1.introducción a la estadística 2.descripción de los conjuntos de datos 3.uso de la estadística...

1. Introducción a la Estadística

2. Descripción de los conjuntos de datos

3. Uso de la Estadística para sintetizar conjuntos de datos

4. Probabilidad

5. Variables aleatorias discretas

6. Variables aleatorias normales

4.1 Introducción

4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento

4.3 Propiedades de la Probabilidad

4.4 Experimentos con resultados igualmente probables

4.5 Probabilidad condicionada e independencia

4.6 Teorema de Bayes

4.7 Principios de recuento

Resumen para la clase del martes 26 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se denomina espacio muestral.

Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento.

Los eventos son los subconjuntos del espacio muestral S.

Los eventos se denotarán mediante letras mayúsculas A, B, C, etc.

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento.

Se dice que un evento A ocurre si el resultado está contenido en A.

Un evento elemental o evento

atómico, es un subconjunto del

espacio muestral que

contiene solamente un elemento.

Un evento elemental, a pesar de

contener un sólo elemento, es un

conjunto, no es el elemento por

si mismo.

Un evento elemental o evento atómico,

es un subconjunto del espacio muestral

que contiene solamente un elemento.

Al lanzar un dado el espacio muestral

es el conjunto

1,2,3,4,5,6

Los eventos elementales son los conjuntos:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

Si aventamos dos monedas, el espacio

muestral es el conjunto

a,a , a,s , s,a , s,s

Los eventos elementales son los conjuntos:

a,a , a,s , s,a , s,s

Sin embargo, cuando no hay ambigüedad,

cuando no hay posibilidad de confusión,

por simplificar, los eventos elementales

son escritos como elementos más que

como conjuntos.

Un evento elemental o evento atómico,

es un subconjunto del espacio muestral

que contiene solamente un elemento.

Un evento que no contenga

ningún resultado se denominará

evento nulo, y se designará por .

Dados dos eventos y ,

se define un nuevo evento ,

llamado unión de y , como

aquel que incluye todos los

resultados que están en , en ,

o en ambos.

Dados dos eventos y ,

se define un nuevo evento ,

llamado intersección de y , como

aquel que incluye todos los

resultados que están simultaneamente

en y en .

Si la intersección de y es el

evento nulo, se dirá que y

son disjuntos o mutuamente

excluyentes, puesto que ambos

eventos no pueden ocurrir

simultáneamente.

Para cualquier evento , se define el evento ,

llamado complementario de , a aquel que

contiene todos los resultados del espacio

muestral que no están en .

El evento ocurrirá cuando no ocurra ,

iceversa

Consideremos un experimento cuyo espacio

muestral sea .

Supongamos que para cada evento existe

un número, denotado por y llamado

probabilidad del evento , que verifica las

tres propiedades siguiente

PROPIEDAD 1:

Para cualquier evento , 0 1

PROPIEDAD 2:

PROPIEDAD 3:

Si entonces

A B P A B P A P B

cP A P A

P A B P A P B P A B

Fin del resumen para la clase del martes 26 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

4.1 Introducción

En algunos casos surge la necesidad de examinar varios eventos en correlación, por ejemplo, cuando hay que determinar cómo influye la aparición ó no aparición de un evento sobre la frecuencia del surgimiento de otro.

En este caso, además de la frecuencia del evento B, para toda la serie de experimentos realizados, se calcula también la frecuencia del evento B teniendo en cuenta sólo aquellas pruebas que han llevado a la producción de otro evento A que nos interesa.

Con otras palabras, antes de determinar la frecuencia del evento B se seleccionan sólo aquellos experimentos en los que ha sucedido el evento A, sin tomar en consideración los demás.

La frecuencia del evento B calculada sólo para aquellas pruebas en las que se ha producido el evento A se llama frecuencia condicional del evento B con respecto al evento A.

Si al efectuar experimentos el evento

ha sucedido veces y el acontecimiento

ha sucedido junto con el evento

veces, entonces la frecuencia condicional

del acontecimiento con respecto a es

kP B A

Puesto que las fracciones y

representan respectivamente la

frecuencia del evento y la de la

producción conjunta de los eventos

y , podemos escribir

k k n P A BP B A

l l n P A

Es decir,

P A BP B A

Se estima que un 30% de los adultos

de Estados Unidos están obesos,

un 3% de ellos padecen diabetes y

un 2% simultáneamente son obesos

y sufren diabetes.

Diabético

Diabético u obeso

Diabético y obeso

Diabético, dado que es obeso

Obeso porque es diabético

Se estima que un 30% de los adultos de Estados Unidos están obesos, un 3% de

ellos padecen diabetes y un 2% simultáneamente son obesos y sufren diabetes.

Se estima que un 30% de los adultos de Estados Unidos están obesos, un 3% de

ellos padecen diabetes y un 2% simultáneamente son obesos y sufren diabetes.

Diabético D

Diabético u obeso Diabético y obeso

Diabético, dado que es obeso Obeso porque es diabético

D O D O

D O O D

0.30 0.03 0.02

0.02 20.067

0.3 30

0.02 20.667

0.03 3

P O P D P D O

P D OP D O

P D OP O D

Un club de juegos de mesa tiene 120 miembros:

40 juegan al ajedrez;

56 juegan al bridge,

y 26 juegan tanto al ajedrez como al bridge.

Juega ajedrez Juega bridge

Juega ajedrez o bridge

Juega ajedrez y bridge

Juegue al ajedrez, dado que también juega al bridge

Juegue al bridge, dado que también juega al ajedrez

Un club de juegos de mesa tiene 120 miembros: 40 juegan al ajedrez;

56 juegan al bridge, y 26 juegan tanto al ajedrez como al bridge.

Un club de juegos de mesa tiene 120 miembros: 40 juegan al ajedrez;

56 juegan al bridge, y 26 juegan tanto al ajedrez como al bridge.

(a) Juegue al ajedrez, dado que también juega al bridge.

(b) Juegue a

l bridge, dado que también juega al ajedrez.

Juega ajedrez Juega bridge

Juega ajedrez o bridge Juega ajedrez y bridge

Juegue al ajedrez, dado que también juega al bridge

Juegue

A B A B

al bridge, dado que también juega al ajedrez

40 1 56 7 26 13

120 3 120 15 120 60( ) 13 / 60 13

0.467 / 15 28

( ) 13 / 60 130.65

1 / 3 20

P A P B P A B

P A BP A B

P A BP B A

La siguiente tabla detalla los planes de futuro de los

graduados de la Universidad de Harvard en el año 2004.

DISCIPLINA PORCENTAJE

Estudios posteriores 26.2%

Negocios 23.2%

Comunicaciones 8.4%

Administración pública 8.3%

Ciencia o tecnología 8.0%

Enseñanza 7.9%

Otro 18.0%

100.0%

La siguiente gráfica de pastel detalla los planes de futuro de

los graduados de la Universidad de Harvard en el año 2004.

La siguiente gráfica de pastel detalla los planes de futuro de

los graduados de la Universidad de Harvard en el año 2004.

Supongamos que se elige

aleatoriamente a un graduado.

Dado que ese graduado no se

dedicará a los negocios ni a la

enseñanza, calcule la probabilidad que:

(a) Tenga la intención de realizar

estudios posteriores.

Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado.

Dado que ese graduado no se dedicará a los negocios ni

a la enseñanza, calcule la probabilidad que:

(a) Tenga la intención de realizar estudios posteriores.

Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza

Negocios o Enseñanza

Ni Negocios y Ni Enseñanza

Lo que queremos es:

P G N EP G N E

No se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, :

(a) Calcule la probabilidad que tenga la intención de realizar estudios posteriores.

cios o Enseñanza , Ni Negocios y Ni Enseñanzac

P G N EP G N E

P G N EP G N

0.689c

cG N E G

cios o Enseñanza , Ni Negocios y Ni Enseñanza

; 0.689

P G N EP G N E P N E

c cG N E G P G N E P G

0.262P G

; 0.689

P G N E P GP G N E P N E

P N E P N E

; 0.689 ; 0.262

P G N E P GP G N E P N E P G

P N E P N E

0.262 262

0.689 689

P G N E P GP G N E

P N E P N E

(a) Tenga la intención de realizar estudios posteriores.

La probabilidad que el graduado elegido,

completamente al azar,

vaya a realizar

estudios posteriores es

2620.38

(b) Planee dedicarse a la enseñanza

o bien a los estudios posteriores.

(b) Planee dedicarse a la enseñanza o bien a los estudios posteriores.

Estudios posteriores o Enseñanza

Lo que queremos es:

P G E N EP G E N E

0.689c

cG E N E G

(b) Planee dedicarse a la enseñanza o bien a los estudios posteriores.

planee dedicarse a la enseñanza

o bien a los estudios posteriores es

2620.38

(c) Pretenda dedicarse a las comunicaciones

o bien a los estudios posteriores.

Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado. Dado que ese

graduado no se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, calcule la

probabilidad que: (c) Pretenda dedicarse a las comunicaciones o bien

a los estudios posteriores.

Comunicaciones

Estudios posteriores o Comunicaciones

Lo que queremos es:

P G C N EP G C N E

cP N E

0.689c

cG C N E G C

0.262 0.084 0.346

G C N E G C

P G C N E P G C

P G C P G P C

planee dedicarse a las comunicaciones

o bien a los estudios posteriores es

3460.50

probabilidad que: (c) Pretenda dedicarse a las comunicaciones o bien

a los estudios posteriores.

(d) No tenga intención de dedicarse a

ciencia/tecnología.

probabilidad que: (d) No tenga intención de dedicarse a ciencia/tecnología.

Ciencia/Tecnología , Negocios , Enseñanza

No Ciencia/Tecnología

Lo que queremos es:

P T N EP T N E

0.689c

ccT N E

O G C A

así que

Finalmente

T N E O G C A

P T N E P O G C A

O G C A

P O G C A P O P G P C P A

P T N E P O P G P C P A

ccP T N E P O P G P C P A

0.609ccP T N E

NO planee dedicarse a la ciencia y a la

tecnología es

6090.88

probabilidad que:

(d) No tenga intención de dedicarse a ciencia/tecnología.

(e) No intente dedicarse a las

comunicaciones ni a los negocios.

probabilidad que:

(e) No intente dedicarse a las comunicaciones ni a los negocios.

Comunicaciones , Negocios , Enseñanza

Comunicaciones o Negocios

Ni Comunicaciones y Ni Negocios

Lo que queremos es:

P C N NP C N N E

0.689c

c cC N N E

A T O G

así que

Finalmente

C N N E A T O G

P C N N E P A T O G

A T O G

P A T O G P A P T P O P G

P C N N E P A P T P O P G

c cP C N N E P A P T P O P G

0.605c c

P C N N E

8.3%8.0%

no intente dedicarse a las

comunicaciones ni a los negocios.

6050.88

probabilidad que:

(e) No intente dedicarse a las comunicaciones ni a los negocios.

(f) No tenga planeado dedicarse

a ciencia/tecnología

o a administración/política.

probabilidad que: (f) No tenga planeado dedicarse a ciencia/tecnología

Ciencia Tecnologia , Administración

Negocios , Enseñanza

No Ciencia Tecnología o Administración

Lo que queremos es:

P T A N EP T A N E

cP N E

0.689c

c cT A N E

así que

Finalmente

T A N E O G C

P T A N E P O G C

P O G C P O P G P C

P T A N E P O P G P C

c cP T A N E P O P G P C

0.526c c

P T A N E

no tenga planeado dedicarse a

ciencia/tecnología o a administración/política es

5260.76

probabilidad que:

(f) No tenga planeado dedicarse a ciencia/tecnología

Esta definición de la probabilidad condicionada es coherente con la interpretación de la probabilidad como la frecuencia relativa a largo plazo.

P A BP B A

1. Supongamos que se llevan a cabo un gran número, digamos n, de repeticiones del experimento.

Esta definición de la probabilidad condicionada es coherente

con la interpretación de la probabilidad como la frecuencia relativa a largo plazo.

P A BP B A

2. Si consideramos solamente aquellos experimentos en los que ocurre el evento A, P(B|A) será igual a la proporción de ellos en los que también ocurre B, puesto que P(A) es la proporción, a largo plazo, de experimentos en los que ocurre A, se tendrá que en n repeticiones del experimento, A ocurrirá aproximadamente nP(A) veces.

P A BP B A

2. Si consideramos solamente aquellos experimentos en los que ocurre el evento A, P(B|A) será igual a la proporción de ellos en los que también ocurre B, puesto que P(A) es la proporción, a largo plazo, de experimentos en los que ocurre A, se tendrá que en n repeticiones del experimento, A ocurrirá aproximadamente nP(A) veces.

3. De igual forma, en aproximadamente nP(A B) de estos experimentos ocurrirán simultáneamente A y B.

P A BP B A

De aquí se deduce que, entre los aproximadamente nP(A) experimentos cuyos resultados están contenidos en A, aproximadamente nP(A B) de ellos tendrán resultados contenidos también en B.

Por consiguiente, de todos aquellos experimentos cuyos resultados están contenidos en A, la proporción de ellos cuyos resultados están también en B es aproximadamente igual a

nP A B P A B

nP A P A

Puesto que esta aproximación se hace más exacta a medida que n crece se ve que la definición anterior de probabilidad condicionada de B, dado que A ha ocurrido, es apropiada.

Dados dos eventos arbitrarios y , se tiene

Es decir, la probabilidad de que ocurran

simultáneamente y es igual a la

probabilidad que ocurra multiplicada

por la probabilidad condicionada

P A B P A P B A

dado que haya ocurrido .

Dados dos eventos arbitrarios y , se tieneA B

P A B P A P B A

Para demostrar la regla de la multiplicación,

simplemente se toma la definición de probabilidad

condicional, y

se despeja .

P A BP B A

Por lo general, la probabilidad condicionada

de que ocurra dado que haya ocurrido

no tiene porque coincidir con la probabilidad

(incondicional) de .

Es decir, saber que ha ocurrido

generalmente hac

e cambiar la probabilidad

de ocurrencia de .B

Cuando es igual a ( ),

se dice que es independiente de .

P B A P B

Puesto que

se deduce que

es independiente de si

( ) ( )

P A B P A P B A

P A B P A P B

Dos eventos arbitrarios, y ,

son independientes si y sólo si

( ) ( )

P A B P A P B

Dos eventos arbitrarios, y , son independientes

si y sólo si ( ) ( )

P A B P A P B

Ya que esta ecuación es

simétrica se tiene que,

si es independiente de ,

también es independieme de .

P A B P A P B

También se puede demostrar que si

y son independientes,

la probabilidad de dado que

no ocurra es igual a la probabilidad

(incondicional) de .

P A B P A P B

Esto es,

si y son independientes,

se cumple quec

P B A P B

P A B P A P B

Así pues, cuando y son independientes,

cualquier información acerca de la ocurrencia

o no ocurrencia de uno de estos eventos no

afecta a la probabilidad del otro.

Aunque hasta ahora sólo se ha

considerado la independencia

de un par de eventos, este

concepto se puede extender a

cualquier número de eventos.

La probabilidad de la intersección

de cualquier número de eventos

independientes será igual al

producto de sus probabilidades.

1 2 1 2

, ,...,

son eventos independientes,

se cumple que

( ... ) ...

P A A A P A P A P A

Una urna contiene 2 bolas rojas, 3 bolas verdes,

y 5 bolas azules. Una bola se selecciona al

azar y se anota su color. Se regresa la bola y se

selecciona otra bola, y se anota su color.

Encuentre la probabilidad de cada uno de estos

eventos:

a. Que las dos bolas sean azules.

b. Que la primera bola sea azul y la segunda sea roja.

c. Que la primera bola sea verde y la segunda sea azul.

Dado que la primera bola es sustituida antes que la segunda

bola sea seleccionada, los eventos son independientes.

Hay 5 bolas azules y un total de 10 bolas, por lo tanto,

la probabilidad de selección de

dos bolas de color azul

con la sustitución es:

(azul y azul) azul Azul

5 5 25 1

10 10 100 4

Una urna contiene 2 bolas rojas, 3 bolas verdes, y 5 bolas azules. Una bola se selecciona al

azar y se anota su color. Se regresa la bola y se selecciona otra bola, y se anota su color.

Encuentre la probabilidad que: a. Que las dos bolas sean azules.

Hay 5 bolas azules, 2 rojas y un total de 10 bolas, por lo

tanto:

(azul y roja) azul rP P P oja

5 2 10 1

10 10 100 10

Encuentre la probabilidad que: b. Que la primera bola sea azul y la segunda sea roja.

Hay 5 bolas azules, 3 bolas verde y un total de 10 bolas,

por lo tanto, la probabilidad

(verde y azul) verde azul

3 5 15 3

10 10 100 20

Encuentre la probabilidad que: c. Que la primera bola sea verde y la segunda sea azul.

Si el 12% de la población de la población

adulta es zurda, ¿cuál es la probabilidad

que al seleccionar 3 adultos todos sean

zurdos?

Si el 12% de la población de la población adulta es zurda, ¿cuál

es la probabilidad que al seleccionar 3 adultos todos sean zurdos?

Cuando los sujetos son seleccionados de una población

grande, a pesar de que no se sustituyen, los cambios de

la probabilidad son muy pequeños, de modo que el

cambio puede ser ignorado.

Por lo tanto,

tresP zurdos zurdo zurdo zurdo

12 12 12 17280.001728

100 100 100 1000000

José y Gil van juntos a cazar patos. Supongamos que

José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que

Gil, independientemente, tiene una probabilidad 0.1.

Los dos han disparado al mismo pato.

(a) Dado que solamente uno de ellos ha acertado.

¿cuál es la probabilidad condicionada que haya

acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?

(b) Dado que el pato ha sido alcanzado.

¿cuál es la probabilidad condicionada que José haya

acertado? ¿Y la que haya acertado Gil?

José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,

independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han

disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos

ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya

Definimos los eventos

Acierta José Acierta Gil

El evento "solamente uno de ellos ha acertado"

= c c c

J G J G J G J G

= c c cJ G J G J G J G

Lo que queremos calcular es

es decir, dado que solamente uno de ellos

ha acertado. ¿cuál es la probabilidad

condicionada que haya acertado José.

c cP J J G J G

( )P A B

P B AP A

P J J G J G

P J G J G

( )P A B

P B AP A

P J J G J G

P J J G

P J G J

c cP J G J G

Como los eventos y son disjuntos;

es decir,

tenemos que

c c c c

J G J G

P J G J G P J G P J G

c cP J G J G

Pero ademas, los eventos y son independientes,

por tanto,

así que

c c c c

P J G J G P J G P J G

P J G P J P G

P J G J G P J P G P J P G

c cP J G J G

Usamos ahora que

para obtener

c c c c

P J G J G P J P G P J P G

P J P J P G P G

P J G J G

P J P G P

P G P J P G

2c cP J G J G P J P G P J P G

Sustituyendo los valores del problema,

0.3 0.1 2 0.3 0.1 0.34

c cP J G J G

( )P A B

P B AP A

c cP J J G

J J G J G

J J G J J G

J G J G

c cP J J G J G

c cJ J G J G

c cJ G J G

c cJ J G J G

c cJ G J G

c c cJ J G J G J G

Como y son eventos independientes,

pero ademas 1 , así que

cP J J G J G

P J P J P

P J J G J G P J G

P J G P J P G

P G P G

c cP J J G J G

c cP J J G J G P J P J P G

0.3 0.3 0.1 0.27

c cP J J G J G

40.7c cP J J G J G

Habiendo acertado sólo uno de ellos,

la probabilidad que haya sido José

es 0.79.

es decir, dado que solamente uno de ellos

ha acertado. ¿cuál es la probabilidad

condicionada que haya acertado Gil.

c cP J JG G G

( )P A B

P B AP A

P J G J G

( )P A B

P B AP A

P G J G J G

G J G J G

G J G G J G

G G J G G J

G J G J

c cP G J G J G

Como y son eventos independientes,

pero ademas 1 , así que

cP G J G J G

P G P G P

P G J G J G P G J

P G J P G P J

P J P J

c cP G J G J G

c cP G J G J G P G P G P J

0.1 0.1 0.3 0.07

c cP G J G J G

40.2c cP J J G J G

la probabilidad que haya sido Gil

es 0.21.

la probabilidad que haya sido José es

0.79 y la probabilidad que haya sido

Gil es 0.21.

José y Gil van juntos a cazar patos. Supongamos que

José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que

Gil, independientemente, tiene una probabilidad 0.1.

Los dos han disparado al mismo pato.

(a) Dado que solamente uno de ellos ha acertado.

¿cuál es la probabilidad condicionada que haya

acertado Jo

(b) Dado que el pato ha sido alcanza

sé. ¿Y la que h

¿cuál es la

rtado Gil?

lidad condicionada que José haya

independientemente, tiene una probabil

(b) Dado

idad 0.1

que el

. Los dos han

dis pato ha sido alcparado anzado.al mismo p

¿cuál es l

a probabilidad condicionada que José haya

Definimos los eventos

Acierta José Acierta Gil

El evento "el pato ha sido alcanzado"

(b) Dado

idad 0.1

que el

. Los dos han

¿cuál es l

es decir, dado que el pato ha sido

alcanzado, ¿cuál es la probabilidad

condicionada que haya acertado José?

P J J G

( )P A B

P B AP A

P J J GP J J G

( )P A B

P B AP A

P J J GP J J G

Tenemos

Además como y son eventos

independientes,

así que

P J G P J P G P J G

P J G P J

P J G P J P G P J P

Sustiuyendo valores,

0.3 0.1 0.3 0.1 0.37P

P J G P J P G P J P G

( )P A B

P B AP A

P J J GP J J G

P J J G

Por tanto,

J J G J J J G

J J G J

P J J G P J

0.300.81

0.37P J J G

(b) Dado

idad 0.1

que el

. Los dos han

¿cuál es l

Habiendo sido alcanzado el pato,

es 0.81.

(b) Dado

idad 0.1

que el

. Los dos han

¿cuál es l

disparado al mismo pato. (b) Dado que el pato ha sido alcanzado.

a ¿Y la que haya acertcerta ado do? Gil?

es decir, dado que el pato ha sido

alcanzado, ¿cuál es la probabilidad

condicionada que haya acertado Gil?

P G J G

( )P A B

P B AP A

P G J GP G J G

( )P A B

P B AP A

P G J GP G J G

P G J G

Por tanto,

G J G G J G G

G J G G

P G J G P G

0.100.27

0.37P G J G

a ¿Y la que haya acertcerta ado do? Gil?

la probabilidad que haya sido Gil

es 0.27.

a ¿Y la que haya acertacerta do do? Gil?

es 0.81 y la probabilidad que haya

sido Gil es 0.27.

Se eligen aleatoriamente dos cartas

de una baraja de 52 naipes.

Encuentre la probabilidad que:

(a) Ninguna sea de espadas.

(b) Al menos una sea de espadas.

(c) Las dos sean de espadas.

Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.

Encuentre la probabilidad que: (a) Ninguna sea de espadas.

se saca una espada

ninguna es espada

Queremos

Sabemos que

Ahora hay que determinar

cP A B P A B

( ) ( )

cP A B P A B

P A B P A P B P A B

P A P B

( ) ( )

Así que

P A B P A B

P A B P A P B P A B

P A B P B A P A

P A B P A P B P B A P A

¿Cuánto vale ?

Si la primera carta fue una espada,

quedan 12 espadas de un total de

51 cartas, así que

1 4( )

4 17Entonces

1 1 4 1 1 11

4 4 17 4 2 1717 2 19

P A B P A P B P B A P A

P A P B P B A

La probabilidad que ninguna de las

dos cartas extraidas sea de espadas

19es de 0.56

Encuentre la probabilidad que: (b) Al menos una sea de espadas.

se saca una espada

al menos una es espada

Queremos

así que

19 34 19 151

34 34 34

cP A B P A B

La probabilidad que al menos

una de dos cartas extraidas

sea de espadas

15es 0.44

Encuentre la probabilidad que: (c) Las dos sean de espadas.

se saca una espada

las dos son espadas

Queremos

Por tanto,

4 1 1( )

17 4 17

P A B P B A P A

La probabilidad que las dos

cartas extraidas

sean de espadas es

1 0.0617

4.1 Introducción

Para dos eventos arbitrarios

cualesquiera, y ,

siempre se verifica quec

A A B A B

Para dos eventos arbitrarios cualesquiera, y ,

siempre se verifica que c

A A B A B

Se puede comprobar que la igualdad

anterior es cierta con sólo observar

que para que un resultado esté en

debe estar en y en o bien debe

estar en pero no en .

Para dos eventos arbitrarios cualesquiera, y ,

siempre se verifica que c

A A B A B

Puesto que y son mutuamente

exc1uyentes (¿por qué?), se tiene, por la propiedad 3,

que ( ) ( ) ( )

Puesto que

( ) ( ) y ( ) ( )

se ha demostrado la siguiente igualdad:

A B A B

P A P A B P A B

P A B P A B P B P A B P A B P B

( ) ( )c cP A B P B P A B P B

1) = ( ) ( ) ( )

2) ( ) ( )

3) ( ) ( )

( ) ( )

A B A B P A P A B P A B

P A B P A B P B

P A P A B P B P A B P B

( ) ( )c cP A P A B P B P A B P B

Esta igualdad establece que la probabilidad

de un evento es igual a la media ponderada

de las probabilidades condicionadas que ocurra

dado que haya ocurrido y que ocurra dado

que no haya ocurrid

B o: cada una de estas

probabilidades condicionadas tiene un peso igual

a la probabilidad del evento condicionante.

( ) ( )c cP A P A B P B P A B P B

Esta es una fórmula muy útil porque

nos permite calcular la probabilidad

de cualquier evento "condicionando"

primero por los hechos que otro evento

cualquiera haya ocurrido o no.

Sean y dos eventos arbitrarios

( ) ( )c c

Antes de ilustrar la utilidad de la ecuación

( ) ( )

se considerará el problema de cómo

reevaluar una probabilidad inicial a la luz

de una evidencia adicional.

c cP A P A B P B P A B P B

Se está estudiando una cierta hipótesis:

1) Supongamos que denota el evento

que la hipótesis es cierta y que ( )

denota la probabilidad que sea cierta.

1) Supongamos que denota el evento

que la hipótesis es cierta y que ( )

denota la probabilidad que sea cierta.

2) Ahora supongamos que se dispone

de una evidenci

a adicional, llamémosla ,

concerniente a la hipótesis citada.

1) Supongamos que denota el evento que la hipótesis

es cierta y que ( ) denota la probabilidad que sea cierta.

2) Ahora supongamos que se dispone de una eviden

En consecuencia, se desearía determinar ,

la probabilidad condicio

adicional, llamémosla , concern

nada de que la hipótesis es cierta

e a la h

a la evi

ipótesis citada

dencia adicional E.

Se, tiene por la definición de la

probabilidad condicionada,

( ) P E H P HP H EP H E

P E P E

Si se usa la ecuación

( ) ( )

se puede calcular ( ) condicionando por los

hechos que la hipót

Esto conduce a la s

sea cie

ente ide

rta y no sea cie

ntidad, conocida

como teorema de Bay

c cP E H P H P E H P H

( ) P E H P HP H E

P H EP E P E

Dados dos eventos arbitrarios y ,

siempre se cumple

( ) ( )c c

P E H P HP H E

P E H P H P E H P H

Hay dos monedas sobre una mesa.

Cuando se lanzan, la probabilidad de que salga Sol es

0.5 para una moneda. mientras que para la otra es 0.6.

Se selecciona aleatoriamente una de las monedas

y se lanza.

(a) ¿Cuál es la probabilidad que salga Sol?

(b) Si sale Sol, ¿cuál es la probabilidad que la moneda

lanzada sea la que está bien construida? (Es decir, aquélla

cuyos resultados Sol y Águila son igualmente probables.)

Utilizamos la fórmula

( ) ( )

con los valores

Sale sol

Se elige la moneda con probabilidad 0.5

Cuando se lanzan dos monedas, la probabilidad de que salga

Sol es 0.5 para una moneda. mientras que para la otra es 0.6.

Se selecciona aleatoriamente una de las monedas y se lanza.

1 1 2 2

Así que

( ) ( )

y sustituyendo los valores

0.5 0.

5 0.6 0.5 0.25 0.30

P S P S M P M P S M P M

Usando el teorema de Bayes

( ) ( )

con los eventos

Sale sol

P E H P HP H E

P E H P H P E H P H

lanzada sea la que está bien construida?

1 1 2 2

Así que

( ) ( )

0.5 0.5 0.25 0.25 5

0.5 0.5 0.6 0.5 0.25 0.30 0.55 11

Finalmen1

P S M P MP M S

S M P M P S

lanzada sea la que está bien construida?

Una inspectora a cargo de una investigación criminal tiene

una certeza del 60% de la culpabilidad de un sospechoso.

Se acaba de descubrir un hecho que evidencia que el

criminal es zurdo.

Aunque la inspectora sabe que un 18% de las personas

son zurdas, le gustaría saber si el sospechoso es zurdo.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sospechoso sea zurdo?

(b) Si el sospechoso resulta ser zurdo. ¿cuál es la

probabilidad de que el sospechoso sea culpable?

Usamos la fórmula

( ) ( )

con las definiciones

el sospechoso es zurdo

el sospechoso es culpable

el sospechoso NO es culpable

Así que

( ) ( )

1.00 0.60 0.18 0.40 0.60 0.072

P Z P Z C P C P Z C P C

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sospechoso sea zurdo?

Utilizando el teorema de Bayes

( ) ( )

con las definiciones de los eventos antes hechas,

( ) ( )

1.0 0.6 0.0.

600 25

1.0 0.6 0.18 0.4 0.67 29

P E H P HP H E

P E H P H P E H P H

P Z C P CP C Z

P Z C P C P Z C P C

(b) Si el sospechoso resulta ser zurdo. ¿cuál es la

probabilidad de que el sospechoso sea culpable?

En una ciudad, el 52% de los residentes con edad de votar

son republicanos, y el otro 48% son demócratas.

Entre los residentes, un 64% de los republicanos y un 42%

de los demócratas se muestran a favor que se suspenda una

política activa de alquileres promovida por el ayuntamiento.

Se selecciona aleatoriamente a un residente con derecho a voto.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida esté a

favor que se suspenda la política de alquileres?

(b) Si la persona elegida está en contra que se suspenda dicha

política de alquileres, ¿cuál es la probabilidad que sea

republicana?

Republicano , Demócrata

está en contra , está a favo

y c cR

Republicanos 52% Demócratas 48%

64% de republicanos a favor 42% de demócratas a favor

favor que se suspenda la política de alquileres?

favor que se suspenda la política de alquiler

está en contra , está a favor

¿Qué tenemos?:

0.52 0.48

0.64 0.42

P R P D

P F R P F D

0.52 0.48

0.64 0.42

P R P D

P F R P F D

¿Qué queremos?: P F

Sean y dos eventos arbitrarios

( ) ( )c c

0.52 0.48

0.64 0.42

P R P D

P F R P F D

0.64 0.52 0.42 0.48 0.5344

P F P F R P R P F D P D

política de alquileres, ¿cuál es la probabilidad que sea republicana?

está en contra , está a favo

y c cR

política de alquileres, ¿c

uál es la probabilidad que sea republicana?

¿Qué tenemos?:

0.52 0.48

Es claro qu

0.36 y

P R P D

C R P C D

R P F D

0.52 0.48

0.64 0.42

P R P D

P F R P F D

¿Qué queremos?: P R C

Dados dos eventos arbitrarios y ,

siempre se cumple

( ) ( )c c

P E H P HP H E

P E H P H P E H P H

0.52 0.48

0.64 0.42

P R P D

P F R P F D

( ) ( )

0.36 0.520.402

0.36 0.52 0.58 0.48

P C R P RP R C

P C R P R P C D P D

1.introducción a la estadística 2.descripción de los conjuntos de datos 3.uso de la estadística...

Documents

profesor: rubén alva cabrera · indice introducciÓn...

conjuntos y probabilidad - … · 396 7 conjuntos y...

sintetizar hidroxapatita

definimos el problema a partir de sintetizar la

05 conjuntos

matemÁticas/ 4º - colegio ebenezer · donde aplica el...

taller 1 probabilidad y estadística€¦ · taller 1...

conjuntos - docencia.dim.uchile.cl · conjuntos...

programa asignatura: variables (imposibles de sintetizar

contenido conjuntos relaciones funciones conjuntos

estadística aplicada a la empresa i · 1.7. teorema de la...

tema 1: conjuntos · contenido 1 conjuntos. operaciones b...

lógica, conjuntos y números - uis - facultad de...

d -...

topología: conjuntos, aplicaciones y números · llo de la...

sintetizar textos no literarios

nociones de estadÍstica y...

conjuntos borrosos, estadística y probabilidad · lados,...

capítulo 3: conjuntos capítulo 3: conjuntos capítulo 3:...

comentan y sintetizar la información relacionada a