3 conicas circulos final final

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ObjetivosObjetivos

1.1. Conocer la forma estándar (canónica) de la Conocer la forma estándar (canónica) de la ecuación de un círculoecuación de un círculo..

2.2. Determinar el centro y el radio de un círculo si Determinar el centro y el radio de un círculo si nos dan la ecuación.nos dan la ecuación.

3.3. Trazar la gráfica de un círculo dada la ecuación.Trazar la gráfica de un círculo dada la ecuación.

4.4. Escribir la ecuación de un círculo dado el centro y Escribir la ecuación de un círculo dado el centro y el radioel radio..

5.5. Escribir la ecuación de un círculo dados otros Escribir la ecuación de un círculo dados otros datos.datos.

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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

x

Definición Un círculo es el conjunto de puntos en el plano xy que están a una distancia fija r de un punto fijo (h, k). La distancia fija r se llama el radio, y el punto fijo (h, k) se llama el centro del círculo.

(h, k)

r

(x, y)

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222 rkyhx

d[(h,k),(x,y)] = r

2 2( ) ( )x h y k r

Usando la fórmula de distancia obtenemos que;

Elevando al cuadrado en ambos lados tenemos que;

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Definición La forma estándar o canónica de la ecuación de un círculo de radio r y centro (h, k) es;

222 rkyhx

2 2

2 2

2 2

1. ( 1) ( 3) 16

2. ( 2) ( 5) 9

3. ( 1) ( 5) 4

Ejemplos

x y

x y

x y

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Observación: Los coeficientes de Los coeficientes de x x 22 y de y de y y 22 son iguales. son iguales.

2 2

2 2

1 2 6 6 0

2 3 3 9 6

Ejempl

12 0

os

. x y x y

. x y x y

Definición

Se le conoce como ecuación general del círculo.

2 2 0ax ay bx cy d , y son números r, , les eaa b c d y son las variablesx y

Ejemplo 1: Encuentra el centro, el radio y traza la gráfica del círculo . x y x y2 2 4 8 5 0

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Ejemplo 1: Encuentra el centro, el radio y traza la gráfica del círculo .

2 24 8 5x x y y 2 24 8 5x x _ y y _

24

42

647482

816

2

64748

2 24 8 5x x y y

2 22 4 25x y

Centro: (2, –4)

Radio: 5

x y x y2 2 4 8 5 0

4 416 16

Hay que completar el cuadrado en Hay que completar el cuadrado en x x y en y en yy..

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2 22 4 25x y

Centro (2, 4); Radio 5

-12-11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 y

x

(2, –4)

(2,1)

(–3, –4)

(2, –9)

(7, –4)

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2 22 6 6x x y y 2 22 6 6x x _ y y _

22

12

64748ﾭ

￦ ￨

26

92

64748ﾭ

￦ ￨

2 22 6 6x x y y

Ejemplo 2:Encuentra el centro, el radio de; y trace la gráfica.

2 2 2 6 6 0x y x y

9 91 1

Completando el cuadrado en Completando el cuadrado en xx y en y en yy tenemos,

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2 22 1 6 9 6 1 9x x y y

2 21 3 16x y

Centro: (1, –3), Radio = 4

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-12-11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 y

x

(1, –3)

(1,1)

(–3, –3)

(1, –7)

(5, –3)

2 21 3 16x y

Centro: (1, –3), Radio = 4

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2 23 3 3x x y y 2 23 3 3x x _ y y _

23 9

2 4

64748ﾭ

￦ ￨

23 9

2 4

64748ﾭ

￦ ￨

2 23 3 3x x y y

Ejemplo 3: Encuentra el centro y el radio del círculo de

2 22 2 6 6 6 0x y x y

9

4

9

4

9

4

9

4

Ayuda: Ayuda: Divide por 2 y completa el cuadrado en Divide por 2 y completa el cuadrado en xx y en y en yy..

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2 29 9 9 93 3 3

4 4 4 4x x y y

2 23 3 30

2 2 4x y￦ ￦ ￨ ￨

Centro 3 3

, 2 2￦ ￨

Radio 30

4

30

2

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Ejemplo 4: Encuentra la ecuación del círculo con centro en Encuentra la ecuación del círculo con centro en ((–2 , 1)2 , 1) y radio y radio 55

222 rkyhx

2 22 1 25x y

2512 22 yx

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Ejemplo 5: Ejemplo 5: Encuentra el radio del círculo que pasa por el punto Encuentra el radio del círculo que pasa por el punto (3 , 4)(3 , 4) y su centro es y su centro es ((–1 , 2).1 , 2).

radio 22 2413

22 24

20

2 2r x h y k

4 5 2 5

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Ejemplo 6 Encuentra la ecuación del círculo si los extremos de un diámetro son ((–3 , 3 , –4)4) y (5 , 8).(5 , 8).

Centro

2

84,

2

53 2 , 1

El El radioradio será la distancia entre será la distancia entre ((–3 , 3 , –4)4) y y (1 , 2)(1 , 2)

radio 22 2413

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22 64

3616

52

222 rkyhx

El centro es El centro es (1 , 2)(1 , 2) y el radio es y el radio es 52

5221 22 yx