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Columnas

• Columnas – los miembros largos que soporta una carga de compresión axial.

a) Carga es concéntrica

(aplicada a lo largo del

eje centroidal)

b) Carga excéntrica (aplicada

paralelamente al eje del

miembro centroidal, pero

a cierta distancia del mismo)

• Si se aplicara una fuerza de compresión gradualmente creciente a la barra larga, fallaría porque se presentaría repentinamente una gran deflexión lateral. Esta deflexión lateral llamado pandeo es producida por la inestabilidad de la barra cuando se alcanza una cierta carga critica.

Tipos de falla

1. Las columnas cortas fallan por aplastamiento del material.

2. Las columnas largas fallan por pandeo.

3. Las columnas intermedias fallan por una combinación de pandeo y aplastamiento.

• Las columnas cortas pueden analizarse y diseñarse con la formula elemental = P/ A.

• En las columnas largas e intermedias debe que considerar el fenómeno de pandeo.

Formula de Euler para columnas

• La base de la teoría de las columnas es la formula de Euler, que fue publicada en 1757 por Leonardo Euler, un matemático suizo.

• La formula de Euler es valida solamente para columnas largas.

• La carga critica de pandeo es la carga axial máxima que una columna puede soportar cuando esta a punto de pandearse.

Suposiciones

Supongamos que esta columna inicialmente es

• recta,

• homogénea, y

• de sección transversal constante en toda su longitud.

• Se aplica la ley de Hooke y los esfuerzos son inferiores al limite de proporcionalidad del material.

• Cuando la columna es cargada con la carga critica de pandeo,

puede tener 2

posiciones de

equilibrio,

La posición

recta.

La posición

ligeramente

deformada.

• Como una columna ideal (fig. a) es recta, teóricamente la fuerza axial P podría ser incrementada hasta que ocurra la falla, sea por fractura o por fluencia del material.

• Cuando se alcanza la carga critica Pcr, la columna esta a punto de volverse inestable, de manera que una pequeña fuerza lateral (fig.b), ocasionara que la columna permanezca en la posición deflexionada cuando F deje de actuar (fig. c).

• Cualquier reducción leve de la carga axial P a partir de Pcr permitirá que la columna se enderece.

• Cualquier incremento leve de P, mas allá de la Pcr, ocasionara incrementos adicionales en la deflexión lateral.

• Para determinar la carga critica y la forma pardeada de la columna, se aplicara la relación, el momento interno en la columna con su forma deflexionada.

Esta es una ecuación diferencial de segundo

grado homogénea con coeficientes constantes.

La solución general es

P P

v = C1 sen ( ------ x ) + C2 cos ( ------ x )

EI EI

cuando x = 0, v = 0,

0 = C1(0) + C2 (1)

C2 =0

• Cuando x =L, v = 0,

P

C1 sen ( ------- ) L = 0

EI

Este ecuación se satisface cuando C1 =0. en tal caso v=0, la cual es una solución trivial que requiere que la columna siempre permanezca recta, aun cuando la carga ocasione que la columna se vuelva inestable.

La otra posibilidad es que

P

sen ( ------- ) L = 0

EI P

La cual se satisface, cuando ( ------- ) L = n

EI

n2 2 EI

• P = --------------- donde n = 1,2,3,……

L2

n2 2 EI

P = ---------------

L2

donde

n = 1,2,3,……

La carga critica (carga de Euler) para la columna es

2 EI

Pcr = ---------

L2

donde

E – modulo de elasticidad del material

I - menor momento de inercia de la sección transversal de la columna.

L – longitud no soportada de la columna, cuyos extremos están articulados.

La forma pandeada correspondiente

x

v = C1 sen ----------

L

Formulas de Euler para otras condiciones de los extremos

• La longitud efectiva es la distancia entre los puntos de inflexión de la curva deformada que adopta el eje de la columna.

Formulas de Euler para otras condiciones de los extremos

Formulas de Euler para otras condiciones de los extremos

2 EI

Pcr = -----------

(K L)2

donde

K es el factor de longitud efectiva.

Condiciones de extremos Valor de Constante K

Articulado – articulado 1

Empotrado – articulado 0.7

Empotrado – empotrado 0.5

Empotrado – libre 2

• Determinar la carga critica de pandeo de una columna redonda de acero de 2 plg de diámetro y 10 pies de longitud, cuando los extremos están

a) articulado – articulado

b) empotrado – empotrado

c) empotrado – libre

d) empotrado – articulado

en este caso E = 30 000 klb / plg 2

• Determinar la carga critica de pandeo en una barra de madera de 16 mm x 32 mm y 1 m de longitud, cuando los extremos están

a) articulado – articulado

b) empotrado – empotrado

c) empotrado – libre

d) empotrado – articulado

en este caso E = 12 Gpa.

• I = A r2

donde A – área de la sección transversal

r – radio de giro de la sección transversal

2 E (Ar2)

Pcr = -----------------

L2

Esfuerzo critico

Esfuerzo critico

P 2 E (------)

cr = --------------------

A (L / r )2

2 E

cr= -------------------

(L / r )2

2 E

cr= ------------------- donde

(L / r )2

cr - esfuerzo critico – esfuerzo promedio en la columna precisamente antes de que se pandee.

E – modulo de elasticidad del material

L - longitud no soportada de la columna cuyos extremos están articulados

r – radio de giro mínimo de la columna determinado por r = I/A donde I es el menor momento de inercia de la sección transversal de la columna

Esfuerzo critico

• L / r - relación de esbeltez – una medida de la flexibilidad de la columna, sirve para clasificar a las columnas como largas, intermedias o cortas.

1)Determinar la carga critica de pandeo y el esfuerzo en la columna correspondiente a la carga critica, para una columna maciza de acero de sección circular, de 1 plg de diámetro y 30 plg de longitud, con extremos articulados.

2)Determinar la carga critica de pandeo y el esfuerzo en la columna correspondiente a la carga critica, para una columna maciza de acero de sección circular, de 1 plg de diámetro y 21 plg de longitud, con extremos articulados.

3)Un tubo de acero A-36 de 24 pies de longitud con la sección transversal mostrada en la figura, va a usarse como columna con un extremo articulado y el otro empotrado. Determine la carga máxima axial que la columna puede soportar sin pandearse. E de acero es 29 x (10)3 ksi.

4)El perfil W 8 x 31 de acero A-36 mostrado en la figura se va a usar como columna articulada en sus extremos. Determine la carga axial máxima que podrá soportar antes de pandearse o de que el acero fluya.

A = 9.13 plg2

Ixx = 110 plg4

Iyy = 37.1 plg4

Los valores de

los esfuerzos que

son mayores que

el limite de

proporcionalidad

no son validos.

2 EtI

Pcr = -------------

L2

2 Et

cr = -------------

( L/r)2

Et es el modulo tangente de elasticidad, es la

pendiente de la curva esfuerzo- deformación unitaria

correspondiente al valor del esfuerzo donde ocurre

el pandeo.

Las columnas cortas fallan por aplastamiento del material. La

carga máxima que puede soportar , P = A.

Las columnas largas fallan por pandeo y sus cargas máximas

que puede calcular usando la ecuación de Euler, Pcr = 2 EI/ (KL)2.

Las columnas intermedias fallan por una combinación de

pandeo y aplastamiento . La carga máxima que puede

soportar es calculado usando las formulas empíricas.

Formulas para columnas intermedias

Las formulas de diseño se obtienen tomando las

características de la curva vs L/r para el material que se

esta considerando y escribiendo la ecuación de la curva,

incluyendo un factor de seguridad adecuado en la expresión.

• Si se va a diseñar una columna de un edificio, las especificaciones del American Insitute of Steel Construction o las del American Concrete Institute proporcionan las formulas, así como las restricciones impuestas para su uso.

• La formula de J.B.Johnson es usada para columnas en diseño de maquinas.

Formulas del AISC para columnas

• El American Insitute of Steel Construction (AISC) en sus especificaciones establece las formulas siguientes para los esfuerzos admisibles en miembros a compresión cargados axialmente.

Formulas del AISC para columnas

Cuando KL/r es menor que Cc (para las columnas

cortas e intermedias, KL/r 120),

el esfuerzo admisible es,

( 1 – (KL /r)2/ 2 Cc2) y

a = ------------------------------------

FS

donde

a - esfuerzo admisible, en lb/ plg2 o en Pa.

y - esfuerzo al limite de fluencia, en lb/ plg2 o en Pa.

FS – factor de seguridad

= (5/3) + (3 (L/r)/ 8 Cc ) – ( (L/r)3 / 8 Cc3 )

Cc = (2 2 E / y )

Formulas del AISC para columnas

Cuando el valor de KL/r excede a Cc ( columnas largas, 121 KL/r 200),

El esfuerzo admisible es

a = 149 000 000 / ( KL/r)2

Este es la ecuación de Euler con E= 29000 k lb /plg2

y un factor de seguridad constante de 1.92.

esfuerzo al limite de influencia para acero estructural dulce = 36 000 lb /plg2

• Determinar el esfuerzo admisible para una columna W 6 x 15 de 8 pies de longitud, cargada axialmente. Supóngase que los extremos están articulados y use acero con un esfuerzo en el limite de fluencia de

36 000 lb / plg2 y el modulo de elasticidad E de 29 000 klb / plg2 . comparar el valor calculado con el dado en la tabla.

Esfuerzo de compresión admisible para acero de36 klb/plg2

Esfuerzo de compresión admisible para acero de36 klb/plg2

• Determinar el esfuerzo admisible para una columna W 6 x 15 de 20 pies de longitud, cargada axialmente. Supóngase que los extremos están articulados y use acero con un esfuerzo en el limite de fluencia de

36 000 lb / plg2 y el modulo de elasticidad E de 29 000 klb / plg2 . comparar el valor calculado con el dado en la tabla.

Esfuerzo de compresión admisible para acero de36 klb/plg2

Diseño de columnas

• La longitud,

• Las condiciones de los extremos

• La carga aplicada.

• Las dimensiones de la columna ???

Diseño de columnas

Procedimiento

• Se escogen las dimensiones de la columna

• Se determina el esfuerzo en esta columna a partir de = P/A.

• Se calcula el esfuerzo admisible para esta columna mediante la formula usada para el esfuerzo de la columna.

Diseño de columnas

• Se comparan los esfuerzos de los pasos 2 y 3. Si el esfuerzo del paso 2 es mayor que el del paso 3, se rediseña, usando otros dimensiones (aumenta las dimensiones) para la columna. Si el esfuerzo del paso 2 es considerablemente menor que el del paso 3, se rediseña (con dimensiones reducida) para lograr una mejor aproximación.

• Se continua este procedimiento de tanteos hasta que se obtiene una sección satisfactoria.

• La barra de acero en la figura se va a usar para soportar una carga axial de 18 kip. Si

Eac = 29 (103) ksi y y = 50 ksi, determine el diámetro mas pequeño permitido por las especificaciones AISC. La barra estará empotrada en ambos extremos.