1er concurso 6 mate financiera
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Hernn B. Garrafa araGn
M A T E M T I C A F I N A N C I E R A
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Rector AurelioPadillaRos
PrimerVicerrector JosS.MartnezTalledo
SegundoVicerrector LuisCabelloOrtega
yPresidentedelaComisindelProgramaEditorial
EduardodeHabich-TextosUNI
Primeraedicin,juniode2008
MateMtica Financiera
ImpresoenelPer/PrintedinPeru
HernnB.GarrafaAragn Derechos reservados
EditorialUniversitariadelaUniversidadNacionaldeIngeniera
Av.TupacAmaru210,Rmac-Lima
PabellnCentral/Stano
Telf.:481-1070anexo240
E-mail:eduni@uni.edu.pe
JefeEDUNI:Prof. lvaro Montao Freire
DiseoyDiagramacin:EDUNI
Impresopor...................................
ISBN:..............................................
HechoelDepsitoLegalenlaBibliotecaNacionaldelPerN.........................................
Prohibidalareproduccndeestelibroporcualquiermedio,totaloparcialmente,sinpermisoexpresodelautor.
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A mi esposa, JessicaA mi hija, Yemitsu
A mis padres: Braulio y MargaritaA mi hermana, Ins
A mis hermanos: Jos, Franck, TinoA mi sobrina, Vanesa.
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ConTEnIdo
Prlogoyagradecimientos 13Introduccin 15
Inters sIMPle
1.1.Introduccin 17 1.2.Elinterssimple 20 1.3.Perododetiempo 23 1.4.Intersexactoeintersordinario 23 1.5.Normacomercial 24 1.6.Valorpresente 24 1.7.Monto 24 1.8.Variacionesdetasas 26 1.9.Ecuacionesdevalor 28 Problemasresueltos 32 Problemaspropuestos 39
Inters CoMPuesto
2.1.Introduccin 43 2.2.Interssimpleeinterscompuesto 43 2.3.Monto 45 2.4.Valoractual 47 2.5.Montoconvariacionesdetasas 49 2.6.Ecuacionesdevalor 51 Problemasresueltos 55 Problemaspropuestos 68
DesCuento
3.1.Introduccin 73 3.2.Descuentoracional 74 3.3.Descuentobancario 76 3.4.Descuentocomercial 80
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8 Hernn B. Garrafa araGn
Problemasresueltos 83 Problemaspropuestos 90
tasas
4.1.Introduccin 93 4.2.Tasanominalytasaproporcional 94 4.3.Tasaefectiva 96 4.4.Tasasequivalentes 98 4.5.Tasaactivaypasiva 103 4.6.Tasadeinterscompensatorio 106 4.7.Tasadeintersmoratorio 107 4.8.Tasadeinterslegal 109 4.9.Tasadeinflacin 110 4.10.Tasareal 113 4.11.Tasadedevaluacin 114 4.12.Tasasconcapitalizacincontinua 118 Problemasresueltos 120 Problemaspropuestos 131
anualIDaDes
5.1.Introduccin 137 5.2.Montodeunaanualidadvencida 138 5.3.Valorpresentedeunaanualidadvencida 140 5.4.Montodeunaanualidadanticipada 143 5.5.Valorpresentedeunaanualidadanticipada 144 5.6.Anualidadesdiferidas 146 Problemasresueltos 154 Casos 167 Problemaspropuestos 172
anualIDaDes PerPetuas
6.1.Introduccin 177 6.2.Valorpresentedeunaanualidadperpetua vencida 177
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MateMtica financiera
6.3.Valorpresentedeunaanualidadperpetua anticipada 179 Problemasresueltos 181 Problemaspropuestos 194
GraDIentes
7.1.Introduccin 197 7.2.Valorpresentedeanualidadesquevaranen progresinaritmtica 197 7.3.Valorpresentedelosgradientesuniformes 198 7.4.Equivalenciasentreanualidadesuniformesy anualidadesquevaranenprogresinaritmtica 199 7.5.Valorpresenteconanualidadesenprogresin
geomtrica 203 Problemasresueltos 206
Problemaspropuestos 218
aMortIzaCIn
8.1.Introduccin 221 8.2.Fondodeamortizacin 221 8.3.CuadrodelFondodeAmortizacin 221 8.4.Amortizacin 224 8.5.CuadrodeAmortizacin 224 8.6.Valoractualneto 228 8.7.Tasainternaderetorno 231 8.8.Depreciacin 233 Problemasresueltos 237 Casos 265 Casopropuesto 276 Problemaspropuestos 277
oblIGaCIones
9.1Introduccin 281 9.2.Terminologa 282 9.3.Bonos 283
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10 Hernn B. Garrafa araGn
9.4Opcindecompra 284 9.5.Valuacindeunagraduacin 285 9.6.Larelacinentretasadeinterseinflacin 291 9.7.BonosBrady 392 BonosPar 292 BonosalDescuento 293 BonosFlirbs(FrontLoadInterestReduction Bonds) 293 BonosdeConversindeDeuda(DCBs)y NuevoDinero(NMBs) 293 BonosdeInteresesRetrasados 294 BonosdeInteresesCapitalizados 294 Problemasresueltos 295 Problemaspropuestos 300 Glosario 303 Citasbibliogrficas 313 Referenciasbibliogrficas 313 Anexo 315
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11MateMtica financiera
nDICe De tablas
tabla Descripcin Pgina
1A Tasaactivapromedioensolesydlares.Fuente:BCRP. 105
1B Tasapasivapromedioensolesydlares.Fuente:BCRP. 105
2A ndicedepreciosalconsumidordeLima.(ndicebasediciembre2000=100).Fuente:INEI. 111
2B InflacinmensualdeLima(variacin%mensual).Elaboracin:propia. 111
3A TCydevaluacinorevaluacin(nuevosol/dlar).Fuente:BCRP,SBS,ReutersyDatatec. 116
nDICe De GrFICos
Figura Descripcin Pgina
1.1 Evolucindelatasadeintersensolesydlares.Fuente:DatosdelBCR.Grfico:Elaboracinpropia. 20
1.2 RelacinentrePysuvalorfuturo. 21
1.3 Relacinvalorpresenteymonto. 25
1.4 Interssimpleconvariacionesdetasa. 27
2.1 Relacinentreinterssimpleycompuesto. 44
2.2 Capitalizacinanualversuscapitalizacintrimestral. 45
2.3 Relacinentrevaloractualymonto. 48
8.1 EvolucindelVANenfuncindelcostodecapital. 230
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Prlogo y agradecimientos
Estelibrorecogelasexperienciasquealolargodelosaosmehadadoelhaberdictandoestamateria,aunadasalasoperacionesconbancosque,comocualquierciudadano,herealizado.Adicionalmente,herecibidosugerenciaseideasdepartededocentesdeestamaterialoquemehapermitidomejorarlacalidaddeestetrabajo.
Expreso mi agradecimiento y aprecio al MBA Germn Ros,funcionariodeMiBanco,quepermitiincluirproblemasdeope-raciones financierasque segeneran, comnmente, en labancaprivadapara,deestamanera,hacermsefectivoytilestelibroparaestudiantesdelamateria.
TambinmireconocimientoalaSeccindePostgradodelaFIECSenlosprofesores:Mag.EnriqueSatoKurodayMag.UlisesHu-malaTassoporelapoyoaestapublicacin,convocandoalospro-fesoresDr.LuisNavarroHuamanyMag.JuanLamlvarezquie-nescolaboraronenlarevisindeestematerial.AlseorFreddyBartolaporlastilesideasparamejorarestaprimeraedicin.
EstelibrorecogeelesfuerzodelosestudiantesdelcursodeMa-temticaFinancieraconloscualesseresolvivariosejemplosyproblemasplanteadosenelpresentevolumen.
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Introduccin
Este libro est dirigido al estudiante universitario en elcursodeMatemticaFinancieraenlasespecialidadesdecienciaseconmicas,ingeniera,administracinyconta-bilidadenlascualessedictaestecurso.
MatemticaFinancieraestconsideradaenelcampodelama-temticaaplicadaqueestudiaelvalordeldineroenel tiempo,teniendoencuentavariosfactores,como:latasa,elcapitalyeltiempoparaobtenerunmontoointersquepermitentomarde-cisionesdeinversin.
Conesaptica,permitiralalumnoelaborarmodelosmatemti-cosencaminadosainterpretaryresolverlosproblemasfinancie-rosque,confrecuencia,sepresentanenlagestindelasempre-sas,organismosdeinversionesyentidadesdelsistemabancarioyfinanciero.
Adicionalmente,ayudaaresolverproblemasqueselepresentaacualquierciudadanoensuvidadiaria,como,porejemplo,adqui-rirunautomvil,unacasa,cualquierbienoproductoobtenidoaplazo;solicituddecrditos,contratodeplizas,acciones,obliga-ciones(bonos)uotrotipodeinversinrentable.Elconocimientodelasmatemticasfinancieras,portanto,lepermitiralalumna-doprestaroinvertirsudineroenunaformamsracional.
Lacaractersticaprincipaldeestelibroesutilizarpocasfrmu-las,inusualenlostextosdeMatemticaFinanciera,para,deestamanera,darlesimplicidadalasolucindelosproblemasycasos.Sibienesciertoqueeldesarrollodelosmismosestrealizadoen
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Excel,sehaceutilizandolasoperacionescomunes,potenciacin,radicacinylogaritmo.
A lo largo del libro se plantea y resuelve problemas prcticosparaasilustrarmejorlasfrmulasdesarrolladasenlateora.
Tambin, en este tomo, se ha recogido problemas al nivel demaestraeneconoma,administracinycontabilidadloscualeshan sido resueltos tratando siempre de que la solucin de losmismosseasimple.
Sepresentacasosrealesdeproblemasdeamortizacindenuestrabancanacionalydeprestamistasinformales.Puedesuceder,porejemplo,quelafrmulaaplicadaparadeterminarelmontodelpagoperidicoeslamismadesarrolladaenlateoraexistiendopequeas diferencias con respecto a cmo lo obtiene el bancoconrespectoaestateora.Esporelloquesemuestraeldesarrollodeestetipodeproblemasyculesladiferenciaconrespectoalateoramostradaenellibro.
Los temas financieros ocupan una posicin muy relevante ennuestrasociedad.Sepuedeobservarinformacinfinancieraenlosdiarios,revistas,televisin,etc.yesqueparatomarunadecisin,de ndole financiera, se debe estar informado y asesorado poruna persona con conocimientos en finanzas. Es esta crecientenecesidad de conocimientos de temas financieros lo que haceposible la edicin de libros de matemticas financieras comouninicionecesarioparaingresarenelimportantemundodelasfinanzas.
MatemticaFinancieraeselcursoinicialbsicoparalassiguientesmaterias:AnlisisFinancierooAdministracindeInversionesyIngeniera Financiera; su aplicacin se orienta a personas quetienen como funcin tomardecisionesde financiamiento; paraello deben tener y procesar informacin para, de estamanera,estarencondicionestomarunadecisinadecuada.
Finalmente,deboprecisar, con respectoal libro,que resultaraabsurdoreclamaroriginalidadporqueexistemuchomateriales-critoacercadeestostemas,porloquemeremitoalenunciadodeAdamSchaff(HistoriayVerdad):Lanicaoriginalidadquepuedepretenderelautorresideenlamaneraenquedispongaenunconjuntoloselementosyaconocidosyenelusoenquehagadeeseconjuntoensusrazonamientos.
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Captulo
InTErs sIMPlE
1.1. Introduccin
Antesdedesarrollarestetema,explicarelconceptodeinters,debidoasuimportanciaenloscaptulosposteriores.Elinterseselprecioapagarporelusodedineroquenoesnuestro,esdecir,losprstamosquegeneralmentenosbrindan:unamigo,laempresadondelaboramos,unainstitucinbancaria,etc.Por este prstamo, solicitamos un tiempodeterminadopara su devolucin.Determinarestepreciosignificasaberculeslacuantadelprstamo?yporcuntotiemposelevaausar?Alvalordeeseprecio,cuandoseexpresaporunidaddecapitalyunidaddetiempo,selellamatasadeinters(magnitudindependientedelaunidadmonetariautilizadaparaelprstamo),elcualde-pendedelaunidaddetiempo.Estenivelestardeterminadoporlaofertaylademandadedineroenlaeconoma(ofertaodemandamonetaria)ystas,asuvez,dependendelapolticamonetariayfiscal;cuandoexisteescasezdedine-roenlaeconomasuniveldeprecioaumentarycuandoexisteabundanciadedinero,suniveldepreciodisminuir.Adicionalmente,paraesteniveltambininfluyenlasexpectativasdelosagenteseconmicossobreelcomportamientofuturodelaactividadeconmica.Todosestosfactoresdeterminanesteniveldeprecio.
AcontinuacinseexplicarelconceptoDinero,OfertaMonetaria,InversinyCrdito,antesdeiniciareltemadeinterssimple.
Dinero. Se conoce comnmentepor aquello quepuede ser utilizado comomediodeintercambio,detalformaqueporunacantidaddeesteelementosepuedeobtenerciertosbienesoservicios(Ayres,Jr.Frank).
Desde este puntodevista, son llamadosdinero: lasmonedasdemetal, lasmonedasdepapel(billetes),loschequesylastarjetasdecrdito(engeneral,llamadodineroplsticoodinerodeplsticoesunatarjetadeplsticoconunabandamagntica)Visa,MasterCard,etc., todasellaspuedenserutilizadascomomediodeintercambioparaobtenerproductososervicios.
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18 Hernn B. Garrafa araGn
oferta monetaria.Existenvariasposiblesdefiniciones,lamsrestringidaeslaqueexpresaqueestnconstituidosexclusivamenteporlosbilletesymo-nedasencirculacinmslosdepsitosalavistaoencuentacorrientequesehallanenelsistemabancario.Tambin,esllamadaofertamonetariabsicaocirculante.
Elbienestardeloshabitantesdeunpasestrelacionadoporlaofertamone-taria(Ayres,Jr.Frank).
Siexistepocodineroenunaeconoma,aparecelarecesin(existenciadebie-nesyserviciosdondeparadjicamenteloshabitantesengeneralnotienenlacapacidaddecompra).Elcasoopuesto,escuandoexisteexcedentededineroenlaeconoma,entoncesaparecelainflacin(escasezdeciertosbienesyser-vicios,locualconllevaalincrementoconstantedelosprecios).Enestecaso,unproductopuedetenerunprecioenlamaanayotromayorporlatarde.Tantolarecesincomolainflacinsonnocivasparalaeconomadeunpas.Porello,elBCRP1eslainstitucinquedebeproporcionaranuestropasunaofertamonetariadeacuerdoalasnecesidades;enesecontexto,stadebeserindependientedelmanejopolticodelgobierno.
Inversin.Eslaoperacindecolocarcapitalesenentidadesfinancieras(di-neroquesetransformaencapitalcuandoconlproducimosriqueza)conlafinalidaddeobtenerganancias,traducidasenbeneficioseconmicosporde-positareninstitucionesquepaganuninters,trabajandosucapital.Alrealizarestaaccin,seestinvirtiendosucapital.Porlogeneral,inviertenlaspersonasnaturales, empresas, instituciones y el gobierno.Al hacer estas inversionesbuscan:
1. no tener prdida de capital. Esimportantesaberdeunainstitucinseriaenlaquepuedacolocarsucapital,nodejndosellevarporlapropagandaacercadealtastasasdeinters,comofueCLAE(bancoinformal)enelcualmuchaspersonasnaturalesyjurdicasperdieroncompletamentesucapital.
2. Proteccin a las inversiones. Lasempresasalvenirainvertirlohacenenunmarcojurdicoynosepuedecambiarsteporqueunadelaspartesasloquiere.Alrespetarestascondiciones,estamosmostrandoseguridadenlainversin.Adicionalmente,mostramosseriedad,detalmaneraqueotras empresas extranjeras podran traer futuras inversiones. Para queestosuceda,sedebetenerunPoderJudicialautnomoynodependientedelgobiernodeturno.
BancoCentraldelaReservadelPer.
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1MateMtica financiera
3. beneficios a corto plazo. Todaempresatrataderecuperarsuinversinenelmenortiempoposible;ejemplodeellosetieneaempresasqueencortotiemporecuperaronsuinversincomo:TelefnicayLuzdelSur.
4. Incrementar el valor de la inversin. Esto tambinpuedesucederdeformacasual;porejemplo,eltenerunacasadestinadaparaviviendaenunazonaurbanayenunmomentodeterminadoconstruyenfrenteaellaunaUniversidadounHospital, automticamentepasaa servalorizadaesacasacomounprediocomercial,loqueimplicaunaumentodelvalormonetariodelapropiedad.
5. Ventajas fiscales. Son medidas que adopta un ente para propiciar eldesarrollo de una zona determinada (frontera), y el sector productivo(exportaciones).Generalmente,elgobiernopropiciaestetipodeaccionescon la finalidad de atraer inversiones a zonas pobres como son las defronterayquepuedenconsistirennocobrarimpuestosalasempresasqueinviertanenesosmbitos.
Crdito.Cuandosecompraunacasasepuedehacerdedosformas:condine-ropropio,esdecir,pagaralcontadooalnocontarconeldinerosuficienteparacancelarelvalordelacasasepuedehacerentregadeunpagoinicialprevioacuerdodecancelarperidicamenteladiferenciaporuntiempodeterminado.Loquesehaceesadquirirunprstamo.Estaoperacinesconocidacomoob-tencindeuncrditoydeestamanerasecancelaelvalordelacasa.Cuandoalvalordeesteprstamoseleaplicaunfactorllamadotasadeinters(preciodelprstamoenelmercadofinancieroexpresadoenporcentaje)seestobtenien-doelintersocosto del crditoquesepagaporelvalordelprstamo.
EstatasadeintersesfijadaporelBancoCentraldecadapasalosotrosban-cosystos,asuvez,lafijanalaspersonasporlosprstamosodepsitos.ElBCRPeselentequeregulalatasadeintersparaprstamosodepsitos.Unadeestetipoeslatasadeintersactivapromedioennuevossoles(TAMN)ylatasadeintersactivapromedioendlaresoTAMEX.Laevolucindeestatasadeintersennuestropas,expresadoenporcentajeentrelosaos1997y2006.
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20 Hernn B. Garrafa araGn
Figura 1.1.Evolucindelatasadeintersennuevossolesydlares.
Sepuedeapreciarqueestatasaestreducindosetantoennuevossolescomoendlares.
1.2. el inters simple
Tambinllamadorgimendecapitalizacinsimpleenelquelosinteresespro-ducidosaltrminodelperiododecapitalizacinofechaquesedaporfina-lizadalaoperacinseretiranestosintereses(nosereinvierte),quedando,deestaforma,elcapitalinicialconstantehastalafechaenquesehayaconvenidosureembolso.Sedenominacapital inicialoprincipalalacantidaddedineroquerecibimoscomoprstamoodepositamosaliniciodeunaoperacin,sien-doelprecioquesepagaporelusodeestedinerointerselcualdependedelossiguientesfactores:
Elriesgo queconllevalaoperacin,implicarlamayoromenortasadeinters.Laseguridad,solvencia,respaldoogarantaquepuedepresentarelsolicitantedelprstamoparalacancelacindelmismopermitirobte-nerelprstamoencondicionesmsconvenientes.Ejemplo,elfinparaelquesevaausarestedinero;noeslomismoutilizarunprstamoparalacompradeunacasaqueparalacompradeunauto;noeslomismopres-taraempresasquesonconsideradasimportantesqueaotrasquenosonconsideradascomotales.
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21MateMtica financiera
A mayor periodo de tiempo, habr un mayor pago por concepto deinters.
Delmercado, puede en determinadomomento existir una gran ofertamonetaria,entonceslatasadeinterstiendeabajar,comopuedesucederel caso contrario. Ejemplo, cuando la situacin econmica, social ypolticadeunpaspresentacaos,elriesgopas2(indicadordeconfianzaen la economadeunpas) tiende a subir automticamente, por tanto,la tasade inters sube, loque implica elmayorpagopor conceptodeinters.
Entonces,elinters(I)dependedecmoevolucionanestosfactores.Parade-terminarelinterssimple,lodefiniremoscomoelproductodelcapitalinicial(P),tasadeinters(r)yelperiododetiempo(n).
I=Prn(1)
Donde:
I Interspagadoporelprstamoocrdito.
P Capitalinicialoprincipal.
r Tasadeinterssimpleporunidaddetiempo.
n Periodo de tiempo, expresado en lasmismas unidades que la tasa deinters.
EsteintersserelacionaconP deacuerdoalasiguientegrfica:
Figura 1.2. RelacinentrePysuvalorfuturo.
ejemplo 1.UnapersonaconcediunprstamoaunamigoporS/.35000comprometindose ste a devolverlo dentro de un ao. Por elmencionadoprstamo le cobruna tasade inters simpledel 12%anual. Cul ser elintersquedeberpagaresteamigoporelprstamo?
solucin: En este caso, se tiene comodatosP, n y r, de la frmula (1) setiene:
ElPertieneunbajoriesgopasenrelacinaotrospasesdeAmricaLatina.
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22 Hernn B. Garrafa araGn
P=35000soles
r=12%anualcomoI=Prn
n=1aoentoncesI=35000x12%x1=4200soles
ElintersapagarserdeS/.4200.
ejemplo 2. Desarrolleelejemploanterior,considerandounatasadeintersdel12%semestral.
solucin:Comoryn tienenqueserexpresadosenunidadeshomogneas,entonces:
P=35000soles
r=12%semestral De(1)setieneque:
n=2semestres I=35000x12%x2=8400soles
EnestecasoelintersapagarserdeS/.8400.
ejemplo 3.Unaparejadeesposossolicitaunprstamoaunapersonaporunmontode$23000paracomprarunauto.Estapersonacobraunatasadein-terssimpleparaprstamosdel24%anual,silospagosmensualesarealizarsernde$520,qupartedelprimerpagosedestinaalpagodeintersyasaldarelprstamo?
solucin:Setienequecalcularelintersquesepagaporelprimermes,lain-formacindelatasadeintersesanual,comosenecesitamensual,porlotantosedivideentre12(nmerodemesesquetieneelao).Lapartequeamortizaladeudaesladiferenciaentreloquesepagamensualmenteyelinters.
P=23000dlares
r=2%mensual
n=1mes I=23000x2%x1=460dlares
Paraelpagodeintersdestin$460yparasaldarladeuda$60($520-$460).
ejemplo 4. UnseorsolicitunprstamodeS/.800paraliquidarloentresmesesypagporelloS/.120porconceptodeinters.Culeslatasadein-terstrimestralyanual?
solucin: Enestecaso,elperiodoes1trimestre,resumiendolosdatos:
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23MateMtica financiera
P=800solescomo r=I/Pn P=800solescomor=I/Pn
n=1trim. r=120/800 n=3/12aos r=120/(800x3/12)
I=120soles r=0.15trim.I=120soles r=0.60anual
Latasadeintersesde15%trimestralo60%anual.
1.3. Perodo de tiempo
Bsicamente,setienedosformasdecuantificarelnmerodedascompren-didosentredosfechas.Tiempoexactoqueincluyetodoslosdas,exceptoelprimero.Laotrasereltiempoaproximado,elcualconsisteenconsiderar,porejemplo,quetodoslosmesestienen30das.
ejemplo 1.Calculareltiempoexactoyaproximadoentreel4deabrilyel28deagosto.
solucin: Serealizarestaoperacinmesamesydeestaformasedetermi-narelnmerodedasquetienecadames.
Mes t. exacto t. aproximado
AbrilMayoJunioJulioAgosto
26das(30-4)31303128
Vemosqueelnmerodemesesdel4deabrilal4deagosto,resultando4x30das,luegoleadicionamos24das(28ago-4ago)
total 146 das 144 das
1.4. Inters exacto e inters ordinario
Comnmentenosenfrentaremosantelasituacindequenecesitamosexpresarlosplazosqueestnendasaaosoviceversa,cuandoestosucedeyutiliza-mosundivisorde360selellamarinters ordinario anual.Ysiutilizamosundivisorde365366selellamarinters exacto anual.Desimilarformasepuedeobtenerelintersordinariooexactosemestral.
ejemplo 1.Calcularelintersexactoeintersordinariodeunprstamode$500a90das,silatasaesde18%anual.
solucin: SetieneP=500yr=18%anualdelafrmulasepuedeobtener:
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24 Hernn B. Garrafa araGn
Intersordinario=500x0.18x90/360=$22,50
Intersexacto=500x0.18x90/365=$22,19
Elhechodeusar365366dependersielaoesbisiestoono.
1.5. norma comercial
Deloanteriorsepuedeconcluirqueexistendosformasdecalculareltiempo(exactoyaproximado)ydostiposdeinters(exactoyordinario),estogeneracuatroformasparacalcularelinterssimple.
1. Tiempoexactointersordinario.
2. Tiempoexactointersexacto.
3. Tiempoaproximadointersordinario.
4. Tiempoaproximadointersexacto.
Delascuatroformas,eldeusomsfrecuenteeslaforma1,tiempoexactointersordinario,queestambinconocidocomonormabancaria.
1.6. Valor presente
Enel casode inters simple, tambines llamadocapital inicialy es aque-llacantidaddedineroqueestinvolucradaenunprstamoodepsitoenelmomentoinicialdelaoperacin,llamadomomentocero,yseobtienedeladefinicindeinterssimple:
P=I/(rn) (2)
DondelasvariablesP,I,rynsonlasmismasdefinidasanteriormente.
1.7. Monto
Cuandoalvalorpresente leadicionamosel inters,aestaexpresinsede-nominamonto(M)otambinvalorobtenidoalfinaldelaoperacinyserexpresadopor:
M=P+I
M=P(1+rn) (3)
DondelasvariablesM,P,I,rynsonlasmismasdefinidasanteriormente.Enlasiguientefigurasemuestralarelacinentrevalorpresenteymonto.
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25MateMtica financiera
Figura 1.3. Relacinvalorpresenteymonto.
Comoseobserva,elvalorpresentePpuedeser llevadodesdeelperiodo0hastaelperiodon;deigualmanera,elmontoMpuedeserregresadodesdeelperiodonhastaelperiodo0 medianteesasrelaciones.
ejemplo 1. SetieneuncapitaldeS/.1500,queseencuentradepositadopor5trimestresaunatasade60%anual.Determinarelmontogeneradoalfinaldelplazomencionado.
solucin: Comonestexpresadoentrimestres,rtienequeestarexpresadoenlamismaunidad.Estosignificaquelatasaanualtienequeestarexpresadaentasatrimestral.Oenestecasocomolatasaestexpresadaanualmentesepuedeexpresarnenaos(5/4)yluegoaplicarlafrmula(3),obtenindose:
P=1500soles r=60%anual
n=5/4aos LuegoM=P(1+rn)=1500(1+60%x5/4)=2625
ElmontoserdeS/.2625.
ejemplo 2. Resolverelproblemaanteriorconsiderandounatasade60%se-mestral.
solucin:Comonyrtienenqueserexpresadosenunidadeshomogneas,enestecasolatasaestexpresadaenformasemestral,luegonqueestdadoentrimestres,tienequeserexpresadoensemestres.
P=1500soles
n=5/2semestres. Luego
r=60%semestral M=P(1+rn)=
1500(1+60%x5/2)=3750
ElmontoseradeS/.3750.
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26 Hernn B. Garrafa araGn
ejemplo 3.Unaempresaprev lanecesidaddeS/.50000parafinalesdeltercerao,Culeselcapitalinicialadepositareldadehoyparaobteneresemontosisesabequelatasaapagarporeldepsitoesde10%anual?
solucin: Enestecaso,laincgnitaeselcapitalinicialovalorpresentedelafrmula(3),despejandoPsetiene:
M=50000soles
n=3aos.Luego
r=10%anualP=M/(1+rn)=
50000/(1+10%x3)=38461,54
ElcapitalinicialadepositareldadehoyseraS/.38461.54.
ejemplo 4.Una inmobiliaria tienecomometaganarun inters simplede$100000enunperiododedosaosymedio.Culdebeserelcapitalinicialadepositar,sabiendoquepuedeobtenerunatasade1%trimestral?
solucin:Enestecaso,setienecomodatoelintersquedeseaobtenerlain-mobiliaria,expresandonentrimestresdetalmaneraqueseahomogneoconr,yaplicandolafrmula(2)setiene:
I=100000dlares
n=2.5x4trimestres. Luego
r=1%trimestral P=I/(rn)=
100000/(1%x10)=1000000
Elcapitalinicialadepositarserade$1000000.
1.8. Variaciones de tasas
Enunhorizontedetiempo[0,n]conperiodos[ni,ni+1]puedesucedervariacio-nesdetasa.Esdecir,seinicialaoperacineneltiempo0aunatasadetermi-nadadeinterssimpleparaunperiododeterminado;paraelsiguienteperiodoestatasapuedecambiar.Laaccinpuedesucederhastallegaraltiempon.UnejemplodeestetipodetasaeslaLibor3,queeslatasadereferenciaquesenegocianloseurodlares.Sepuedecalcularelinterstotalcuandoseproduceestetipodesituacionescomosemuestraenlasiguientefigura:
SigladelaLondonInterBankOfferRate.
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27MateMtica financiera
Figura 1.4. Interssimpleconvariacionesdetasas.
SeaI1elintersgeneradoporlatasar1yelperiododetiempon1;aplicandolafrmula(1)setienequeI1=Pr1n1,deigualmaneraI2=Pr2n2yas,su-cesivamente,secalculaIq=Prqnq,elinterstotalserigualalasumadelosinteresesparciales
I1+I2+I3++Iq.
I=Pr1n1+Pr2n2++Prqnq
I=P=
q
i 1
i i nr (4)
Parahallarelmontosepuedeaplicarlafrmula(3),entonces
M=P(1+=
q
i 1
i i nr ) (5)
ejemplo 1.UnaseorarealizaunprstamodeS/.2000aunfamiliar,conlafinalidaddequeselosdevuelvadentrodeunao,ofrecindoleunatasade1%mensualdurantelosprimeroscuatromeses,ylosmesesrestantesaunatasade1,5%mensual.Culseralacantidadqueobtendraalfinalizarelao?
solucin: Se aplica directamente la frmula (5) a la informacin delejemplo1.
Capitalinicial=2000soles n1=4meses
r1=1%mensual n2=8meses
r2=1.5%mensualluego M=2000(1+1%x4+1.5%x8)
LacantidadqueobtendraalfinalizarelaoseradeS/.2320.
ejemplo 2.Enelejemploanterior,sielfamiliardesearapagarenvezder1yr2unatasanicar, Cultendraqueserestatasaparaqueestaseoranoseperjudique?
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28 Hernn B. Garrafa araGn
solucin:Paraqueestaseoranoseperjudique,alfinaldelaotendraquere-cibirigualmonto,utilizandoestatasar queenelcasoanteriorcuandoseutilizr1yr2,plantendoselasiguienteecuacin:
2320=2000(1+r x 12) r=1,33%
Latasanicasera1,33%mensual.
1.9. ecuaciones de valor
Muchasvecesnosencontramosconeldilemadecomparardiferentescapita-les.Porejemplo,S/.100dehoyesigual,mayoromenoraS/.100dentrodeunao,sifueraladevolucindeunprstamoodonacinQuprefiere?recibirhoyodentrodeunao.Haceresteanlisissignificadeterminarelvalordeldineroeneltiempo,ylarespuestaaestainterrogantedependerdediferentesfactores;porejemplo,latasadeintersinvolucradaenestaoperacin.Deahlaimportanciadeestetemaelcualpermitecompararcapitalesendiferentesmomentosdeltiempo,losotrosfactoresatenerencuentasonlossiguientes:
La inflacin,puestoquedentrodeunaoelpoderadquisitivode esedinerosermenor.Porejemplo,siconS/.100aliniciodeaosecompra10unidades,luegodetranscurrido1aopuedeserquesecompreslo8unidades.
El costo de oportunidad, los usos alternativos del dinero implicanexistenciadealternativas rentables, estedinerohoypuedegenerarunautilidad.
Elriesgoquesignifica la incertidumbrede loquepuedesucedereneltranscursodeunperiododetiempo.
Porlotanto,silaopcinfuerarecibirlosdentrodeunperiododetiempo,sepodraaceptarsolamentesiseentregaraunacantidadadicionalquecompen-saralosfactoresanteriormentemencionados,debidoaqueeldinerotienelacapacidaddeproducirmsdinero,generandoriqueza.
Tomandoencuentaelfactortasadeinters,analizaremoselsaldarunadeu-daqueestcompuestapordosdeudas;laprimera,porS/.200eldadehoyylasegundaporS/.112,quesetendrquepagardentrodeunaoaunatasadel12%anual.Parapoderobtenerelvalordeestadeuda,senecesitasaberculeselvalorpresentedelosS/.112.EllosignificatrasladarlosS/.112aldadehoy,ysepuedeobtenerdespejandoPenlafrmula(3),luegoP=112/(1+12%x1),entoncesP=S/.100.Parasaldarestadeudahoy,setendraquepagarS/.300(S/.200+S/.100).
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2MateMtica financiera
Sepodraanalizarelejemploanteriorinteresadoensaberculseraelvalordedeudasisepagaracuandovencelasegundadeuda(dentrodeunao).Paraello,necesitamossaberculserelvalordelaprimeradeudaS/.200,dentrodeunao,ohallarelmonto(llamadotambinvalorfuturo)deestadeuda.Aplicandodirectamentelafrmula(3)setieneM=200(1+12%),luegoM=S/.224.Entonces,elvalordeladeudadentrodeunaoseralacantidaddeS/.224+S/.112=S/.336.
Finalmente,sepuedeafirmarque:
S/.200eldadehoyyS/.112dentrodeunao,esequivalentea:
S/.300eldadehoyy
S/.336dentrodeunao
Entonces,parapodercompararcapitalesqueestnendiferentestiemposesnecesariollevaratodosellosaunamismafecha.Astaseledenominafecha focalofecha de comparacin.Alllevarestoscapitalesaesafecha,seformaunaecuacinystaesllamadaecuacindevalor.
ejemplo 1.ElhospitalMaraAuxiliadoradeseaadquirirmaterialquirrgicoparapoderbrindarunmejorservicioycuentaparaellocondospropuestasquedebenseranalizadasporeldepartamentodelogstica,acargodelaseoraJessicaAricoche:
PropuestaA:
Cuotainicial$20000,00y2cuotasmensualesde$15000cadauna.
PropuestaB:
Cuotainicial$12554,11y2cuotasmensualesde$19000cadauna.
Sielcostodeldineroesel5%deinterssimplemensual,culeslamejoroferta?
solucin: Enestecaso,loquesetienequecompararesculdelosproveedo-restieneelmenorvalorpresente,siendoelmenorelmsconvenienteparaelhospital;delainformacinsetiene:
ProveedorA ProveedorB
Cuotainicial=$20000 Cuotainicial=$12554,11
Cuotamensual=$15000 Cuotamensual=$19000
Nmerodecuotas=2 Tasa=5%mensual
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30 Hernn B. Garrafa araGn
Comosetienequeobtenerelvalorpresente(VP)delosproveedores,consi-deramoselmomento0comolafechafocal;ellosignificallevarlascuotasmensualesaesteperiodo.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene:
Diagrama de flujo para la propuesta a
Unavezquelascuotasmensualeshansidotrasladadasalafechafocal0seprocederacalcularelvalorpresentedelapropuestaA,queeslasumadetodasestascantidades.
VPpropuestaA=20000+15000/(1+5%)+15000/(1+5%x2)=$47922,08
Diagrama de flujo para la propuesta b
DeigualmaneraseprocederparalapropuestaBVPpropuestaB=12554,11+19000/(1+5%)+19000/(1+5%x2)=$47922,08
Conestaptica(fechafocalenelorigen),lasdoscantidadessoniguales,porello la seora JessicaAricochepuede afirmar que es indiferente aceptar laofertadelproveedorAoB.
ejemplo 2.Unpadredefamiliacolocasucapitalmedianteprstamosainterssimple.Elprimeroysegundoprstamosde$7500y$2800,respectivamente;realizaelsegundoprstamo7mesesdespusdelprimero.Latasaqueofrecen
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31MateMtica financiera
pagarleesdel2%pormes,culeselmontogeneradoporestosprstamossiambaspartesdecidenmantenerestaoperacinporunaomsdespusdelltimoprstamo?
solucin:Enestecaso,sepidecalcularelmontogeneradoporestosdosprs-tamos;paraelprimerprstamoelnmerodeperiodoses19meses(7+12),paraelsegundoprstamoserde12mesesylatasadel2%mensual.Consi-derandolafechafocalalfinaldelao,setiene:
1erdepsito=7500dlares 2dodepsito=2800dlares
Periodos=19meses Periodos=12Meses
M = 7500 (1 + 2% x 19) + 2800 (1 + 2% x 12) M = 13 822 dlares
Elmontogeneradoporestosdosprstamosserade$13822.Elsiguientediagramadetiempovisualizaeldesarrollodeesteejemplo.
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32 Hernn B. Garrafa araGn
ProbleMas resueltos
1. SedepositaS/.3500por19meses,aunatasade12%anual.Culserelmontogeneradoporestaoperacin?
solucin:
P=3500soles
n=19meses
r=12%/12 EntoncesM=3500(1+1%x19)=4165
ElmontogeneradoseradeS/.4165.
2. Uninversionistacolocsucapitalde$30000comoprstamoaunaen-tidadcomercialpor5aosyainterssimple.Sesabequeduranteestelapsodetiempolatasadeinterstuvolassiguientesvariaciones:
0,5%quincenaldurantelosprimeros7meses.
2,5%semestralporlos5mesesconsecutivos.
1,2%mensualporlossiguientes4trimestres.
6%anualporlossiguientes5semestres.
0,016%diarioporlossiguientes4meses.
1,5%bimestralporlos2ltimosmeses.
a) Elinversionistadeseaconocerelintersgeneradoporsucapital.
b) Culeslatasaacumulada(tasatotaleneltiempoqueduralaoperacin)ylatasanicaanualdeestaoperacin?
solucin: (Ver Anexo pgina I).Como en esta operacin se producenvariacionesde tasas,se tienequeaplicar la frmula(4),peroparaellola tasa y los periodos de tiempo tienen que ser homogneos, es decir,expresadoenlasmismasunidades.
P=30000dlares
n1=7x2quincenas r1=0,5%
n2=5/6semestres r2=2,5%
n3=4x3meses r3=1,2%
n4=5/2aos r4=6%
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33MateMtica financiera
n5=4x30das r5=0,016%
n6=1bimestre r6=1,5%
30000(0.5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120+1,5%x1)
I=$12571
a) Elinversionistarecibirporsucapitalunintersde$12571alfinaldeloscincoaos.
Latasaacumuladaenestos5aos,esigual:
0,5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120+1,5%x1=0,4190
LatasanicaconvierteP=$30000enunperiodode5aosenunmontoM=$42571($30000+$12571),de la frmula (3)setiene:
42 571 = 30 000 (1 + r x 5) r = 8,3806%
b) Latasaacumuladaenlos5aoses41,9%ylatasanicaes8,381%anual.
3. Unapersonainvierte$50000aunatasadel12%deinterssimpleanual;alcabode3aosinviertelautilidadaunatasadel3%deinterssimplemensual.Siluegodetranscurridountiemponlautilidaddelasegundainversinesel75%delautilidaddelaprimera(enlostresaos),ycomonovaharetirarlainversininicial,entonces,acuntoasciendeelmontototal?
solucin: En este caso, se tiene que analizar el inters que genera lautilidadparaalfinalpoderobtenerelmonto.
P=50000dlaresr=0,12anual
Deacuerdoalafrmula(1),elinterssimpleI3aosparalosprimeros3aosaestatasaser:
I3aos=50000x12%x3=18000
ConformeelenunciadodelproblemaennmesesmselinterssimpleI2generadoporunatasadel3%mensualesigualal75%deI3aos(utilidaddelaprimera),entonceselinterssimplegeneradoporestautilidadser:
I2=75%x18000=18000x3%xn
Elcualdacomorespuestaqueeltiempotranscurridoesn=25meses.
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34 Hernn B. Garrafa araGn
Adicionalmente,setienequeelcapitalinicialgenera,durante25meses,aunatasadel1%mensual(12%/12),uninterssimpleI3:
I3=50000x1%x25=12500
Entonces,elinterssimpleIgeneradoenestaoperacinser:
I=I3aos+I2+I3=18000+13500+12500=44000
SetienequeM=P+I=50000+44000.
Elmontototalasciendea$94000.
4. LaempresamineraBuenaventuratieneensuplandestinar$9000000aunainversindelaqueesperauningresode$5200000en6mesesyde$6300000dentrodeunao.Considerandoelorigencomopuntofocalyqueestaoperacinesrealizadaainterssimple,determinar:
a) Latasadeintersquehaceindiferentelainversin.
b) Lanuevatasadeinterssialcabodeloctavomesadiciona$500000alainversin.
solucin: Enunaoperacinenlaqueestninvolucradosegresoseingresosloquebuscatodoinversionistaesobtenerutilidades.Elloimplicaquelosegresosseanmenoresalosingresos;enelmomentoquestosseaniguales,sedicequeesindiferentelainversin,enelsentidoquenoexistenprdidasogananciasenlainversin.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene:
Considerandocomopuntofocalelorigen,sumaremoslosingresosylosigualaremosalosegresos(lainversinrealizada)enestepunto,luego:
9000000=5200000/(1+rx6)+6300000/(1+rx12)
Considerandoarlatasadeinterssimplemensual.
a) Aplicandolainterpolacin,setienequeresiguala3,06212742%mensual.
b) es similar al caso anterior; se adiciona una nueva inversin a lainversininicial;entoncesse tienequehallarelvalor totaldeesta
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35MateMtica financiera
inversin,locualsignificasumarestasdosinversionesenelpuntofocal,elorigen.Eldiagramadeflujoparaestecasoserdelasiguienteforma:
9000000+500000/(1+r1x8)=5200000/(1+r1x6)
+6300000/(1+r1x12)
Lanuevatasadeinterssimpler1es2,4260252%mensual.
5. Unafbricatienedosdeudasconunprestamista.Laprimeraesporunmontode$1350convencimientodentrode28dasylasiguientedeudaesde$5400quevenceralos42das.Lafbricadeseacancelareltotalde sus deudasmediante dos pagos de igualmonto dentro de 35 y 70das,respectivamente.Culserelmontodelospagosaefectuarporlafbricasielprestamistaaceptestaformadepagoyestandodeacuerdoambos en aplicar una tasa de inters simplemensual del 8% para lasoperacionesrealizadasdentrodelos42primerosdasyde7%mensualparalasoperacionesposteriores?Considerarcomofechafocalelda70.
solucin:Alconsiderarcomofecha focalelda70, significa trasladarfuturasdeudasypagosaesafecha,teniendoencuentalavariacindetasaqueserealizaelda42.Eldiagramadeflujoserelsiguiente:
ElmontodelospagosparacubrirladeudaserelvalordeXenelda70,adicionandoelvalordeXenelda35,perollevadoalda70,elcuales:
X+X(1+8%x7/30+7%x28/30)=2,084xX
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36 Hernn B. Garrafa araGn
Elvalordeladeudaserlasumadelasdosdeudasllevadasalda70,elcuales:
1350(1+8%x14/30+7%x28/30)+5400(1+7%x28/30)=7241,31
Elmontodelospagosdebeserigualalvalordeladeuda,elloimplicaque
2,084 x X = 7241,31 X = 3474,72
Elmontodelospagosarealizarserde$3474,72elda35yelmismomontoelda70.
6. Enelproblemaanterior,culserelmontodepagosalaplicarunatasadeinterssimplemensualdel8%paralasoperacionesrealizadasdentrodelos50primerosdas,yde7%mensualparalasoperacionesposteriores?Considerarcomofechafocalelda70.
solucin:Enestecaso,cambialafechaparalavariacindetasadelda42alda50,entoncesahoracalcularemosnuevamenteelmontodelospagoselda70.
X+X(1+8%x15/30+7%x20/30)=2,087xX
Elnuevovalordeladeudaser:
1350(1+8%x22/30+7%x20/30)+5400(1+8%x8/30+7%x20/30)=7259,40
Comoenelcasoanterior,elvalordeestasdosecuacionestienenqueserigualesimplicandoparaelloelmontoapagarque,enestecaso,serX=$3478,95elda35y70,respectivamente.
7. Unprestamistaanalizaunatransaccincomercialllevadaconanterioridadenlaqueinvirtiuncapitalalatasadeinterssimpledel6,5%mensual,lacualseconvirtien$3600.Sihubieseinvertidoala tasadeinterssimpledel5%mensualyunaomenosqueenelcasoanterior,elintersserade$450.Obtener:
a) Loinvertidoporelprestamista.
b) Eltiempodeestaoperacinenaos.
solucin:Paraelprimercaso,setienecomodatoelmontoylatasa;enelsegundocaso,setienecomodatoelintersgeneradoenestaoperacinylatasa,entonces:
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37MateMtica financiera
1ercaso 2docaso
Monto=3600dlares Inters=450dlares
r=6.5%x12 r=5%x12
n=taos n=t-1aos
Paraelprimercaso,aplicandolafrmula(3),setiene:3600=P(1+6.5%x12xt);paraelsegundocaso,aplicandolafrmula(1),setiene:450=Px5%x12x(t-1),deestasdosecuacionessetieneque:
a) Loinvertidoporelprestamistafue$1693,82.
b) Eltiempodeestaoperacinfue1,44aos.
8. Una persona tiene hoy una deuda de S/. 23 000, comprometindose acancelartaldeudadentrode360das,aunatasadeinterssimplede1%mensual.Contandoconefectivo,dentrodelplazoprevistorealizaciertospagosdeS/.13500elda90,S/.4500elda180yS/.500elda270.Culserelpagofinalelda360?
a) Realizandolaoperacinelmismodadelpago.
b) Realizandolaoperacinteniendocomofechafocalelda360.
solucin:Ladeudaesnica,confechasfocalesdistintas;paraelcasoa)setienequellevarladeudahaciacadafechadelospagos,restandoluegoelvalordepagorealizadoenesafecha,entonces:
Paraelda90,elvalordeladeudaser:
23000(1+1%x90/30)-13500=10190
Paraelda180,elvalordeladeudaser:
10190(1+1%x90/30)-4500=5995,7
Paraelda270,elvalordeladeudaser:
5995,7(1+1%x90/30)-500=5675,57
Paraelda360,elvalordeladeudaser:
5675,57(1+1%x90/30)=5845,84
a) En este caso, el pago final ser de S/. 5845,84. En el caso b) setienequellevarestospagos,yladeudaalafechafocal(da360),ladiferenciaeslaquesetendraquepagar.
Elvalordeladeudaenlafechafocales:
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38 Hernn B. Garrafa araGn
23000(1+1%x360/30)=25760
Elvalordelospagoses:
13500(1+1%x270/30)+4500(1+1%x180/30)
+500(1+1%x90/30)=20000
b) EnestecasoelpagofinalserS/.5760.
9. Sihoyinvertimos$10000enunCertificadodeDepsito,aunatasadeintersdel3%mensualduranteseismeses.
(www.gacetafinanciera.com).
a) Cuntoserelmontofinaldelosseismeses?
b) Cuntoserelmontoalfinaldecadames?
solucin:Delainformacinsetiene:
P=10000dlares
r=3%mensual M=P(1+rn)
n=6meses M=10000(1+3%x6)=11800
a)Alcabodelosseismeses,setendra$11800.
Paraelcasob),seobtieneelsiguientecuadroresumen:
Periodo Capitalinicial Inters Capitalfinal
1 10,000 300 10,300
2 10,300 300 10,600
3 10,600 300 10,900
4 10,900 300 11,200
5 11,200 300 11,500
6 11,500 300 11,800
Como se observa, el monto al final del sextomes es el mismo valorobtenidoparaelcasoa),comoeralgicodeesperar.
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3MateMtica financiera
ProbleMas ProPuestos
1. Uninversionistacolocsucapital,deS/.150000,comoprstamoaunparticularpor6aosyainterssimple.Sesabequeduranteestelapsodetiempo,latasadeinterstuvolassiguientesvariaciones:
0,5%quincenaldurantelosprimeros6meses.
1,5%semestralporlos6mesesconsecutivos.
2%mensualporlossiguientes4trimestres.
1,5%anualporlossiguientes5semestres.
0,012%diarioporlossiguientes2meses.
1,25%bimestralporeltiemporestante.
a) Elinversionistadeseaconocerelintersgeneradoporsucapital
b) Culeselinterspromediomensual?
2. IsaacMattostieneuncapitalque,porconveniencia,lodivideen2partes.Unaparteoprimercapitalcolocadoaunaciertatasadeinterssimpledurante2/5deao.Elresto,queesmayoren$50000alprimercapital,escolocadoalamismatasadeintersdurante3/5deao.Ladiferenciaentrelosinteresesgeneradosasciendea$2250ylasumadeestosintere-seses$6250.Calcularelmontodeestoscapitalesylatasadeinters.
3. Unaempresainmobiliariaofreceunainversinqueduplicarsudineroen10aos.Qutasadeinterssimpleleestarnofreciendo?
4. Enformasimilaralproblemaanterior,supongaquelehanofrecidounainversinquetriplicarsudineroen10aos.Qutasadeinterssimpleleofrecern?
5. DoshermanostienenahorradociertocapitalquedifiereenS/.100000.Unprestamista lespagaporesecapitalel2%y6%anuales respecti-vamente,laoperacinespormedioao.Sesabe,adems,quesiestoshermanos juntaran sus capitales, les pagaran 8% por un ao y serasuperiorenS/.15000altotaldelosintereses.Culeselcapitalquetienenahorradoestoshermanos?
6. UnafamiliahalogradoreuniruncapitaldeS/.75000.Paradiversificarelriesgo,unterciodeestecapitalescolocadodurante15mesesal24%anual,mientrasquelosdosterciosrestantessoncolocadosdurante4mesesaunatasadeinters,detalmodoquealfinaldelplazoelintersgeneradoentotalasciendeaS/.17500.Culeslatasadeintersmensualalaquesecolocelsegundocapital?
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40 Hernn B. Garrafa araGn
7. Giancarlolvarez tiene dos opciones; la primera, depositar su dinero al1,2%trimestralporunperiodode2aos.UnasegundaopcinenelcasodequeincrementeelprimerdepsitoenS/.12000durante1ao,lepagaran2,6%semestralconloquesegeneraraunmontoigualaldobledelcapitaloriginal.Culeseldinerodepositadoyelmontodelaprimeraopcin?
8. Enelproblemaanterior,qupasasisegeneraraunmontoequivalentealdobledelcapitaloriginal.
9. DavidEspinozahalogradoreuniruncapitaldeS/.33000.Unapersonaleofrecepagar12%deinterssimple.Porlosriesgosqueestaoperacinrepresenta,slodecidedepositar1/3desucapital,porunlapsodetiempode8meses,yel restodelcapital logracolocarloal9%anuala interssimple,porunlapsodetiempo,detalformaquesegeneraraporestasdosoperacionesunagananciatotaldeS/.2860.Cuntotiempotendraqueestarcolocadoelsegundocapital?
10. ManuelMachucaesunprestamistayleexpresaaPedroBarrientosquesicolocasucapitalal3,5%mensualporunlapsodetiempo,legeneraunmontodeS/.2000.Finalmente, logracolocareste capital al18,5%mensualporelmismotiempo,generndoseunmontodeS/.6000.Pedroquieresaber.Culeseltiempoyelcapitalacolocar?
11. ElseorManuelCortstieneuncapitalde$12000quelogracolocarloaunatasadeinterssimpleanualdel4,2%.Pasadountiempo,leofre-cenunatasadeinterssimpleanualdel5%,considerandolamejoraenlatasa,decideretirarsucapitalyelintersgeneradoycolocarlopor6mesesmsqueenlaanterioroperacin.Alfinal,Manuellograobte-nerporlasegundaoperacin,entreelnuevocapitalyelintersgene-rado,$16000.Culfueellapsodetiempoenqueestuvocolocadoelcapitalenlaprimeraoperacin?
12. Conrelacinalproblemaanterior,cunto tiempo tendraquepasarsiparalasegundaoperacinsloretira3/4desucapital?
13. LaseoritaVanesalvareztieneuncapitaldeS/.9500.Estecapitalestuvoprestadoyhalogradogenerarunacantidad,detalformaqueaumentadaenun8%seraS/.1450.LaseoritaVanesasabequesucapitalestuvoprestadoporunaoyloquequieresaberes.Aqutasamensualestuvoprestado?
14. Conrelacinalproblemaanterior,qupasasienvezdeestaraumentadaenun8%estuvodisminuidaen4%?
15. Setieneunciertocapitalqueseplaneaprestaren2partes.Si3/7deestecapitalseprestaal7%anualyladiferenciaal9%anual,porestaoperacin
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41MateMtica financiera
segeneraun inters.Comoamayormonto seobtieneunamejor tasa,decideaumentardichocapitalenS/.27000ylepagaran10%anual.Si,finalmente,elintersaumentaenS/.4500.Culeselcapitalinicialsilaoperacinseraporunao?
16. Conrelacinalproblemaanterior,qupasasilaspartesson3/5y2/5?
17. MaraMujica tiene los capitalesdeS/. 126000yS/. 94000,queporrazones de riesgo estn colocados a distintas tasas de inters. Comofueroncolocadosaplazofijodeunao,alfinaldelmismosetienequelasumadelosinteresesgeneradosporestosdoscapitalesesunacantidaddeS/.12460.Adicionalmente,setienequeelintersgeneradoporunodeloscapitalessuperaalotroenS/.1280.Culessonlastasasdeintersconlaqueestuvieroncolocadosdichoscapitales?
18. Seprestaundeterminadomontodedineropor1aoal10%mensual.Sipasadoslos6mesessetieneuntieneentotalS/.25000.Culserlacantidaddedineroquesetendraalfinalizarelao?
19. Seprestaunacantidaddedinero,ainterssimple,desdeel05/03al28/09.Durante los primeros 3meses, le pagaron 5%mensual y el resto deltiempoa12%anual.Culeslacantidaddedineroinicialmenteprestadasi,pornecesidadel28/07,retirS/.15000?
20. UnalavadoracuestaS/.1299,segnelpreciodelista,tratandodemostraralternativasdeventaesofrecidaendosmodalidades:
a) Alcontado:conundescuentodel20%sobreelprecioenlista;
b) Financiada: 50% de anticipo y el 50% restante a los 6 meses, sininters.
Enrealidad,qutasadeintersestcobrandolacompaa?
21. Se tieneuncapitalde$9000,quees colocadoel1/3/2004por elquepagan6%anualmente,yel23/8/2005,porunapuro,retiran$3600.Culeselsaldoal24/12/2007?
22. Unainmobiliariatienelaposibilidaddecomprarunterreno,eldueodelterrenolepropone2opcionesdeventa:
a) Unacuotainicialde$7000y$33000alfinaldelsegundoao.
b) $33000decontado.
Sieldineroquenoseutiliceparaelpagopuedecolocarseaunatasadeinterssimpledel9%anual.Porculde lasopciones la inmobiliaria,finalmente,decidira?
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42 Hernn B. Garrafa araGn
23. Conrelacinalproblemaanterior,culdeberaserelpagodecontado,detalmaneraquelasdosopcionesseanindiferentes?
24. JosAragnplanificasueconoma;esporelloquerealizundepsitodeS/.23000el1/3/2003aunatasadeinterssimpledel3%semestral;el6/2/2004retirunacantidaddedinero.El8/8/2005latasadeintersvara,detalformaqueel12/11/2007lograobtenerporestaoperacinunsaldofavorableporunmontodeS/.28420,00.Encuntovarilatasadeintersparalograrestesaldo?
25. Unprestamistacoloca sudinerocon la condicinque se lodevuelvandentrode4y14mesesS/.7500yS/.15000,respectivamente.Recibelacontraofertadepartedelprestatariodecancelarladeudaconunsolopagoa los7meses,si lecobraunatasadeinterssimplemensualdel1.5%porloqueelprestamistaacepta.Culeselpagoquetendrquerealizarste?
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