4.1 Árboles. 4.1.1 definición. 4.1.2 representación en memoria de árboles. 4.1.2.1 Árboles...

4.1 Árboles.4.1.1 Definición.4.1.2 Representación en memoria de árboles.

4.1.2.1 Árboles generales.4.1.2.2 Árboles binarios.

4.1.3 Recorridos en un árbol binario.4.1.3.1 Preorden.4.1.3.2 Inorden.4.1.3.3 Posorden.

4.1.4 Balanceo de árboles binarios.4.1.5 Clases para la implementación de árboles.

4.2 Grafos.4.2.1 Definición.4.2.2 Tipos de grafos.4.2.3 Representación de grafos en memoria.4.2.4 Clases para la implementación de grafos.

Unidad 4.- Estructuras no lineales.

Un árbol es una colección de elementos, llamados nodos, uno de los cuales se distingue con el nombre de raíz, los cuales mantienen una relación (parentezco) que define una estructura jerárquica entre ellos.

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Definición

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Concepto de árbol Estructura Jerárquica no lineal, dinámica.

Relaciones padre-hijo entre nodos. Ejemplos: sistema de archivos, estructura de un libro, diagrama organizacional, árboles genealógicos, etc.

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Concepto de árbol Un árbol se caracteriza por estar formado por

un conjunto finito de nodos, conectados por una serie de aristas, tales que verifican que:

hay un único nodo especial llamado raíz.

cada nodo, excepto la raíz, tiene un único nodo padre.

los nodos restantes se dividen en árboles mas pequeños llamados subárboles.

la definición de árbol implica tener una estructura recursiva (por la división en subárboles). la representación de los árboles se realiza con notaciones típicas de los árboles genealógicos. hay un único camino desde la raíz hasta cada nodo.

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Terminología básica Raíz: único nodo sin padre. Ej.: nodo A

Nodo interno: tiene al menos un hijo. Ej.: nodos B, F, C Nodo hoja (externo): nodo sin hijos. Ej.: nodos E, I, J, K, G, H, D

Descendiente directo: hijo. Ej.: B es descendiente directo de A

Descendiente: hijo, nieto, etc… Ej.: I es descendiente de F, B y A Subárbol: árbol formado por un nodo y sus descendientes. Ej.: los nodos encerrados en el triangulo

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Terminología básica Grado de un nodo: Num. de descendientes directos. Ej.: el nodo B es grado 2.

Grado de un árbol: el grado mayor de sus nodos. Ej.: el nodo A y F son los de mayor grado (3), por lo tanto el árbol es grado 3.

Árbol binario: árbol de grado 2, cada nodo tiene como mucho dos descendientes directos.

Árbol multicamino: árbol de grado mayor que 2, cada nodo puede tener n descendientes directos.

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Terminología básica Profundidad de un nodo: Num. de predecesores. Ej.: profundidad de A es 0, profundidad de H es 2. Altura del árbol: es igual a la profundidad de su nodo mas profundo + 1. Ej.: la profundidad de I, J y K que son los nodos mas profundos es 3 por lo tanto la altura de árbol es 3 + 1 = 4.

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Terminología básica Camino: existe un camino del nodo X al nodo Y, si existe una sucesión de nodos que permita llegar desde X hasta Y, su longitud es el número de aristas que lo conforman.

camino(A,K)= {A, B, F, K}longitud 3

camino(C,K)= {} no hay camino

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Recorrido Preorden Se visita primero la raíz, luego el subárbol izquierdo y por ultimo el subárbol derecho, esto de manera recursiva para cada subárbol partiendo de la raíz.

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Recorrido Inorden Se visita primero el subárbol izquierdo, luego la raíz y por ultimo el subárbol derecho, esto de manera recursiva para cada subárbol partiendo de la raíz.

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Recorrido Postorden Se visita primero el subárbol izquierdo luego el subárbol derecho y por ultimo la raíz, esto de manera recursiva para cada subárbol partiendo de la raíz.

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Ejemplo: expresiones aritméticas nodos internos: operadores. nodos hoja: operandos.

2(a – 1) + 3b

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Ejemplo:

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Implementación basada en enlaces

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Árboles Binarios de Búsqueda Un árbol binario de búsqueda es un árbol binario en el que para cada nodo n,

todas las claves de los nodos del subárbol izquierdo son menores que la clave de n (o igual).

y todas las del subárbol derecho mayores (o igual)

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Ejemplo:

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Ejemplo:

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En algunos casos se exige que el árbol sea completo, es decir que todo nodo interno tenga sus dos descendientes.

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Operaciones:

Búsqueda.

Inserción.

Eliminación

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Búsqueda

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Búsqueda

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Inserción

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Inserción

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Ejemplo de Inserción

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Ejemplo de Inserción

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Eliminación

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Algoritmo para borrar un nodo de un árbol binario de búsqueda.

Para borrar un nodo con información X se presentan los siguientes casos.

1.- Que el nodo no exista: no se realiza ninguna acción.

2.- El nodo a eliminar tiene 0 o 1 hijo: El padre del nodo a eliminar (abuelo) toma como hijo al nodo nieto.

3.-El nodo a eliminar tiene 2 hijos: El nodo con la información X no se borra físicamente, se realiza una sustitución de información, (solo datos) con una de las siguientes acciones.

a) La información mayor del subárbol izquierdo.b) La información menor del subárbol derecho.c) Después de la sustitución el valor que sustituyo al nodo X se manda a eliminar partiendo del subárbol donde se encuentra.

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Eliminación

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Eliminación

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Árbol binario: operaciones del TAD

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Árboles Equilibrados

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Árboles Equilibrados

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Árboles Equilibrados

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Árboles Equilibrados

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Árboles Equilibrados

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.1 Árboles.

Árboles Equilibrados

Introducción• Los grafos sirven para representar relaciones

arbitrarias (no necesariamente jerárquicas) entre objetos de datos

PLAZA DECASTILLA

NUEVOSMINISTERIOS

GREGORIOMARAÑÓN

CANAL

GUZMAN EL BUENO

CUATROCAMINOS

AVDA. DEAMÉRICA

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

juan

davidpablo

uc3m.es

otro.net

inf.uc3m.es

rediris.nettelefonica.net

it.uc3m.es

Lab-a02lab-a01

Introducción: aplicaciones• Circuitos electrónicos

– Tarjetas impresas– Circuitos integrados

• Redes de transporte– Autopistas– Vuelos

• Redes de ordenadores– LANs– Internet– Web

• Bases de datos– Diagramas

entidad/relación

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Fundamentos: definiciones• Un grafo consiste en un conjunto de vértices o nodos y

un conjunto de arcos. Se representa con el par G = (V,A).

• Un arco o arista está formado por un par de nodos u y v, y se representa por (u,v)

• Un grafo es dirigido si los pares de nodos que forman los arcos son ordenados y se representan u v. Un grafo no dirigido es aquel que los arcos están formados por pares de nodos no ordenados, se representa u v.

• Si (u,v) es una arista en A(G), entonces u y v se dice que son vértices adyacentes.

• Un arco tiene, a veces, asociado un factor de peso, en cuyo caso se dice que es un grafo valorado.

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Fundamentos: grafos dirigidos

Grafo no dirigido

V(G1) = {a,b,c,d}

A(G1) = {(a,b),(a,d),(b,c),(b,d)}

Grafo dirigidoV(G2) = {1,3,5,7,9}A(G2) = {(1,3),(3,1),(9,1),

(3,5),(5,7)}

a

b

d

c

1

3

5

7

9

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Fundamentos• Grado de un nodo

– En un grafo dirigido• Grado de un nodo u = nº de aristas que contienen a u

– En un grafo dirigido• Grado de entrada de u = nº de arcos que llegan a u• Grado de salida de u = nº de arcos que salen de u

• Grafos conexos– Un grafo no dirigido es conexo si existe un camino entre

cualquier par de nodos que forman el grafo– Ejemplos:

grafo conexografo no conexo con dos componentes conexas

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Fundamentos: camino• Un camino P de longitud n en

el grafo G desde u0 a un es la secuencia de n+1 vértices P = (u0, u1, ..., un) tal que (ui,ui+1) son arcos de G para 0 i n

• Un camino es simple si todos los nodos que forman el camino son distintos, pudiendo ser iguales los extremos del camino

• Ejemplo:

– P1 es simple

– P2 no es simple

P1

XU

V

W

Z

Y

a

c

b

e

d

f

g

hP2

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Fundamentos: ciclos y bucles• Un ciclo es un camino

simple cerrado con u0=un, compuesto al menos por tres nodos

• Un ciclo es simple si todos sus vértices y arcos son distintos

• Un arco que va desde un vértice a sí mismo (u,u) se denomina bucle

• Ejemplo

– C1 es un ciclo simple

– C2 es un ciclo no simple

C1

XU

V

W

Z

Y

a

c

b

e

d

f

g

hC2

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

TAD GRAFO

• Composición:

<grafo> :: = {<vertice>} + {<arista>}<vertice> ::= <<refVertice>> + [<<info>>]<arista> ::= <<refVertice>> + <<refVertice>>

<grafoEtiquetado> :: = {<vertice>} + {<aristaEtiquetada>}<vertice> ::= <<refVertice>> + [<<info>>]<aristaEtiquetada> ::= <<refVertice>> + <<refVertice>>

+ <<etiqueta>>

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

TAD GRAFO: Operaciones

recorrer(grafo,tipoRecorrido)Recorrido del grafo

borrarArista(grafo,arista)

borrarVertice(grafo, referenciaVertice) Eliminación de vértices

insertarVertice(grafo, vertice)

crearGrafo (grafo)Creación del grafoInclusión de vértices

Borrar aristas

insertarArista(grafo, vertice1, vertice2)Inclusión de aristas

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

TAD GRAFO: Operaciones

asignarInfo(referenciaVertice, valorInformacion)Modificación de vertices

info(referenciaVertice) Informacion

grado(referenciaVertice) Entero

gradoEntrante(referenciaVertice) Entero

gradoSaliente(referenciaVertice) Entero

adyacentes(referenciaVertice) {referenciaVertice}

incidentes{referenciaVertice) {referenciaVertice}

esAdyacente(refenciaVertice1, referenciaVertice2) Boolean

Acceso a los vertices

asignarEtiqueta(referenciaArista, valorEtiqueta)

Modificación de aristas

vertices(referenciaArista) (refVertice, refVertice)

destino(referenciaArista) refVertice

origen(referenciaArista) refVertice

etiqueta((referenciaArista) etiqueta

Acceso a las aristas

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Representación: matriz de adyacencia• Matriz de adyacencias

Sea G = (V,A) un grafo de n nodos, suponemos que los nodos V = {u1,...,un} están ordenados y podemos representarlos por sus ordinales {1,2,...,n}.

La representación de los arcos se hace con una matriz A de nxn elementos aij definida:

1 si hay arco (ui,uj)

aij

0 si no hay arco (ui,uj)

• Optimización

Usar la diagonal principal de la matriz de adyacencia para representar la existencia de un vértice

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Representación: matriz de adyacencia

2

1

4

3

2

3

5

4

1

0 1 1 11 0 0 11 0 0 01 1 0 0

0 1 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 10 0 0 0 00 0 0 1 0

2

3

5

4

1

1

2

6

2

1

0 1 0 0 00 0 2 0 00 6 0 0 20 0 0 0 00 0 0 1 0

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Representación• Matriz de adyacencia

– Poco eficiente si el nº de vértices varía a lo largo del tiempo de vida del grafo

– Puede darse el caso de que el nº de vértices sea mayor del previsto inicialmente

– Poco eficiente cuando el grafo tiene pocos arcos (la matriz es “dispersa”)

• Listas de adyacencia– Representar una lista de todos los vértices– Cada objeto vértice guarda una lista de adyacencia

con un objeto arista para cada vértice alcanzable desde él

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Representación: listas de adyacencia

• Ejemplo

1

3

2

5

4

1

2

5

4

3

3 4

3

1

1 2 4

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Recorridos

• Primero en profundidad

– Visitar vértice inicial vi

– Visitar vértice adyacente a vi

... proceder así hasta encontrar uno ya visitado...

– Volver atrás hasta llegar a un vértice con adyacentes sin visitar

– El recorrido termina cuando volviendo atrás llegamos al vértice innicial vi y no quedan adyacentes por recorrer

• Primero en anchura– Visitar vértice inicial vi

– Visitar todos los vértices adyacentes a vi

– Al terminar, comenzar a visitar los adyacentes a los adyacentes a vi

... proceder así hasta que no queden vértices por visitar

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Recorridos• Profundidad

RPP(vi)

{

marcar vi como visitado

para cada vk adyacente a v

si vk no visitado

entonces RPP(vk)

}

• AnchuraRPA(vi)

{

marcar vi como visitado

meter vi en cola q

mientras cola q no vacía

sacar v de cola q

para cada vk adyacente a v

si vk no visitado

entonces

marcar vk visitado

meter vk en cola q

}

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Recorridos: operaciones auxiliares

• Marcar vértice como visitado– Si los vértices están identificados por algún tipo ordinal,

emplear un conjunto que contenga los identificadores de los vértices visitados

• Encontrar los vértices adyacentes– Con matrices de adyacencia: recorrer la fila

correspondiente al vértice, buscando columnas a TRUE– Con listas de adyacencia: recorrer la lista

• Cola de vértices visitados en anchura– Operaciones del TAD Cola

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Recorrido primero en profundidad

1, 3, 6, 10, 13, 12, 9, 5, 2, 4, 7, 8, 11

1

2

3

4

6

7

8

5

10

11

9

13

12

1

10

2

11

6

8

3

9

7

4

5

12

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Recorrido primero en profundidad

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0

12436

107

11859

1213

123456789

10111213

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Recorrido primero en anchura

1

2

3

4

6

7

8

5

10

11

9

13

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1, 3, 4, 2, 6, 7, 8, 5, 10, 11, 9, 13, 12

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Recorrido primero en anchura

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0

123456789

10111213

123456789

10111213

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Árbol reducido/de expansión

• Un árbol puede verse como un caso particular de un grafo: un grafo conexo acíclico

• Para obtener el árbol reducido de un grafo hay que eliminar todas las aristas que producen ciclos, pero manteniéndolo conexo– Aplicación: encaminamiento en

redes de comunicaciones• No existe un único árbol reducido de

un grafo, pues dependerá del nodo de partida y de la forma de recorrerlo

• Cuando el grafo es valorado, puede calcularse el árbol de expansión de coste mínimo

grafo

Árbol de expansión

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Árbol reducido (anchura)

1

2

3

4

6

7

8

5

10

11

9

13

12

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.

Árbol reducido (profundidad)

1

2

3

4

6

7

8

5

10

11

9

13

12

Unidad 4. Estructuras no lineales.4.2 Grafos.