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La aguja de Buffón

Héctor René Vega-Carrillo Ua Estudios Nucleares de la UAZ

Buzón-e: fermineutron@yahoo.com URL: http://www.uaz.edu.mx/neutron/fermi.html

Facebook: http://www.facebook.com/neutron.hadron

Teoría de Blindajes y Laboratorio de Ingeniería Nuclear Septiembre 2012

Contenido

►Introducción.

Cálculo de p.

Fundamento del cálculo.

►Experimento con palillos.

►Otra idea.

►Otro experimento.

Introducción

►Georges Louis Leclerc Compte de Buffon (1707-1788) propuso un método para determinar el valor de p.

► Se trazan líneas paralelas con una separación L y se lanzan, al azar, un conjunto de agujas de longitud L.

► Se cuentan aquellas que al caer cruzan una de las líneas paralelas (éxitos) y se divide entre el total de agujas lanzadas (ensayos)

►Al hacer esto las posiciones extremas de las agujas es 0 y 180 grados.

►En una posición intermedia,

► El cateto opuesto es

►Trazando f(q)

► El área bajo la curva de f(q) es,

pqq ,0:,Sen2

L

p

qqq

0

)(fdSen

2

La

Encerrando la función dentro de un rectángulo

► El rectángulo tiene dimensiones de L/2 por p.

► Por lo tanto el área del rectángulo es,

L x p/2

►La razón entre la figura envuelta y la envolvente es,

ppp

qqp

q 2

22

20)(

L

L

L

dSenL

A

a

RECTÁNGULO

f

► Si sobre la figura trazamos puntos al azar,

►No se observa ningún patrón.

► Si trazamos más puntos,

► Notamos que el número de puntos está relacionado con el tamaño de las áreas, es decir entre mayor sea el área tendrá una mayor cantidad de puntos.

► Si trazamos un número muy grande, digamos infinito, las áreas quedarán totalmente cubiertas, y si los puntos que yacen fuera de f(q) los hacemos de un color y los que están dentro de f(q) los pintamos de otro color observamos lo siguiente,

►Si al número de puntos dentro de f(q) le llamamos n, y al total de puntos trazados (fuera y dentro de f(q)) lo denominamos N.

►Podemos establecer que existe una relación entre la razón n/N y la que existe entre las áreas af(q)/ARECTÁNGULO.

N

n

A

a

RECTÁNGULO

f

p

q 2)(

► Por lo tanto el valor de p se puede estimar mediante,

► donde n es el total de puntos dentro de f(q) (éxitos) y N es el total de puntos producidos (ensayos).

n

N2p

EXPERIMENTO

CON

PALILLOS

►Trace un conjunto de líneas paralelas cuya separación sea del tamaño de la longitud de los palillos.

►Repita el siguiente procedimiento N veces:

Seleccione 20 palillos y arrójelos sobre las líneas.

Cuente aquellos que crucen alguna de las líneas (éxitos) e1, e2, etc.

►Al finalizar los N ensayos, sume el total de éxitos: n = e1, e2, …, ei.

► Estime el valor de p de la siguiente forma,

p

i

ie

N202

!OTRA IDEA¡

►Vamos a estimar el valor de p utilizando sopa de pasta.

►Pero antes vamos a los fundamentos del método.

►Si tenemos un círculo de radio R.

► El área del círculo es,

► Si encerramos al círculo dentro de un cuadrado de lado 2 R.

2

CirculoRA p

► El área del cuadrado será 2 R x 2 R, es decir, 4 R2.

► La razón entre las áreas será,

p

p

4

R

R4

A

A2

2

Círculo

Cuadrado

►Despejando p,

Si lanzamos, en forma aleatoria, las sopas sobre la figura y solo tomamos en cuenta las que caen dentro del cuadro (N), algunas yacerán dentro del circulo (n). El área del cuadro será proporcional a N, mientras que el área del círculo será proporcional a n.

Por lo tanto, el valor de p se puede estimar mediante,

►Para hacerlo aún más simple seleccionemos un cuadrante de la figura,

►Trace un cuadrado y dentro de él una cuarta parte del círculo.

►Repita el siguiente procedimiento N veces. Tome un número fijo de sopas, digamos 50.

Láncelas en la figura y cuente aquellos que se encuentren dentro de la sección circular (éxitos), e1, e2, …, ei.

Algunos caerán fuera de la figura, esos réstelos de los 50 lanzados, (50 – Total que cayeron fuera) a la cantidad que resulte llámele h.

►Registre sus datos en una tabla como la siguiente,

► Estime el valor de p mediante,