15 repaso de álgebra

Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

CONJUNTOS NUMÉRICOS

En matemática los conjuntos numéricos que mas empleamos son: Números naturales: J = { 0; 1; 2; 3;… } Números enteros: N= {… ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;… } Números racionales: N= { a/b | a, b ∈ ∈∧ b ≠ 0 } Números irracionales:N= {números decimales de infinitas

cifras que no tienen un patrón definido}

• Los conjuntos numéricos son aquellos que tienen por elementos a los símbolos usados para representar cantidades abstractas llamadas números.

NÚMEROS REALES

Se denomina número real a todo elemento perteneciente al conjunto S formado por la unión de los números racionales (f ) y el conjunto de los números irracionales (n).

Números reales: N = ∪∪

∪∪ ∪

∪∪

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad transitiva de la igualdadSi a = b ∧ b = c → a = c

Propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación∀a,b∈∈ | a + b = b + a ∧ ab = ba

Propiedad asociativa de la suma y de la multiplicación∀a,b,c∈∈ | a + (b + c) = (a + b) + c ∧ a(bc) = (ab)c

Propiedades del inverso∀a ∈ ∈, ∃ (-a)∈ ∈ | a + (-a) = 0∀a ∈ ∈- {0}, ∃ (a-1)∈ ∈ | a .a-1 = 1

Propiedades distributivasa(b + c) = ab + ac ∧ (b + c)a = ba + ca

EXPONENTES

Exponente Natural Para todo número real «a» y cualquier número natural «n»,

definimos:

an =

En esta relación «an» se llama expresión exponencial. Si tenemos an = b, a «n» se denomina exponente, «a» es la base y «b» se llama la potencia n-ésima de «a».

En esta definición, «a» es un número real que puede tomar cualquier valor.

El caso especial es cuando: a = 0 ∧ n = 0 → 00=1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥ = =

n veces

a a a a sin 2

a si n 11 si n 0

...144243

Exponente entero negativo Sea «a» un número real no nulo (a ≠ 0) y «n» cualquier número

entero positivo, definimos:

a-n =

Ejemplo.- Las siguientes son aplicaciones de la potencia de una base con exponente entero negativo:

a) (+4)-2 =

b) = (-5) 3= - 53 = -125

1na

2 21 1 1= =

16( 4) 4+

+ +

−− 31

( 5)

Exponente Racional

Sea «a» un número real | a ≥ 0, y sean «m» y «n» dos enteros cualesquiera con n ≥ 1, definimos:

Esta definición permite establecer la operación de potenciación con exponente fraccionario y a su vez se constituye en el vínculo de dos operaciones: la potenciación y la radicación.

Cabe recordar que los componentes de toda operación de radicación son:

= =m

mmnn na a a

REGLAS DE SIGNOS

n a

par positivo positivo

impar negativo negativo

n a

TEOREMAS DE EXPONENTES

a · a = an m n + m

a , a *n - m ∀ ∈ ∀a a

n

m

(a· b) = a bn n n·

(a ) = a n m n · m

( )ab

a b

n

n= , b * ∀ ∈ ∀

( ) ( ) ( ) +=·2 4 2 4

3 3 3

-=7 7 35 535

( ) =· ·4 4 47 3 7 3

=3 35 5

4 34

( )

= ·53 3 52 2( )Ejm.:

TEOREMAS DE RADICALES

=· ·n p nm p ma a

=· ·n nn a b a b

=·n mn m a a

·4 33

·5 3=

5 43

=· · 333 5 7 5 7

=·3 53 5s 7 7

=n aan

b n b , b * ∀ ∈ ∀ =

3 5538 3 8

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Si la suma dada la denotamos por P(x), se tiene:P(x) ≡ a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

• Una expresión algebraica se define como un grupo de términos algebraicos formado por números y letras, que se encuentran ligados por medio de operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división potenciación y radicación.

• Definimos un polinomio de una variable “x”, con coeficientes en , a la suma:

a0 + a1x + a2x2… + anxn , donde ai ∈ ∈ y n ∈ ∈

Nota.- “P(x) se lee como polinomio en x”

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Suma de expresiones algebraicas Sustracción de expresiones algebraicas Eliminación de símbolos de agrupación Multiplicación de polinomios División de un polinomio entre un monomio

PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables son los resultados de determinadas multiplicaciones cuyas estructuras poseen formas y características fáciles de identificar y que pueden ser escritos en forma directasin necesidad de efectuar todos los pasos de la multiplicación.

Trinomio Cuadrado Perfecto(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Diferencia de Cuadrados (a + b) (a - b)= a2 - b2

Cubo de un Binomio (a + b)3 = a3 +3 a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3 a2b + 3ab2 - b3

Suma y Diferencia de Cubos (a + b) (a2 - ab + b2)= a3 + b3

(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3

FACTORIZACIÓN

La factorización es el proceso mediante el cual un polinomio, definido en un conjunto numérico dado, se expresa como la multiplicación de dos expresiones algebraicas, llamadas factores, definidas en el mismo conjunto.

Sea P(x) un polinomio en Z, y sean f(x) y g(x) dos polinomios también en Z, de grados mayores o iguales a uno, tales que:

( ) = ( ). ( )P x f x g xentonces se dice que P(x) se ha factorizado y los polinomios f(x) y g(x) se llaman factores en Z.

Ejemplos.- Indicar los factores en Z de las siguientes factorizaciones:

a) P(x) = (x2+1)(3x - 5) Los factores en Z son (x2+1) y (3x - 5)

b) Q(x) = (x + 1)(5x3 - 1) Los factores en Z son (x + 1) y (5x3 - 1)

c) R(x) = 3x (x2 - 8) Los factores en Z son (3x + 0) y (x2 - 8)

Principales Factorizaciones:•Factor común•Trinomio cuadrado perfecto•Diferencia de cuadrados•Suma de cubos•Diferencia de cubos

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es una expresión matemática de la forma N/D, donde N y D son expresiones algebraicas tales que el denominador D es un polinomio de grado mayor o igual a uno.

− − + −− + −+ −

4 33

22 5 3 74 ; ;

1 ( 3)( 2)3 2

x x x xxx x xx x

− − +− +

32 22 2

25 9 47 ; ;

5 2 3

x x xxx x

Ejemplo.- Son fracciones algebraicas

Ejemplo.- No son fracciones algebraicas