2014presentación1 enero-abril modficada
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-
Funcin de transferencia pulso de un de un controlador PID digital
La accin de control PID en controladores analgicos esta dada por:
Donde e(t) es la entrada al controlador (seal de erroractuante ), m(t) es la salida del controlador (seal manipulada),k es la ganancia proporcional , Ti es el tiempo integral (tiempode reajuste ) y Td es el tiempo derivativo(tiempo de adelanto):
Para obtener la funcin de transferencia pulso del controladorcontrol PID digital se puede discretizar la ecuacin del PID,aproximando el termino integral mediante la sumatoriatrapezoidal y el termino derivativo mediante la diferencia dedos puntos .
-
Algoritmo de control PID analgico y su funcin de transferencia
)()(
1)()( sESTdsE
STisEKsM
)(1
1)( sESTdSTi
KsM
STd
STiK
sE
sM 11
)(
)(
STd
STiKsF
11)(
(1)
-
(2)
Aproximacin discreta de la integral
Aproximacin discreta de derivada
-
2
1)()(
1
zzEzX
Sustituyendo X(z) en Y(z) tenemos:
)()1(2
1)(
2
1
1
1)(
1
11
1zE
z
zzE
z
zzY
)()1()1()( 1 zEzTkekTe
De las tablas tenemos que:
De tabla de transformada Z tenemos:
Encontrando la transformada Z de la ecuacin m(kT)
Si hacemos
Factorizando tenemos :
k
h
hTeThekTysi
1 2
)()1()(
2
)()1()(
hTeThehTx
2
)()()(
1 zEzEzZX
)(2
1)(
1
zEz
zX
Organizando :
)(1
1)()()(
11
zXz
zYhTxkTyk
h
1. Trasformada Z de la aproximacin discreta de la accin integral
2. Trasformada Z de la aproximacin discreta de la accin derivativa
)()1()1()()( 1 zXzkxkxkx
Sustituyendo en la aproximacin discreta de la deri9vada tenemos :
TkekTeT
Td
T
TkekTeTd )1()(
)1()(
)()1()1()( 1 zEzT
TdTkekTe
T
Td
)()1(2
1
2
)()1(1
1
1
zEz
z
Ti
ThTeThe
Ti
T k
h
(1)
(2)
Sustituyendo (1) y (2) en m(kT) tenemos M(Z)
(3)
3. Ahora la podemos encontrar la transformada de Z de la ecuacin m(kT)
-
)1(2
2)1(
1
1
2
11
1
1
z
z
z )1(2
1
)1(2
211
1
1
1
z
z
z
z
)1(2)1(
1
2
1
)1(2
1111
1
zTi
T
Ti
T
zTi
T
z
z
Ti
T
Si :
Sustituyendo en M(z) temas:
3. Reorganizando la parte integral :
Tenemos :
Despejando E(z):
Si ,
21
Ti
TKKp y
Ti
TKKi
T
TdKKd
Tenemos:
-
Podemos representar en diagrama a bloque el PID como
-
Funcin de transferencia pulso de un de un controlador PID digital
La ventaja del esquema de control PID en forma de velocidad es que no es necesario la inicializacin cuando se conmuta de operacin manual a automtico. Adems de ser til en la supresin de correcciones excesivas en sistemas de control de procesos.
Se puede obtener otra forma de esquema del control PID digital partiendo de la diferencia hacia atrs en:m(KT) y m((k-1) T)y es conocido como forma de velocidad:
-
Diagrama a bloques un de un controlador PID digital en su forma de velocidad
-
Encontrar la funcin de transferencia en lazo abierto y lazo cerrado , si el periodo de muestreo es T=1. Si el controlador PID tiene como parmetros Kp =1, Ki = 0.2 y Kd = 0.5. La planta tiene una funcin de transferencia igual a :
Si la realimentacin es igual 1 tenemos siempre:
-
Solucin.
1. Encontrar la funcin de G(z)
)()()( sGpZOHsGsi
)2(
11)(
sss
esG
Ts
)2(
1)1()(
2 ssesG Ts
)2(
1)1()(
2 ssesG Ts
)2(
1)1()(
2
1
ssZzzG
Resolviendo por fracciones parciales
)2()2(
122
s
C
s
B
s
A
ss
5.02
1
)20(
1
)2(
1
0
zs
A
10
)2()2(
1
s
ds
d
sds
dB
z
2
0
2 )20(
1
)2(
1
zs
B
25.04
1
)2(
112
2
2
zsC
2
2
)2(
1)2(
sds
dssB
25.04
1
)2(
12
B
-
)2(
25.025.05.0
)2(
122
sssss
Sustituyendo valores tenemos
)2(
25.025.01
)2(
122 sss
Zss
Z
)2(
25.025.01
)2(
122
sssssZ
)1(
25.0
1
25.0
)1(
5.0
)2(
112121
1
2
zezz
Tz
ssZ
T
Si T=1 tenemos
)1(
25.0
1
25.0
)1(
5.0
)2(
112121
1
2
zezz
z
ssZ
)1(
25.0
1
25.0
)1(
5.0)1()(
12121
11
zezz
zzzG
)2(
1)1()(
2
1
ssZzzGSustituyendo en:
Tenemos::
-
)1353.01(
25.0
1
25.0
)1(
5.0)1()(
1121
11
zzz
zzzG
)1353.01(
25.0)1(
1
25.0)1(
)1(
5.0)1()(
1
1
1
1
21
11
z
z
z
z
z
zzzG
)1353.01(
25.0)1(25.0
)1(
5.0)(
1
1
1
1
z
z
z
zzG
)1353.01)(1(
25.0)1)(1()1353.01)(1(25.05.0)1353.01()(
11
111111
zz
zzzzzzzG
)1353.01)(1(
25.0)1()1353.01)(25.025.0()06765.05.0()(
11
211121
zz
zzzzzzG
)1353.01)(1(
25.0)1()033825.025.0033825.025.0()06765.05.0()(
11
2121121
zz
zzzzzzzG
)1353.01)(1(
25.0)21()033825.025.0033825.025.0()06765.05.0()(
11
2121121
zz
zzzzzzzzG
-
)1353.01)(1(
)25.05.025.0()033825.0283825.025.0()06765.05.0()(
11
212121
zz
zzzzzzzG
)1353.01)(1(
25.05.025.0033825.0283825.025.006765.05.0)(
11
212121
zz
zzzzzzzG
)1353.01)(1(
25.05.025.0033825.0283825.025.006765.05.0)(
11
212121
zz
zzzzzzzG
)1353.01)(1(
148525.0283825.0)(
11
21
zz
zzzG
211
21
1353.01353.01
148525.0283825.0)(
zzz
zzzG
21
21
1353.01353.11
148525.0283825.0)(
zz
zzzG
1353.01353.1
148525.0283825.0)(
2
2
zz
zzG
zportodondomultiplica
-
zz
zzzG
zporndoMultiplica
PID
2
2
2
5.027.1)(
1
21
1
5.0)5.0(215.02.01)(
5.02.0,1
z
zzzG
tenemosKdyKiKpSi
PID
1
21
1
5.027.1)(
z
zzzGPID
1
111
1
)1)(1()1()(
z
zzKdKiKpzzGPID
1
211
1
)21()(
z
zzKdKiKpzKpzGPID
1
21
1
)2()(
z
KdzzKdKpKdKiKpzGPID
1
211
1
2)(
z
KdzKdzKdKiKpzKpzGPID
2.Encontrar la funcin de transferencia de controlador PID:
La solucin es :
-
1353.01353.1
148525.0283825.05.027.1)(
22
2
zz
z
zz
zzzG abiertoLazo
1353.01353.1
148525.0283825.0)(
2 zz
zzG
Si tenemos que:
y zz
zzzGPID
2
2 5.027.1)(
z 0.1353 - z 1.271 z 2.135 - z
0.07425 z 0.1551 - z 0.3152 - z 0.4825)(
234
23
zG abiertoLazo
3. Encontrar la funcin de transferencia de lazo abierto
Realizando la multiplicacin y el proceso de reduccin encontramos la funcin de transferencia de lazo abierto
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