1e mates ud01
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-
QU NECESITAS SABER?
Sumas y restas
Opera:
a) 23 + 34 + 5 c) 8 4 6 e) 5 2 4
b) 13 4 + 6 d) 5 4 + 5 f) 6 : 3 + 4Resolucin de problemas
Luis gast 13 en un libro y 20 en un CD de msica. Si tena 50 , cunto le queda?
VAMOS A CONOCER
Nmeros naturales
Nmeros romanos
Sistema de numeracin decimal
Descomposicin polinmica
Operaciones con nmerosnaturales
Suma y resta
Multiplicacin y divisin
Propiedades de las operaciones con nmeros naturales
Propiedades conmutativa y asociativa de la suma
Propiedades conmutativa y asociativa del producto
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
Propiedad fundamental de la divisin entera
Jerarqua de operaciones
Uso de parntesis
1 Ttulo1 Nmeros naturales6
-
YLa forma de contar que usamos en la actualidad se basa en el sistema
de numeracin decimal. Observa cuntos dedos tienes en las manos;
los nmeros naturales son la ampliacin de contar con nuestros 10
dedos.
-
8 Matemticas Y
1. Nmeros naturalesEl conjunto de los nmeros naturales se representa por la letra N y se corres-
ponde con el siguiente conjunto de nmeros:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, , 20, , 1.000, }
Aunque el 0 es una cifra que se usa para expresar nmeros naturales, no es
propiamente un nmero natural.
Tenemos que saber que los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no siempre se
han escrito de esta manera, de hecho la representacin que conocemos en
la actualidad proviene de la escritura rabe.
Nmeros romanos
Adems del sistema decimal, el sistema de numeracin para expresar
nmeros naturales que nos resulta ms conocido son los nmeros romanos.
Este sistema utiliza letras para representar nmeros cuya equivalencia con
el sistema decimal es la siguiente:
Las reglas prcticas para usar los nmeros romanos son las siguientes:
Los valores de las letras I, X y C se suman.
Las letras I, X y C pueden repetirse hasta tres veces seguidas.
La letra M se puede poner tantas veces como haga falta.
Las letras V, L y D slo se pueden poner una vez.
Si una letra est a la derecha de otra de mayor valor se suman sus valores.
Si una letra est a la izquierda de otra de mayor valor se restan sus valores.
Ejemplos
III = 1 + 1 + 1 = 3
VI = 5 + 1 = 6
MV = 1.000 + 5 = 1.005
DCXII = 500 + 100 + 10 + 2 = 612
CMLII = 1.000 100 + 50 + 2 = 952
MCMLIV = 1.000 + 1.000 100 + 50 + 5 1 = 1.954
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1.000
ACTIVIDADES1. Escribe en el sistema de numeracin romano las siguientes cantidades:
a) 43 b) 214 c) 132 d) 987 e) 1.343 f) 2.364
2. Escribe el valor de los siguientes nmeros romanos:
a) CII b) LIV c) CCCXXI d) MMDXLII e) MCCLIV f) XCLIV
Representacinindoarbiga
Decimal Indoarbigo
0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9
Nuestro sistema de numeracin pro-
cede del sistema de numeracin de-
sarrollado en la India y que introdu-
jeron los rabes en Europa; de ah su
nombre: sistema indoarbigo.
-
1 Nmeros naturales 9
Y
2. Sistema de numeracin decimalEl sistema de numeracin romano tiene muchos problemas. Quiz el ms im-
portante es que no se puede operar con sencillez. Por ejemplo, si quisiramos
sumar los nmeros MCCIV y CDLII, tendramos que hacer primero la corres-
pondencia con el sistema decimal, luego hacer la suma y finalmente transformar
el resultado a nmeros romanos. Comprueba si el resultado es MDCLVI.
Para resolver este problema se utiliza el sistema de numeracin decimal.
Este sistema es posicional, lo que quiere decir que cada dgito tiene un valor
en funcin de la posicin que ocupe.
La tabla de posiciones es la siguiente:
Teniendo en cuenta el valor de sus diferentes cifras, cada nmero natural
tiene una descomposicin polinmica que se realiza como indicamos en
los siguientes ejemplos:
Ejemplos
1.324 = 1 1.000 + 3 100 + 2 10 + 4 = 1.000 + 300 + 20 + 4
1 unidad de millar + 3 centenas + 2 decenas + 4 unidades
20.567 = 2 10.000 + 5 100 + 6 10 + 7 = 20.000 + 500 + 60 + 7
2 decenas de millar + 5 centenas + 6 decenas + 7 unidades
2.423 = 2 1.000 + 4 100 + 2 10 + 3 = 2.000 + 400 + 20 + 3
2 unidades de millar + 4 centenas + 2 decenas + 3 unidades
En el ltimo ejemplo tenemos dos cifras 2; en la primera
posicin por la izquierda vale 2.000, mientras que en la
posicin tercera por la izquierda tiene un valor de 20.
Vemos que el mismo dgito tiene un valor distinto
dependiendo de la posicin que ocupa.
TABLA DE POSICIONES
... Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades
de milln de millar de millar de millar
... UM Cm Dm Um C D U
... 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1
ACTIVIDADES
RECUERDAEl sistema de numeracin decimal
utiliza 10 cifras:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
!
3. Escribe la descomposicin polinmica de los siguientes nmeros:
a) 1.342 c) 10.456 e) 71.240
b) 453 d) 700.563 f) 90.305
4. Escribe el nmero que se corresponde con cada una de las siguientes descompo-siciones factoriales:
a) 6 1.000 + 6 10 + 5 c) 8 10.000 + 3 1.000 + 2 100 + 1 10 + 2
b) 5 1.000 + 4 10 d) 2 1.000.000 + 3 100.000 + 5 10 + 2
5. Para cada uno de los nmeros del ejercicio 3, indica a qu cifra corresponde cadadgito.
Antes de resolver unejercicio lee atentamente el enunciado para saberexactamente lo que se
pide.
-
10 Matemticas Y
3. Operaciones con nmeros naturales.Propiedades
3.1. Suma
Si tengo un cesto con 14 manzanas y otro cesto con 23 manzanas, al
sumar los dos cestos tendr en total 37 manzanas.
14 + 23 = 37
Se utiliza la suma de nmeros naturales cuando queremos
aadir dos o ms cantidades.
3.2. Resta
Si en el cesto en que tena 23 manzanas hay 12 con gusano, cuntas man-
zanas sanas me quedan?
23 12 = 11 manzanas sanas
Se utiliza la resta de nmeros naturales cuando a una cantidad le queremos
sustraer otra cantidad.
3.3. Operaciones con sumas y restas
Si en la misma operacin tenemos sumas y restas, las operaciones se hacen
de izquierda a derecha.
Ejemplos
4 + 5 3 + 2 4 = 9 3 + 2 4 = 6 + 2 4 = 8 4 = 4
7 2 + 3 2 5 + 8 = 5 + 3 2 5 + 8 = 8 2 5 + 8 = 6 5 + 8 =
= 1 + 8 = 9
6 3 + 4 3 4 = 3 + 4 3 4 = 7 3 4 = 4 4 = 0
7 + 8 6 3 + 2 = 15 6 3 + 2 = 9 3 + 2 = 6 + 2 = 8
Propiedad conmutativa de la suma
Si cambio el orden de los sumandos la suma no vara.
a + b = b + a
d
ACTIVIDADES6. Realiza las siguientes sumas:
a) 5 + 4 + 1 + 11 c) 6 + 3 + 4 + 1 e) 7 + 2 + 3 + 1 + 2
b) 8 + 5 + 6 + 1 + 2 + 9 d) 7 + 2 + 11 + 23 f) 10 + 1 + 100 + 31
7. Realiza las siguientes restas:
a) 7 2 c) 89 23 e) 8 2
b) 34 23 d) 54 12 f) 21 8
8. Se cumple la propiedad conmutativa para la resta de nmeros enteros? Por qu?
9. Realiza las siguientes operaciones:
a) 4 + 3 5 c) 9 2 + 4 5 e) 3 1 + 2 + 4 3
b) 6 1 2 + 4 d) 7 + 3 1 2 f) 2 + 3 2 + 8 7
-
1 Nmeros naturales 11
Y
3.4. Multiplicacin
En una caja caben 15 libros. Si tengo 5 cajas, cuntos libros tengo?
Tenemos dos alternativas:
Sumar el contenido de cada caja:
15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 75 libros
Utilizar la multiplicacin. La suma anterior es equivalente a multiplicar
los libros que caben en cada caja por el nmero total de cajas:
15 5 = 75
3.5. Divisin
Queremos empaquetar 30 libros en cajas de 6 libros cada una.
En este caso, utilizaremos la divisin para repartir los 30 libros en varias
cajas iguales, para obtener el nmero de cajas que necesitamos.
30 6 30 : 6 = 5 cajas0 5
En nuestro ejemplo no sobra ningn libro, por tanto, tenemos lo que lla-
mamos divisin exacta.
Tambin podra ocurrir que en vez de tener 30 libros tuviramos 32. Ten-
dramos que utilizar tambin 5 cajas, pero sobraran 2 libros (resto). En este
caso hablaramos de divisin entera.
Propiedad conmutativa de la multiplicacin
Si cambio el orden de los factores el resultado no vara.
a b = b a
d
Propiedad fundamental de la divisin entera
En una divisin entera se cumple la siguiente igualdad:
Dividendo = divisor cociente + resto, con resto < divisor
d
ACTIVIDADES10. Realiza las siguientes operaciones:
a) 9 72 c) 35 12 e) 12 3
b) 15 6 d) 15 24 f) 23 14
11. Calcula las siguientes divisiones:
a) 50 : 10 c) 35 : 7 e) 36 : 12b) 78 : 13 d) 615 : 15 f) 48 : 6
12. En cada caja de huevos caben 7 docenas. Cuntos huevos llevo en 3 cajas?
13. Aplica la propiedad fundamental de la divisin entera a las siguientes divisiones:
a) 45 : 13 c) 63 : 17 e) 134 : 54b) 54 : 21 d) 73 : 12 f) 98 : 26
Propiedad fundamentalde la divisin entera
D d
r c
D = d c + r
r < d
Si la divisin es exacta:
D = d c
No te precipites a la horade resolver las actividades,
piensa siempre lo que tienesque hacer en cada paso.
-
12 Matemticas Y
4. Jerarqua de operacionesJuan tiene cajas de distintos tamaos: 5 cajas con 12 libros cada una, 6
cajas con 8 libros cada una y 13 cajas con 5 libros cada una. Cuntos
libros tiene en total?
Primer tipo de caja 5 12 = 60 libros.Segundo tipo de caja 6 8 = 48 libros.
Tercer tipo de caja 13 5 = 65 libros.En total tiene 60 + 48 + 65 = 173 libros.
Si lo ponemos en una nica operacin, sta sera la siguiente:
5 12 + 6 8 + 13 5 = 60 + 48 + 65 = 173
Si nos fijamos, hemos realizado primero los productos y luego las sumas.
Ejemplos
6 4 8 : 2 : 2 + 3 2 5 = 24 4 : 2 + 6 5 = 24 2 + 30 = 22 + 30 = 52 27 : 3 + 2 5 2 3 4 = 9 + 10 2 12 = 9 + 20 12 = 29 12 = 17 5 6 : 3 + 9 3 4 2 2 = 30 : 3 + 27 8 2 = 10 + 27 16 = 21 4 5 9 : 3 : 3 + 4 3 3 = 20 3 : 3 + 12 3 = 20 1 + 12 3 =
= 19 + 12 3 = 31 3 = 28
La regla general de la jerarqua de operaciones es la siguiente:
1. Se realizan los productos y las divisiones.
2. Si hay varios productos y divisiones encadenados, stos se operan
en orden de izquierda a derecha.
3. Se realizan las sumas y las restas.
4. Si existen varias sumas o restas encadenadas, stas se operan en
orden de izquierda a derecha.
d
ACTIVIDADES14. Opera:
a) 4 5 4 : 2 + 3 4 7b) 18 : 6 3 2 : 2 + 5 4 5
15. Realiza las siguientes operaciones:
a) 65 : 5 + 3 3 4 5 3 : 5 15 : 3 + 3b) 24 : 6 + 4 3 + 2 6 4 : 3 3
16. Luis tiene 60 manzanas y las mete en bolsas de 5 manzanas cada una. Maratiene 36 peras y las guarda en bolsas de 6 peras cada una. Cuntas bolsas tie-
nen entre los dos? Resulvelo como una nica operacin combinada.
17. Tengo que recorrer los 420 km que hay de Madrid a Alicante. Si ya he conduci-do 2 h a 120 km/h, cuntos kilmetros me quedan por recorrer? Si el resto del
camino lo realizo a 90 km/h, cunto tiempo me queda para llegar?
-
1 Nmeros naturales 13
Y
5. Uso de parntesisMarta y Daniel tienen 36 y 60 huevos respectivamente. Cuntas docenas
tienen entre los dos?
Para resolver este problema tenemos dos alternativas:
Saber cuntas docenas tiene cada uno y sumarlas:
Marta 36 : 12 = 3 Daniel 60 : 12 = 5 Total 8 docenasComo vimos en el apartado anterior, en una nica operacin sera:
36 : 12 + 60 : 12 = 3 + 5 = 8 docenas Saber cuntos huevos tienen entre los dos y luego dividir para calcu-
lar el nmero de docenas:
Total de huevos 36 + 60 = 96 Total de docenas 96 : 12 = 8Con una sola operacin se escribira de la siguiente forma:
(36 + 60) : 12Y se resolvera de la siguiente manera:
(36 + 60) : 12 = 96 : 12 = 8 docenasPodemos observar que con la segunda alternativa, utilizando parntesis, se
realizan menos operaciones.
La jerarqua que utilizamos dentro de los parntesis es la misma que vimos
en el apartado anterior.
Ejemplos
6 (18 8) (2 + 3) 5 = 6 10 5 5 = 60 25 = 35
72 : (2 + 8 : 2) + 8 2 = 72 : (2 + 4) + 16 = 72 : 6 + 16 = 12 + 16 = 28 18 (24 : 6 2 2 + 3 2 + 7 2) = 18 (4 4 + 3 2 + 14) = 18 15 = 270 6 (5 2 2) + 4 (12 : 3 3 + 2 7 2) =
= 6 (5 4) + 4 (4 3 + 14 2) = 6 (1) + 4 (4 3 + 28) =
= 6 + 4 (1 + 28) = 6 + 4 (29) = 6 + 116 = 122
Cuando en una operacin combinada aparecen parntesis, lo primero que
debemos resolver son las operaciones que se encuentran en su interior.
d
ACTIVIDADES18. Opera:
a) 6 (7 + 4 + 5) : 4 c) 3 (5 2 2)b) 2 (7 2) 4 d) 8 : (14 5 2) + 3
19. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) (7 + 4 + 5) : 4 2 (7 5) b) 3 (5 2 2) + 2 (7 2)20. Realiza las siguientes operaciones y compara los resultados:
a) (6 3) 5 b) 4 (7 4) c) (16 8) : 46 3 5 4 7 4 16 8 : 4
-
6. Propiedades con parntesisJuan, Mara y Luis tienen 12, 13 y 17 aos respectiva-
mente. Cunto suman las edades de estos tres amigos?
12 + 13 + 17 = (12 + 13) + 17 = 25 + 17 = 42
12 + 13 + 17 = 12 + (13 + 17) = 12 + 30 = 42
Es decir,
12 + 13 + 17 = (12 + 13) + 17 = 12 + (13 + 17) = 42
Tengo 4 cajas con 15 paquetes de 50 folios cada uno. Cuntos folios tengo?
4 15 50 = (4 15) 50 = 60 50 = 3.000
4 15 50 = 4 (15 50) = 4 750 = 3.000
Es decir,
4 15 50 = (4 15) 50 = 4 (15 50) = 3.000
Propiedad asociativa del producto
Cuando realizamos un producto con varios factores, el resultado es
independiente del modo en que se renan los productos.
(a b) c = a (b c)
d
14 Matemticas Y
Propiedad asociativa de la suma
Cuando realizamos una suma con varios sumandos, el resultado es
independiente del modo en que se renan las sumas.
(a + b) + c = a + (b + c)
d
ACTIVIDADES21. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa en las siguientes sumas:
a) 5 + (6 + 3) = (5 + 6) + 3
b) 12 + (13 + 8) = (12 + 13) + 8
c) (7 + 15) + 9 = 7 + (15 + 9)
d) (17 + 32) + 23 = 17 + (32 + 23)
22. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa en los siguientes productos:
a) 5 (6 3) = (5 6) 3 c) (7 15) 9 = 7 (15 9)
b) 12 (13 8) = (12 13) 8 d) (17 32) 23 = 17 (32 23)
23. Juan tiene 6 , Antonio 13 y Paula 8 . Cuntos euros tienen entre los tres?Resulvelo de dos maneras distintas aplicando la propiedad asociativa.
24. Una empresa transporta leche en cajas de 12 botellas cada una. Cuntas bote-llas transportar esta empresa si utiliza 5 camiones y cada camin lleva 150 cajas?
Resulvelo de dos maneras distintas aplicando la propiedad asociativa.
-
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
Andrea y Luis tienen 3 y 4 docenas de huevos respectivamente. Cuntos
huevos tienen entre los dos?
(3 + 4) 12
Tenemos dos formas de resolverlo:
Primero calculamos las docenas que tienen entre los dos y luego multi-
plicamos por 12 para saber el nmero de huevos:
(3 + 4) 12 = 7 12 = 84
Calculamos cuntos huevos tiene cada uno multiplicando el nmero de
docenas por 12 y luego sumamos los resultados:
(3 + 4) 12 = 3 12 + 4 12 = 36 + 48 = 84
Si nos fijamos, hemos resuelto el apartado primero aplicando la regla de los
parntesis. En el segundo, sin embargo, hemos aplicado la propiedad dis-
tributiva del producto respecto de la suma.
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
El producto de un nmero por la suma (o resta) de varios nmeros es igual
a la suma (o resta) de los productos de ese nmero por cada sumando.
a (b + c) = a b + a c (b + c) a = b a + c a
a (b c) = a b a c (b c) a = b a c a
De manera ms general:
a (b + c d) = a b + a c a d
d
ACTIVIDADES25. Opera aplicando la propiedad distributiva:
a) (4 + 6) 5 b) 12 (8 3) c) 2 (5 + 4) d) (24 8) 5
26. Comprueba, en las siguientes operaciones, que el resultado es el mismo si aplicola regla de los parntesis o la propiedad distributiva:
a) (12 + 3 6) 5 c) 4 (7 5 + 4)
b) (15 4 3 2) 9 d) 9 (5 4 + 3)
27. Resuelve aplicando la propiedad distributiva:
a) 6 + (7 + 4 + 5) 4 c) (7 + 4 + 5) 4 2 (7 5)
b) 8 (14 5 2) + 3 d) 3 (5 2 2) + 2 (7 2)
Ejemplos
(3 + 5) 7 = 3 7 + 5 7 = 21 + 35 = 56
6 (4 + 5) = 6 4 + 6 5 = 24 + 30 = 54
(7 4) 9 = 7 9 4 9 = 63 36 = 27
4 (9 5) = 4 9 4 5 = 36 20 = 16
5 (12 + 21 13) = 5 12 + 5 21 5 13 = 60 + 105 65 = 100
Yc
Galileo Galilei dijo
cLas matemticas son el alfabeto con el
que Dios ha escrito el Universo.
Galileo Galilei fue un astrnomo, fsi-
co, matemtico y filsofo que naci en
Italia en 1554 y muri en 1642.
Con un telescopio construido por l,
Galileo descubri cuatro lunas de Jpi-
ter, los crteres de la Luna y las man-
chas solares, demostrando que los as-
tros no eran tan perfectos como se
pensaba hasta entonces. Adems se
dio cuenta de que Venus era un plane-
ta del Sistema Solar.
Pero su mayor y ms comprometido
hallazgo fue descubrir que la Tierra
gira alrededor del Sol y no al contrario,
como se pensaba hasta entonces.
1 Nmeros naturales 15
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16 Matemticas Y
ACTIVIDADES RESUELTASPasa al sistema de numeracin romano o decimal lassiguientes cantidades:a) 46 b) CCLXXXVIII
Solucina) 46 = XLVI
1. 40 = 50 10 = XL
2. 6 = 5 + 1 = VI
3. 46 = 40 + 6 = XLVI
b) CCLXXXVIII = 288
1. CC = 100 + 100 = 200
2. LXXX = 50 + 10 + 10 + 10 = 80
3. VIII = 5 + 1 + 1 + 1 = 8
CCLXXXVIII = CC + LXXX + VIII = 200 + 80 + 8 = 288
Escribe la descomposicin polinmica de los siguientesnmeros:
a) 498 b) 3.687 c) 450.320
Solucin
a) 498 = 4 100 + 9 10 + 8
4 centenas + 9 decenas + 8 unidades
b) 3.687 = 3 1.000 + 6 100 + 8 10 + 7
3 u. de millar + 6 centenas + 8 decenas + 7 unidades
c) 450.320 = 4 100.000 + 5 10.000 + 3 100 + 2 10
4 c. de millar + 5 d. de millar + 3 centenas + 2 decenas
Opera:
a) 16 12 + 86 13
b) 34 13 + 5 + 6 15
c) 9 24 : 6 + 5 8 25 : 5Solucin
a) 16 12 + 86 13 = 4 + 86 13 = 90 13 = 77
b) 34 13 + 5 + 6 15 = 21 + 5 + 6 15 = 26 + 6 15 =
= 32 15 = 17
c) 9 24 : 6 + 5 8 25 : 5 = 9 4 + 40 5 = 5 + 40 5 == 45 5 = 40
Mara y Pedro salen a cenar a una pizzera. Mara come2 porciones a 3 la porcin y Pedro come 3 porcionesa 4 cada una. Adems Mara bebe un refresco delimn que le cuesta 1 y Pedro una botella de aguaque le cuesta 1 . Cunto le costar la merienda aMara? Y a Pedro? Cunto gastarn entre los dos?
Solucin
Mara 2 3 + 1 = 6 + 1 = 7 Pedro 3 4 + 1 = 12 + 1 = 13 Entre los dos gastarn 7 + 13 = 20
Aplica la propiedad fundamental de la divisin enteraa la divisin 135 : 23.Solucin
135 23
20 5
D = 135 d = 23 c = 5 r = 20
D = d c + r 135 = 23 5 + 20
Opera:
a) 5 (6 3 + 4) 9 : (6 3)b) 9 (5 3 1) (12 5)
c) [12 8 (7 + 5) 6] (9 5) : 4 + 3
Solucin
a) 5 (6 3 + 4) 9 : (6 3) = 5 (3 + 4) 9 : 3 = 5 7 3 == 35 3 = 32
b) 9 (5 3 1) (12 5) = 9 (2 1) 7 = 9 1 7 = 9 7 = 63
c) [12 8 (7 + 5) 6] (9 5) : 4 + 3 == [96 12 6] 4 : 4 + 3 = [96 72] 1 + 3 = = 24 1 + 3 = 23 + 3 = 26
Resuelve aplicando la propiedad distributiva:
a) 3 (8 + 5 + 2) b) 9 (12 4 + 5)
Solucin
a) 3 (8 + 5 + 2) = 3 8 + 3 5 + 3 2 = 24 + 15 + 6 =
= 39 + 6 = 45
b) 9 (12 4 + 5) = 9 12 9 4 + 9 5 =
= 108 36 + 45 = 72 + 45 = 117
A Ins le manda su madre a la frutera con 34 . Allcompra 2 kg de peras a 2 /kg, 3 kg de tomates a 3 /kg,5 kg de manzanas a 2 /kg y 4 kg de patatas a 1 /kg.Cuntos kg de fresas a 3 /kg podr comprar? Cuntodinero le sobrar?
Solucin
Ins ha gastado:
2 kg de peras 2 /kg = 4
3 kg de tomates 3 /kg = 9
5 kg de manzanas 2 /kg = 10
4 kg de patatas 1 /kg = 4
Total = 4 + 9 + 10 + 4 = 27
Le quedan 34 27 = 7 para comprar fresas.
Dividimos 7 entre 3 /kg y miramos el cociente y el resto.
Podremos comprar 2 kg de fresas y sobrar 1
7 3
1 2
-
Nmeros naturales
28. Escribe con smbolos romanos los siguientes nmeros:
a) 793 b) 83 c) 3.465 d) 481 e) 5.398 f) 273
29. Escribe en el sistema decimal los siguientes nmerosromanos:
a) CCCXLV c) XCVI e) CCXLIV
b) CMDLIII d) MMMDCXXIV f) MMCCLXIII
30. Antonius le dijo a Marius que tena LXIV cabras y que leregalaba VIII. Con cuntas cabras se qued Antonius?
Sistema de numeracin decimal
31. Rellena una tabla como la siguiente con las cantidadesque aparecen a continuacin:
a) 32 centenas
b) 213 unidades
c) 32 centenas de millar
32. Observa la tabla y contesta a las cuestiones:
a) Cuntas centenas hay en (1)?
b) Cuntas decenas de millar hay en (2)?
c) Cuntas unidades hay en (3)?
33. Escribe la descomposicin polinmica de los siguientesnmeros:
a) 3.809 c) 123 e) 489.230
b) 20.981 d) 5.490 f) 809.672
Operaciones con nmeros naturales.
Propiedades
34. Calcula los valores que faltan:
35. Opera:
a) 45 : 13 c) 63 : 17 e) 134 : 54b) 54 : 21 d) 73 : 12 f) 98 : 26
36. Si reparto 150 alumnos en clases de 30 alumnos,cuntas clases necesito?
37. Si en el ejercicio anterior fueran 175 alumnos, cuntosalumnos sobraran?
38. Pon un ejemplo y explica por qu no se puede aplicar lapropiedad conmutativa en la divisin.
39. Cmo contina la serie?
a) 1, 3, 6, 10, 15, 21 c) 1, 2, 4, 8, 16, 32
b) 30, 27, 24, 21, 18, 15 d) 1, 2, 6, 24, 110, 660
40. Calcula el valor de las letras en cada operacin:
a) 5 + a + 3 = 15 c) 6 c = 30
b) b + 7 3 = 10 d) 36 : d = 12
Jerarqua de operaciones
41. Calcula:
a) 6 3 7 5 2 + 4 d) 5 9 35 : 7 8b) 7 3 2 + 2 8 e) 21 : 3 + 2 5 9 : 3c) 2 + 6 2 4 3 + 3 f) 4 2 + 5 3 32 : 4
42. Opera:
a) 17 5 3 2 d) 17 4 3 + 3 2
b) 2 6 4 + 5 3 e) 25 : 5 5 + 5 9c) 23 + 5 5 6 : 3 f) 8 + 5 5 24 : 4
Uso de parntesis
43. Opera y observa el resultado:
a) c)
b) d) 8 : (4 2)8 : 2 28 (5 2)8 5 27 (4 3)7 4 38 + (5 2)8 + 5 2
Cm Dm Um C D U
(1) 3 0 5 6
(2) 7 8 0 0 1 1
(3) 9 8 0 9 3
Y
1 Nmeros naturales 17
ACTIVIDADES FINALES
d EJERCICIOS
UM Cm Dm Um C D U
D d c r
80 20 4
60 12 45
325 21 10
-
44. Aplica la propiedad distributiva y opera:
a) 5 (9 5) c) (9 6) 3
b) (8 5 + 4) 6 d) (9 + 4 10 + 3) 3
45. Opera:
a) (6 4) 5 + 6 (7 5)
b) (10 5 4) 7 (8 4) : 2c) (6 + 5 3) 8 (4 2) (5 3)
d) 5 + (16 8) (10 2) (14 6 3)
46. Opera:
a) 6 (8 5) (4 2) 7
b) 8 + (18 10) : 4 6 (15 6) : 3c) (13 6) (17 15) : (9 2) + 15 : 3d) 8 (5 2) : 2 + (25 3) : 2
47. Resuelve:a) (1 + 5 4) 3 (10 6) : 4b) (8 4) 2 + 3 (9 7)
c) (6 4) (8 3) (10 9 : 3)d) (16 5 3) : 8 + (4 3) (5 3) + 3 4
48. Opera:
a) [5 (8 3) + (5 + 3) 6] (8 3) 5
b) 6 [6 (4 3) + (6 + 3) : 3 36 : 12] 5 2 4c) 7 + (9 5) [(8 3) : 5 (4 3) (6 5)]d) 9 (8 5) + [6 + (9 3) : 2 (9 4) : 5]
Propiedades con parntesis
49. Podemos definir la propiedad distributiva de la divisinrespecto de la suma de la siguiente manera:
(9 6) : 3 = 9 : 3 6 : 3 = 3 2 = 1Aplcala a estos apartados:
a) (15 + 5) : 5 b) (35 14) : 7 c) (8 4) : 250. Resuelve:
a) 4 [5 (4 3) + (5 + 4) : 3 36 : 12] 3 + 3 (5 2)b) [15 (8 6) + (1 + 4) 6] (20 5) : 5c) 10 (13 5) + [5 + (9 3) : 6 (15 5) : 5]d) 17 + (4 2) [(23 3) : 10 + 13 (7 2) (6 4)]
18 Matemticas Y
ACTIVIDADES FINALES
51. Juan, Luis y Laura salen con 20, 30 y 10 respectiva-mente. Juan gasta la mitad, Luis 13 y Laura se
encuentra un billete de 20 . Cunto dinero tienen
entre los tres cuando llegan a casa?
52. Luis gast 13 en un libro y 20 en un CD de msica.Si tena 50 , cunto le queda?
53. Qu nmeros pares seguidos suman 30?
54. Andrea tiene el instituto a 450 m de su casa. Si sale a las 8:15 de su casa y tarda 5 min por cada 50 m, aqu hora llegar a clase?
55. Para ir de Madrid a Cdiz tengo que recorrer 720 km.Cunto tardar a una velocidad media de 120 km/h?
56. Las edades de Luis, Pedro y Mara suman 40 aos. SiLuis tiene 16 aos, qu edad tienen Pedro y Mara si
son mellizos?
57. Cul es el valor de la siguiente cesta de la compra?
3 kg de kiwis a 3 /kg
2 kg de aguacates a 5/kg
1 kg de naranjas a 2 /kg
2 kg de merluza a 35 /kg
4 kg de patatas a 2 cada 2kg
58. El producto de dos nmeros es 90. Si uno es 15, cules el otro?
59. Sandra dedica a estudiar, de lunes a viernes, 2 h al da.Si cada mes tiene cuatro semanas, cuntas horas
dedica al estudio en un mes?
60. Qu altura tiene cada una de las 20 plantas de un edi-ficio que mide 120 m de altura?
61. Luisa y Juana llevan cada una 2 paquetes de 5 botellasde 2 l de agua. Cunta agua llevan en total?
d PROBLEMAS
-
62. Con los datos del ejercicio anterior, si cada da consu-men en su casa 4 l de agua, para cuntos das tendrn
agua?
63. En la liga de baloncesto hay 18 equipos con 8 jugado-res por equipo que miden, aproximadamente, 2 m cada
uno. Colocados uno encima de otro, llegaramos al
tejado de un edificio de 250 m de altura?
64. Los tres hoteles de un pueblo tienen 35, 60 y 75 habi-taciones respectivamente. Si este fin de semana se
espera un congreso de mdicos al que acudirn 230,
cuntos mdicos tendrn que dormir en el pueblo de
al lado por falta de habitacin?
65. Si conducimos 2 h a 100 km/h, 3 h a 110 km/h y 1 h a120 km/h, cuntos kilmetros recorrer?
66. Sara tiene que comprar dos ramos de flores, uno para sumadre y otro para su abuela. Cada ramo est compuesto
por una decena de rosas y cada rosa vale 10 . Cunto
gastar? Si lleva 300 , cunto le sobrar?
67. Samuel ha realizado 3 series, de 2 vueltas cada una, enuna pista de atletismo de 400 m. Podras decir cuntos
metros ha recorrido?
68. Jaime tiene 5 monedas de 10 cts. de euro, 10 monedasde 20 cts., 3 monedas de 50 cts., 2 monedas de 1
y 4 monedas de 2 . Cuntos euros lleva en el mone-
dero?
69. Un frutero compra 220 kg de naranjas a 2 /kg y lasenvasa en cajas de 4 kg cada una. El transporte, el
alquiler y los empleados le suponen un coste de 1 /kg.
Si desea obtener un beneficio total de 110 , a cunto
debe vender cada caja?
70. Un pescadero pag ayer 375 por 25 kg de lenguados.Cuntos kg ha comprado hoy si ha pagado 450 ?
71. En un partido de baloncesto las canastas encestadas porlos jugadores de uno de los equipos son las siguientes:
Con cuntos puntos acab este equipo? Si el otro
equipo anot 110 puntos, quin gan?
1 punto 2 puntos 3 puntos
Luis 10 3 1
Antonio 4 4 0
Pedro 6 2 3
Morgan 3 8 0
Peter 1 3 2
Fredy 6 3 1
Andrs 8 3 2
Y
1 Nmeros naturales 19
1. Pasa al sistema de numeracin romano:
a) 1.953 b) 345 c) 623 d) 459
2. Pasa los siguientes nmeros romanos al sistema de numera-cin decimal:
a) MMCCXLI b) LXXIV c) CDXLVII d) XXIV
3. Escribe la descomposicin polinmica de los siguientes nme-ros:
a) 4.508 b) 60.709 c) 305 d) 10.932
4. Calcula:
a) 4 3 5 2 + 4 2 c) 12 6 2 + 2 3 6
b) 15 + 4 5 4 8 d) 2 9 60 : 5 3 25. Aplica la propiedad distributiva:
a) 6 (9 5 + 12) b) (6 + 5 4) 3 c) (9 5) 12
6. Cuntos segundos tiene un da?
7. Opera:
a) (15 6) : 3 + 4b) 8 (8 5) + (9 + 2) 5
c) 6 (9 4) (7 6) + 3 5
d) [(5 3) 6 (3 2) 2] + (15 4)
8. Calcula las siguientes divisiones enteras e indica el cociente yel resto:
a) 865 : 34 b) 1.895 : 549. Para las divisiones del ejercicio anterior, aplica la propiedad
fundamental de las divisiones enteras.
10. Javier tiene 70 y compra 2 bolgrafos y 4 carpetas. Si cadacarpeta vale el doble que un bolgrafo y cada bolgrafo cuesta
3 , cunto dinero gasta y cunto le sobra?
AUTOEVALUACIN
-
Un poquito de historiaLa aritmtica es la disciplina dentro de las matemticas
que estudia los nmeros naturales, enteros y racionales
(estos dos ltimos tipos los veremos ms adelante) y trata
las operaciones definidas entre ellos. La aritmtica ha
estado presente en todas las civilizaciones y, al parecer, las
primeras constancias de su desarrollo se encuentran en la
antigua Babilonia y Egipto como herramienta para el
comercio.
Los matemticos y filsofos griegos Pitgoras y Euclides fue-
ron quienes dieron valor al concepto de nmero y sus pro-
piedades, y Diofanto de Alejandra (siglo III a. C. aprox.) dio
el empujn definitivo a la aritmtica con su obra Aritmtica,
que fue referente de esta materia durante casi dos milenios.
En el siglo XVII Pierre de Fermat (1601-1665) y en el siglo XIX
Giuseppe Peano (1858-1932) formalizaron y desarrollaron
la aritmtica hasta llevarla a la forma en que la conocemos
en la actualidad.
Peano y los naturalesEl italiano Giuseppe Peano
(1858-1932) fue el matem-
tico que defini las reglas
(axiomas) para poder cons-
truir los nmeros naturales,
a partir de los cules se pue-
den definir el resto de los
tipos de nmeros
El problema del cangrejoUn cangrejo tiene que cruzar una playa de 100 m. Durante
el da recorre 30 m y por la noche se pierde y retrocede 20
m. Cuntos das tardar en cruzar la playa? (Pinsalo un
poco, no es tan evidente.)
Mutiplicacin romanaHaz la siguiente multiplicacin de nmeros romanos:
MDCLVI
XXI
20 Matemticas Y
MATEMTICAS RECREATIVAS
-
Y1 Nmeros naturales 21
EN RESUMEN
AMPLA CON
P. M. GONZLEZ URBANEJA: Pitgoras, el filsofo del nmero,
Ed. Nivola.
M. MATAIX: 2pir Divulgacin matemtica: Nmeros cotidia-nos, Ed. Marcombo.
De la serie Ojo matemtico, el programa 6: Nmeros,
Yorkshire Television (Metrovideo escuela).
http://www.mec.es
http://www.mat.ucm.es
Utiliza
Nmeros romanos
Son
I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Sistema de numeracindecimal
NMEROS NATURALES
Operaciones
Jerarqua de operacionesParntesis
Suma
Resta
Multiplicacin
Divisin
Conmutativade la suma y del producto
Asociativa de la suma y del producto
Distributiva del productorespecto de lasuma
Fundamentalde la divisinentera
DM UM Cm Dm Um C D U
10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1Propiedades
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