5.1-3 función de transferencia
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7/23/2019 5.1-3 Funcin de Transferencia
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Capitulo 5. Funciones deTransferencia
5.1 Transformada de Laplace de laecuacin de estado
5.2 Conversin de funcin detransferencia a espacio de estados
5.3 Estabilidad en trminos de polos5.4 espuesta temporal de sistemas de
primer orden
5.5 espuesta temporal de sistemas de
se!undo orden
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5.1 Funcin deTransferencia
#istemas $in%micos
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Funcin de Transferencia
Se defne como la relacin entre la transormada deLaplace de la variable de salida y la transormadade Laplace de la variable de entrada, suponiendoque todas las condiciones iniciales se hacen iguales
a cero.
3
G(s)U(s) Y(s)
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Considere el sistema,
La transormada de Laplace con
condiciones iniciales iguales a cero es,
Agrupando trminos,
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!or lo tanto,
"eempla#ando $%s& en la ecuacin de
salida,
La uncin de transerencia es'
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E&emplo
Considere el siguiente sistema,
La (.) esta dada por,
!or lo tanto,
"
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'
Se determina,
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(
La (.) resultante es,
*otar que,
Los valores propios de A son los polos de launcin de transerencia del sistema.
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E&emplo
Considere el siguiente sistema,
Su matri# de controlabilidad,
Se verifca que el determinante de es cero y por lotanto el sistema no es controlable.
)
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1*
Se verifca que su (.) es,
+l sistema posee autovalores en s- ys !resenta cancelacin del polo en s-.En sistemas no controlables o noobservables+ se producen cancelacionespolo,cero.
-or lo tanto+ los polos de la funcin detransferencia son un subcon&unto de los
valores propios de la matri /.
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E&ercicio
Convierta el siguiente modelo en +spaciode +stado a (uncin de )ranserencia.
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5.2 Conversin deFuncin de Transferencia
a espacio de estados
#istemas $in%micos
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(uncin de transerencia con slo polos
(uncin de transerencia con ceros ypolos(uncin de transerencia con retardo detiempo
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Caso 0 Funcin de transferencia conpolos
Considere la siguiente uncin detranserencia,
+ntonces,
)ransormada inversa de Laplace,
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"etomando,
!ara obtener la representacin enespacio de estados se seleccionan lossiguientes estados,
Se derivan las anteriores ecuaciones,
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A partir de,
/btenemos la siguiente representacinen +.+
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Caso 00 Funcin de transferencia conceros polos
1"
Considere el siguiente sistema,
+ntonces,
Aplicando transormada inversa de Laplace,
*o se puede aplicar el procedimiento descrito por
que se tendr0a derivada de la se1al de entrada.
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1'
"etomando la uncin de transerencia,
2%s& se descompone as0,
Aplicando transormada inversa de Laplace a lasanteriores ecuaciones,
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1(
Se seleccionan los siguientes estados,
Se derivan las anteriores ecuaciones,
3espe4ando,
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1)
A partir de,
/btenemos la siguiente representacinen +.+
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Caso 000 Funcin de transferencia conetardo de tiempo
2*
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Considere la siguiente uncin de
transerencia,
Aplicando transormada inversa de
Laplace,
Se seleccionan los siguientes estados,
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Se obtiene,
Con,
/btenemos la siguiente representacin en+.+
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5.3 Estabilidad en trminos depolos
Si todos los polos est5n en el semiplano i#quierdo,entonces la respuesta ser5 estable con entrada ysalida limitadas.
!or lo tanto, basta probar que todos los polos de la
uncin de transerencia estn en el semiplanoi#quierdo para afrmar que el sistema es estable.
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Estable 0nestable
6m78
"e78
ar!inalmenteestable
Semi-planoizquierdo
Semi-planoderecho
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elacin con estabilidadinterna
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Cuando se estudia la estabilidad en trmino delos valores propios se dice que si todos ellostienen parte real negativa, el sistema tieneestabilidad interna %todas sus variables de estado
son estables&.
La estabilidad interna es m5s amplia que laestabilidad entrada salida. !ara que un sistema
sea estable, debe tener estabilidad interna.
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elacin con estabilidadinterna
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+l siguiente sistema en espacio de estados esestable entrada9salida %un polo en s9-&, peropresenta inestabilidad interna.
n sistema con estabilidad internatambin ser% estable entrada,salida. nsistema estable entrada,salida no
siempre pose estabilidad interna
( 2) 1( )
( 2)( 1) ( 1)
sG s
s s s
= =
+ +
[ ]
0 1 0
; ; 2 12 1 1A B C
= = =
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