1.elektrostatikaren oinarriak

1. Elektrostatikaren oinarriak

Sarrera

Elektromagnetismoa Kargaren ondorioz gertatzen diren fenomeno fisikoak aztertu.

qQunibertso=kte

Karga elektrikoa kuantizatua dago

(e=1.6·10-19C partikula

elementalen karga)

Kantitate eskalarra da: positiboa edo

negatiboa

Partikula elementalen propietate

bat da

Materiaren berezko egoera neutroa da

• 1785. urteko Coulomb-en emaitzetan oinarrituz…

Coulomb-en legea

' 2

'ˆq

qqF k r

r

(q-k q’-ren gainean egiten duen indarra)Bi kargen arteko indarra:

q'

q

r

'qF

'qF

r

• Indarra kargen biderkadurarekiko zuzenki proportzionala eta kargen arteko distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da.• Indarra aldaratzailea edo erakarlea izango da kargen zeinuaren arabera.• Newton-en 3. legea beteko da.• 9 2 21/ (4 ) 9 10 Nm Cok

o non hutsaren permitibitate elektrikoa den (o8.85x10-12 C2 N- 1 m-2)

' 21 1

ˆ'N N

iq i i

i i i

qF F kq r

r

N karga puntualez osatutako, q’ kargaren gaineko indar totala.N kargetariko bakoitzak eragiten duen indarraren batura bektoriala izango da.

' 2

'ˆq

q dqdF k r

r

' ' 2ˆ'q qsolido solido

dqF dF kq r

r

Solido kargatu baten kasuan, kargak elementu infinitesimaletan banatu, dq.

iq

ir

'qir

iF

'qdF

'qr

r

dq

Coulomb-en legea

• Orokorrean…

Solido batentzat:

Lamina batentzat:

Solido filiforme batentzat:

bolumeneko karga-dentsitatea

elementuaren bolumen infinitesimala

elementuaren azalera infinitesimala

elementuaren luzera infinitesimala

gainazal karga-dentsitatea

karga-dentsitate lineala

' ' 2ˆ'q qsolido solido

dqF dF kq r

r

'qdF

'qr

r

dq

Eremu ElektrostatikoaKarga puntual bat puntu batean kokatzen dugunean, inguruko espazioa aldatu egiten da.

Espazioko puntu bakoitzean bektore bat definitu:Eremu elektrostatikoa

(eremu bektoriala)

q

r

r

( 0)E q

( 0)E q '

2ˆ

'qF q

E k rq r

Unitateak:

N/C

r-n q’ kokatuko bagenu:

' 'qF q E

N karga puntualek sortutako eremu elektrostatikoa:

Solido kargatu batek sortutako eremu elektrostatikoa:

21 1

ˆN N

ii i

i i i

qE E k r

r

2ˆ

solido solido

dqE dE k r

r

Eremu bektoriala EREMU LERROAK (E eremu lerroen tangentea da)

Eremu elektrostatikoa

1. Eremu elektrostatikoaren kalkulua dipolo elektrikoaren ardatzean:

2. Eremu elektrikoa eraztun kargatu baten ardatzean:

ADIBIDEAK:

+q

-q

a

a

y

xPx

r

dq

x R xP

r

1/22 2 2 2 2

3/2 3/22 2 2 2

1ˆ ˆ2 2

2 ˆ

q aE k sin j kq j

r x a x a

qa pk j k

x a x a

3/22 2 2 2cosx

dq dq x xdE k k kdq

r r r x R

3/2 3/2 3/22 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆxeraztuna eraztuna eraztuna

x x QxE dE i kdq i k dqi k i

x R x R x R

integratuz…

E

E E

dE

Gauss-en Teorema. Aplikazioak.Gainazal itxi batean zeharreko eremu elektrostatikoaren fluxua:

q

rS

E

dS

q-k sortutako eremua erradiala da dS-rekiko paraleloa

gainazal bektorea

Gauss-en teorema:

- Fluxua + edo – kargaren arabera.- Gainazaletik kanpo dauden kargek ez dute fluxuaren balioan eraginik.- Gauss-en teorema bakarrik da posible E//dS denean:

-Karga banaketa esferiko bat-Plano infinitu kargatu bat-Hari luze kargatu bat

Gauss-en legea. Aplikazioak

a. Uniformeki kargatutako R erradioko eta Q karga totaleko esfera:

b. Uniformeki kargatutako hari zuzen eta infinitua ( luzera dentsitateduna):

c. Uniformeki kargatutako xafla lau eta infinitua ( gainazaleko karga-dentsitateduna):

APLIKAZIOAK:

R

r

S

r

L

S

S

A

E

dS

dS

E

E

dS

dS

dS

E

E

r R 2ˆ

QE k r

r

r R3

2 3

ˆ ˆ

4 o

Q r Q rE r k r

r R R

ˆ2 o

E rr

aldameneko aldamenekoS estalkiakgainazala gainazala

E dS E dS E dS EdS

2 barnealdamenekogainazala o o

Gaussen Q LE dS E rL

Teorema

aldamenekoS estalkiak estalkiakgainazala

E dS E dS E dS EdS

2 barne

estalkiako o

Gaussen Q AE dS E A

Teorema

( 0), ( <0)2 2o o

E i x E i x

Eremu elektrostatikoaren izaera kontserbakorra: Potentzial Elektrostatikoa

Partikularen dinamikaren gaia gogoratuz… Indar kontserbakorrak: W (lana) ibilbidearekiko menpekotasunik ez: W eta -Ep = W eta Em = ktea = Ec+Ep

Indar Elektrostatikoa KONTSERBAKORRA da. Froga dezagun…

5.1. Karga puntual bati dagokion energia potentziala

Q

q

2r

1r

r

r

dr

F

dl

q kargak dl desplazamendua jasaten badu:

2cos

QqdW F dl Fdl Fdr k dr

r

Integratuz…

22 2

11 1 1

2 21 2

1 1 1rr rr

rr r r

Qq drW dW k dr kQq kQq kQq

r r r r r

Indar kontserbakorra da, lana bakarrik hasierako eta amaierako posizioen menpekoa baita.

1 2( ) ( )p p pE E r E r

Eremu elektrostatikoaren izaera kontserbakorra: Potentzial Elektrostatikoa

Energia potentzialaren jatorria aukeratuko dugu: Ep = 0 denean, hau da: 1r ( ) 0pE

2 12 1

1 1( ) ( )p pE r E r W kQq

r r

Unitateak:

J

q karga bat infinitutik r-ra ekartzeko egin beharreko lana.

0kanp FE W

elF

kanF

0kanp FE W

elF

kanF

0kanp FE W

elF

kanF

kanF

elF

0kanp FE W - q

- Q

+ q

Hurbiltzean txikitzen da

Urruntzean handitzen da

+Q - q

+ qHurbiltzean handitzen da

Urruntzean txikitzen da

- Q

+Q

Orokortuz: karga-banaketa baten eraginpean dagoen q karga puntual baten energia potentziala

2r

1r

dq

qF

dl

Eremu elektrostatikoaren izaera kontserbakorra: Potentzial Elektrostatikoa

5.2. Potentzial elektrikoa

Elektrizitatean energia potentziala erabili beharrean ohikoagoa da karga unitateko energia potentziala erabiltzea: potentzial elektriko deritzoguna V

pEV

q Unitateak:

J/C = V (voltioa)Posizio konkretu batean kokatuko genukeen q karga batek izango luken energía potentzial elektrikoa adierazten du.

Bi punturen (r1 eta r2) arteko potentzial diferentzia:

Potentzial elektrikoaren jatorria aukeratuz…

orduan

Karga banaketa batentzat orokortuz…

2r

1r

dq

dl

E

Modu berean ere:

VqE p

Eremu elektrostatikoaren izaera kontserbakorra: Potentzial Elektrostatikoa

Q

E

V

Eremu eskalarra

Gainazal ekipotentziala: potentzial berdina

daukaten puntuen leku geometrikoa

Eremu bektoriala

Eremu lerroak: eremuaren norabidea

adierazi

Esfera zentrukideak:

V=kQ/r

Karga positibo bat askatzen badugu espazioko edozein

tokitan, potentzial txikiagoko posizioetara

mugituko da.

Energia ElektrostatikoaZein da karga banaketa baten energia? Kargak beraien artean infinituki urrun dauden posiziotik karga banaketa (kargak elkartzeko) egin beharreko lana.Izan bitez hiru karga eta suposa dezagun banan-banan hurbiltzen ditugula:

1q

2q

3q

1,2r

2,3r

1,3r

Lehenengo karga hurbiltzeko lanik ez: W1=0

Bigarren karga hurbiltzeko: 12 2 2 2 2

1,2p

qW E q V q k

r

Hirugarren karga hurbiltzeko: 1 23 3 3 1,3 3 2,3 3 3

1,3 2,3p

q qW E q V q V q k q k

r r

U energia elektrostatiko totala: U = W1 + W2 + W3

1 3 2 31 22 3

1,2 1,3 2,3p p

q q q qq qU E E k k k

r r r kargak ekarri diren

ordenaren independentea

Berridatziz…

1 3 2 3 1 3 2 31 2 1 2

1,2 1,3 2,3 1,2 1,3 2,3

1

2

q q q q q q q qq q q qU k k k k k k

r r r r r r

3 32 1 1 21 2 3

1,2 1,3 1,2 2,3 1,3 2,3

1

2

q qq q q qkq kq kq

r r r r r r

1 1 2 2 3 3

1

2q V q V q V

Energia elektrostatikoa

1 1 2 2 3 3

1

2q V q V q V U

non V1: beste kargek q1-en posizioan sortutako potentziala den V2: beste kargek q2-en posizioan sortutako potentziala den V3: beste kargek q3-en posizioan sortutako potentziala den

N karga puntualentzat orokortuz…

1

1

2

N

i ii

U qV

Karga banaketa jarraitu batentzat orokortuz…

1

2 solidoU Vdq

Dipolo elektrikoa eremu elektriko bateanDipolo elektrikoa: bi karga berdinek baina aurkako zeinukoak (q eta –q) osatzen duten sistema.

: momentu dipolarra eta

O

+q

-q

r

r

F

F

p

E eremuaren barruan sartzean bi indar agertu 1F = qE

2F = -qE

Beraz, E–k indar-momentu bat eragingo du:

2 2O

r rM r F r F r F r qE p E

F F

Dipoloa d angelua biratzen duenean Lana egingo du.

O pdW M d pEsin d dE

cospE pE p E

Beraz, dipoloa orientatzeko behar den energia, orientazio-energia: