5.. superposicion de ondas
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SUPERPOSICION DE ONDAS SINUSOIDALES
1C.Miranda,
1D.Almanza,
1E.Doria,
1J.Lopez
1Departamento de Física y Electrónica, Universidad de Córdoba, Montería
Resumen
En física el principio de superposición establece que, cuando dos o más ondas armónicas se mueven en el
mismo medio lineal, la onda resultante en cualquier punto es igual a la suma algebraica de los
desplazamientos de todas las ondas componentes. Este principio es aplicable a muchos tipos de ondas,
incluyendo las ondas en cuerdas, ondas sonoras, etc. En este experimento se estudió el comportamiento de dos
señales (ch1y ch2) producidos por un generador; por medio de un osciloscopio se superponían las ondas en
fase y contrafase, para iguales y diferentes frecuencias con una amplitud igual, así como sus respectivas
figuras de lissajous.
Palabras claves: superposición de ondas, figuras de lissajous, amplitud.
Abstract
In the superposition principle physical states that where two or more harmonic waves move in the same linear
medium, the resultant wave at any point is equal to the algebraic sum of the displacements of all the
component waves. This principle is applicable to many types of waves, including waves in strings, sound
waves, etc.. In this experiment we study the behavior of two signals (ch1y ch2) produced by a generator via
an oscilloscope overlapped waves in phase and antiphase, for the same and different frequencies with equal
amplitude and their respective Lissajous.
Key words: superposition of waves, lissajous figures, amplitude.
Objetivos
Estudiar la superposición de dos
movimientos armónicos simples (MAS)
con igual y diferentes frecuencias, en la
misma dirección y en direcciones
perpendiculares usando dos generadores
de funciones y un osciloscopio.
Analizar las características de la
amplitud, el periodo y le frecuencia en la
superposición de dos MAS en la misma
dirección con la misma frecuencia.
Identificar mediante el osciloscopio y los
generadores, el comportamiento de la
señal de superposición de dos MAS con
igual y diferentes frecuencias en
dirección perpendicular.
Estudiar las características más
relevantes del fenómeno de pulsaciones.
1. Teoría relacionada
Supóngase que tenemos dos MAS descritos por
las ecuaciones siguientes:
Su combinación tiene entonces la forma siguiente:
Es posible expresar este desplazamiento como una
vibración armónica simple:
La descripción del MAS mediante el vector
rotatorio proporciona un modo muy elegante de
obtener este resultado geométricamente. En la
figura 2-1 (a). Sea el vector rotatorio de
longitud que forma el ángulo con el
eje X en el instante t. Sea el vector rotatorio
de longitud con el ángulo . Su suma
es, por tanto, el vector OP definido por la ley del
paralelogramo. Como y giran con la
misma velocidad angular , puede considerarse
que el paralelogramo es una figura rígida
que gira en bloque con esta misma velocidad. El
vector puede obtenerse como el vector suma
de y (este último igual a ). Como
y + , el ángulo
formado por y es precisamente .
Por tanto, resulta
El vector forma un ángulo [véase fig. 2-1
(b)] con el vector , talque
y la fase constante de la vibración viene dada
directamente por
Superposición de vibraciones de frecuencias
diferentes; Pulsaciones
Imaginemos que tenemos dos vibraciones de
amplitudes diferentes Y de frecuencias
también diferentes . Evidentemente, en
contraste con el ejemplo precedente, la diferencia
de fase entre las vibraciones está cambiando
continuamente. La especificación de alguna
diferencia de fase inicial no nula carece de
significado apreciable en este caso. Para
simplificar el aspecto matemático supongamos,
por tanto, que ambas vibraciones tienen una fase
inicial cero, y, por ello, pueden escribirse del
modo siguiente:
En un instante arbitrario cualquiera el
desplazamiento combinado será entonces como el
indicado en la figura 2-3 (OX). Evidentemente la
longitud OP del vector combinado debe estar
comprendida siempre entre la suma y la diferencia
de ; el valor del propio desplazamiento
OX puede estar comprendido entre cero y
A menos que exista alguna relación simple entre
, el desplazamiento resultante será una
función complicada del tiempo, quizá sin que
llegue a repetirse nunca. La condición precisa para
obtener una periodicidad en el movimiento
combinado es que sean conmensurables, es decir,
que existan dos números enteros tales que
El período del movimiento combinado es entonces
el valor de T obtenido como decíamos
anteriormente pero utilizando los valores enteros
mas pequeños que satisfagan dicha
relación.
Aunque los períodos o frecuencias sean
expresables como un cociente de dos enteros
bastante pequeños, el aspecto general del
movimiento no suele ser sencillo la figura 2-4
muestra la composición de dos vibraciones
sinusoidales de 450 y 100 HZ respectivamente. El
periodo de repetición es de 0.02 seg, como puede
deducirse de la condición
que exige que de acuerdo con la
ecuación (1)
En aquellos casos en que se forma una vibración a
partir de otras dos de períodos conmensurables, el
aspecto de la resultante puede depender
marcadamente de la fase inicial relativa de las
vibraciones que se combinan.
Este efecto se ilustra en las figuras 2-5 (a) y (b),
en las que se han combinado de la manera
indicada dos vibraciones con valores dados de la
amplitud y frecuencia. Ambos casos difieren sólo
en la relación de fases. Es interesante indicar que
si las dos fuesen vibraciones de aire incidiendo
sobre el tímpano, los efectos auditivos de ambas
combinaciones serían casi indistinguibles.
Parece ser que el oído humano es casi insensible
a la fase en la mezcla de vibraciones armónicas;
las amplitudes y frecuencias dominan la situación,
aunque pueden producirse efectos auditivos
notablemente diferentes si la diferencia de fase
conduce a unas formas de onda drásticamente
diferentes, como puede ocurrir si se combinan con
una relación de fase determinada muchas
vibraciones en lugar de dos solamente. Si dos
MAS tienen frecuencias muy parecidas, la
perturbación combinada presenta lo que se
denomina pulsación o batido. Este fenómeno
puede describirse como aquel en que la vibración
combinada es básicamente una perturbación con
una frecuencia igual a la media de las dos
frecuencias que se combinan, pero con una
amplitud que varía periódicamente con el tiempo,
pero de modo que un ciclo de esta variación
incluye muchos ciclos de la vibración básica.
El efecto de la pulsación se analiza más fácilmente
si consideramos la suma de dos MAS de igual
amplitud:
Entonces por adición se obtiene
Evidentemente, esta suma, como resultado
puramente matemático puede realizarse para
cualquier valor de . Pero su descripción
como una pulsación tiene significa do físico si
| | ; es decir,, si en un numero
apreciable de ciclos, la vibración se aproxima a la
sinusoidal con amplitud constante y con
frecuencia angular
.
La figura 2-6 desarrolla gráficamente el resultado
de combinar dos vibraciones con una relación de
frecuencia de 7: 6. Ésta es quizá la mayor relación
que puede tenerse si aún queremos referimos a la
combinación como un batido. Puede verse que el
desplazamiento combinado puede ajustarse dentro
de una envolvente definida por el par de
ecuaciones
porque el factor rápidamente oscilante de la
ecuación (2), es decir,
siempre está
comprendido entre los límites y la ecuación
(3) describe una modulación relativamente lenta
de la amplitud de esta oscilación. Si nos referimos
a la figura 2-6, se ve que el tiempo transcurrido
entre ceros sucesivos de la perturbación
moduladora es un semiperiodo del factor
modulador como describe la ecuación (3), es
decir, un tiempo igual a
| |. Esto tiene como
consecuencia que la frecuencia de la pulsación,
según se percibe con el oído, por ejemplo, con dos
diapasones, es simplemente la diferencia de sus
frecuencias individuales Y no su mitad, como
podría sugerir una primera impresión de la
ecuación (2). Así pues, considerando un caso
específico, si están vibrando juntos dos diapasones
a 255 y 257 vibraciones por segundo, su efecto
combinado será el de la mitad del total de
vibraciones (256 vibraciones por segundo)
pasando por un máximo de intensidad dos veces
cada segundo.
Combinación de dos vibraciones
perpendiculares
Este problema tiene un considerable interés físico
y su estudio aquí es adecuado porque su análisis
se apoya en las mismas técnicas utilizadas
anteriormente en este capítulo. El tipo de
movimiento que vamos a considerar puede
ampliarse fácilmente a oscilaciones
tridimensionales , cuya posibilidad debemos, en
general, como por ejemplo, en el caso de un
átomo ligado elásticamente dentro de la
estructura esencialmente tridimensional de una red
cristalina. Supongamos ahora, por tanto, que un
punto sufre simultáneamente los siguientes
desplazamientos:
Este movimiento puede conseguirse mediante una
doble aplicación de la técnica del vector rotatorio,
según se explica en la figura 2-8. Empecemos
dibujando dos circunferencias de radios A1 y A2,
respectivamente. La primera se utiliza para
describir el desplazamiento x del punto P1, C1X.
La segunda se emplea para definir el
desplazamiento Y del punto P2, C2Y, ambos
desplazamientos describen conjuntamente la
posición instantánea del punto P respecto a un
origen O, que está situado en el centro de un
rectángulo de lados 2A1 y 2 .
Una propiedad resalta inmediatamente.
Cualquiera que sea la relación entre las
frecuencias y las fases de los movimientos que se
combinan, el movimiento del punto P está siempre
confinado dentro del rectángulo y además los
lados de este rectángulo son tangentes a la
trayectoria en todos los puntos de contacto con la
misma. Apenas puede decirse algo más que esto
sin especificar algo más concreto sobre las
frecuencias y las fases, excepto un comentario
general sobre lo que ocurre si no son
conmensurables y . En tal caso, la posición
de P nunca volverá a repetirse y la trayectoria, si
continuase durante tiempo suficiente, tendería,
desde un punto de vista físico aunque no
estrictamente matemático, a llenar la totalidad del
interior del rectángulo limite.
Los ejemplos más interesantes de estos
movimientos combinados son aquellos en los que
las frecuencias están en cierta relación numérica
sencilla y la diferencia de fases iniciales es alguna
fracción simple de 2π. Se tiene entonces un
movimiento que forma una curva cerrada de dos
dimensiones, con un periodo que es el mínimo
común múltiplo de los más fácilmente sobre
ejemplos específicos, como veremos en seguida.
MOVIMIENTOS PERPENDICULARES DE
FRECUENCIAS IGUALES
Mediante una selección adecuada de lo que
consideraremos t = 0, podemos escribir las
vibraciones combinadas de la forma sencilla
siguiente:
Siendo δ la diferencia de fase inicial (y en este
caso, la diferencia de fase en cualquier momento)
entre ambos movimientos. Particularizando aún
más los valores de δ podemos obtener
rápidamente un cuadro cualitativo de todos los
movimientos posibles en el caso de que sean
iguales las frecuencias que se combinan:
a. δ = O. En este caso,
Por lo tanto,
El movimiento es rectilíneo y tiene lugar sobre
una diagonal del rectángulo de modo que x e y
tienen siempre el mismo signo, bien positivo o
negativo. Este movimiento puede representar lo
que en óptica se denomina vibración polarizada
linealmente.
b. δ = ⁄ . Tenemos ahora
⁄
Se obtiene fácilmente la forma de la trayectoria
haciendo uso de la ex- presión
. Esto quiere decir que
Que es la ecuación de una elipse cuyos ejes
principales coinciden con los ejes x e y.
Comparación entre la superposición de
movimientos paralelos y perpendiculares
Resulta quizás instructivo hacer una
comparación directa entre la superposición de
dos vibraciones armónicas sobre la misma
recta y la superposición ortogonal de las
mismas que origina las figuras de Lissajous.
Hemos procurado representar esta relación en
la figura 2-15 para el caso sencillo de dos
vibraciones de frecuencias y amplitudes
iguales. La figura muestra dos vibraciones
sinusoidales-combinadas para diversas
diferencias de fase entre cero y π. Las dos
curvas inferiores de cada grupo muestran el
desplazamiento original individual en forma de
desviaciones en sentido y en un osciloscopio de
doble haz con una base de tiempo lineal.
Encima de este par de curvas se obtiene la
sinusoide que resulta de la suma directa de
estas dos desviaciones y. Finalmente, se
muestran las figuras de Lissajous obtenidas
suprimiendo la base de tiempo del osciloscopio
y aplicando las dos señales sinusoidales
primarias a las placas x e y [1].
2. Montaje y Procedimiento
Materiales
Osciloscopio Leader
Cables banana-banana
Cables banana hembra
Generadores de ondas
Diapasones iguales con caja de
resonancia: aparato para figuras de
Lissajous.
Procedimiento
Se tomó el osciloscopio de rayos catódicos y se
conectó a 110 V, se tomaron dos generadores de
funciones de 220 V, utilizando la señal sinusoidal
de ambos generadores, luego se conectaron al
osciloscopio. Se obtuvieron ciclos moviendo el
botón TIME/DIV y se anotó el tiempo que tarda
un ciclo y el voltaje P-P de la señal. Más tarde se
hizo con el canal 2, luego se ubicaron los
controles del osciloscopio para obtener la
superposición de las señales de los dos canales
con la misma frecuencia y se tomaron los valores
de las amplitudes y los periodos de ambas señales
y se calculó la suma de estos, además se
cambiaron las frecuencias.
Para la otra experiencia se trabajó con el
osciloscopio en modo x-y para obtener una
constantes de fase de 0 y 180° con un solo
generador, y para obtener las figuras de lissajous
con las fases diferentes a las anteriores se
utilizaron los dos generadores.
Análisis y resultados
1. Después de tener las gráficas mostradas en el
osciloscopio se obtuvo lo siguiente
Para señales de igual frecuencia y diferencia de
fase de 0
Figura 1. a) Datos de señal 1, b)datos de las 2
señales,
Frecuencia Amplitud Periodo
Canal 1 64hz 3,12V 1,400ms
Canal 2 65hz 3,16V 1,402ms
Luego la superposición de las dos señales da una
amplitud resultante, que es la suma de las
amplitudes y cuya frecuencia es igual a la de las
dos señales anteriores.
(**)
Para señales de igual frecuencia y diferencia de
fase 180
Figura 2. Con diferencia de fase de 180°
Como vemos el relativo es aceptable de modo que
podemos decir que se cumple la amplitud de la
onda resultante de la superposición de dos ondas
sinusoidales en la misma dirección es la suma de
las amplitudes (figura 1 y 2), e igual frecuencia de
oscilación y por ende el mismo periodo de
oscilación; el error relativo fue considerable
debido a que en el sistema una señal fluctuaba.
2.
Para la superposición para diferentes frecuencias
obtuvimos los siguientes resultados
a)
b)
c)
Figura 3. a) Datos de señal 1, b)datos de señal 2,
c) suma de las dos señales batido (rojo)
Para la onda resultante vemos que se produce el
fenómeno de pulsación, es decir que la onda
experimenta una amplitud que varia con una
frecuencia promedio de , Puesto que
la intensidad es proporcional al cuadrado de la
amplitud, el volumen generado será fuerte siempre
que la amplitud de la pulsación sea máxima o
mínima, por lo tanto la frecuencia de la pulsación
será justamente
.
3. cuando superponemos 2 MAS en direcciones
perpendiculares e igual frecuencia con una
diferencia de fase de 0° y 180° obtenemos las
siguientes figuras de lissajous.
Figura.3 figura de lissajous con diferencia de
fase 0°
Figura 4. Figura de lissajous con diferencia de
fase 180°
4. Para las figuras de lissajous tenemos que si
es el número de puntos de tangencia para el eje
horizontal, y los puntos verticales entonces se
cumple la igualdad:
Ya que las frecuencias son iguales
por ende se cumple la igualdad
5. al suponer dos ondas MAS en dirección
perpendiculares con diferente frecuencia su
pueden obtener las siguientes figuras de lissajous.
Figura 5. Figuras de lissajous con diferentes
frecuencias
Conclusiones
o Para la superposición de ondas
sinusoidales de igual frecuencia e igual
amplitud para una fase de 0, la onda
resultante tiene el mismo periodo de
oscilación y una amplitud que es la suma
de amplitudes.
o para una fase de 180 la onda resultante
es nula ya que la interferencia es
destructiva.
o Para frecuencias diferentes y amplitudes
iguales la onda resultante tiene una
amplitud máxima que es la suma de las
amplitudes y posee un amplitud mínima
que es la diferencia de ellas
o Para la superposición de ondas de fase 0
y 180 forman una figura de lissajous que
es una recta con pendiente positiva y una
negativa respectivamente.
Bibliografía
[1]vibraciones-y-ondas/A.P. FRENCH/editorial
– reverse-s.a. pag. 22-42
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