5 formulacion mef para estados planos
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ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Z
Y
X
SuSf
t
v
๐ =
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
๐ =
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐พ๐ฅ๐ฆ
x
yz
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Z
Y
X
SuSf
t
v
๐ข = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ
๐๐ง๐ง = ๐ ๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ฆ๐ฆ
x
yz
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ = ๐๐ ๐ข
De manera general, en elasticidad tridimensional:
๐๐ =
๐
๐๐ฅ0
0๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ฅ
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐๐ ๐ข
Deformaciones para EPD:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐
๐๐ฅ0
0๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ฅ
๐ข ๐ฅ,๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ
๐ = ๐๐ ๐ข
Deformaciones para EPD:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ถ =๐ธ 1 โ ๐
1 + ๐ 1 โ 2๐
1
๐
1 โ ๐0
๐
1 โ ๐1 0
0 01 โ 2๐
2 1 โ ๐
Tensiones para EPD:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ =๐ธ 1 โ ๐
1 + ๐ 1 โ 2๐
1
๐
1 โ ๐0
๐
1 โ ๐1 0
0 01 โ 2๐
2 1 โ ๐
๐
Tensiones para EPD:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ =๐ธ 1 โ ๐
1 + ๐ 1 โ 2๐
1
๐
1 โ ๐0
๐
1 โ ๐1 0
0 01 โ 2๐
2 1 โ ๐
๐
๐๐ฅ0
0๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ฅ
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ
Tensiones para EPD:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Lu
Lf
X
yz
๐ก ๐๐๐๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข , ๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
P.T.V.:
๐๐๐๐๐ง๐๐ด
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ด
= ๐ข๐๐๐ต๐๐ง๐๐ด
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ด
+ ๐ข๐๐๐๐๐ง๐๐ฟ
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ฟ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ = ๐๐ ๐ข
๐ก ๐๐๐๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข , ๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
๐ก ๐๐ ๐ข ๐๐ถ ๐๐ ๐ข๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข ,๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
A
m
DISCRETIZACION:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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PUNTOS
m
NODALES
y,v
x,u
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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๐ข ๐ ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ Interpolaciรณn ๐ข =
๐ข1
๐ฃ1๐ข2
๐ฃ2๐ข3
๐ฃ3๐ข4
๐ฃ4
v2
u2
v3
u3
v4
u4
v1
u1
y
x
Referencial Local:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ขโ ๐ฅ,๐ฆ ,๐ฃโ ๐ฅ,๐ฆ
๐ขโ ๐ฅ,๐ฆ , ๐ฃโ ๐ฅ,๐ฆ
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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m
1 2 3 4
5 6 7 8 9
Up
Uk
y,v
x,u
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Referencial Local:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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1
Y
X
h1(x,y)
โ1 ๐ฅ1,๐ฆ1 = 1
โ1 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 1
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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1
Y
X
h2(x,y)
โ2 ๐ฅ2,๐ฆ2 = 1
โ2 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 2
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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1
Y
X
h3(x,y)
โ3 ๐ฅ3,๐ฆ3 = 1
โ3 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 3
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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1
Y
X
h4(x,y)
โ4 ๐ฅ4,๐ฆ4 = 1
โ4 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 4
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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โ1 ๐ฅ, ๐ฆ =1
4๐๐ 2๐ฅ + ๐ 2๐ฆ + ๐
โ2 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ + 2๐ฆ
โ3 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
โ4 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ + 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ1 ๐ฅ,๐ฆ ๐ข1 + โ2 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข2 + โ3 ๐ฅ,๐ฆ ๐ข3 + โ4 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข4
๐ข ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = ๐ข๐
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข๐
4
๐=1
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ = โ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ๐
4
๐=1
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ = โ1 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ1 + โ2 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ2 + โ3 ๐ฅ,๐ฆ ๐ฃ3 + โ4 ๐ฅ,๐ฆ ๐ฃ4
๐ฃ ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = ๐ฃ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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๐ข ๐ = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ
๐ข ๐ = ๐ป ๐ข
๐ป = โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4 00 โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4
๐ข ๐ = ๐ข1 ๐ฃ1 ๐ข2 ๐ฃ2 ๐ข3 ๐ฃ3 ๐ข4 ๐ฃ4
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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Referencial Local:
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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๐๐ = ๐1 ๐2 โฏ ๐๐
๐ข2x1 ๐
= ๐ป2xN ๐
๐Nx1
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ1๐๐ + โ2๐๐ + โ3๐๐ + โ4๐๐ก
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ = โ1๐๐ + โ2๐๐ + โ3๐๐ + โ4๐๐
Para toda la estructura:
๐ป ๐ = 0 โฏ 0 โ3 0 0 0 โ1 0 0 โฏ 0 0 0 0 โ2 0 โ4 0 โฏ 00 โฆ 0 0 โ3 0 0 0 โ1 0 โฏ 0 โ4 0 0 0 โ2 0 0 โฏ 0
โ โ โ โ โ โ โ โ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ก
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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๐ ๐ =
๐๐ฅ๐ฅ
๐
๐๐ฆ๐ฆ ๐
๐พ๐ฅ๐ฆ ๐
= ๐ต ๐ ๐
๐๐ฅ๐ฅ ๐
=๐๐ข ๐
๐๐ฅ=
๐โ๐๐๐ฅ
4
๐=1
๐ข๐
๐๐ฆ๐ฆ ๐
=๐๐ฃ ๐
๐๐ฆ=
๐โ๐๐๐ฆ
4
๐=1
๐ฃ๐
๐พ๐ฅ๐ฆ ๐
=๐๐ข ๐
๐๐ฆ+๐๐ฃ ๐
๐๐ฅ=
๐โ๐๐๐ฆ
4
๐=1
๐ข๐ + ๐โ๐๐๐ฅ
4
๐=1
๐ฃ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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๐ = ๐๐ ๐ข
๐ข ๐ = ๐ป ๐ ๐
๐ ๐ = ๐๐ ๐ป ๐ ๐
๐ต ๐ = ๐๐ ๐ป ๐
๐ ๐ = ๐ต ๐ ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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๐พ ๐ = ๐ต ๐ ๐๐ถ ๐ ๐ต ๐ ๐๐ด ๐
๐ด ๐
๐พ๐๐ ๐
= ๐ต๐ 1x3 ๐ ๐
๐ถ3x3 ๐
๐ต๐ 3x1 ๐
๐๐ด ๐
๐ด ๐
๐ต๐ ๐
โถ Columna i de la matriz ๐ต ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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๐๐ ๐ฆ ๐๐ pertenecen al elemento ๐ โ ๐พ๐๐ โ 0
๐ข ๐ = ๐ป ๐ข = โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4 00 โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4
๐ข
๐ ๐ = ๐ต ๐ข =
๐โ1
๐๐ฅ0
0๐โ1
๐๐ฆ๐โ1
๐๐ฆ
๐โ1
๐๐ฅ
๐โ2
๐๐ฅ0
0๐โ2
๐๐ฆ๐โ2
๐๐ฆ
๐โ2
๐๐ฅ
๐โ3
๐๐ฅ0
0๐โ3
๐๐ฆ๐โ3
๐๐ฆ
๐โ3
๐๐ฅ
๐โ4
๐๐ฅ0
0๐โ4
๐๐ฆ๐โ4
๐๐ฆ
๐โ4
๐๐ฅ
๐ข
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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๐พ8x8 ๐
= ๐ต8x3๐ ๐ถ3x3๐ต3x8
๐ด
๐๐ด
๐พ๐๐ ๐
= ๐ต๐๐ ๐ถ ๐ต๐ ๐๐ด
๐ด
sistema local โถ ๐พ๐๐ ๐
sistema global โถ ๐พ๐๐ ๐
๐พ๐๐ ๐
= ๐พ๐๐ ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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๐ฟ๐ ๐ = ๐๐ข1
1
๐๐ฃ1
2
๐๐ข2
3
๐ ๐ฃ2
4
๐๐ข3
5
๐๐ฃ3
6
๐ก๐ข4
7
๐๐ฃ4
8
Referencial Local Referencial Global
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ11 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ12 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ13 ๐
โฎ
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ18 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ22 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ23 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ24 ๐
โฎ
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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๐ข = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ
๐ =
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐พ๐ฅ๐ฆ
๐ =
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ง๐ง = โ๐
๐ธ ๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ฆ๐ฆ
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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๐ = ๐ถ ๐
๐ถ =๐ธ
1 โ ๐2
1 ๐ 0๐ 1 0
0 01 โ ๐
2
๐ =๐ธ
1 โ ๐2
1 ๐ 0๐ 1 0
0 01 โ ๐
2
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐๐ ๐ข
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐
๐๐ฅ0
0๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ฅ
๐ข ๐ฅ,๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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๐ = ๐๐ ๐ข
๐ =๐ธ
1 โ ๐2
1 ๐ 0๐ 1 0
0 01 โ ๐
2
๐
๐๐ฅ0
0๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ฅ
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Lu
Lf
X
yz
๐ก ๐๐๐๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข , ๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
P.T.V.:
๐๐๐๐๐ง๐๐ด
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ด
= ๐ข๐๐๐ต๐๐ง๐๐ด
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ด
+ ๐ข๐๐๐๐๐ง๐๐ฟ
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ฟ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ = ๐๐ ๐ข
๐ก ๐๐๐๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข , ๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
๐ก ๐๐ ๐ข ๐๐ถ ๐๐ ๐ข๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข ,๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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A
m
DISCRETIZACION:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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PUNTOS
m
NODALES
y,v
x,u
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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๐ข ๐ ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ Interpolaciรณn ๐ข =
๐ข1
๐ฃ1๐ข2
๐ฃ2๐ข3
๐ฃ3๐ข4
๐ฃ4
v2
u2
v3
u3
v4
u4
v1
u1
y
x
Referencial Local:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ขโ ๐ฅ,๐ฆ ,๐ฃโ ๐ฅ,๐ฆ
๐ขโ ๐ฅ,๐ฆ , ๐ฃโ ๐ฅ,๐ฆ
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
m
1 2 3 4
5 6 7 8 9
Up
Uk
y,v
x,u
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Referencial Local:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h1(x,y)
โ1 ๐ฅ1,๐ฆ1 = 1
โ1 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 1
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h2(x,y)
โ2 ๐ฅ2,๐ฆ2 = 1
โ2 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 2
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h3(x,y)
โ3 ๐ฅ3,๐ฆ3 = 1
โ3 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 3
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h4(x,y)
โ4 ๐ฅ4,๐ฆ4 = 1
โ4 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 4
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
โ1 ๐ฅ, ๐ฆ =1
4๐๐ 2๐ฅ + ๐ 2๐ฆ + ๐
โ2 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ + 2๐ฆ
โ3 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
โ4 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ + 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ1 ๐ฅ,๐ฆ ๐ข1 + โ2 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข2 + โ3 ๐ฅ,๐ฆ ๐ข3 + โ4 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข4
๐ข ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = ๐ข๐
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข๐
4
๐=1
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ = โ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ๐
4
๐=1
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ = โ1 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ1 + โ2 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ2 + โ3 ๐ฅ,๐ฆ ๐ฃ3 + โ4 ๐ฅ,๐ฆ ๐ฃ4
๐ฃ ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = ๐ฃ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ข ๐ = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ
๐ข ๐ = ๐ป ๐ข
๐ป = โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4 00 โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4
๐ข ๐ = ๐ข1 ๐ฃ1 ๐ข2 ๐ฃ2 ๐ข3 ๐ฃ3 ๐ข4 ๐ฃ4
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Referencial Local:
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐๐ = ๐1 ๐2 โฏ ๐๐
๐ข2x1 ๐
= ๐ป2xN ๐
๐Nx1
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ1๐๐ + โ2๐๐ + โ3๐๐ + โ4๐๐ก
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ = โ1๐๐ + โ2๐๐ + โ3๐๐ + โ4๐๐
Para toda la estructura:
๐ป ๐ = 0 โฏ 0 โ3 0 0 0 โ1 0 0 โฏ 0 0 0 0 โ2 0 โ4 0 โฏ 00 โฆ 0 0 โ3 0 0 0 โ1 0 โฏ 0 โ4 0 0 0 โ2 0 0 โฏ 0
โ โ โ โ โ โ โ โ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ก
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ ๐ =
๐๐ฅ๐ฅ
๐
๐๐ฆ๐ฆ ๐
๐พ๐ฅ๐ฆ ๐
= ๐ต ๐ ๐
๐๐ฅ๐ฅ ๐
=๐๐ข ๐
๐๐ฅ=
๐โ๐๐๐ฅ
4
๐=1
๐ข๐
๐๐ฆ๐ฆ ๐
=๐๐ฃ ๐
๐๐ฆ=
๐โ๐๐๐ฆ
4
๐=1
๐ฃ๐
๐พ๐ฅ๐ฆ ๐
=๐๐ข ๐
๐๐ฆ+๐๐ฃ ๐
๐๐ฅ=
๐โ๐๐๐ฆ
4
๐=1
๐ข๐ + ๐โ๐๐๐ฅ
4
๐=1
๐ฃ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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๐ = ๐๐ ๐ข
๐ข ๐ = ๐ป ๐ ๐
๐ ๐ = ๐๐ ๐ป ๐ ๐
๐ต ๐ = ๐๐ ๐ป ๐
๐ ๐ = ๐ต ๐ ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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๐พ ๐ = ๐ต ๐ ๐๐ถ ๐ ๐ต ๐ ๐๐ด ๐
๐ด ๐
๐พ๐๐ ๐
= ๐ต๐ 1x3 ๐ ๐
๐ถ3x3 ๐
๐ต๐ 3x1 ๐
๐๐ด ๐
๐ด ๐
๐ต๐ ๐
โถ Columna i de la matriz ๐ต ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐๐ ๐ฆ ๐๐ pertenecen al elemento ๐ โ ๐พ๐๐ โ 0
๐ข ๐ = ๐ป ๐ข = โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4 00 โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4
๐ข
๐ ๐ = ๐ต ๐ข =
๐โ1
๐๐ฅ0
0๐โ1
๐๐ฆ๐โ1
๐๐ฆ
๐โ1
๐๐ฅ
๐โ2
๐๐ฅ0
0๐โ2
๐๐ฆ๐โ2
๐๐ฆ
๐โ2
๐๐ฅ
๐โ3
๐๐ฅ0
0๐โ3
๐๐ฆ๐โ3
๐๐ฆ
๐โ3
๐๐ฅ
๐โ4
๐๐ฅ0
0๐โ4
๐๐ฆ๐โ4
๐๐ฆ
๐โ4
๐๐ฅ
๐ข
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐พ8x8 ๐
= ๐ต8x3๐ ๐ถ3x3๐ต3x8
๐ด
๐๐ด
๐พ๐๐ ๐
= ๐ต๐๐ ๐ถ ๐ต๐ ๐๐ด
๐ด
sistema local โถ ๐พ๐๐ ๐
sistema global โถ ๐พ๐๐ ๐
๐พ๐๐ ๐
= ๐พ๐๐ ๐
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ฟ๐ ๐ = ๐๐ข1
1
๐๐ฃ1
2
๐๐ข2
3
๐ ๐ฃ2
4
๐๐ข3
5
๐๐ฃ3
6
๐ก๐ข4
7
๐๐ฃ4
8
Referencial Local Referencial Global
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ11 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ12 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ13 ๐
โฎ
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ18 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ22 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ23 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ24 ๐
โฎ
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Calcular el desplazamiento vertical en los dos puntos marcados
Y
X
P
l
h
v1
v2
l
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Discretizaciรณn
U4
U3
U1
U6
U5
U8
U7
U10
U9
U12
U11
U2
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Simetrรญa
U8
U6
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
U4
U3
U1
U6
U5
U8
U7
U2
Discretizaciรณn
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Funciones de forma
โ1 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ 2๐ฅ + ๐ 2๐ฆ + ๐
โ2 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ + 2๐ฆ
โ3 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
โ4 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ + 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Matriz de funciones de forma
๐ป = โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4 00 โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4
๐ป =
1
4๐๐ 2๐ฅ + ๐ 2๐ฆ + ๐ 0
1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ + 2๐ฆ 0
1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ 0
1
4๐๐ ๐ + 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ 0
01
4๐๐ 2๐ฅ + ๐ 2๐ฆ + ๐ 0
1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ + 2๐ฆ 0
1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ 0
1
4๐๐ ๐ + 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Matriz de deformaciones aproximadas
๐ต =
๐โ1
๐๐ฅ0
0๐โ1
๐๐ฆ๐โ1
๐๐ฆ
๐โ1
๐๐ฅ
๐โ2
๐๐ฅ0
0๐โ2
๐๐ฆ๐โ2
๐๐ฆ
๐โ2
๐๐ฅ
๐โ3
๐๐ฅ0
0๐โ3
๐๐ฆ๐โ3
๐๐ฆ
๐โ3
๐๐ฅ
๐โ4
๐๐ฅ0
0๐โ4
๐๐ฆ๐โ4
๐๐ฆ
๐โ4
๐๐ฅ
๐ต =
โ + 2๐ฆ
2โ๐0
0๐ + 2๐ฅ
2โ๐๐ + 2๐ฅ
2โ๐
โ + 2๐ฆ
2โ๐
โโ + 2๐ฆ
2โ๐0
0๐ โ 2๐ฅ
2โ๐๐ โ 2๐ฅ
2โ๐โโ + 2๐ฆ
2โ๐
โโ โ 2๐ฆ
2โ๐0
0 โ๐ โ 2๐ฅ
2โ๐
โ๐ โ 2๐ฅ
2โ๐โโ โ 2๐ฆ
2โ๐
โ โ 2๐ฆ
2โ๐0
0 โ๐ + 2๐ฅ
2โ๐
โ๐ + 2๐ฅ
2โ๐
โ โ 2๐ฆ
2โ๐
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Matriz de rigidez
๐ต๐๐ถ๐ต ๐๐
= ๐ต๐ ๐๐ถ ๐ต
๐
๐พ ๐๐
= ๐ต๐๐ถ๐ต ๐๐๐๐ฅ๐๐ฆ
๐
0
โ
0
= ๐ต๐ ๐๐ถ ๐ต
๐๐๐ฅ๐๐ฆ
๐
0
โ
0
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Matriz de fuerzas nodales equivalentes
๐ ๐ต = ๐ก ๐ป๐ ๐ฆ=โ
๐๐๐๐ฅ
๐
0
๐ ๐ต = ๐ก ๐ป๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
EJERCICIO EPT
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๐ = ๐ ๐ต + ๐ ๐ถ
Matriz de fuerzas nodales equivalentes
๐ ๐ถ = 0
๐ = ๐ ๐ต
EJERCICIO EPT
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Sistema de ecuaciones
๐พ๐ = ๐
๐พ๐๐ ๐พ๐๐
๐พ๐๐ ๐พ๐๐ ๐๐
๐๐ =
๐ ๐
๐ ๐
๐๐ : GL Libres
๐๐ : GL Vinculados
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