1 la distribución binomial. 2 la distribución binomial un modelo matemático es una expresión...
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La DistribuciónBinomial
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La Distribución Binomial
Un modelo matemático es una expresión matemática que se utiliza para representar una
variable de interés.
La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticas más útiles. La distribución
binomial se utiliza cuando la variable aleatoria de interés es discreta y representa el número de
éxitos en una muestra compuesta por n observaciones
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La Distribución Binomial
Es una función de distribución de probabilidad con muchas aplicaciones en la
vida diaria. Las variables que se estudian son dicotómicas.
Su suceso primario se identifica como un éxito.
Posee cuatro propiedades esenciales:
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La Distribución Binomial
1. La muestra se compone de un número fijo de observaciones (n) o veces que se realiza el experimento aleatorio(E).
2. Cada observación se puede clasificar en dos categorías: éxito o fracaso.
3. Si la probabilidad de éxito es p (constante), la probabilidad de fracaso es 1-p (q).
4. El resultado de un suceso es independiente del resultado de cualquier otro suceso.
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p Probabilidad de éxito
1-p Probabilidad de fracaso
Probabilidades dadas
No confundir “p” minúscula con “P” mayúscula. La minúscula es la probabilidad que ya se
conoce(probabilidad de éxito) y la mayúscula es la de ocurrencia que se quiere calcular.
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Cuando los clientes hacen un pedido en la tienda Mayor,C.A., el sistema revisa si los datos están completos.
Los pedidos incompletos se marcan y se les incluye en un reporte de excepciones.
Según estudios anteriores, se ha determinado que la probabilidad de que un pedido se marque es de 0,10
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Si la probabilidad de que un pedido esté marcado es de 0,10
P(marcado) = 0,10
P(no marcado) = 1- 0,10 = 0,90
Es la probabilidad de éxito
Es la probabilidad de fracaso
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La Distribución Binomial
p = probabilidad de éxito1-p = probabilidad de fracaso n = veces que se realiza E x = número de sucesos exitosos
nx
ppxxn
nxXP xnx
,...,3,2,1,0
)1(!)!(
!)(
9
En Mayor,C.A., los pedidos incompletos se marcan y se incluyen en un reporte de excepciones.
Estudios anteriores han demostrado que la probabilidad de que un pedido sea marcado es de 0,10.
De una muestra de 4 pedidos, calcular la probabilidad que 3 de ellos estén marcados.
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Probabilidad de éxito: p = 0,10
Veces que se realiza E: n = 4
Probabilidad a calcular: P(x=3) = ?
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0036,0)3(
)0009,0(6
24)3(
)90,0)(001,0(1231
1234)3(
)10,01()10,0(!3!1
!4)3(
)10,01()10,0(!3)!34(
!4)3(
13
343
xP
xP
xxx
xxxxP
xxP
xP
La probabilidad de que 3 pedidos estén marcados es de
0,0036(0,36%)
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Desigualdades en la Distribución Binomial
La desigualdad involucra la aplicación de la fórmula más de una vez en una sola solicitud.
El espacio muestral con el que se trabajará está bien definido.
El valor mínimo del espacio muestral es 0 (ninguno).
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En Mayor,C.A.,los pedidos incompletos se marcan y se incluyen en un reporte de excepciones.
Estudios anteriores han demostrado que la probabilidad de que un pedido sea marcado es de 0,10.
De una muestra de 4 pedidos, calcular la probabilidad que 3 o más pedidos estén marcados.
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Tenemos: p = 0,10 n = 4
Probabilidad a calcular:
P(x ≥ 3) = P( x=3 ) + P( x = 4 ) = ?
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)4()3()3( xPxPxP
444
343
)1(!4)!44(
!4)4(
)1(!3)!34(
!4)3(
ppxP
ppxP
Se calcula la probabilidad para x igual a 3 y para 4:
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0036,0)3(
)0009,0)(4()3(
)0009,0(1231
1234)3)
)9,0)(001,0(!3)!34(
!4)3( 1
xP
xPxxx
xxxxP
xP
17
0001,0)4(
)0001,0(1)4(
)9,0()1,0(!4!0
!4)4(
)1,01()1,0(!4)!44(
!4)4(
04
04
xp
xxP
xP
xP
18
0037,0)3(
0001,00036,0)3(
)4()3()3(
xP
xP
xPxPxP
La probabilidad de que se marquen 3 o más pedidos es de 0,0037(0,37%)
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Mayor,C.A., tiene la probabilidad de que se marque un
pedido en 0,10. Calcular la probabilidad de que en
cuatro pedidos, menos de 3 estén marcados
p = 0,1
n = 4
P( x< 3 ) = P(x=2) + P(x=1) + P(x=0) = ?
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)0()1()2()3( xPxPxPxP
040
141
242
)1(!0)!04(
!4)0(
)1(!1)!14(
!4)1(
)1(!2)!24(
!4)2(
ppxP
ppxP
ppxP
21
6561,0)1,01()1,0(!0)!04(
!4)0(
2916,0)1,01()1,0(!1)!14(
!4)1(
0486,0)1,01()1,0(!2)!24(
!4)2(
040
141
242
xP
xP
xP
22
9963,0)3(
6561,02916,00486,0)3(
)0()1()2()3(
xP
xP
xPxPxPxP
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La Distribución Binomial:Media Aritmética
La media μ de la distribución binomial es igual al número de veces que se repite E multiplicado por la probabilidad de éxito.
npXE )(
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La Distribución Binomial: Varianza y Desviación
Estándar
)1()(2 ppnXV
La varianza de la distribución binomial es:
25
La Distribución Binomial: Varianza y Desviación
Estándar
La desviación estándar de la distribución binomial es:
)1(2 pnp
26
4,0)1,0)(4()( npXE
36,0
)9,0)(1,0)(4()1()(2
2
pnpXV
6,036,02
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