1252307571.estatica-baricentro y m. inercia
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Ing. Jorge A. Papajorge Estabilidad I – Segunda Parte
15/03/13 UNLZ – Facultad de Ingeniería
1
PPRROOPPIIEEDDAADDEESS MMEECCÁÁNNIICCAASS DDEE LLOOSS PPEERRFFIILLEESS En el cálculo de las tensiones en secciones dadas tienen suma importancia los
momentos estáticos y los momentos de inercia de las mismas respecto a un eje de referencia.
ÁÁrreeaa ddee uunnaa SSuuppeerrffiicciiee
nn
ii dAAAA
1
MMoommeennttoo EEssttááttiiccoo oo ddee PPrriimmeerr OOrrddeenn Momento estático de una superficie respecto de un eje:
Si consideramos el peso de cada dA, suponiendo que se trate de una chapa infinitamente delgada será:
A
AA
dAp
dAdp
dAdp
El conjunto de todos los pesos constituye un sistema de fuerzas paralelas cuya resultante será una fuerza p, que será el peso de toda la chapa, que en función de su peso
específico será: AdAA
Por Varignon:
SydAxAxxdAxAAGAG :
Análogamente: SxdAyAyAG :
Donde Sy y Sx los denominaremos MOMENTOS ESTÁTICOS de una superficie respecto de un eje. Y lo definimos diciendo que: es LA SUMA DE LOS PRODUCTOS DE CADA ÁREA ELEMENTAL dA POR LA DISTANCIA AL EJE DE REFERENCIA.
Sus unidades serán se longitud cúbica: []3 [mm3] · [cm3]
El Momento Estático puede ser positivo, negativo o nulo
AG dAxAxSy : Si Sy =0
dA
Espesor = 0
x
y
dAx
yh1
0
x
y
dAxG
yG
0
pp
G
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Donde:
A (área) es una magnitud positiva y distinta de cero.
Para que sea xG · A = 0; debe cumplir que xG ó yG tratándose de Sx, deben ser cero xG = 0 ó yG = 0.
Lo que se deduce que el momento estático de una superficie respecto de un EJE ES NULO PARA CUALQUIER EJE QUE PASE POR EL BARICENTRO o dicho de otra forma:
LA ANULACIÓN DEL MOMENTO ESTÁTICO RESPECTO DE UN EJE, ES CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE EL EJE A CONSIDERAR SEA BARICÉNTRICO.
Caso I
yG
-x xG
xG=0
y
x
x
y
0 G
xG=0yG=0
Caso II
BBaarriicceennttrroo:: Si la figura plana, admite un eje de simetría sobre él estará su Baricentro (caso 1)
También llamado Centro de gravedad y si admite más de uno, en sus intersecciones se ubica el Baricentro (caso 2).
ASy
ASxY
AYSx
dAydAy
dAyyS
G
G
AYA G
SxA
A GXG
G
GX teAnalogamen
0
0
0
Sy = 0
Desde el punto de vista infinitesimal a cada elemento dA de coordenadas (x; y) le corresponde otro punto simétrico de coordenadas (-x; y). Debido a ello Sy = 0.
G
0 x
y
YG
XGxG
yG
y
x dA
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EEJJEEMMPPLLOOSS DDEE MMOOMMEENNTTOOSS EESSTTÁÁTTIICCOOSS::
2
22
0
2
0
bhSx
ybdyyb
dybydAySx
hh
AA
Dado un perfil rectangular, para calcular el momento estático de la superficie rayada respecto del eje x, se procede:
8
242
0
bhSx
hbhSx
AySx
22
222
222
2
0
21
8
2228
2222
4
222
222
bybhSx
byhbybybhybh
bybyhbyyhh
bybhbyhSx
byhyyh
SxAySx
Se deduce que el momento estático varía de acuerdo a la superficie a tomar y al eje a considerar.
x
y
y
x
h
b
dy
dx
G
G1
x
h
b
h/4=
y 0
G
G1
x
h
b
h/2
yy0
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MMoommeennttoo ddee IInneerrcciiaa oo ddee SSeegguunnddoo GGrraaddoo A) Axil B) Centrífugo c) Polar
AA)) AAXXIILL:: ((JJXXXX;; JJYYYY))
El momento de inercia axil de una superficie plana respecto de un eje de la misma, es la suma de los productos es cada A en que se quiere subdividir la superficie, por el cuadrado de su distancia al eje.
yejedelrespectodAxJ
xejedelrespectodAyJ
AyJ
yAyAyAJ
Ayy
Axx
n
iiixx
nnxx
2
2
1
2
2222
211 ...
Magnitud esencialmente positiva, pues el área es positiva y distinta de cero, la distancia también positiva pues estará elevada al cuadrado.
BB)) CCEENNTTRRÍÍFFUUGGOO ((JJXXYY))
De una superficie plana respecto de dos ejes x e y, que por sencillez consideramos ortogonales, es la suma de los productos de cada A por su distancia a los ejes.
Axy
n
iiiixy
nnnxy
dAxyJ
yxAJ
yxAyxAyxAJ
1
222111 ...
Magnitud positiva, negativa o “Nula”.
CC)) PPOOLLAARR:: ((JJPP))
De una superficie plana respecto de un punto “o” del plano, es la suma del producto de cada área A por el cuadrado de la distancia al punto.
AP
n
iiiP
nnP
dAJ
AJ
AAAJ
2
1
2
2222
211 ...
0
i yi
xi
x
y Análogamente
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Magnitud Positiva.
RREELLAACCIIÓÓNN EENNTTRREE LLOOSS MMOOMMEENNTTOOSS DDEE IINNEERRCCIIAA:: JJXXXX;; JJYYYY;; JJPP
yyxxP
AAP
AP
AP
JJJ
dAydAxJ
dAyxJ
yxcomodAJ
22
22
2222
Las unidades de los Momentos de Inercia son longitud a la cuarta:
[4]; [cm4] o [mm4]
EEjjeemmppllooss ddee aannáálliissiiss ppaarraa ddeetteerrmmiinnaarr llooss mmoommeennttooss ddee IInneerrcciiaa::
33
33
3
0
3
022
2
3
0
3
02
02
2
bhxh
dxxhdxhx
dAxJ
hbyb
dyybdyby
dAyJ
b
h
A
Ayy
h
hhAxx
dx
dy
0x
yb
hx
y
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6
12
43883
22332
32
3
3
333
33
33
2
2
3
2
2
22
2
2
2
hbJ
hbhhb
hhbhh
b
yb
dyybdyby
dAyJ
xx
h
h
h
h
h
h
Axx
Análogamente: 12
3hbJ yy
En la figura anterior el momento de Inercia centrífugo será nulo,
Jxy = 0 0 Axy dAyxJ pues a cada elemento de posición (x; y) se le opone otro de
coordenadas (-x; -y) debido que x e y son ejes de simetría. Como consecuencia podemos decir que será nulo el momento centrífugo si uno de los
ejes de referencia es eje de simetría de la sección, lo que implica que TODO EJE DE SIMETRÍA ES EJE PRINCIPAL DE INERCIA, siendo el otro perpendicular a él.
Generalmente en los perfiles utilizados en la flexión, presentan un eje de simetría y los momentos de inercia están referidos a él y a otro perpendicular, con origen en el baricentro del perfil.
G x
y
Si hacemosb=1cm yh=10cm
MAYORcmJ
bhJ
xx
xx
4
3
33,3333
100013
1
1
Si hacemosb=10cm yh=1cm
MENORcmJ
bhJ
xx
xx
4
3
33,33
1103
2
2
G x
y
Caso I Caso II
Por lo tanto el Jxx1 será máximo y el Jxx2 será mínimo.
dx
dy
x
yb
h
x
yG
(-x;-y) (x;-y)
(x;y)(-x;y)
h/2
h/2
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Máximo Mínimo
EL MOMENTO DE INERCIA DE UNA SECCIÓN DE UNA BARRA RESPECTO DE UN EJE ES UNA PROPIEDAD MECÁNICA DE ESOS ELEMENTOS, DONDE DEMUESTRA LA CAPACIDAD DE RESISTENCIA A LA DEFORMACIÓN O A LA POSIBLE ROTURA, QUE TIENEN ESAS PIEZAS RESPECTO DE UN EJE.
Elemento indispensable para el dimensionamiento de perfiles, barras o vigas, de distintos materiales, para darle a estas la fortaleza necesaria para que ello no ocurra.
CCÍÍRRCCUULLOO LLLLEENNOO
42
42
22
4
0
4
03
02
2
r
dd
dAP
r
rrA
Momento de Inercia Polar:
322
44 dJorJ PP
RRAADDIIOO DDEE GGIIRROO
Es otra propiedad mecánica de los perfiles, donde se lo define como una distancia ix, tal que si el área de una sección estuviera concentrada en su centro de gravedad, obtendríamos el mismo valor del momento de inercia que hallamos por definición.
Toda la superficie concentrada en el punto A que produce el mismo momento de inercia.
El radio de giro o también llamado Radio de Inercia es de mucha utilidad en Ingeniería, para el dimensionamiento estructural de secciones compuestas.
x
y
r r
o
d
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AJ
iA
Ji
AiJ
dAyJ
yyy
xxx
xxx
Axx
2
2
RRaaddiioo ddee GGiirroo MMááxxiimmoo yy MMíínniimmoo
minimobbbhhb
AJ
i
maximohhbh
bhA
Ji
minimohbJ
maximobhJ
Inerciadesprincipaleejesyex
yyy
xxx
yy
xx
288,0121
12
288,0121
12
12
12
3
3
3
3
MMÓÓDDUULLOO RREESSIISSTTEENNTTEE
Se denomina así al cociente entre el momento de inercia respectivo y la distancia h/2 de la fibra más alejada del perfil al eje de momentos, se lo representa como Wx; Wy. Los valores Wx para los diferentes perfiles , está tabulados a los valores de su dimensionamiento.
32
62cmbh
hJW xx
x ídem 62
2hbbJ
W yyy
MMOOMMEENNTTOO RREESSIISSTTEENNTTEE
Es el producto del Módulo Resistente por la tensión de trabajo o tensión admisible.
2h
JM
WM
WM
xxxadm
admx
Las tensiones admisibles se pueden determinar en función de las tensiones elásticas o de rotura dividida por un coeficiente de seguridad que dependerá de las condiciones de trabajo de la pieza.
x
y
ix iy
dA
G
dy
y
b
y
xh/2
h/2G
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TTRRAASSLLAACCIIÓÓNN DDEE EEJJEESS Veremos la variación del momento de Inercia cuando los ejes de referencia, se
desplazan en forma paralela, conociendo uno de ellos.
Disponemos del momento de Inercia respecto del eje x (Jxx) y podemos determinarlo respecto de otro eje x’ (Jx’x’)
Conociendo: Axx dAyJ 2
Axx dADyyJ 2
''
Desarrollando el cuadrado:
2''
2''
22''
2
2
2
ADyDySxJJ
dADydADyDyJJ
dADydAyDydAyJ
xxxx
AAxxxx
AAAxx
de igual forma 2'' 2 ADxDxSyJJ yyyy
Si el Jxx es baricentro obtenemos:
2'' ADyJJ
GG xxxx
Pues el momento estático Sx de la sección respecto de un eje baricéntrico es nulo. Llegamos así a la denominada: FÓRMULA DE STEINER.
Estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Steiner:
TTEEOORREEMM AA DDEE SSTTEEIINNEERR
El momento de Inercia respecto de un eje cualquiera es igual al momento de Inercia respecto de un eje paralelo al anterior y baricéntrico, más el producto del área de la sección por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes.
ADxDyJJ
ADxJJ
ADyJJ
GG
GG
GG
yxyx
yyyy
xxxx
''
2''
2''
Dy
Dx
x
y
y y'
x
x'
Dy
Dxx
y
x
xG
G
yG
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Sabiendo que:
4
3
3
22
3
3
bhJ
hbJ
bhJ
xy
yy
xx
Trasladamos a los ejes baricéntricos utilizando Steiner: 2
'' ADyJJGG xxxx
Despejando:
directa formaen nteanteriormedemotrado habíamos que Lo
12
43
23
3
33
23
2
bhJ
bhbh
hhbbh
ADyJJ
GG
GG
xx
xxxx
Ídem:
12
43233
3323
2
bhJ
hbhbbbhhb
ADxJJ
GG
GG
yy
yyyy
Centrífugo:
044
2242222
22
bhbhJ
bhhbbh
DyADxJJ
GG
GG
yx
xyyx
No es casualidad que el momento de Inercia centrífugo respecto de los ejes baricéntricos sea nulo, como hemos visto para el rectángulo o figuras simétricas los ejes xG e yG son ejes principales de Inercia 0
GG yxJ ; para los cuales los momentos de Inercia
dx
dy x
y
G
h/2
h/2=Dy
b/2=Dx b/2yG
xG
y
x
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axiales son máximos y mínimos. Además debemos tener en cuenta que no siempre todo eje de simetría es eje principal de inercia, hay secciones que no.
Todas las formulas de distribución de tensiones en los materiales están desarrolladas para solicitaciones que coincidan con ejes principales de Inercia baricéntricos.
SSEECCCCIIÓÓNN TTRRIIAANNGGUULLAARR
b
Gg
x
g
dA
b1
dy
y (variable)
h
1/3 h
2/3 h
0
h
x
la Base de respecto Triánguloun deInercia de Momento
1243
43
43
:
333
43
04
03
0
3
0
2
0
2
0
2
11
0 12
2
bhJbhbhJ
hh
bhbJ
yh
bybJ
dyyhbdyybJ
dyyhbybJ
dyyhhbyJ
yhhbb
yhb
hbcomodybyJ
dAyJ
xxxx
xx
hhxx
hh
xx
h
xx
h
xx
h
xx
Axx
Aplicando “Steiner”
Para determinar el Jgg
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12
36
181
121
181231
212
3
33323
bhJ
bhbhbhhbhbhJ
gg
gg
SSeecccciióónn ttrriiaanngguullaarr
b
Gg
x
g
dA
b1
dyy (variable)
h
1/3 h
2/3 h
x
g-g coBarocéntri eje al respectodA sección la de Inercia de Momento
32221
1
1
1
21
32
32
32
32
3
:
dyyhbdybydyyy
hbbdyybJSiendo
yhbbb
h
yhbb
hb
hyh
bcomo
ydybJ
gg
gg
Para determinar el momento de inercia total del triángulo respecto al mismo eje g-g será:
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13
43
432
33
332
32
4332
32
32
4433
4
3232
32
31
32
31
32
31
32
31
32
31
hh
hb
hhbJ
yhbybJ
dyyhbdyybdyy
hbdyybJ
gg
h
h
h
hgg
h
h
h
h
h
hgg
36
8748243
32415
272
48115
3279
32
481
48116
327
3278
32
3
33343
44
33
bhJ
bhbhbhh
hbhbJ
hh
hb
hhbJ
gg
gg
gg
Aplicando “Steiner” para determinar Jxx
12
123236
3
323
bhJ
bhhbhbhJ
xx
xx
SSeecccciióónn CCiirrccuullaarr lllleennaa Jo, Momento de inercia respecto de un eje perpendicular a
la superficie circular que pasa por su centro.
y
y
x x
Rr
Odr
D
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14
40
4
03
0
02
0
2
422
2
RJ
RdrrJ
drrrJ
R
R
En función del Diámetro
Reemplazando 44
0 32222DDJDR
Como: yyxx JJJ 0
Por simetría, tenemos:
440
0
6441
2
22
DRJ
JJ
JJJ
yyxx
yyxx
Momento de Inercia respecto a dos diámetros perpendiculares xx e yy.
SSeecccciióónn CCiirrccuullaarr HHuueeccaa
Como 40 2
RJ es para el círculo lleno.
El circular hueco será:
44440 322
dDrRJ
Momento de Inercia Respecto al eje central perpendicular al plano.
Como:
4444
6441 dDrRJJ xxyy
Los momento de Inercia de las secciones Normalizadas ha sido calculado por métodos exactos y catálogos que se encuentran tabulados.
d
D
y
y
r
Rx x
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SSeecccciioonneess CCoommbbiinnaaddaass
Si los cantos Redondeados están precisados, el momento de Inercia puede ser calculado por descomposición.
10cm
40 cmxx
ch1 ch2 ch3
10cm 10cm
10 cm
10 cm
40 cm
40 cm
40 cm
x x
ch1
ch2
ch2
10 cm
4
3
000.16012
40·30
cmJ
cmcmJ
xx
xx
4
33
56012
40·15212
60·40
cmJ
cmcmcmcmJ
xx
xx
Tres chapas de 10 cm x 40 cm colocadas de diferente forma.
Importancia de las secciones Doble T, en que se obtendrán momentos de Inercia mayores con el mismo material.
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MMoommeennttoo ddee IInneerrcciiaa CCeennttrrííffuuggoo
PPRROODDUUCCTTOO DDEE IINNEERRCCIIAA
y
x
x
yA
dA
Axy
Axyy
dAyxJ
yxddJ
·
·
y
xx
b
0
yhh2
b2 dx
dy
42
2
2
·
22
0
2
0
0
hbJdyybJ
dyybbJ
dAybJ
dybdA
xyh
xy
hxy
hxy
y yg
xgh
b
b2
h2
G
x
42
2
2
22
0
2
0
0
hbJdxxhJ
dxhxhJ
dAxhJ
dxhdA
xyb
xy
bxy
bxy
El Teorema de Steiner aplicado a los momentos de Inercia Centrífugos:
044
222222
gg
gg
gg
gg
yx
yx
yxxy
yxxy
J
hbJbh
bhbhJJ
DxDyAJJ
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MMoommeennttoo ddee IInneerrcciiaa ““CCeennttrrííffuuggoo”” ddee uunn ttrriiáánngguulloo
RREESSPPEECCTTOO DDEE LLOOSS EEJJEESS XX EE YY
Dy= b 3
b x
Dx= h 3
xgdy
b1
b12
y
h h-y
y yg
24121
2
41
32
21
2432
22
22
221
21
:
21
22
2222
2
424322
2
2
03
02
02
2
2
022
2
2
0
2
11
0210 1
11
hbJhbJ
hhbhhhhh
hbJ
dyydyyhdyyhh
bJ
dyyyhyhhbdyyyh
hbJ
yhhbb
yhb
hbcomo
dyybdybbydAbydJJ
xyxy
xy
hhhxy
hhxy
hh
AA xyxy
RREESSPPEECCTTOO DDEE LLOOSS EEJJEESS BBAARRIICCÉÉNNTTRRIICCOOSS::
Por Steiner:
781824
33224222222
22
hbJhbhbJ
bhbhJhb
DyDxAJJ
gggg
gg
gg
yxyx
yx
yxxy
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18
Es negativo porque las áreas respecto del eje Baricéntrico, su definición es negativa.
+
+ -
-xg
yg
sentidode
rotación
x
yy1
x1
y1
y
x
x1
a
b
c
d
e
A
dA
adeb
odbc
odoe
adac
eboexbcacabSi
sen;sen
cos;cos
; 1
sencossencos
sencossencos
1
1
1
yxxadodx
xyyodadab
AxyAyyAxx dAyxJdAxJdAyJSi ;; 22
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19
1sensencos2cos
sensencos2cos
sencos
22
2222
221
21
11
11
11
11
yyxyxxxx
AAAxx
AAxx
xx
JJJJ
dAxdAxydAyJ
dAxydAyJ
ydAdJ
2coscossen2sen
coscossen2sen
cossen)
22
2222
221
21
11
11
11
11
yyxyxxyy
AAAyy
AAyy
yy
JJJJ
dAxdAxydAyJ
dAxydAxJ
xdAdJ
3sencoscossen
cossensencoscossen
cossensencossencos
cossen·sencos
22
22
2222
11
11
11
11
11
xyyyxxxy
yyxyxyxxxy
AAAAxy
AAxy
JJJJ
JJJJJ
dAxdAxydAyxdAyJ
dAxyxydAxyJ
MMOOMMEENNTTOO DDEE IINNEERRCCIIAA RREESSPPEECCTTOO AA UUNN EEJJEE RROOTTAADDOO
Si aplicamos a las ecuaciones (1); (2) y (3) las siguientes relaciones trigonométricas:
22
2
2
sencos2cos
cossen22sen
2cos121sen
2cos121cos
22cos1cos
22cos1sen
22sencossen
2
2
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20
De (1)
2
2cos122sen2
22cos1
11
yyxyxxxx JJJJ
32cos2sen2
22sen2cos22
:teAnálogamen
12sen2cos22
11
11
11
xyyyxx
yx
xyyyxxyyxx
yy
xyyyxxyyxx
xx
JJJ
J
JJJJJ
J
JJJJJ
J
Expresiones que nos dan el valor de los momentos de Inercia de los ejes girados en relación con los ejes originales.
Existen valores del ángulo para los cuales los momentos de inercia son MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Esto se deduce anulando la derivada primera de la ecuación (1).
Verificando que 01111
yyxxyyxx JJJJ (Polar)
yyxx
xy
xxyy
xy
xyxxyy
xyxxyy
xyxxyy
xyyyxxxx
JJJ
JJJ
JJJ
JJJ
JJJ
JJJ
ddJ
22tg
22tg
22tg
22cos
2sen
2cos22sen
02cos22sen22
11
Expresión que nos dará el valor del ángulo , para que los momentos de Inercia Axiles sean máximo o mínimo.
Sabemos que existe eje principal de Inercia cuando el momento centrífugo equivale a
cero 0 dAxyJ xy
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22
22
22cos
2
22sen
xyyyxx
yyxx
xyyyxx
xy
JJJ
JJ
JJJ
J
Recordando la ecuación (3) y reemplazando:
0
22
22
2cos2sen2
222211
11
xyyyxx
yyxxxy
xyyyxx
xyyyxxyx
xyyyxx
yx
JJJ
JJJ
JJJ
JJJJ
JJJ
J
Cuando x1 e y1 son ejes principales de Inercia, el momento centrífugo es nulo:
Entonces: 011yxJ Resulta:
22.mín
22.máx
421
2
421
2
11
11
xyyyxxyyxx
yy
xyyyxxyyxx
xx
JJJJJ
JJ
JJJJJ
JJ
2Jxy
Jxx-Jyy
22xyyyxx JJJ
2
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IINNEERRCCIIAA
4
4
1550;28
114;711;18
18
cmJJcmA
cmJJcmbmmecmr
UPN
hhyy
yyxx
CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLAA PPOOSSIICCIIÓÓNN DDEELL BBAARRIICCEENNTTRROO DDEELL CCOONNJJUUNNTTOO
cmAA
SXcm
AASY
cmcmcmcmcmdAdAS
cmcmcmcmcmdAdAS
yE
xE
y
x
r59,842,15
75,5285,45,335,1328
76,948105,3392,2128
2121
3222241
3221231
CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLOOSS MMOOMMEENNTTOOSS DDEE IINNEERRCCIIAA RREESSPPEECCTTOO DDEELL BBAARRIICCEENNTTRROO DDEELL CCOONNJJUUNNTTOO
4
224224231
222
11,4424
5,62811742,55,33214012
cmJ
cmcmcmcmcmDAJDAIJ
HH
HHHHHh
4
224241
212
42,2702
91,428135002,45,3311712
cmJ
cmcmcmcmDAJDAIJ
VV
vvvvVV
4
24431
0
122
0
24,1636
572,52842,65,3312
cmJ
cmcmcmcmDDAJDDAJJ
HV
HVHVcentrifugo
HV
Nota: JHV2 y JHV1 son cero por ser momentos de inercia centrífugos respecto a los ejes principales de inercia.
CCÁÁLLCCUULLOO DDEE JJMMÁÁXX .. YY JJMMÍÍNN..
22
22
22
22
HVVVHHVVHH
min
HVVVHHVVHH
max
JJJJJJ
JJJJJJ
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23
4
22
94,5409
24,16362
42,270742,44212
42,270242,4421
cmJ
J
max
max
4
22
59,1713
24,16362
42,270742,44212
42,270242,4421
cmJ
J
max
min
"32º01458,31
291,62904,1arctg2
904,142,270211,4421
24,1636222tg 44
4
cmcm
cmJJ
J
VVHH
HV
Vemos que al variar el ángulo de giro de los ejes (ver esquema) cada una de las magnitudes JHH y JVV varía mientras que su suma permanece constante. Es decir que existe un ángulo (el hallado) tal que uno de los momentos de inercia alcanza su máximo valor mientras que el otro alcanza su mínimo valor. Al mismo tiempo el producto de inercia JHV (centrífugo) correspondiente a ese ángulo será cero.
Los ejes respecto a los cuales el JHV = 0 y JHH; JVV son máximos y mínimos se los denomina ejes principales de inercia. Los momentos axiales de inercia respecto a los ejes principales se denominan momentos principales de inercia.
Es respecto al momento de inercia máximo
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GGUUÍÍAA DDEE TTRRAABBAAJJOO PPRRÁÁCCTTIICCOO NNºº 66
IInneerrcciiaa Hallar los ejes principales de inercia baricéntricos, gráfica y analíticamente del
siguiente esquema de perfiles conformados.
Como vemos en la figura tomamos un sistema de ejes cualesquiera x e y y referimos todos nuestros cálculos a dichos ejes (momentos estáticos y coordenadas del baricentro del conjunto).
DDAATTOOSS DDEE LLOOSS PPEERRFFIILLEESS
422
4
117;5,33
2140;93,11;20
20
cmJJcmA
cmJJcmbmmecmh
IPN
VVyy
HHxx
Reemplazamos en 7
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25
222
2''
2
'' 22kJ
JJJ
JJJ xy
yyxxyx
xxyyxx
Salvo los dignos
yyxx
xy
JJJ
22tg
Nota: veamos como varían los valores de las tensiones principales en función del ángulo.
Analizando la fórmula 5 vemos que si aumenta, Jxx’ disminuye, por lo tanto podemos determinar que será positivo en el sentido antihorario.
yyxx
xyxyxxyyxx
xyxyxxyyxx
JJJJ
kAJJJJJ
J
kAJJJJJ
J
2211
2
2
22
2
2
11
22
22
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RROOTTAACCIIÓÓNN DDEE LLOOSS EEJJEESS DDEE RREEFFEERREENNCCIIAA Veremos la variación de los Momentos de Inercia cuando los ejes rotan un ángulo
respecto de los originales.
La posición de dA referida al sistema móvil x’; y’ está dada:
sencossencos
xyyyxx
a) JP = Jxx +Jyy al girar los ejes la suma es independiente de la dirección de los ejes y solo cambia con la posición de “o”.
b) AAxx dAxydAyJ 22
'' sencos
desarrollando queda:
2''
2222
2222''
sensencos2cos
sensencos2cos
sensencos2cos
yyxyxxxx
AaAxx
JJJJ
dAxdAyxdAy
xdAxydAyJ
Reemplazando trigonométricamente:
22cos1cos
22cos1sen
22sencossen
2
2
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27
2
2cos122sen2
22cos1
'
yyxyxxxx JJJJ
Aplicando distributiva.
12sen2cos22
22cos
222sen2
22cos
2
''
''
xyyyxxxyxy
xx
yyyyxyxxxxxx
jJJJJ
J
JJJJJJ
Análogamente:
32cos2sen2
22sen2cos22
''
''
xyyyxx
yx
xyyyxyxxyy
yy
JJJ
J
JJJJJ
J
estas ecuaciones nos dan los momentos de Inercia con respecto a los ejes girados en relación a los momentos de Inercia con respecto a los ejes originales.
Pueden existir valores de que originen valores máximos o mínimos en el valor de Jxx, para averiguarlo resulta anular la derivada de la ecuación (1).
42
2tg
22tg
22cos2sen
2cos22sen02cos22sen
02cos222sen2
''
xxyy
xy
xyxxyy
xyxxyy
xyxxyy
xyxxyy
xyyyxxxx
JJJ
JJJ
JJJ
JJJJJJ
JJJ
ddJ
Expresión que nos da el ángulo para el cual los momentos de Inercia Axiles son máximos o mínimos; hay dos posibilidades que difieren 90º o sea que Jmax y Jmin son perpendiculares entre sí.
Si hacemos la derivada de Jx’y’ respecto de e igualamos a cero se llega a la misma fórmula (4).
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28
0
2cos
2cos2
2
2cos2cos2sen
2
2cos2sen2
''
''
''
''
''
yx
xyxyyx
xyyyxx
xyyyxxyx
xyyyxx
yx
xyyyxx
yx
JJJJ
JJJ
JJJJ
JJJ
J
JJJ
J
Esto significa que para el valor del ángulo donde Jx’x’ y Jy’y’ son máximos o mínimos obtendremos un valor de Jx’y’ = 0.
Por lo tanto podemos definir como EJES PRINCIPALES DE INERCIA a aquellos en donde el momento centrífugo se anula y los momentos de inercia axiles son máximos.
CCÍÍRRCCUULLOO DDEE MMOOHHRR Es un método gráfico, el cual nos determina los momentos de inercia principales y la
ubicación de sus respectivos ejes.
Partiendo de las formulas de Jx’x’ y Jy’y’ dadas las ecuaciones (1) y (2) vemos:
Realizando el siguiente cambio de variables:
CJ
BJJ
AJJ
yJxJ
xy
xyxx
xxyy
yxxx
2
'2
''''
Reemplazamos los valores en (1) y (3)
X = A + B cos 2 - C sen 2 (5)
Y = B sen 2 + C cos 2 (6)
Realizando un pasaje de términos y elevando ambos miembros al cuadrado en la ecuación (5) resulta:
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29
kCByAx
CByAx
CCbByAx
BCCBBCCByAx
ammSCBy
CBAx
2222
1
222
1
22222
2222222222
22
22222222
22
222
2cos2sen2sen2cos
2cos2sen2sen2cos
2cos2sen22cos2sen2sen2cos22sen2cos
...2cos2sen
sen2cos
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TTRRAASSLLAACCIIÓÓNN DDEE EEJJEESS Veremos la variación del momento de Inercia cuando los ejes de referencia, se
desplazan en forma paralela, conociendo uno de ellos.
Disponemos del momento de Inercia respecto del eje x (Jxx) y podemos determinarlo respecto de otro eje x’ (Jx’x’)
Conociendo: Axx dAyJ 2
Axx dADyyJ 2
''
Desarrollando el cuadrado:
2''
2''
22''
2
2
2
ADyDySxJJ
dADydADyDyJJ
dADydAyDydAyJ
xxxx
AAxxxx
AAAxx
de igual forma 2'' 2 ADxDxSyJJ yyyy
Si el Jxx es baricentro obtenemos:
2'' ADyJJ
GG xxxx
Pues el momento estático Sx de la sección respecto de un eje baricéntrico es nulo: llegamos así a la denominada: FÓRMULA DE STEINER.
Estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Steiner:
TTEEOORREEMMAA DDEE SSTTEEIINNEERR
El momento de Inercia respecto de un eje cualquiera es igual al momento de Inercia respecto de un eje paralelo al anterior y baricéntrico, más el producto del área de la sección por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes.
ADxDyJJ
ADxJJ
ADyJJ
GG
GG
GG
yxyx
yyyy
xxxx
''
2''
2''
Dy
Dx
x
y
y y'
x
x'
Dy
Dxx
y
x
xG
G
yG
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EEjjeemmppllooss ddee aannáálliissiiss ppaarraa ddeetteerrmmiinnaarr llooss mmoommeennttooss ddee IInneerrcciiaa::
33
33
3
0
3
022
2
3
0
3
02
02
2
bhxh
dxxhdxhx
dAxJ
hbyb
dyybdyby
dAyJ
b
h
A
Ayy
h
hhAxx
12
43883
22332
32
3
3
333
3333
2
2
3
2
2
22
2
2
2
hbJ
hbhhb
hhbhhb
yb
dyybdyby
dAyJ
xx
h
h
h
h
h
h
Axx
Análogamente: 12
3hbJ yy
En la figura anterior el momento de Inercia centrífugo será nulo,
Jxy = 0 0 Axy dAyxJ pues a cada elemento de posición (x; y) se le opone otro de
coordenadas (-x; -y) debido que x e y son ejes de simetría.
Como consecuencia podemos decir que será nulo el momento centrífugo si uno de los ejes de referencia es eje de simetría de la sección, lo que implica que TODO EJE DE SIMETRÍA ES EJE PRINCIPAL DE INERCIA, siendo el otro perpendicular a él.
dx
dy
0x
yb
hx
y
dx
dy
x
yb
h
x
yG
(-x;-y) (x;-y)
(x;y)(-x;y)
h/2
h/2
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Generalmente en los perfiles utilizados en la flexión, presentan un eje de simetría y los momentos de inercia están referidos a él y a otro perpendicular, con origen en el baricentro del perfil.
Sabiendo que:
4
3
3
22
3
3
bhJ
hbJ
bhJ
xy
yy
xx
Trasladamos a los ejes baricéntricos utilizando Steiner: 2
'' ADyJJGG xxxx
Despejando:
directa formaen nteanteriormedemotrado habíamos que Lo
12
43
23
3
33
23
2
bhJ
bhbh
hhbbh
ADyJJ
GG
GG
xx
xxxx
Ídem:
12
233
23
2
bhJ
bbhhb
ADxJJ
GG
GG
yy
yyyy
Centrífugo:
044
2242222
22
bhbhJ
bhhbbh
DyADxJJ
GG
GG
yx
xyyx
No es casualidad que el momento de Inercia centrífugo respecto de los ejes baricéntricos sea nulo, como hemos visto para el rectángulo o figuras simétricas los ejes xG e
dx
dy x
y
G
h/2
h/2=Dy
b/2=Dx b/2yG
xG
y
x
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yG son ejes principales de Inercia 0GG yxJ ; para los cuales los momentos de Inercia
axiales son máximos y mínimos. Además debemos tener en cuenta que no siempre todo eje de simetría es eje principal de inercia, hay secciones que no.
Todas las formulas de distribución de tensiones en los materiales están desarrolladas para solicitaciones que coincidan con ejes principales de Inercia baricéntricos.
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