1. modelos matemáticos y experimentalesmaterias.fi.uba.ar/7609/material/clase 02/02 02...

02 02 Modelos.doc 1

1. Modelos Matemáticos y Experimentales 1. Modelos Matemáticos y Experimentales _____________________________ 1

1.1. Definición _________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Tipos de Procesos __________________________________________________________________________________________________ 2 1.3. Tipos de Modelos ___________________________________________________________________________________________________ 3 1.4. Transformada de Laplace ____________________________________________________________________________________________ 4 1.5. Función de Transferencia ____________________________________________________________________________________________ 7 1.6. Función transferencia y ecuaciones de estado ___________________________________________________________________________ 8 1.7. Linealización ______________________________________________________________________________________________________ 12 1.8. Retardos de Trasporte ______________________________________________________________________________________________ 13 1.9. Escalado _________________________________________________________________________________________________________ 17 1.10. Diagramas de bloques _____________________________________________________________________________________________ 18

1.10.1. Álgebra de bloques ____________________________________________________________________________________________________________ 20 1.11. Efecto temporal de Polos y Ceros____________________________________________________________________________________ 21 1.12. Resumen ________________________________________________________________________________________________________ 32

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1.1. Definición un modelo es una descripción y reproducción de un proceso determinado para ana-lizar su comportamiento.

1.2. Tipos de Procesos Hay muchas formas de clasificar los procesos y sus modelos, de acuerdo a su función: válvulas, tanques, hornos por industria: metalurgia, automotriz, alimentos por sus características físicas: térmicos, químicos Los ingenieros de control los clasifican de acuerdo a sus características dinámicas: linealidad estabilidad resonancia retardos adelanto o retraso de fase

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1.3. Tipos de Modelos Atributo Atributo antagónico Determina si. . . SISO MIMO . . . las ecuaciones del modelo tienen

una entrada y una salida. Lineal No lineal . . . las ecuaciones del modelo son li-

neales en las variables del sistema. Estacionario No Estacionario . . . los parámetros del modelo son

constantes. Continuo Discreto . . . las ecuaciones describen su com-

portamiento en cada instante de tiem-po, o sólo en muestras discretas.

Entrada-salida Espacio de estados . . . las ecuaciones dependen sólo de las entradas y las salidas, o también de variables de estado.

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1.4. Transformaciones

u tG

y t

Lo que se busca es encontrar una descripción del sistema de modo que exista una relación algebraica entre entrada y salida: Y G U [1.1]

En el dominio tiempo, lo más cercano a esto es el producto de convolución

y t g t u t g u t d

[1.2]

donde g t es la respuesta del sistema cuando es excitado por una delta de Dirac

Es un poco complejo para resolver Se buscan transformaciones,

02 02 Modelos.doc 5

En el dominio frecuencial y mediante la Transformada de Fourier se logra que

Y G U [1.3]

en donde Y y U son las transformadas de Fourier de la salida y la entrada y G e la respuesta en frecuencia de la planta.

Pero esta transformada no es cómoda para trabajar con señales no periódicas.

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1.4.1. Transformada de Laplace

0

-stsX( s ) x(t) x(t) dte

s = + j

[1.4]

La propiedad fundamental es:

g t u t G s U s Y s [1.6]

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1.5. Función de Transferencia Relación entre entrada y salida en transformada de Laplace con condiciones inicia-les nulas. Generalmente incluye la dinámica de los actuadores y sensores. Sistemas lineales, estacionarios, en tiempo continuo

( ( 1 ( ( 10 1 1 0 1 1

n n m mn n m ma y a y a y a y b u b u b u b u [1.7]

11 1 0

11 1 0

m mm m

n nn n

B s b s b s b s bG sA s a s a s a s a

[1.9]

con m n se puede factorizar

1

1

m

n

K s z s zG s

s p s p

[1.10]

02 02 Modelos.doc 8

1.6. Función transferencia y ecuaciones de estado Un sistema podría describirse en forma de ecuaciones de estado

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

[1.11]

... si aplicamos Transformada de Laplace obtenemos las ecuaciones algebraicas

0sX s x AX s BU s

Y s CX s DU s

[1.12]

1 10X s sI A x sI A BU s [1.13]

1 1 0Y s C sI A B D U s C sI A x [1.14]

la función de transferencia será

1G s C sI A B D [1.15]

(no contempla las condiciones iniciales) Terminología

iz ceros de G s

02 02 Modelos.doc 9

ip polos de G s

0

0

0 bK Ga

ganancia estática de G s

0

0

0 bK Ga

ganancia estática de G s

n m grado relativo de G s

cuandon m , mb es la ganancia de alta frecuencia de G s

cuandon m , G s es estrictamente propia

cuandon m , G s es bi propia

Los polos complejos de la Función de Transferencia aparecen con su conjugado

2

10 106 10 3 3

G ss s s j s j

[1.16]

La función de transferencia se puede expresar como suma de fracciones simples:

2

15 7,5 7,58 15 3 5

G ss s s s

[1.17]

02 02 Modelos.doc 10

Diferentes sistemas físicos pueden tener igual Función de Transferencia Orden del Sistema: potencia en S más alta del denominador

02 02 Modelos.doc 11

02 02 Modelos.doc 12

1.7. Linealización Todo sistema es no lineal Consideración: Desviación pequeña del punto de trabajo Desarrollo en serie de Taylor

2

22

12!x x x x

y f x

df d ff x x x x xdx dx

[1.18]

en forma aproximada,

y y K x x [1.19]

x x

dfKdx

[1.20]

y K x [1.21]

es lineal en y y x

02 02 Modelos.doc 13

1.8. Retardos de Trasporte

Transformada de un Impulso

0

1-sts L t t dte

[1.22]

Impulso Desplazado en un tiempo T

-sTs L t T e [1.23]

No es racional

02 02 Modelos.doc 14

Aproximación: 2 3

2 32

2 32 32

1 112 2! 2 3! 2

1 112 2! 2 3! 2

T- s

-sTT s

T T Ts s se e

T T Te s s s

[1.24]

Limitando términos se obtienen distintas aproximaciones Primer orden

212

212

-sT

T s sT e T s sT

[1.25]

02 02 Modelos.doc 15

Segundo orden: 2

2

22

1 2 212 2! 2

2 2112 2! 2

-sT

T Ts s s jT T e

T T s js s T T

[1.26]

2T

2T

2 2jT T

2 2jT T2 2j

T T

2 2jT T

02 02 Modelos.doc 16

Aproximación menos precisa:

1sTe Ts [1.27]

1 11

sTsTe

e Ts

[1.28]

02 02 Modelos.doc 17

1.9. Escalado Un factor importante antes de trabajar con un modelo es hacer una buena selección de los factores de escala (unidades) para las variables y el tiempo. Un buen escalamiento hará los cálculos más simples y más precisos y disminuirá enormemente los problemas de simulación en computador.

02 02 Modelos.doc 18

1.10. Diagramas de bloques Capturan la esencia del sistema en un formalismo gráfico abstracto de simple mani-pulación. Representan el flujo y procesamiento de las señales dentro del sistema.

Los diagramas de bloques permiten ver la similitud esencial entre distintos tipos de sistemas (independizan del dominio físico). Bomba

02 02 Modelos.doc 19

Sistema físico

señal de velocidad

Caudal de salida

Bomba

Diagrama de Bloques

u Función de transferencia

G

y

Caudal de SalidaSeñal de Velocidad

02 02 Modelos.doc 20

1.10.1. Álgebra de bloques

02 02 Modelos.doc 21

1.11. Efecto temporal de Polos y Ceros "Hoy es fácil y muy didáctico calcular polos, ceros, respuesta al escalón y división en fracciones simples" g=tf(1,poly([-1]));[y,t]=step(g);plot(t,y);grid;axis([0 6 0 1.5]) pzmap(g);sgrid;axis([-2 1 -1 1])

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

02 02 Modelos.doc 22

g=tf(.5,poly([-.5]))

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

g=tf(.5,poly([.5]))

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

02 02 Modelos.doc 23

g=tf(1,poly([0]))

0 500 1000 15000

500

1000

1500

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10.240.460.640.780.87

0.93

0.97

0.992

0.240.460.640.780.87

0.93

0.97

0.992

0.250.50.7511.251.51.752

Para una función de transferencia de Primer Orden,

11

KY s KG sU s s s

La respuesta temporal a un escalón es,

1 1 11

tKy t L K es s

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g=tf(5,poly([-.4+2.2i -.4-2.2i])) (85 grados)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

g=tf(5,poly([-.87+2.06i -.87-2.06i])) (75 grados)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

g=tf(5,poly([-1.9-1.17i -1.9+1.17i]))

02 02 Modelos.doc 25

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

g=tf(20,poly([-.8-4.4i -.8+4.4i]))

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

02 02 Modelos.doc 26

Para una función de transferencia de Segundo Orden,

2 2

2 2 2 22 1 1n n

n n n n n n

Y s K KG sU s s s s j s j

La respuesta temporal a un escalón es,

21 1

2 22 2 2 2 2 2

12 1 1

nn n

n n n n n n

K sK KKy t L Ls s s s s s

2

2

2

11 11

nt

ney t K sen t arctg

02 02 Modelos.doc 27

Ceros g=tf(2/3*poly([-3]),poly([-1 -2]))

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

02 02 Modelos.doc 28

g=tf(2/1.5*poly([-1.5]),poly([-1 -2]))

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

g=tf(2/.5*poly([-.5]),poly([-1 -2]))

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

sPole-zero map

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

02 02 Modelos.doc 29

g=tf(-2/.5*poly([.5]),poly([-1 -2]))

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

g=tf(-2/1.5*poly([1.5]),poly([-1 -2]))

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

sPole-zero map

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

02 02 Modelos.doc 30

g=tf(-2/2.9*poly([2.9]),poly([-1 -2]))

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Las plantas con ceros en el semiplano positivo se llaman plantas de fase no mínima o de respuesta inversa (péndulo invertido, grúas)

02 02 Modelos.doc 31

02 02 Modelos.doc 32

1.12. Resumen Para poder diseñar en forma sistemática un controlador para un sistema es necesa-rio disponer de una descripción formal — aunque posiblemente simple — del mis-mo. Esta descripción es el modelo matemático del sistema. Los modelos matemáticos pueden obtenerse en forma experimental o analítica, y en general, en la práctica, mediante una combinación de ambos métodos. En general, los modelos matemáticos involucran un conjunto de ecuaciones diferen-ciales no lineales. En muchos casos, estas ecuaciones pueden linearizarse alrede-dor de un punto de operación, con lo que se obtiene un modelo incremental lineal mucho más tratable. La elección de unidades adecuadas (escalado) de las variables y el tiempo permite mejorar los modelos desde el punto de vista computacional. Las funciones transferencia describen las propiedades entrada-salida de los siste-mas en forma algebraica en el dominio Laplace.