmo. El archivo escrito abarca todos los pasos de la Figura 3.40 y se repite durante las 15 generaciones que dura el proceso. Además, para cada generación identifica al mejor individuo y el valor medio del fitness.

138

GA.m

N individuos

3N/2 individuos

generacion>gNo

Sí

Evaluación del fitness de cada individuo de la

progenie

Selección de los N mejores individuos según su fitness

generacion=generacion+1

Cruce

Mutación

Evaluación del fitness de cada individuo

generacion=1

Selección de una población inicial de N individuos

Inicio

Fin

Figura 3.40. Diagrama del algoritmo genético para una generación.

139

%ALGORITMO GENÉTICO %1.Preparacion de poblacion inicial. N=[0:.1:2.7]';%Vector de individuos. p=size(N,1); fitness=1000*ones(3*p/2,1);%Vector de fitness. generaciones=15; %Número de generaciones. dato1=[];%Guardará los mejores valores del fitness. dato2=[];%Guardará los valores medios del fitness. for g=1:generaciones%Bucle para las 15 generaciones. options=optimset('fsolve'); options=optimset(options,'TolX',1.00e-12,'TolFun',1.00e-12,'MaxFunEvals',1e12,'MaxIter',125,'NonlEqnAlgorithm','dogleg'); for u=1:p%Bucle para los individuos. binario=ones(10,1);%Vector que valdrá para saber si hay algún vector inicial para el que Matlab no puede resolver el sistema que aporta la función "gravitacional". maxbinario=max(binario); v0=.005*ones(30,1); while maxbinario==1 T=zeros(15,15);%Matriz origen-destino resultado. v0=v0*2;%Primer vector inicial con el que se intentará resolver el sistema. for k=1:10 o=O(:,k); d=D(k,:); [x,y,z,output]=fsolve(@(v) gravitacional(v,o,d,C,N(u)),v0,options);%Resuelve el sistema de ecuaciones que se forma en la función "gravitacional". if (output.iterations<125)%Comprueba si se ha alcanzado el número de iteraciones máximas. binario(k)=0; else binario(k)=1; end for i=1:15 for j=1:15 T(i,j)=T(i,j)+x(i)*O(i,k)*x(15+j)*D(k,j)*C(i,j)^(-N(u)); end end end maxbinario=max(binario);%Si vale 1, hay algun k para el que el vector inicial no ha valido. end fitness(u)=sum(sum(abs(DATOS-T)/sum(sum(DATOS))));%Cálculo del fitness para este individuo end %2. Mutación. probmutacion=0.15;%establece la propiedad de mutación. for i=1:p if rand(1)<=0.15%Si el valor aleatorio esta en el rango de la probabilidad de mutación, el individuo i muta. N(i)=random('unif',0,2.7);%Se le da un valor aleatorio entre 0 y 2.7. end end

140

%3. Cruce. permutacion=randperm(p);%Crea un vector de valores entre 1 y p permutados. Si, por ejemplo, el elemento 1 de este vector vale 14, y el elemento 2 vale 8, los individuos 14 y 8 del vector N se cruzarán entre sí. cruce=zeros(p/2,1); i=0; for u=1:2:(p-1) i=i+1; cruce(i)=(N(permutacion(u))+N(permutacion(u+1)))/2;%Obtención de los p/2 individuos de la progenie. end for u=1:p/2%Obtención del fitnees para los indiviudos de la progenie. binario=ones(10,1); maxbinario=max(binario); v0=.005*ones(30,1); while maxbinario==1 T=zeros(15,15);%Matriz origen-destino resultado. v0=v0*2; for k=1:10 o=O(:,k); d=D(k,:); [x,y,z,output]=fsolve(@(v) gravitacional(v,o,d,C,cruce(u)),v0,options);%Resuelve el sistema de ecuaciones que se forma en la función "gravitacional". if (output.iterations<125) binario(k)=0; else binario(k)=1; end for i=1:15 for j=1:15 T(i,j)=T(i,j)+x(i)*O(i,k)*x(15+j)*D(k,j)*C(i,j)^(-cruce(u)); end end end maxbinario=max(binario); end fitness(p+u)=sum(sum(abs(DATOS-T)/sum(sum(DATOS))));%Cálculo del fitness. end %4. Selección. A=[N;cruce];%Vector de los 3p/2 individuos. B=[A fitness];%Matriz que contiene en cada fila al individuo y su fitness. fitness=sort(fitness,1,'ascend');%Ordena los valores del fitness del mejor al peor. NuevoN=zeros(p,1);%Vector que contendrá los p individuos elegidos. for u=1:p for u2=1:3*p/2 if fitness(u)==B(u2,2); NuevoN(u)=B(u2,1); end end end N=NuevoN;

141

Nuevofitness=zeros(p,1);%Vector que contendrá los fitness de los p mejores individuos. for u=1:p Nuevofitness(u)=fitness(u); end fitness=Nuevofitness; dato1=[dato1 fitness(1)]; dato2=[dato2 mean(fitness)]; plot([1:1:g],dato1,[1:1:g],dato2,'MarkerEdgeColor','b') xlabel('Generaciones') legend('Mejor fitness','Fitness medio') clc end

El resultado que se obtiene mediante la aplicación de este algoritmo es muy similar a los que se obtuvieron con los métodos anteriores. El valor del parámetro para el que se obtuvo el mejor fitness fue 1,5525. El valor de la función objetivo en ese punto es 0,3103. Tal y como se puede observar en la Figura 3.41, el valor medio del fitness en cada generación desciende de manera exponencial. Sin embargo, el valor del mejor fitness en cada generación se mantiene casi constante. Más concretamente, en la primera generación un valor de parámetro de 1,6 otorga el mejor fitness (0,3105). Tras 15 generaciones este valor sólo mejora en dos diezmilésimas. Con todo, el resultado obtenido mediante este algoritmo es el mejor de todos de los que se dispone. A continuación se mostrarán las matrices origen-destino para cada mercancía, así como las constantes del modelo para el valor óptimo del parámetro. Acto seguido, se muestran los gráficos de la matriz total y su error con respecto a la matriz de datos.

Figura 3.41. Evolución del algoritmo genético.

142

143

Tal y como se comentó tras la exposición de los resultados del método iterativo, el modelo gravitacional no parece poder dar resultados mucho mejores de los ya obtenidos. Aún así, el algoritmo genético ofrece el mejor resultado hasta ahora hallado, con error medio ponderado que apenas supera el 31%. Al igual que en los dos métodos probados anteriormente, la matriz origen-destino obtenida se ajusta bastante bien a la matriz de datos del modelo.

144

Tab

la 3

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145

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Tab

la 3

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6

5.15

1.65

9.15

11.8

6

19.3

2

33.8

6

19.6

Ast

uria

s

20.5

8

13.7

5

0

42.1

2

25.2

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72.0

3

4.78

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8.55

8.93

7.66

8.12

5.95

30.7

3

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Can

tabr

ia

10.9

6

15.3

9

27.7

3

0

17.0

8

43.1

1

4.2

5.3

4.42

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5.54

5.29

8.16

50.7

6

10.5

Cas

tilla

-La

Man

cha

96.4

7

53.3

4

23.6

24.2

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139.

92

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8

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2

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272.

39

55.0

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11.4

44.2

8

14.4

4

Cas

tilla

y L

eón

26.1

5

24.0

5

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5

25.6

8

58.7

5

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10.1

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7

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11.4

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8.31

43.7

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13.4

Cat

aluñ

a

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4

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34

28.9

8

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94.3

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27.9

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7

38.9

8

92.4

8

34.6

C. V

alen

cian

a

63.6

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23

55.4

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28.7

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08

13.4

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138.

22

14.1

1

Ext

rem

adur

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1

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0.05

0.04

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0.02

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0.02

0.07

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adrid

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4

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686.

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138.

63

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12.2

8

Mur

cia

291.

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126.

74

40.8

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296.

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147.

02

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Nav

arra

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18.4

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09

104.

88

Paí

s V

asco

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6

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83

80.2

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201.

23

123.

71

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97

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0.69

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0

Tab

la 3

.56.

Mat

riz

orig

en-d

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ipo

4.

149

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uria

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22

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0.7

Can

tabr

ia

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0.4

Cas

tilla

y L

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0.66

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rem

adur

a

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5

10.7

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cia

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5

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Tab

la 3

.57.

Mat

riz

orig

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5.

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gón

32.8

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23.4

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s

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Can

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68

22.6

3

Cas

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-La

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55

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26.0

3

3.66

Cas

tilla

y L

eón

98.2

5

46.8

3

83.4

7

25.4

5

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02

12.8

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rem

adur

a

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ioja

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10.5

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Tab

la 3

.58.

Mat

riz

orig

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estin

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Ara

gón

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1548

.77

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5

117.

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36

548.

64

513.

33

367.

15

Ast

uria

s

80.0

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Can

tabr

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44

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4

Cas

tilla

-La

Man

cha

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299.

47

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.55

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25

Cas

tilla

y L

eón

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22

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.1

0

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.88

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85

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35

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Tab

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Tab

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157

3.5. CONCLUSIONES.

Sin duda el tercer y último capítulo de este proyecto es el de mayor complejidad conceptual y matemática. Es por tanto también el que más esfuerzo requirió para su elaboración. Aunque tanto el modelo lineal de minimización de costes como el modelo de entropía no son aceptables, uno por su planteamiento teórico y otro por sus resultados, los resultados fueron muy satisfactorios cuando se planteó el modelo gravitacional. En efecto, los resultados cobran mayor valor cuando se considera que se está intentando explicar todo un modelo logístico a partir de las distancias entre origen y destino y los valores de la oferta y la demanda. Evidentemente, conocer en profundidad las razones que promueven una determinada distribución del flujo interregional en España requiere un estudio mucho más profundo. Sin embargo, en la búsqueda de un modelo matemático sencillo que explique aproximadamente dicha distribución, el modelo gravitacional resulta ser un magnífico hallazgo. De hecho, el mejor método para calibrar este modelo, el algoritmo genético, ofrece una aproximación que tiene un error medio ponderado de apenas un 31% con respecto al modelo original. No es este un valor tan alto, teniendo en cuenta que en otros estudios consultados (DRÉO, PÉTROWSKI., SIARRY & TAILLARD, 2003) se encontraron modelos con errores cercanos al 50%.

Por último, y a fin de resumir todo el entramado de datos que se han

desprendido de este estudio, se facilita una tabla que contiene los resultados de los métodos utilizados. Se puede apreciar cómo el modelo gravitacional que ofrece el algoritmo genético es el mejor de cuantos se han conseguido. Sin embargo también es apreciable cómo una diferencia de casi 0,4 en los valores del parámetro en el modelo potencial no devuelve unos valores muy distintos del error medio ponderado.

Modelo y método Función de costes

Valor del parámetro

Error medio ponderado

Lineal - - Modelo no aplicable Entropía - - 1,3131 Gravitacional

Potencial 1,7274 0,3136 -Método de las secantes Exponencial 4,8663 0,3501 -Método iterativo Potencial 1,3533 0,3161 -Algoritmo genético Potencial 1,5525 0.3103

3.65. Resumen de los resultados obtenidos.

Conclusiones

158

CONCLUSIONES FINALES DEL PROYECTO.

En las siguientes líneas se resumirán de manera breve los resultados obtenidos durante la realización de este proyecto y las conclusiones de que de ellos se pueden extraer. Se ha considerado que esta última reflexión puede ser útil para ayudar a afianzar todas las conclusiones derivadas de este estudio, aunque la mayoría de ellas se encuentran ya recogidas dentro de los capítulos que conforman el proyecto.

En primer lugar se procedió a la realización de un análisis de regresión para

conocer de qué factores dependen las tarifas aplicadas por RENFE para la contratación de contenedores que transporten mercancías a través de sus líneas de distribución. Aunque en un principio se pensó que dichos precios podían depender de la distancia entre los centros de oferta y demanda y del número de terminales intermedias durante el trayecto, se concluyó que sólo la distancia es un factor determinante. Además, la relación más adecuada entre tarifas y distancia resultó ser lineal para todos los tipos de contenedores analizados. Por último, se puede decir que RENFE aplica un coste fijo por la contratación del servicio que está comprendido ente 35 y 56 € más un coste variable que oscila entre los 0,30 y 0,49 €/km recorrido.

En el segundo capítulo del proyecto se comenzó a analizar el modo de transporte

por carretera. En concreto, se buscó una relación por medio de técnicas de regresión que explicara la oferta y la demanda de diez productos distintos en las regiones españolas. Para ello, se plantearon las siguientes variables explicativas: PIB, población y tasa de paro de la región en cuestión y número de empleados en el sector del producto analizado. En esta ocasión, se puede concluir que las relaciones no fueron tan sencillas como en el primer capítulo, aunque las regresiones obtenidas fueron incluso mejores. De esta forma, se puede decir de manera general que las cuatro variables escogidas expresan mejor las ofertas y las demandas de lo que las distancias expresan las tarifas de RENFE. De la misma manera, la regresión paso a paso se muestra como una herramienta potente para la obtención de regresiones fiables cuando el número de variables explicativas es alto.

En cuanto al tercer capítulo del proyecto, dedicado a la obtención de una matriz

origen-destino mediante un modelo matemático que explique el transporte interregional de mercancías, es interesante ofrecer las siguientes reflexiones. En primer lugar, es importante no perder nunca la noción del modelo que se plantea en cuanto a su significado físico se refiere. Esto resulta fundamental a la hora de valorar la bondad de los resultados. Si se excluye de esta reflexión a los modelos lineal y de entropía, uno por no ser adecuado por las características del sistema de transporte interregional de mercancías y otro por ser más propio del transporte urbano, sólo queda hacer valoraciones sobre el modelo gravitacional. En este sentido es de gran importancia conceptual darse cuenta de lo que se está suponiendo con este modelo para comprender que la aproximación obtenida no es en absoluto mala. Nótese que mediante la aplicación de un modelo gravitacional se está suponiendo que la distribución de mercancías entre dos comunidades autónomas cualesquiera depende de manera proporcional sólo de los niveles de oferta y demanda, y de manera inversamente proporcional sólo de la distancia entre las dos regiones. Es esta una visión muy simplificada de los factores que pueden determinar

Conclusiones

159

el flujo interregional de mercancías. No se tienen en cuenta costes de almacenaje en origen o destino, precios de carga y descarga u otros costes diferenciales. Incluso si el flujo de mercancías dependiera de manera inversa sólo de la distancia entre las regiones, ¿por qué razón la expresión que caracteriza esta dependencia es potencial o exponencial? Podría ser muy distinta. Sin embargo, hay que llegar a un compromiso entre la complejidad del modelo y la bondad de los resultados, y es aquí donde el modelo gravitacional se hace fuerte. Los datos que requiere el modelo gravitacional son relativamente fáciles de conseguir y en contraprestación arroja unos resultados sorprendentemente aproximados. Nótese que la calibración de este modelo busca una función matemática relativamente simple que se ajuste a 225 valores de una matriz de datos.

Por último, los resultados obtenidos revelan que el modelo gravitacional que

ofrece el algoritmo genético es el mejor de cuantos se probaron, alcanzando un error medio ponderado del 31,06%. Sin embargo, los otros métodos de calibración ensayados otorgaron valores de dicho error muy cercanos, aunque los valores del parámetro obtenido para cada caso si difieren en mayor cantidad.

Bibliografía y fuentes documentales

160

BIBLIOGRAFÍA Y FUENTES DOCUMENTALES.

• “Encuesta permanente de transporte de mercancías por carretera” (2005). Ministerio de Fomento.

• CRISTINA BORRA MARCOS (2004). “La estimación de la demanda de

transportes de mercancías”, Universidad de Sevilla.

• DRÉO, PÉTROWSKI., SIARRY, TAILLARD (2003). “Metaheuristics for hard optimization”, Springer.

• EDSON TADEU BEZ (2000). “Um estudo sobre los procedimentos de

calibração de alguns modelos de distribução de viagens”, Universidade Federal de Santa Catarina.

• FRANCISCO GARCÍA BENÍTEZ (2003). “Redes de transporte. Teoría y

algoritmos básicos”, TED Technical Editions. • GÉDÉON, FLORIAN, CRAINIC (1993). “Determining origin-destination

matrices and optimal multiproduct flows for freight transportation over multimodal networks”, Pergamon Press Ltd.

• HOLLAND, J.H. (1975) “Adaptation in natural and artificial systems”,

University of Michigan Press, Ann Arbor.

• HYMAN, G. (1969). “The calibration of trip distribution models”, Environment and Planning.

• J. DE ORTÚZAR, L.G. WILLUMSEN (1990). “Modelling transport”, John

Wiley & Sons, Inc.

• MAKRIDAKIS, WHEELWRIGHT, HYNDMAN (1998). “Forecasting: methods and applications”, John Wiley & Sons, Inc

• MONTGOMERY, PECK, VINING (2004). “Introducción al análisis de

regresión lineal”, Compañía Editorial Continental.

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