90º cateto contiguo x cateto opuesto y hipotenusa h razones trigonométricas de un ángulo agudo

90º

Cateto contiguo

x

Cateto opuesto

yHipoten

usa

h

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

x

y

contiguocateto

opuestocatetotg

h

x

hipotenusa

contiguocateto

h

y

hipotenusa

opuestocatetosen

cos

αdetangenteαtg

αdecosenoαcos

αdesenoαsen

Valores posibles de las razones

Como la hipotenusa siempre es mayor que los catetos:

0 < sen 0 < cos

Como los catetos pueden tomar cualquier valor:

0 < tg

Otras razones trigonométricas.

90º

Cateto contiguo

xC

ateto opuesto

yHipoten

usa

h

y

x

tgg

x

h

y

h

1cot

cos

1sec

sen

1cosec

tangente)la de (inversa de cotangente cotg

coseno) del (inversa de secantesec

seno) del (inversadecosecantecosec

Relación fundamental de la trigonometría

90º x

yh

Teorema de Pitágoras222 yxh

1cos2

2

2

22

2

2

2

222

h

h

h

xy

h

x

h

ysen

Por tanto:

1cos22 sen

Otras relaciones importantes

tgx

y

hx

hy

h

xh

ysen

cos

90º x

yh

2

22

22

2

22 sec

cos

1

cos

cos

cos11

sensentg

Por tanto:

tgsen

cos

22

2 seccos

11 tg

Estas relaciones permite calcular el resto de las razones trigonométricas de un ángulo agudo conocida una de ellas.

Razones trigonométricas de ángulos complementarios.Dos ángulos son complementarios si suman 90º. Si uno es el otro es 90º-

x

yh

90º

90º-

)º90(

1

)º90(cos

)º90cos(

tgx

ytg

asenh

xh

ysen

1

1

Razones trigonométricas de 45º

Utilizamos un triángulo rectángulo isósceles con catetos iguales a uno

45º

45ºPor el teorema de Pitágoras:

211 22 h2

Por tanto:

2

2

22

21

2

1º45

sen

2

2

2

1º45cos

1

22

22

º45 tg

Razones trigonométricas de 30º y 60ºAhora utilizamos un triángulo equilátero de lados iguales a 1

60º

60º1

1

1

60º 60º

30º1

1/2

2

3

4

3

4

11

2

11

22

c

2

3

2

1

12

1

º30 sen

2

3

12

3

º30cos

3

3

3

1

32

21

23

21

º30

tg 33

3º60

2

1º60cos

2

3º60

tg

sen

Cuadro resumen

30º 45º 60º

seno

coseno

tangente

2

1

2

1

2

2

2

2

2

3

2

3

3

3 1 3

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (I).

1

Consideramos una circunferencia de radio uno.

Para cada ángulo tendremos un punto en la circunferencia de coordenadas x e y

1y

x

xx

yy

sen

1cos

1

Por tanto el seno es la segunda coordenada del punto y el coseno la primera.

1

),( yxP

x

y

1

x

y

1

),( yxP

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (II).

OAPA

AP 1''

O

P’

A A’

•Los triángulos OPA y OP’A’ son semejantes

)()cos(

)(''

tgsen

x

y

OA

PAAP

Representación de la tangente

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante. Resumen

1

),( yxP

sen

cos

tg

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Segundo cuadrante.

1

),( yxP

sen

costg

•Seno positivo

•Coseno negativo

•Tangente negativa

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Tercer cuadrante.

),( yxP

1sencos

tg

•Seno negativo

•Coseno negativo

•Tangente positiva

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Cuarto cuadrante.

1

),( yxP

sencos

tg

•Seno negativo

•Coseno positivo

•Tangente negativa

Razones trigonométricas de ángulos entre cuadrantes.

180º 10º

90º

270º

360º

0º 90º 180º 270º 360º

0

seno 0 1 0 -1 0

coseno 1 0 -1 0 1

tangente 0 0 0

2

2

3 2

-

Signo de las razones trigonométricas.seno

++

-

coseno

+

+

-

-

tangente

+

+

-

-

Valores posibles de las razones.

Valores posibles Seno y coseno [-1, 1] Secante y cosecante (-,-1][1, +) Tangente y cotangente (-,+) = R

Reducción al primer cuadrante (I). Ángulos suplementarios (que suman 180º). Si un ángulo mide su suplementario mide 180º -

P(x, y)

y

X

Y

x

y

-x

sen (180º - ) = sen

cos (180º - ) = - cos

180º -

tg(180º - ) = - tg

P(-x, y)

Reducción al primer cuadrante (II). Ángulos que difieren en 180º.

-y

Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide el otro mide 180º +

P(x, y)

X

Y

x-x

P(-x, -y)

sen (180º + ) = - sen

cos (180º + ) = - cos

180º +

y

tg (180º + )= tg

Reducción al primer cuadrante (III). Ángulos que suman 360º.

-y

Si un ángulo mide el otro mide 360º-

P(x, y)

y

X

Y

x

P(x, -y)

sen (360º - ) = - sen

cos (360º - = cos

360º -

tg (360º - ) = - tg

Ángulos negativos

-y

Si un ángulo mide su opuesto mide -

P(x, y)

y

X

Y

x

P(x, -y)

sen (- ) = - sen

cos (- = cos -

tg (- ) = - tg

Ángulos mayores de 360º

Ejemplo: calcula las razones trigonométricas de 870º

2

870 360150

870º son 2 vueltas completas más 150º

sen( 870º) = sen (150º) = sen( 30º ) = 2

1

cos ( 870º) = cos (150º) = -cos( 30º ) = 2

3

tg ( 870º) = tg (150º) = -tg( 30º ) = 3

3

IES Francisco de los Cobos. Departamento de Matemáticas

Antonio Jesús Fernández Rodríguez