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I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
1
TEMA V
GEOMETRIA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3
1. El espacio vectorial de los vectores libres del espacio V3………………. 1
2. Producto escalar de vectores en V3. Propiedades. Espacio euclídeo…... 6
3. Producto vectorial………………………………………………………..
4. El espacio afín de los puntos del espacio E3……………………………
5. Los puntos en E3…………………………………………………………
6. La recta en E3…………………………………………………………….
7. El plano en E3…………………………………………………………….
8. Posiciones relativas entre rectas y planos……………………………….
9. Problemas métricos. Determinación de distancias y ángulos…………..
10. Área de un triángulo y de un paralelogramo……………………………
11. Producto mixto. Volumen de un paralelepípedo……………………….
1. EL ESPACIO VECTORIAL DE LOS VECTORES LIBRES DEL ESPACIO
1.1 Introducción.
La Geometría es la parte de la Matemática que estudia las figuras del espacio real (puntos, rectas, planos, polígonos,
cuerpos,...), sus propiedades y relaciones.
Consideramos el conjunto de puntos del espacio habitual donde nos movemos, y en él vamos a estudiar las figuras
geométricas. Pretendemos organizar este conjunto "caótico" de puntos, y dotarlo de una estructura matemática; para ello
vamos a utilizar los vectores libres del espacio ,V3, de forma análoga a como lo hicimos en 1º con los vectores del plano V2.
1.2 Vector fijo en el espacio.
Consideramos el conjunto de puntos del espacio E3. Llamamos vector fijo del espacio E3, a todo par ordenado de puntos
(A, B). Lo escribimos
AB ó (A, B), y lo representamos por una flecha que empieza en A y termina en B.
Al primer punto A, se le llama origen del vector.
Al segundo punto B, se le llama extremo del vector.
Si el origen y el extremo coinciden, el vector recibe el nombre de vector nulo.
1.3 Características de un vector fijo.
Distinguimos tres elementos en un vector fijo:
Módulo: Es la medida de la longitud del segmento AB. Lo indicamos
AB . Dos vectores fijos tienen el mismo
módulo cuando tengan la misma medida.
Dirección: Es la de la recta determinada por los puntos A y B, y la de todas sus paralelas. Dos vectores fijos
AB y
CD tienen la misma dirección cuando son paralelos. Lo representaremos así:
CD | | AB .
Sentido: Es el que apunta la flecha y nos indica el orden en que se dan los puntos A y B. Dos vectores de la
misma dirección, decimos que tienen el mismo sentido cuando apuntan al mismo punto cardinal.
Representaremos dos vectores del mismo sentido
AB y
CD :
CD AB y de sentido contrario:
CD AB .Los vectores nulos tienen de módulo 0, y no tienen definidos la dirección ni el sentido.
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1.4 Equipolencia de vectores fijos.
Dos vectores fijos
AB y
CD se dice que son EQUIPOLENTES si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el
mismo sentido. Se escribe:
(A, B) (C, D) ó
CDAB .
"Los vectores fijos nulos, se consideran equipolentes entre si".
"Si dos vectores son equipolentes, o están situados sobre la misma recta, o son los lados opuestos de un
paralelogramo"
La equipolencia de vectores nos permite agrupar en clases de equivalencia a todos los vectores equipolentes entre si.
1.5 Vector libre.
Al conjunto de vectores formado por un vector
AB , y todos los vectores fijos equipolentes a él, se le llama vector libre.
Los vectores libres del espacio se suelen representar por letras minúsculas con una flechita:
esequipolent sus y todos AB fijovector =AB=a
.
o también, mediante uno cualquiera de los vectores fijos que lo componen, que tomamos
como representante:
AB . Se suelen identificar ambas cosas:
AB=a
.
En la figura, los vectores
AB ,
CD o
MN son distintos representantes del vector libre a
.
Al vector libre formado por todos los vectores fijos de la forma
AA (en los que coincide el origen con el extremo) le
llamamos vector cero 0 . Lógicamente 00
.
Cuando un vector libre u tiene por módulo 1 ( 1u
) decimos que es un vector unitario.
Al conjunto de los vectores libres del espacio lo representamos por V3.
1.6 Operaciones con vectores libres.
I. Suma de vectores libres.
Dados dos vectores libres a y
b definimos el vector
a +
b como un nuevo vector construido de la siguiente
manera:
A partir de un punto cualquiera del espacio trasladamos los vectores a y
b de forma que el origen de
b coincida con el extremo de
a .
a
+b es el vector de origen el de
a y de extremo el de
b , según se
observa en la figura.
PROPIEDADES:
ASOCIATIVA: Para tres vectores cualesquiera a ,
b y
c , se cumple que cbacba
)()(
Existe un ELEMENTO NEUTRO: El vector 0 tal que para cualquier vector
a : aaa
00
Existe un ELEMENTO OPUESTO para cada vector a , el a
(es el vector del mismo módulo y dirección
que a pero de distinto sentido), tal que 0)(
aa
CONMUTATIVA: abba
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II. Producto de un número real por un vector.
Sea un número real cualquiera R y a un vector libre cualquiera 3Va
. Definimos el producto a
como
un nuevo vector, b
tal que:
0< si
0> si de Sentido
:dirección misma la De
ab
abb
ab
ab
ba
Por tanto, el producto de un número real por un vector a es otro vector paralelo a él. Recíprocamente, si
dos vectores a y
b son paralelos, siempre existe un número real tal que se puede expresar ab
Lógicamente a0 es un vector de módulo 0 y, por tanto, 00
a .
PROPIEDADES:
Sean y números reales cualesquiera y a y
b dos vectores cualesquiera de 3V . Se cumplen las siguientes
propiedades:
baba
)(
aaa
)(
)()( aa
aa
1
El conjunto de los vectores libres del espacio, V3, con las operaciones suma y producto por números reales, junto con
las propiedades enunciadas, tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL sobre R.
1.7 Combinaciones lineales.
Dado un conjunto finito de n vectores, también llamado sistema de vectores nvvvvS
,......,,, 321 , decimos que un
cierto vector a es combinación lineal de los vectores nvvvv
,......,,, 321 cuando se puede escribir
nn332211 v+ .... +v+v+v= a
siendo n321 .... , , , números reales cualesquiera.
Naturalmente, el vector 0 se puede expresar siempre como combinación lineal de cualquier conjunto de vectores, ya
que siempre se podrá escribir:
n321 v0+ .... +v0+v0+v0= 0
1.8 Dependencia e independencia lineal.
En general, decimos que un sistema de n vectores, nvvvvS
,......,,, 321 , es libre o que dichos vectores son
linealmente independientes cuando en toda expresión de la forma: 0v+ .... +v+v+v nn332211
los únicos
valores posibles para los coeficientes son 0=....=== i321 .
Si además de esta solución, que siempre es posible, alguno de los coeficientes admite un valor distinto de 0 decimos que
los vectores del sistema son linealmente dependientes o que el sistema es ligado.
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Se puede demostrar que si los vectores de un sistema son linealmente dependientes, entonces al menos un vector se
puede expresar como combinación lineal de los demás y recíprocamente, si en un sistema de vectores alguno de ellos se
puede expresar como combinación lineal de los demás, entonces dicho sistema es ligado.
TEOREMA:
Dos vectores de 3V , u y v , no nulos y de distinta dirección, son linealmente independientes.
En efecto: Sea 0
vu y supongamos que alguno de los coeficientes, por ejemplo , sea 0, entonces:
vuvu
; siendo
un número real. Por tanto
u y v tendrían que ser paralelos.
Es decir, no puede ser 0. Por tanto 0 y, consecuentemente u y v son vectores linealmente independientes.
TEOREMA:
Dados dos vectores de 3V , u y v , no nulos y de distinta dirección, cualquier vector que sea combinación
lineal de u y v pertenece al plano determinado por
u y v (o a cualquier otro paralelo a él).
El conjunto de todos los vectores que son combinación lineal de u y v constituyen un espacio vectorial de dimensión 2
(V2). Se dice, entonces, que dicho plano vectorial ha sido engendrado por los vectores u y v .
Lógicamente, cualquier vector no contenido en dicho plano, no se puede expresar como combinación lineal de u y v .
TEOREMA:
Tres vectores de 3V , wyv ,u
, no nulos y no contenidos en un mismo plano
(no coplanarios), son linealmente independientes.
1.9 Sistema generador.
Decimos que un sistema de vectores nvvvvS
,......,,, 321 , es un sistema generador de un cierto espacio vectorial V,
cuando cualquier vector a del espacio vectorial se puede expresar como combinación lineal de ellos.
TEOREMA:
Dados tres vectores de 3V , wyv ,u
, no nulos y no coplanarios, cualquier otro vector de 3V se puede
expresar como combinación lineal de wyv ,u
( wyv ,u
constituyen un sistema generador de 3V ).
CONSECUENCIAS:
1.- "Dos vectores, no nulos, de V3, con IGUAL dirección, son LINEALMENTE ......................"
2.- "Cuatro o más vectores de V3, son siempre LINEALMENTE ......................"
1.10 Base de un espacio vectorial.
Definimos una base de un espacio vectorial, como un sistema de vectores simultáneamente libre y generador.
TEOREMA:
Cualquier sistema formado por tres vectores w yv ,u
de 3V , no nulos y no coplanarios, constituye
una BASE de 3V ya que, según hemos visto, constituyen un sistema libre y generador.
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En V3 todas las bases están formadas por tres vectores no coplanarios . Por eso decimos que es un espacio de dimensión 3, y
lo hemos llamado V3.
1.11 Componentes de un vector respecto de una base
Sean tres vectores wyv ,u
no coplanarios, dados en este orden, que constituyen una base de 3V : w,v ,u=B
. Por
tratarse de un sistema generador, un vector cualquiera, 3Vx
, se puede expresar como combinación lineal de los
vectores de la base y, por tanto, podemos escribir:
wv+ux
Pues bien, llamamos COMPONENTES del vector x respecto de la base B a la terna de números reales ),,( , es
decir, a los coeficientes de wyv ,u
. Se demuestra que para una determinada base las componentes de un vector son
únicas y sólo existe un vector para cada terna de componentes; por tanto, éstas determinan perfectamente al vector;
por esto es normal que para referirnos a un vector, en lugar de escribir toda la combinación lineal respecto de la base,
sólo se escriban sus componentes, que es más corto. (En lugar de escribir wv+ux
, escribimos ),,(x
.
Lógicamente, para un vector x , si cambiamos de base, los coeficientes cambiarán y, por tanto, sus componentes; es
decir, bases distintas suponen componentes distintas para un mismo vector.
1.12 Componentes de la suma de vectores.
Sean x e
y dos vectores de componentes ),,(x 111
; ),,(y 222
respecto de la base w,v ,u=B
),,(x 111
es lo mismo que wvux 111
; ),,(y 222
es lo mismo que wvuy 222
Sumando: wwvvuu)wvu()wvu(yx 212121222111
w)(v)(u)( 212121
Por lo tanto el vector yx
tiene por componentes
),,( 212121 yx
(La suma de las componentes)
1.13 Componentes del producto de un número real por un vector
Sea un número real cualquiera y x un vector de componentes ),,(x 111
respecto de la base w,v ,u=B
.
),,(x 111
es lo mismo que decir wvux 111
;
Multiplicando por x : w)(v)(u)()w()v()u()wvu(x 111111111
Por lo tanto el vector x
tiene por componentes:
),,( 111 x
(El producto de por las componentes de x )
1.14 Componentes de dos vectores paralelos
Sean dos vectores paralelos x e
y de componentes ),,(x 111
e ),,(y 222
respecto de la base w,v ,u=B
.
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Por tener ambos la misma dirección se cumple que xy
, por tanto las componentes de y respecto de la base B se
pueden expresar de dos formas:
),,(y 222
= ),,(x 111
y como las componentes de un vector respecto de una base son únicas, se ha de cumplir que:
1
2
1
2
1
2
21
21
21
, es decir, las componentes de x y de
y son proporcionales.
Si dos vectores son paralelos, sus componentes son proporcionales. Recíprocamente, se demuestra que si las
componentes de dos vectores son proporcionales, entonces ambos vectores son paralelos.
1.15 Correspondencia entre V3 y R3.
Fijada una base w,v ,u=B
de V3, hemos visto que a cada vector libre 3Vx
le corresponde una terna ordenada única
sus componentes (x1, x2, x3) R3 y recíprocamente.
Además, las operaciones en V3 se corresponden con las operaciones en R3, de manera que, como hemos visto, si
x
= (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3), entonces:
332211 ,, yxyxyxyx
y 321 ,, xxxx
Existe, pues, una correspondencia biyectiva entre V3 y R3, que nos permite usar vectores libres o ternas de números reales
según necesitemos, y por tanto, pasar de las relaciones geométricas en V3 a relaciones numéricas en R3.
2. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES EN V3. PROPIEDADES.
Consideramos el espacio vectorial V3 de los vectores libres del espacio. Consideremos la aplicación
Rvu)v,u:RVV 33
que asocia a cada par de vectores v,u
el número real vu definido de la siguiente manera:
000
00,cos
vousi
vyusivuvuvu
El producto escalar cumple las siguientes propiedades:
Conmutativa: 3Vv,u;uvvu
Asociativa respecto al producto de escalares: Rk;Vv,u;vukvuk 3
Distributiva respecto a la suma de vectores: 3Vw,v,u;wuvuwvu
El producto escalar de un vector por si mismo es un número positivo o nulo: 0uu
En efecto: 0u0cosuuuu2
(Nota: Sin embargo el producto escalar de dos vectores distintos u
, v
puede ser positivo, negativo o nulo,
dependiendo del coseno del ángulo que formen dichos vectores)
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Si u
y v
son dos vectores no nulos, entonces u
es perpendicular a v
si y solo si, el producto escalar es cero:
0vu90cosvuvuvu
El espacio E3 dotado de esta nueva herramienta (producto escalar), se conoce con el nombre de ESPACIO EUCLÍDEO.
Como iremos viendo, el producto escalar nos permite introducir dos nuevos conceptos de gran importancia: distancias y
ángulos, que amplían considerablemente las posibilidades de plantear y resolver problemas en la geometría del espacio.
2.1 Expresión analítica del producto escalar.
Consideremos la base k,j,iB
de V3, los vectores u y
v , pueden expresarse mediante sus componentes,
u (u1, u2, u3) y
v (v1, v2, v3), es decir:
kvjvivv
kujuiuu
321
321
Si aplicamos las propiedades anteriores:
kvjvivkujuiuvu 321321
Si desarrollas el producto anterior y la base k,j,iB
es ortonormal (vectores de módulo unidad y perpendiculares), el
desarrollo se reduce mucho, ya que:
10cos11kkjjii
090cos11kjkiji
y la expresión analítica del producto escalar respecto a una base ortonormal es: 332211 vuvuvuvu
(Observa que este producto lo podemos escribir utilizando matrices, en la forma:
3
2
1
321
v
v
v
u,u,uvu
.
2.2 Norma o módulo de un vector. propiedades.
En la propiedad 4ª del producto escalar, hemos visto que 2
u0cosuuuu
, luego:
uuu
El módulo o norma del vector u
es la raíz cuadrada positiva del producto escalar del vector por él mismo. Lo escribimos
en la forma u
ó u
.
Si la base es ortonormal y el vector u tiene por componentes
u (u1, u2, u3) respecto de dicha base, entonces el producto
escalar de uu viene dado por:
2
3
2
2
2
1332211 uuuuuuuuuuu
y
2
3
2
2
2
1 uuuuu
Propiedades del módulo de un vector.
El módulo o norma de un vector es cero, si y sólo si el vector es nulo.
0u0u
El módulo o norma del producto de un número por un vector es igual al valor absoluto del número por el módulo del
vector.
ukuk
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El módulo o norma de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de los módulos de dichos vectores.
vuvu
Comprueba las propiedades anteriores con ejemplos.
2.3 Ángulo de dos vectores. ortogonalidad.
Si tenemos dos vectores no nulos , a partir de la definición del producto escalar: vu
vuvu
,cos
"El coseno del ángulo de dos vectores es igual al cociente entre su producto escalar y el producto de sus módulos ".
La expresión analítica será: 2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211,cosvvvuuu
vuvuvuvu
Condición de perpendicularidad de dos vectores:
00 332211 vuvuvuvuvu
1. Dados los vectores 1,3,0u
y 4,3,2v
, con respecto a una base ortonormal, determina:
a) Su producto escalar.
b) Sus módulos.
c) El ángulo que forman dichos vectores.
d) Si los vectores no son unitarios, determina otros vectores paralelos a u
y a v
que lo sean.
Solución: a) 5 b) 10u
29v
d
Se llaman cosenos directores del vector u
, a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base
ortonormal k,j,iB
. Determina los cosenos directores del vector u = (1, 2, 3).
Solución:
2. Determina el valor de m para que los vectores u
= (m, -2, 3) y v
= (-1, m, 1) sean:
a) Ortogonales b) Paralelos.
Solución: a) m = 1 b) No hay valores de m para que sean paralelos
3. PRODUCTO VECTORIAL.
Dados dos vectores respecto a una base ortonormal u (u1, u2, u3) y
v (v1, v2, v3), definimos una nueva operación en V3,
que llamamos producto vectorial y escribimos vu
, al vector que se obtiene por el desarrollo del siguiente determinante:
321
321
vvv
uuu
kji
vuvectorialoductoPr
(Observa que mientras en el producto escalar, el resultado es un número, en esta
operación, que llamamos producto vectorial, el resultado es un vector).
Si desarrollamos el determinante anterior por la primera fila , obtenemos: kvv
uuj
vv
uui
vv
uuvu
21
21
31
31
32
32
Expresión que nos indica las componentes del vector producto vectorial respecto de la base ortonormal fijada.
3.1 Propiedades del producto vectorial:
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El vector vu
es perpendicular a u y a
v .(Es decir, es perpendicular al plano que determinan
u y
v )
Si 0
u ; 0
v ó vu
entonces el producto vectorial es el vector 0 .
No es conmutativo: uvvu
v,usenvuvu
. Es decir el módulo del producto vectorial viene dado por el producto de los módulos por
el seno del ángulo que forman los vectores. Esta propiedad es muy interesante geométricamente ya que:
El módulo del producto vectorial de u
y v
es igual al área del paralelogramo
de lados los vectores u y v
.
3. Dados los vectores u = (2, 0, -3) y
v = (3, 1, 2)
a) Calcula el vector producto vectorial de ambos.
b) Comprueba con estos vectores que el producto vectorial es un vector perpendicular a u y a
v .
c) Comprueba que el producto vectorial no es conmutativo.
d) Comprueba con estos vectores que el producto vectorial cumple la propiedad 4ª.
Solución: a)
4. EL ESPACIO AFÍN
Nos proponemos estudiar el espacio como conjunto de puntos. Para trabajar con estos puntos sería deseable que
pudieran representarse numéricamente de alguna manera. Para ello vamos a fijar un punto O, cualquiera del espacio, y
nos vamos a ayudar también del espacio de los vectores libres
(V3):
Fijado el punto O, todos los vectores libres del espacio tienen un
representante con origen en O.
Consideremos un punto A cualquiera del espacio. Existe un único
vector que tenga su origen en O y su extremo en A. A este vector
le vamos a llamar vector de posición del punto A.
Recíprocamente cada vector con origen en O determina un único
punto del espacio: en nuestro dibujo el vector a es el vector de
posición del punto A.
Es decir, que fijado un punto O del espacio existe una aplicación
biyectiva entre los vectores del espacio con origen en O y el
conjunto de puntos. Por cada vector un punto, por cada punto un
vector.
Llamamos Espacio afín, y lo representamos por E3, al espacio de puntos, junto con el espacio vectorial V
3 asociado
tal que fijado un punto O cualquiera del espacio existe una aplicación biyectiva por la que a cada vector le corresponde
un punto y a cada punto un vector.
4.1 Sistema de referencia afín.
Un sistema de referencia en el espacio afín viene dado por un punto cualquiera O del plano y una base cualquiera del
espacio vectorial asociado V3. Un sistema de referencia en el espacio afín lo notamos:
k,j,i;OR
, siendo k,j,iB
la base de V3.
Generalmente los vectores i
, j
y k
se eligen unitarios por comodidad: 1i
; 1j
; 1k
y perpendiculares entre
si. (Recuerda de 1º que a estas bases las llamábamos bases ortonormales).
4.2 Coordenadas de un punto.
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v (a, b, c)
O
A’(x, y, z)
A(x1, y1, z1)
Fijado el punto O (origen) del espacio de puntos E3, cualquier otro punto P del espacio determina con O un vector único
OP , su vector de posición.
Si además fijamos una base kjiB
,, , podemos expresar el vector
OP como combinación lineal de los vectores de dicha
base en la forma:
kzjyixOP
La terna de números (x, y, z) R3, son las componentes del vector
OP . Pues bien:
Definimos: las coordenadas del punto P (respecto del origen O y de la base kjiB
,, ) precisamente, a las componentes
de su vector de posición:
Coordenadas de P = Componentes del vector
OP
Una vez fijado el sistema de referencia, cada punto P del espacio E3 queda determinado de forma única por sus coordenadas
(x, y, z) R3 y viceversa.
4. En un sistema de referencia afín kjiO
,,; , dibuja los puntos A(1, 2, 2), B(1, 1, 1), C(0, 1, 1),
D(1, 0, 1), E(1, 1, 0), F(0, 0, 1).
Solución:
5. LOS PUNTOS EN E3.
5.1 Componentes de un vector conocidas las coordenadas de sus extremos.
Queremos determinar las componentes del vector
AB conociendo las coordenadas de su origen A(x1, y1, z1) y de su
extremo B(x2, y2, z2), en un sistema de referencia kjiO
,,; .
Consideramos los vectores de posición de A y de B. Evidentemente se cumple:
OBABOA ; luego
OAOBAB
Si sustituimos los vectores de posición por sus componentes queda:
121212111222 ,,,,,, zzyyxxzyxzyxAB
RESUMIENDO: Las componentes de un vector
AB vienen dadas por las coordenadas del extremo, B, menos
las coordenadas del origen, A.
Supuesto el sistema de referencia afín k,j,i;O
, resuelve:
5. Si A(0, 4, 7) y B(-2, 1, 0) son dos puntos, hallar las componentes de
AB .
Solución: (-2, -3, -7)
6. Las componentes de
AB son (2, 0, 5) y las coordenadas del punto B((0, 1, 2). Hallar las coordenadas de A.
Solución: A(-2, 1, -3)
5.2 Traslación de un punto a mediante un vector v .
Cuando un punto A se transforma en A’ de modo que
'AA = v , se dice
que se ha aplicado una traslación al punto A de vector v . Siguiendo la
figura de la derecha, podemos escribir:
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vOAOA
'
Si llamamos (x, y, z) a las coordenadas del punto A’ y trabajamos con las componentes de los tres vectores:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (a, b, c) (x, y, z) = (x1 + a, y1 + b, z1 + c)
czz
byy
axx
1
1
1
Para trasladar un punto A mediante un vector v se le suman a las coordenadas del punto las componentes del
vector.
5.3 Coordenadas del punto medio de un segmento.
Suponemos conocidas las coordenadas de )z,y,x(A 111 y de )z,y,x(B 222 , en un sistema de referencia afín
kjiO
,,; , y queremos hallar las coordenadas del punto medio
M(xm, ym, zm), del segmento AB.
Si M es el punto medio de AB, se cumple que
ABAM2
1. Y si consideramos
las componentes de ambos vectores:
(xm x1, ym y1, zm z1) = )zz,yy,xx(2
1121212
Igualando componentes y despejando (xm, ym, zm) encontramos los siguientes
valores:
2
21 xxxm
;
2
21 yyym
;
2
21 zzzm
De forma análoga podemos resolver otras cuestiones sencillas que veremos
sobre ejercicios concretos, como por ejemplo:
División de un segmento en n partes iguales.
Baricentro de un triángulo.
Condición para que cuatro puntos formen un paralelogramo.
Simétrico de un punto respecto de otro.
7. Si A(0, 4, 7) y B(-2, 1, 0), determina las coordenadas del punto medio del segmento AB.
Solución: M
8. Hallar los puntos P y Q que dividen al segmento AB en tres partes iguales, siendo A(0, 4, 7) y B(-2, 1, 0).
Solución:
9. Hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo de vértices A(1, 2, 3) , B(3, 4, 5) y C(-1, -3, -1).
Solución:
10. En un triángulo ABC el baricentro es G(1, 2, 1). El punto medio de BC es M(2, 4, 6) y el punto medio de AC
es N(3, 2, 1). Hallar los vértices A, B y C.
Solución: A(-1, -2, -9) B(-3, 2, 1) C(7, 6, 11)
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11. Dados los puntos A(2, 1, 3) , B(5, 4, 1) y C(2, 1, 5), determina el punto D, de manera que la figura ABCD sea
un paralelogramo.
Solución: D(-1, -2, 7)
12. Hallar el punto A' que sea simétrico de A(1, 2, 3) respecto del punto P(0, -1, 7).
Solución: A’(-1, -4, 11)
6. LA RECTA EN E3.
6.1 Una recta en el espacio queda determinada conociendo: (Un punto, y un
vector)
Un punto A(x1, y1, z1) que pertenezca a dicha recta, y
Un vector 321 ,, uuuu
, no nulo, que tenga igual dirección que la recta r. Al vector u , se le llama vector director de la recta o vector de dirección. Al par r(A;
u ) se le
llama determinación lineal de la recta r.
Ecuación vectorial de la recta:
Si la recta r viene determinada por (A; u ), cualquier punto X r cumple que el
vector
AX tiene igual dirección que u , es decir:
uAX
; R
Si a y
x son los vectores de posición de los puntos A y X, tenemos:
uax ; R,
y despejando, obtenemos:
Ecuación vectorial de la recta: R ;u + a = x
Ecuaciones paramétricas de la recta: Si el punto conocido A tiene de coordenadas A(x1, y1, z1), el punto cualquiera X(x, y, z) y el vector director
321 ,, uuuu
y sustituimos en la ecuación vectorial obtenemos:
)u,u,(u+)z,y,(x=z)y,(x, 321111 . Y, por tanto:
Ecuaciones paramétricas de la recta.
31
21
11
:
uzz
uyy
uxx
r
Ecuación continua de la recta:
Si en las ecuaciones anteriores despejamos el parámetro e igualamos, queda:
Ecuación continua de la recta: 3
1
2
1
1
1
u
zz
u
yy
u
xx
(Para poder escribir esta ecuación deben ser distintos de cero los tres denominadores).
Ecuaciones implícitas de la recta: Si en la ecuación continua, consideramos por separado la doble igualdad, obtenemos:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
13
Ecuaciones implícitas de la recta
3
1
2
1
2
1
1
1
u
zz
u
yy
u
yy
u
xx
(Estas dos ecuaciones no son tan cómodas como las anteriores, pero, como veremos más adelante, representan a dos
planos que se cortan en la recta r).
13. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta que pasa por el punto A(1, 5, -1) y es
paralela al vector u = (2, 3, -2).
Solución: Ecuación vectorial: Ecuaciones paramétricas:
Ecuación continúa:
14. Determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(1, 5, -1) y es paralela al vector u = (2, 0, 0).
Solución: Ecuación vectorial: Ecuaciones paramétricas:
Ecuación continúa:
Ecuaciones implícitas: y = 5; z = -1
15. La recta r viene dada por su ecuación continua 4
5
3
1
2
3
zyx.
a) Determina las ecuaciones paramétricas de dicha recta.
b) Determina un vector de dirección de r.
c) Determina tres puntos que pertenezcan a la recta.
Solución: a) b) c) A(1, 2, 0); B(5, 4, -1), C(1, -2, -9)
16. La recta r, viene dada por
5z
2y
31x
a) Determina la ecuación continua de dicha recta.
b) Determina un vector de dirección de r.
c) Determina tres puntos que pertenezcan a la recta.
Solución: a)
b) A(1, 2, 0) B(4, 3, -5) C(-2, 1, 5)
17. Determina las ecuaciones de los ejes de coordenadas.
Solución: Eje OX: Ecuaciones paramétricas x = λ y = 0 z = 0 ecuaciones implícitas y = 0 z = 0
Eje OY: Ecuaciones paramétricas x = 0 y = λ z = 0 ecuaciones implícitas x = 0 z = 0
Eje OX: Ecuaciones paramétricas x = 0 y = 0 z = λ ecuaciones implícitas x = 0 y = 0
18. La recta r viene dada por su ecuación continua 5z2
y1
2
3x
.
a) Determina un vector de dirección de r.
b) Determina tres puntos que pertenezcan a la recta.
Solución: a) A(3, 1, -5) B(-1, 5, -2) C(1, 3, -6)
6.2 Recta que pasa por dos puntos.
Una recta r queda también determinada conociendo dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) pertenecientes a ella.
La obtención de las ecuaciones en este caso, es análoga a la anterior, teniendo en
cuenta que ahora nos sirve de vector director )zz,yy,xx(AB 121212
.
Entonces:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
14
Determinación lineal de la recta r: r(A;
AB ).
Ecuación vectorial de la recta: R;ABax
.
Es decir: )zz,yy,xx()z,y,x()z,y,x( 121212111
Ecuaciones paramétricas de la recta.
121
121
121
zzzz
yyyy
xxxx
Ecuación continua de la recta: 12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
19. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta que pasa por los puntos A(1, 2, 3) y
B(-1, 5, -2).
Solución:
7 EL PLANO EN E3.
7.1 Un plano queda determinado conociendo: (Un punto, y dos vectores de distinta dirección)
Un plano en el espacio queda determinada conociendo un punto A(x1, y1, z1) que pertenezca a dicho plano , y dos
vectores )u,u,u(u 321
y )v,v,v(v 321
, no nulos y no proporcionales (de distinta dirección), que sean paralelos a .
A los vectores u
y v
se les llama vectores direccionales de y a la terna (A; u v, ) es la determinación lineal del plano
.
Ecuación vectorial del plano:
Si el plano viene determinado por (A; u v, ), cualquier punto X cumple que el vector
AX es combinación
lineal de u
y v
, es decir:
vuAX
; , R
Si a
y x
son los vectores de posición de los puntos A y X, tenemos:
vuax ; , R Despejando:
Ecuación vectorial del plano: vuax ; , R.
Ecuaciones paramétricas del plano: Si el punto conocido A tiene de coordenadas A(x1, y1, z1), el punto X(x, y, z) y los vectores direccionales
)u,u,u(u 321
y )v,v,v(v 321
y sustituimos en la ecuación vectorial obtenemos:
)v,v,v()u,u,u()z,y,x()z,y,x( 321321111
Igualando las componentes del primer y segundo miembro:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
15
Ecuaciones paramétricas del plano:
331
221
111
vuzz
vuyy
vuxx
Ecuación implícita o general del plano:
Para obtener esta ecuación debemos eliminar los parámetros y de las ecuaciones paramétricas anteriores. Para
ello consideramos las ecuaciones anteriores como un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas y . Si
reordenamos el sistema:
1331
122
111
zzvu
yyvu
xxvu
Para que este sistema sea compatible, debe cumplirse que el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz
ampliada sean iguales. Es decir:
rango
33
22
11
vu
vu
vu
= rango
133
122
111
zzvu
yyvu
xxvu
Como la matriz de coeficientes es de rango 2 (solo tiene dos columnas), es preciso que la matriz ampliada sea
también de rango 2. Para ello el determinante de la ampliada debe ser nulo. Obtenemos así la ecuación implícita del
plano:
0,,det
133
122
111
zzvu
yyvu
xxvu
AXvu
Si este determinante lo desarrollamos y ordenamos queda una ecuación de la forma:
ecuación general del plano 0 DCzByAx
20. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita del plano que pasa por el punto P(1, 0, -2) y tiene
de vectores direccionales al vector u (2, 2, -2), y al
v (0, 2, 3).
Solución:
7.2 Plano que pasa por tres puntos.
Un plano , queda también determinado conociendo tres puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) y C(x3, y3, z3)
pertenecientes a él.
La obtención de las ecuaciones es análoga a la anterior, pero ahora nos pueden
servir de vectores directores:
)zz,yy,xx(AB 121212
y )zz,yy,xx(AC 131313
De igual forma que antes tendremos como determinación lineal del plano :
(A;
AB ,
AC ). Y sus ecuaciones se obtienen fácilmente a partir de las
anteriores.
21. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita del plano que pasa por los puntos A(1, 2, 3) ,
B(-1, 5, -2) y C(6, 7, 0).
Solución:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
16
22. Di razonadamente si los puntos A(2, 3, 1) , O(0, 0, 0), B(5, 0, 4) y D(1, -1, 1) son coplanarios. En caso
afirmativo determina la ecuación general del plano que los contiene.
Solución:
Ecuación normal del plano:
En apartados anteriores hemos visto que para determinar un plano y poder hallar su ecuación, necesitábamos, un punto y
dos vectores direccionales, o bien tres puntos no alineados.
Ahora, gracias al producto escalar, podemos determinar un plano conociendo un punto A y un vector perpendicular al
plano (vector característico).
Supongamos que el punto conocido es A(x0, y0, z0) , y el vector perpendicular es n
= (a, b, c). Evidentemente, cualquier
punto X(x, y, z) cumple que el vector
AX está contenido en . Luego el producto escalar de 0nAX
, ya que el
plano es perpendicular a n
= (a, b, c). Es decir:
X;0nAXn
, y si escribimos el producto escalar con las
componentes, llegamos a:
000 zzcyybxxa . Ecuación normal del plano
Si desarrollamos queda: ax + by + cz + d = 0, que es la ecuación general, en la que observamos que los coeficientes a, b
y c corresponden a las componentes de un vector perpendicular al plano.
23. Halla la ecuación del plano que contiene al punto A (1, 2, 3) y es perpendicular al vector n
= (5, -4, 2).
Solución:
24. Halla la ecuación de la recta que contiene al punto A(1, 2, 3) y es perpendicular a 3x + y - 2z + 7 = 0.
Solución:
25. Halla la ecuación del plano que contiene al punto A(0, 2, -1) y es perpendicular a la recta z5
7y
3
xr
.
Solución:
26. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita del plano que pasa por el punto A(1, 5, -1) y
tiene de vectores direccionales al vector u (2, 3, -2), y al
v (0, 1, 5).
Solución:
27. Determina la ecuación de un plano que pasa por el punto A(1, 5,-1) y es paralelo a las rectas
4
5z
3
1y
2
3xr
y
1
5z
5
y1
2
xs
.
Solución:
28. Determina las ecuaciones de los planos OXZ, OXY, y OYZ.
Solución:
29. El plano , viene dado por su ecuación 0
z45
1y21
1x32
.
a) Determina la ecuación implícita de dicho plano.
b) " los vectores de dirección del plano.
c) " tres puntos que pertenezcan al plano.
Solución:
Dadas las ecuaciones paramétricas:
631z
421y
21x
, di razonadamente si representan un plano o una recta .
8. POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y PLANOS
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
17
8.1 Posiciones relativas de dos rectas.
Las posiciones relativas de dos rectas en el espacio son:
Rectas coincidentes: Tienen todos los puntos comunes.
Rectas paralelas: No tienen ningún punto en común y están en un mismo plano.
Rectas secantes o que se cortan: Tienen un punto en común y están en un mismo plano.
Rectas que se cruzan: No tienen ningún punto en común y no están en un mismo plano.
Si nos dan las rectas
31
21
11
uzz
uyy
uxx
r y
32
22
12
vzz
vyy
vxx
s , y queremos estudiar su posición relativa, nos fijamos en
los vectores de dirección de ambas 321r u,u,uu
y 321s v,v,vv
y en los puntos que determinan a dichas rectas:
Ar(x1, y1, z1) y Br(x2, y2, z2).
a) Si 321r u,u,uu
y 321s v,v,vv
son paralelos, es decir: 3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u (componentes proporcionales)
las rectas son paralelas o coincidentes.
Para distinguir si se trata de paralelas o coincidentes, tomamos un punto cualquiera de r, por ejemplo Ar (x1, y1, z1) y
vemos si verifica la ecuación de s.
Si Ar verifica la ecuación de s, entonces r y s son coincidentes.
Si Ar no verifica la ecuación de s, entonces r y s son
paralelas.
b) Si 321r u,u,uu
y 321s v,v,vv
no tienen sus componentes proporcionales las rectas se cortan o se cruzan.
Si
AB,v,u sr
son linealmente dependientes, es decir:
0
zzvu
yyvu
xxvu
AB,v,udet
1233
1222
1211
sr
Entonces las rectas están en un mismo plano y se cortan (secantes).
Si B)A ,v ,u( sr
son linealmente independientes, es decir:
0
zzvu
yyvu
xxvu
AB,v,udet
1233
1222
1211
sr
Entonces las rectas no están en un mismo plano y se cruzan.
También podemos hacer el estudio a partir de los rangos de las matrices A =
33
22
11
vu
vu
vu
y B =
1233
1222
1211
zzvu
yyvu
xxvu
:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
18
Si rango (A) = 1, las rectas son coincidentes o paralelas:
o Si, además rango (B) = 1 las rectas son coincidentes.
o Si el rango (B) = 2 Las rectas son paralelas.
Si el rango (A) = 2, las rectas se cortan o se cruzan:
o Si, además rango (B) = 2 las rectas se cortan.
o Si el rango (B) = 3 las rectas se cruzan.
30. Estudia la posición de las rectas, en los siguientes casos:
a) 1
1
2
3
1
1
zyxr ;
2
1
4
1
2
1
zyxs
b) 1
1
1
2
2
1
zyxr ;
22
23
44
z
y
x
s
c)
01
082
zy
yxr ;
3
2
1
7
1
zyxs
d)
0326
05
zy
yxr ;
01925
0332
zy
yxs
Solución:
8.2 Posiciones relativas de dos planos.
Las posiciones relativas de dos planos en el espacio son:
Planos coincidentes: Tienen todos los puntos comunes.
Planos paralelos: No tienen ningún punto en común.
Planos secantes o que se cortan: Al cortarse determinan una recta. Tienen en común los puntos de dicha recta.
Si nos dan dos planos mediante sus ecuaciones generales: 0dzcybxa
0dczbyax
estudiar la posición se reduce a resolver este sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas:
a) Si todos los coeficientes son proporcionales (rango (M) = rango (A) = 1):
d
d
c
c
b
b
a
a
el sistema se reduce a una sola ecuación, y son dos planos coincidentes.
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
19
b) Si todos los coeficientes de las incógnitas son proporcionales, pero no los
términos independientes (Rango (M) = 1; rango (A) = 2):
d
d
c
c
b
b
a
a
el sistema será incompatible, no hay puntos comunes, y son dos planos
paralelos.
c) Si no hay proporcionalidad de los coeficientes (rango (M) = rango (A) = 2):
d
d
c
c
b
b
a
a
el sistema será compatible pero indeterminado, hay infinitos puntos comunes -
que determinan una recta-, y los dos planos se cortan en una recta.
NOTAS.
1. Recuerda que las ecuaciones implícitas de una recta, venían expresadas por un sistema de dos ecuaciones y tres
incógnitas. Cada una de esas ecuaciones, ahora sabemos que representa un plano, y las dos ecuaciones juntas determinan
la recta donde se cortan dichos planos.
Vector director de una recta dada por las ecuaciones implícitas
Sea la recta de ecuación 1
1z
1
2y
2
1x
. Determina sus ecuaciones implícitas y a partir de ellas
calcula su vector dirección.
2. Si nos dan dos planos secantes en una recta, decimos que determinan un haz de planos, y a la recta intersección se le
llama eje del haz. El haz de planos está formado por todos los planos que pasan por la recta de intersección (eje). Piensa
por ejemplo en un libro abierto, las hojas del libro son los distintos planos y el "lomo" del libro es el eje del haz.
Cualquier plano del haz viene dado como combinación lineal de los dos planos que lo
determinan.
Si nos dan los planos que se cortan: 0dzcybxa
0dczbyax
La ecuación del haz de planos es:
R;0dzcybxadczbyax
31. Estudia la posición de los planos, en los siguientes casos:
a. 1 : x – y + z – 3 = 0; 2 :
22
33
z
y
x
b. 1: 0
210
321
31
zyx
; 2 : -x + 2y – 2z + 1 = 0
c. 1 : 2x – y + z – 1 = 0; 2 : x + y + z - 3 = 0
Solución: a)
32. Calcula el haz de planos determinado por los planos 1 : 2x – y + z – 1 = 0; 2 : x + y + z - 3 = 0.
Comprueba si el plano 3 : x – 2y + 2 = 0 pertenece al haz de planos.
Solución:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
20
33. Determina la ecuación del plano que pasa por el punto Q( -1, 2, 0) y contiene a la recta
1
1
2
3
1
1
zyxr
Solución:
8.3 Posiciones relativas de tres planos.
Se reduce al estudio del sistema formado por las tres ecuaciones:
0dzcybxa
0dzcybxa
0dczbyax
Pueden aparecer muchos
casos que dependen del rango de las matrices M (de los coeficientes) y A (ampliada con los términos independientes), según
se ve en el cuadro siguiente. En los ejercicios posteriores veremos ejemplos donde se estudia cada uno de los casos. También
debemos considerar dentro de este caso las posiciones relativas entre recta y plano, ya que, al fin y al cabo, una recta viene
dada como intersección de dos planos.
Posición relativa de tres planos. M: (matriz de los coeficientes) A: (matriz ampliada con los
términos independientes)
Casos Rango de M Rango de A Posición de los tres planos
1º 3 3 a. Planos secantes en un punto
2º 2 2
b. Planos distintos secantes en una recta
c. Dos planos coincidentes y uno secante
3º 1 1 d. Los tres planos son coincidentes
4º 2 3
e. Planos secantes dos a dos
f. Dos planos paralelos cortados por el tercero
5º 1 2 g. Planos distintos y paralelos dos a dos
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
21
h. Dos planos coincidentes y el tercero paralelo
1 3 ESTE CASO NO PUEDE DARSE
34. Determina la posición relativa de la siguiente terna de planos: x + y + z - 2 = 0; 2x - 3y - z + 1 = 0 ;
x + y - 1 = 0
Solución: Los tres planos se cortan en un punto
35. Idem para: x - y = 0; y - z - 2 = 0; 3x + 2y - 5z + 1 = 0
Solución: Los planos se cortan en una recta dos a dos.
36. Idem para: x - y + 2z = 0; 2x - 2y + 4z + 1 = 0; 3x - y + 3 = 0
Solución: Los dos primeros son paralelos y el tercero los corta en una recta.
37. Idem para: x - 2y - z + 1 = 0; 3x - 5y + 6 = 0; 4x - 7y - z + 7 = 0
Solución: Se cortan en una recta dos a dos.
38. Idem para: 4x - y + 2z + 3 = 0; -4x + y - 2z + 6 = 0; 8x - 2y + 4z + 1 = 0
Solución: Los tres planos son paralelos.
39. Idem para: x - y + 3z + 1 = 0; 2x - 2y + 6z + 2 = 0; 3x - 3y + 9z + 3 = 0
Solución: Los tres planos son iguales
8.4 Posiciones relativas de recta y plano.
Las posiciones relativas de recta y plano en el espacio son:
Recta y plano coincidentes: Tienen todos los puntos comunes.
Recta y plano paralelos: No tienen ningún punto en común.
Recta y plano secantes o que se cortan: Al cortarse determinan un punto.
40. Determina la posición de la recta y el plano siguientes, y en caso de cortarse, halla el punto de corte.
a.
033
01:
0533:
zyx
zyxs
zyx
b) z
2
3y
2
1xs
01yx
c) 1z
2
3y
2
1xs
01zy2x2
Solución: a) La recta y el plano se cortan en un punto b) La recta es paralela al plano c) La recta y el plano
se cortan en el punto (-11, 15, -7).
9. PROBLEMAS MÉTRICOS. DETERMINACIÓN DE DISTANCIAS Y ÁNGULOS.
9.1 Determinación de distancias.
A) Distancia entre dos puntos.
Dados dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) ,definimos la distancia entre ellos como el módulo del vector
AB .
Recordando la definición de módulo y sus propiedades, tenemos:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
22
212
2
12
2
12, zzyyxxABBAd
B) Distancia de un punto a una recta.
La distancia de un punto A(x0, y0, z0) a una recta 3
1
2
1
1
1
u
zz
u
yy
u
xxr
, es igual a la longitud del segmento
perpendicular desde el punto A a la recta r.
Aunque mas adelante encontraremos una fórmula para calcular esta distancia, ya la podemos encontrar con los siguientes
procedimientos:
1er
Procedimiento:
1º. Determinamos un plano que pase por el punto A, y sea perpendicular a la recta r, teniendo en cuenta que el vector
director de la recta 321r u,u,uu
es perpendicular al plano, luego es el vector característico del plano:
nu,u,uu 321r
.
2º. Determinamos el punto P = r que es el punto de corte de la recta y el plano, resolviendo un sistema de
ecuaciones.
3º. La distancia que buscamos es igual a la distancia entre los puntos A -que era el punto conocido- y P -que es el punto
que acabamos de determinar. Es decir: dis (A, r) = dis (A, P) =
AP .
2º Procedimiento:
1º. Tomamos un punto genérico de la recta r: G r (x1 + u1; x2 + u2; x3 + u3)
2º. Determinamos la distancia del punto A al punto genérico G r.
3º. Calculamos el valor de para el cual la distancia anterior es mínima.
4º. Distancia (A; r) = distancia (A; G r)
3er
Procedimiento:
1º Tomamos el vector direccional de la recta r.
2º. Tomamos un punto genérico de la recta r: G r (x1 + u1; x2 + u2; x3 + u3) y con el punto A construimos el vector
rAG
3º. Como los vectores rAG y el direccional de la recta tienen que ser perpendiculares, su producto escalar será cero y
de esta forma calculamos el valor de y como consecuencia el punto genérico G r
4º. Distancia (A; r) = distancia (A; G r)
41. Hallar la distancia del punto A (3, 4, 5) a la recta 1
5z
2
2y1xr
.
Solución:
42. Hallar la distancia del punto A (1, 3, -1) a la recta
0zyx
0yxr .
Solución:
C) Distancia de un punto a un plano.
La distancia de un punto A(x0, y0, z0), a un plano ax + by + cz + d = 0, es igual a la longitud del segmento perpendicular
desde el punto A al plano .
Aunque en este caso es fácil encontrar una fórmula, también la podemos calcular con un procedimiento análogo al anterior:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
23
1º. Determinamos una recta que pase por el punto A, y sea perpendicular al plano , teniendo en cuenta que el vector
perpendicular al plano n
= (a, b, c) nos sirve ahora de vector director de la recta run
= (a, b, c).
2º. Determinamos el punto P = r que es el punto de corte de la recta y el plano, resolviendo un sistema de
ecuaciones. Al punto P lo llamamos proyección ortogonal del punto A, sobre el plano .
3º. La distancia que buscamos es igual a la distancia entre los puntos A, que era el punto conocido, y P, que es el punto
que acabamos de hallar. Es decir: dis (A, ) = dis (A, P) =
AP .
Cuando no sea necesario seguir el procedimiento razonado anteriormente, puedes utilizar para la distancia de un punto a
un plano, la fórmula siguiente, que es fácil de recordar :
222
000,
cba
dczbyaxAdis
43. Hallar la distancia del punto A (1, 2, 5) al plano 2x + 2y - z - 5 = 0.
Solución:
44. Dado el punto P(2, 1, -1), la recta 1
2z
2
y
2
1xr
y el plano x - 3y + z + 13 = 0. Determina:
a) Distancia del punto P al plano .
b) Distancia del punto P a la recta r.
c) Proyección de la recta sobre el plano
Solución:
D) Distancia de una recta a un plano.
a) Si la recta corta al plano, la distancia es cero.
b) Si la recta está incluida en el plano, la distancia es cero.
c) Si la recta es paralela al plano, para hallar la distancia de r a , basta tomar un punto cualquiera A de la recta y
calcular la distancia de A a mediante el cálculo de la distancia de un punto a un plano, que ya sabemos resolver.
Es decir:
dis (r, ) = dis (A, ); A r.
45. Determina la distancia de la recta “s” al plano “” en los siguientes casos.
a.
033
01:
0533:
zyx
zyxs
zyx
b) z
2
3y
2
1xs
01yx
c) 1z
2
3y
2
1xs
01zy2x2
Solución:
E) Distancia entre dos planos.
a) Si los planos coinciden, la distancia es cero.
b) Si los planos se cortan, la distancia es cero.
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
24
c) Si los planos son paralelos, para hallar la distancia de a ‘, basta
tomar un punto cualquiera A de uno de los planos y calcular la distancia
de A al otro plano, mediante el cálculo de la distancia de un punto a un
plano, que ya sabemos resolver. Es decir:
dis ( r, ) = dis (A, ); A r.
46. Calcula la distancia entre los dos planos, en los siguientes casos:
a. 1 : x – y + z – 3 = 0; 2 :
22
33
z
y
x
b. 1: 0
210
321
31
zyx
; 2 : -x + 2y – 2z + 1 = 0
c. 1 : 2x – y + z – 1 = 0; 2 : x + y + z - 3 = 0
Solución:
F) Distancia entre dos rectas.
a) Si las rectas coinciden, la distancia es cero.
b) Si las rectas se cortan, la distancia es cero.
c) Si las rectas son paralelas, para hallar la distancia de r a r', basta tomar un punto
cualquiera A de la recta r y calcular la distancia de A a r', utilizando el cálculo de la
distancia de un punto a una recta, que ya sabemos resolver. Es decir:
dis (r, r’) = dis (A, r’); A r.
d) Si las rectas se cruzan (caso de la figura), podemos seguir dos procedimientos:
1er
Procedimiento: Hallamos el plano que contiene a la recta r
y es paralelo a la recta s, por tanto
distancia (s, r) = distancia (s, )
2º Procedimiento: Tomamos dos puntos genéricos R y S, uno en la recta r y otro en la recta s. De todos los
posibles vectores RS , buscamos aquel que sea perpendicular a las dos rectas, de esta
forma encontraremos las coordenadas de los puntos R y S
Por consiguiente distancia (r, s) = distancia (R, S)
Este método es especialmente útil cuando, además de calcular la distancia de r a
s, se desea hallar la recta perpendicular a r y a s. Obviamente, es la recta
que pasa por los puntos R y S
47. Estudia la posición de las rectas 2
8
2
9
3
3
zyxr y
2
1z
1
2y
2
3xs
y la distancia entre
ambas.
Solución:
48. Estudia la posición de las rectas r x = y = z; s x = y = 3z 1 y la distancia entre ambas.
Solución:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
25
9.2 Determinación de ángulos.
A) Ángulo de dos rectas.
Si nos dan dos rectas
31
21
11
uzz
uyy
uxx
r y
32
22
12
vzz
vyy
vxx
s , y queremos hallar
el ángulo que forman nos fijamos en los vectores de dirección de ambas:
321r u,u,uu
y 321s v,v,vu
. Se cumple que sr uusr
,cos,cos :
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211,cos,cos
vvvuuu
vuvuvu
uu
uuuusr
sr
sr
sr
49. Hallar el ángulo que forman las rectas r x = y = z y
0
1
y
zxs .
Solución:
B) Ángulo entre recta y plano.
Si nos dan la recta
31
21
11
uzz
uyy
uxx
r y el plano ax + by + cz + d = 0, y queremos
hallar el ángulo que forman, nos fijamos en el vector de dirección de la recta y el vector
característico del plano 321r u,u,uu
y n
= (a, b, c). Se cumple que
n,ucos,rsen r
. Es decir:
2222
3
2
2
2
1
321,cos,
cbauuu
cubuau
nu
nunursen
r
r
r
50. Hallar el ángulo que forman el plano 2x + 3z = 0 y la recta
08y9x2
0z3y2xs
C) ÁNGULO DE DOS PLANOS.
Si nos dan los planos ax + by + cz + d = 0 y ’ a’x + b’y + c’z + d’ = 0 y queremos hallar
el ángulo que forman, nos fijamos en este caso en los vectores característicos de los planos n
=
(a, b, c) y ''n
= (a’, b’, c’). Se cumple que:
222222
'
'
'
'''
'''
'
'',cos',cos
cbacba
ccbbaa
nn
nnnn
51. Hallar el ángulo que forman los planos x + 2y - z - 3 = 0 y ’ 2x - y + 3z + d’ = 0.
Solución:
10. ÁREA DE UN TRIÁNGULO Y DE UN PARALELOGRAMO.
Aplicaciones geométricas del producto vectorial:
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26
1. Cálculo del área de un paralelogramo.
2. Cálculo del área de un triángulo.
3. Vector director de una recta dada por las ecuaciones implícitas.
4. Formula de la distancia de un punto a una recta.
52. Dados los puntos A(1, 2, 3), B(0, -1, 5) y C(-1, 7, 2). Determinar un punto D de manera que ABCD sea un
paralelogramo. Calcula el área de dicho paralelogramo.
Solución:
53. Calcula el área del triángulo ABC, siendo A(0, 1, 5), B(-2, -3, 0) y C(1, 1, 1).
Solución:
54. Encontrar un vector de dirección de la recta
011zy2x
04z3yx2r .
Solución:
55. Calcular la distancia del punto P(5, -1, 6) a la recta
t5z
ty
t21x
r
Solución:
11. PRODUCTO MIXTO. VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO.
"El producto mixto de tres vectores, u, v, w de V3 , que escribimos [u, v, w] es el producto escalar del primero de ellos
por el resultado del producto vectorial del segundo por el tercero. Es decir:
wvuwvu
,,
Observa que el resultado del producto mixto de tres vectores es un número real.
En efecto se trata de realizar un producto escalar de u
, por el vector resultante de wv
.
11.1 Expresión analítica del producto mixto:
Teniendo en cuenta que se trata del producto escalar de 321 u,u,uu
por 21
21
31
31
32
32
ww
vvk
ww
vvj
ww
vviwv
,
el producto mixto vendrá dado por
321
321
321
21
21
3
31
31
2
32
32
1
21
21
31
31
32
32
321 ,,.),,(
www
vvv
uuu
ww
vvu
ww
vvu
ww
vvu
ww
vv
ww
vv
ww
vvuuuwvu
11.2 Interpretación geométrica:
Se pueden presentar dos casos
1º Que wvu
,, estén en el mismo plano , lo que implica que 0,, wvuwvu
ya que wv
es un vector
ortogonal al plano donde se encuentran los tres vectores por consiguiente wv
es ortogonal al vector u
y por
consiguiente 0,, wvu
.
2º Que wvu
,, no estén en el mismo plano (los tres vectores no son entre sí linealmente dependientes)
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
27
cos·,, wvuwvuwvu
, siendo el ángulo que forma
el vector u
con el vector wv
Donde wv
es el área del paralelogramo formado por los vectores
wyv
;
cosu
= H que es la altura del paralelepípedo
Por tanto el valor absoluto del producto mixto de tres vectores 3Vw,v,u
(linealmente independientes) es igual al
volumen del paralelepípedo que tiene por aristas u
, v
, y w
.
11.3 Aplicaciones geométricas del producto mixto:
1. Cálculo del volumen de un paralelepípedo.
2. Cálculo del volumen de tetraedro.
El paralelepípedo inicial, al partirse por el plano BCFE, se descompone en dos prismas triangulares iguales. Cada
uno de ellos tiene, pues, la mitad del volumen del paralelepípedo. Cada prisma se descompone en tres pirámides que
tienen el mismo volumen.
Por tanto: el Volumen del tetraedro = wvu
,,6
1
3. Distancia entre dos rectas que se cruzan
La distancia entre dos rectas que se cruzan coincide con la altura del
paralelepípedo formado por los tres vectores siguientes:
vector direccional de la recta r
vector direccional de la recta s
Vector formado por un punto de r y otro punto de s
d(r, s) = h = baseladeÁrea
pedoparalelepídelVolumen =
vu
PQvu
,,
56. Hallar el volumen del paralelepípedo definido por los vectores u = (3, -7, 4);
v = (2, 1, 5) y
w = (7, 4, -2).
Solución:
57. Hallar el volumen de un tetraedro de vértices A (3, 5, 7), B (1, 0, -1), C (7, -1, 4) y D (11, 4, -6).
Solución:
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
58. Dibuja en un sistema de referencia {O; i, j, k} ortonormal, los puntos A(1, 2, 3); B(1, -2, 1); C(1, 3, -2);
D(0, 1, 2); E(3, 2, 0); F(0, 0, 3); G(0, 2, 0) y H(-2, 0, 0).
Solución:
59. Halla las componentes del vector
AB y las coordenadas del punto medio del segmento AB , sabiendo que
A(1, 2, -5) y B(8, 4, -5) en el espacio R3.
Solución:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
28
60. Calcula el simétrico del punto A(0, 5, -2) respecto del punto B(7, -2, 1).
Solución:
61. El segmento AB se divide en cinco partes iguales mediante los puntos M, N, P, Q. Halla las coordenadas de
dichos puntos, siendo A(1, 0, 1) y B(3, 2, -9).
Solución:
62. Calcula el baricentro del triángulo cuyos vértices son A(2, 5, 3), B(0, 0, 1) y C(1, 1, 1).
Solución:
63. Tres vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD, tienen por coordenadas A(1, 1, 0) y B(-2, 3, 1) y
C(4, -1, 2). Halla las coordenadas del vértice D.
Solución:
64. Sean A(1, -7, 4) y B(2, 0, 1) dos puntos de R3. Determinar las coordenadas de un punto X entre A y B cuya
distancia a B sea doble que su distancia a A.
Solución:
65. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(1, 0, -3) y tiene la dirección del vector v =(4, -2, -3).
Solución:
66. Escribir -de todas las formas posibles- las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos:
a) A (0, 3, -5) y B(1, 2, 3). b) C(7, 2, 4) y D(0, 0, -3). c) M(1, 3, -5) y N(-2, 3, 7).
Solución:
67. Dada la recta 3
24
2
1
zy
xr y el punto P(-3, 0, 1), escribe la ecuación continua de una recta que
pase por P y sea paralela a r.
a) Escribe en forma paramétrica y continua, las ecuaciones de una recta que pase por el punto A(1, 2, 1) y
sea paralela a la que pasa por los puntos B(2, -1, 0) y C(1, 2, 2).
b) Deduce razonadamente si el punto M(0, -1, 3) pertenece a la recta buscada.
c) Determina otro punto de la recta anterior.
Solución:
68. Halla las distintas ecuaciones del plano definido por el punto A(1,2,-1) y los vectores u (1,1,-2) y
v (0,2,-1).
Solución:
69. Calcula las distintas ecuaciones del plano que contiene a los puntos A(1, 2, 3), B(0, 0, 1) y C(2, 3, -1).
Solución:
70. Estudia si los puntos A(1, 2, 5), B(0, 1, 2), C(2, -1, 4) y D(1, -1, 2) son o no coplanarios. En caso afirmativo
halla la ecuación del plano que los contiene.
Solución:
71. Calcula el valor de a para que los siguientes cuatro puntos estén en un mismo plano de R3: A(a, 0, 1),
B(1, 2, 3), C(0, 1, 2) y D(7, 2, 1). Obtener la ecuación del plano que los contiene.
Solución:
72. Determina la ecuación implícita del plano :
ty
sty
stx
1
25
32
Solución:
73. Determina las ecuaciones paramétricas del plano 2x - y + 3z - 6 = 0. Busca también dos vectores paralelos
a dicho plano y dos puntos que pertenezcan a .
Solución:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
29
74. Dada la recta r en forma implícita mediante las ecuaciones:
0343
02:
zyx
zyxr
expresarla en forma paramétrica e indicar un punto de dicha recta y un vector de dirección.
Solución:
75. Determina la ecuación general de un plano en los casos siguientes:
a) Contiene a la recta zyx
r
222
1, y al punto P(1, 1, 2).
b) Contiene a las rectas r y s -comprobando previamente que las dos está en un mismo plano-:
2
1
4
22
zyxr ;
3
321
zyxs
c) Contiene al punto A(0, 2, 1) y a la recta: x - 2y - z + 3 = 0
x - 3y + z + 2 = 0
Solución:
76. Calcula las ecuaciones de los planos coordenados XOY, XOZ, YOZ, y de los ejes de coordenadas.
Solución:
77. En R3 se consideran los vectores
v = (4, -1, 3) y
w = (-1, 2, 2). Halla sus módulos y el ángulo que forman.
Solución:
78. Calcula la ecuación de una recta que pasa por un punto P(3, 0, -1) y es perpendicular al plano
2x - 3y - z + 1 = 0.
Solución:
79. Halla la ecuación del plano mediador del segmento AB , siendo A(1, 2, 3) y B(3, 2, 9).
Solución:
80. Dado un punto P(0, 1, 2), calcula:
a) El simétrico de P respecto de A(1, 2, -3).
b) El simétrico de P respecto de x + y + z - 6 = 0.
c) El simétrico de P respecto de r (2 - , -24 + ).
Solución:
81. Sean los puntos A(4, 1, 0) y B(0, 2, -1) ¿Qué punto del plano
stz
sty
stx
23
21
está alineado con A y B.
Solución:
82. Dadas las rectas r (1 + 2, -, 1 + 2) y r' x 1 = y 1 = z. Calcula:
a) Distancia mínima entre ambas rectas.
b) Ecuación de la perpendicular común.
Solución:
83. Sean u ,
v ,
w , tres vectores de R
3 paralelos a un mismo plano. ¿Cuánto vale su producto mixto? Razonar la
respuesta.
Solución:
84. En el triángulo ABC, siendo A(1, 2, 0), B(1, 0, 2) y C(0, 2, 2), halla su perímetro.
Solución:
I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría
30
85. En el triángulo anterior determina el área.
Solución:
86. En el triángulo anterior determina el ortocentro.
Solución:
87. Calcula el volumen de un tetraedro cuyos vértices son: A(2, 1, 3), B(4, 1, 2), C(6, 3, 7) y D(5, 4, 8).
Solución:
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