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Revista Electrónica “Actualidades Investigativas en Educación”
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Anexo
1. Diagnóstico del estado actual de la dinámica del proceso de formación
interpretativa en la Matemática Superior
El objetivo del diagnóstico enunciado, es identificar las limitaciones existentes en
este proceso, que influyen en el razonamiento lógico de los estudiantes para la resolución de
problemas matemáticos. En su realización, se recomienda la aplicación de instrumentos
tales como: encuestas a estudiantes y profesores, guías de observación a clases, pruebas
pedagógicas, entre otros. Sus resultados fundamentan la necesidad de aplicación de la
estrategia propuesta.
Para este diagnóstico, se proponen los siguientes indicadores evaluativos:
· Relación que se establece entre la Matemática y las disciplinas que componen el plan
curricular.
· Nivel de contextualización de los contenidos matemáticos, en correspondencia con el
perfil profesional de los estudiantes.
· Protagonismo de los estudiantes en la propuesta de alternativas para la resolución de
los problemas matemáticos planteados.
· Empleo de sistemas computarizados en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática Superior.
· Grado de interpretación de los resultados de los ejercicios y problemas matemáticos,
en correspondencia con las necesidades de aplicación práctica.
Los indicadores mencionados, desempeñan un rol transcendental para la
implementación de la estrategia propuesta, porque permiten a los sujetos implicados en este
proceso, la identificación de los aspectos esenciales que están siendo inconsistentes en la
dinámica del proceso de formación interpretativa en la Matemática Superior; la comprensión
de las potencialidades y limitaciones que poseen los estudiantes en cuanto al análisis
interpretativo de los problemas y resultados, así como en el adecuado manejo de las nuevas
tecnologías diseñadas para la dinamización del proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática Superior.
El objetivo general de la presente estrategia consiste en contribuir al
perfeccionamiento del proceso de formación interpretativa de los estudiantes, en la
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Matemática Superior, mediante procesos de sistematización epistemológica y metodológica,
que conllevan a la optimización interpretativa de los resultados.
2. Orientaciones metodológicas generales para la instrumentación de la
estrategia
Para la instrumentación de la presente estrategia en la práctica educativa, se necesita
tener presente las siguientes orientaciones metodológicas:
· Analizar el orden estructural de los contenidos del programa, y sugerir reajustes que no
violen la lógica de apropiación de los contenidos específicos de una determinada
asignatura.
· Precisar las formas y tipologías de clases para abordar y evaluar las distintas temáticas
de una determinada asignatura, ya sea mediante clases teóricas y prácticas
(conferencias, clases prácticas, seminarios, laboratorios virtuales) o a través de la
investigación científica y la práctica laboral.
· Planificar las actividades docentes a desarrollar en cada tema, en correspondencia con
los recursos didácticos requeridos para el tratamiento de un contenido específico, lo
cual no implica alterar el número de horas que se establece en el programa.
· Incentivar y fundamentar la necesidad del empleo de Asistentes Matemáticos en el
proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática Superior.
· Orientar la bibliografía específica y complementaria para elevar los niveles de
apropiación de los contenidos tratados en una temática determinada.
· Incentivar en los estudiantes la búsqueda de información específica y complementaria
en Internet, como alternativa para profundizar en el contenido y desarrollar nuevas
habilidades tecnológicas.
3. Proceso de formación interpretativa en la Matemática Superior
Para dinamizar el proceso de formación interpretativa en la Matemática Superior se
establecen tres subprocesos, que contienen objetivos específicos y acciones concretas para
potenciar el desarrollo del pensamiento interpretativo de los estudiantes universitarios.
Se parte desde la observación contextualizada de la realidad matemática, hasta la
identificación de problemas, mediante procesos continuos de interpretación lógico-formal y
dialéctica de la realidad matemática, como un primer subproceso del proceso de formación
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interpretativa en la Matemática Superior, donde se integra el método deductivo, propio de la
Matemática y el enfoque hermenéutico-dialéctico desde una perspectiva general.
El segundo subproceso se desarrolla desde la sistematización epistemológica y
metodológica de contenidos matemáticos, síntesis de la estrategia propuesta y que son
abordados en un clima de interactividad constante entre los sujetos implicados en el proceso.
Este subproceso funciona como eje dinamizador en el proceso de desarrollo del
pensamiento lógico e interpretativo de los estudiantes universitarios, para la resolución de los
problemas identificados y enriquecer la comprensión de la realidad matemática.
El tercer subproceso se desarrolla desde la asimilación de los símbolos más
empleados en la Matemática Superior y la apropiación de los procedimientos de
socialización de conocimientos, métodos y técnicas, como configuraciones que requieren de
un lenguaje coherente, que favorece la optimización interpretativa de los resultados para su
generalización en la solución de problemas concretos de la vida y de la profesión.
En la presente estrategia, los subprocesos planteados se constituyen en estadios del
proceso de formación interpretativa en la Matemática Superior. Los tres se contraponen y
presuponen en una constante relación dialéctica en la que los estudiantes y profesores
participan activamente en el desarrollo de las acciones conducentes a su perfeccionamiento.
Para la elaboración de los objetivos específicos de los subprocesos de la estrategia
propuesta, así como la estructuración de sus correspondientes acciones, se tomaron como
base las configuraciones y eslabones revelados en la modelación de la dinámica del proceso
de formación interpretativa en la Matemática Superior. (Gungula 2014, pp. 42-60).
4. Subproceso 1. Reconocimiento matemático de la realidad observada
Objetivo: Reconocer el potencial formativo de la Matemática y el rol que desempeña en el
proceso de interpretación lógica de la realidad observada.
Acciones:
Orientar la observación contextualizada de la realidad matemática a través de:
· Búsquedas diversificadas de contenidos, que permitan el reconocimiento matemático
de la realidad observada, su comprensión, significación e interpretación.
· Debates sobre la importancia de la Matemática en la solución de problemas concretos
de la vida real.
· Interacciones críticas y auto-críticas sobre el papel que les corresponde a los
estudiantes y profesores en la transformación de la realidad matemática.
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· Interpretaciones contextualizadas sobre la significación de la realidad matemática que
revelen nuevos sentidos y significados en los aspectos observados.
· Valoraciones sobre los aspectos observados por cada uno de los estudiantes y el rol
que desempeñan en el proceso de desarrollo del pensamiento matemático.
· Determinación de los rasgos y características de la realidad matemática para la
aplicación y transformación de la realidad social.
5. Subproceso 2. Sistematización epistemológica y metodológica de
contenidos matemáticos
Objetivo: Sistematizar los contenidos, métodos, procedimientos y técnicas que fortalezcan la
comprensión matemática y faciliten la solución de problemas concretos de la vida y de la
profesión.
Acciones:
Orientar la sistematización epistemológica y metodológica de contenidos matemáticos
mediante:
· Estudios sobre las diferentes teorías, métodos y procedimientos que guardan relación
con la Matemática, para la solución de los problemas que se dan dentro y fuera de las
instituciones educativas.
· Reconocimiento y organización lógica de los contenidos y métodos que facilitan la
resolución de un determinado ejercicio o problema matemático.
· Planteamiento de problemas matemáticos contextualizados, que promuevan el
aprendizaje significativo, necesidades investigativas; que requieran el empleo de
sistemas computarizados, de modo que se visualice la optimización del tiempo de
cálculo y se estimule el interés de los estudiantes hacia nuevas experimentaciones.
· Predicción de los procedimientos de resolución de los problemas matemáticos
planteados y de sus resultados antes que se demuestren totalmente o se observen
empíricamente.
· Solución de situaciones problémicas a partir del reconocimiento de las diferencias
analíticas e interpretativas existentes entre los estudiantes, de modo que les posibilite
apreciar la relación que se establece entre la ciencia, la tecnología y el desarrollo
socioeconómico de las naciones.
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· Desarrollo de tareas extra-clases, que lleven a cada estudiante a revelar nuevas
carencias en Matemática, que propicien el tránsito desde la reproducción hacia la
creación, así como a argumentar la necesidad de contextualización de las alternativas
propuestas para solucionarlas.
6. Subproceso 3. Optimización interpretativa de los resultados
Objetivo: Emplear procedimientos de análisis e interpretación matemática de los resultados,
de modo que faciliten su comprensión, optimización y socialización.
Acciones:
Orientar el análisis y la optimización interpretativa de los resultados mediante:
· Reconocimiento de la relación que se establece entre el lenguaje matemático y el
lenguaje natural en el proceso de interpretación de los resultados.
· Exposición lógica y argumentada de los resultados para que los estudiantes
desarrollen nuevas habilidades de expresión oral.
· Empleo de un lenguaje matemático preciso en la justificación y argumentación de los
resultados, para que los estudiantes se apropien del lenguaje característico de la
Matemática.
· Adecuado manejo de medios de enseñanza-aprendizaje que dinamicen y fortalezcan la
lógica de interpretación matemática, (gráficos, videos, programas, u otros medios
disponibles).
· Discusión de resultados donde los estudiantes asuman una posición científica,
metodológica y tecnológica que les permita argumentar lógicamente sus
posicionamientos.
· Socialización y argumentación de los resultados como alternativa para la corrección de
equivocaciones interpretativas, mediante técnicas de confrontación de ideas.
7. Sistema de evaluación y control de la efectividad de las acciones
propuestas
La presente estrategia cuenta con un sistema de evaluación y control de la efectividad
de las acciones propuestas para el perfeccionamiento sistemático del proceso de formación
interpretativa en la Matemática Superior. Posee la flexibilidad de implementación de cambios
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pertinentes en cada uno de sus subprocesos, en aras de enriquecer la concreción de sus
acciones, ajustarlas y reorientarlas para lograr aprendizajes cada vez más significativos.
El control se materializa en el sistema de evaluación del cumplimiento de las acciones
propuestas y las transformaciones que van ocurriendo en el desempeño de los estudiantes,
al apropiarse de la lógica de interpretación de los ejercicios, problemas matemáticos y de sus
resultados.
8. Evaluación de la estrategia
Una vez finalizada la aplicación de la estrategia, se procede a su evaluación como un
todo. Se incluyen las sugerencias conducentes a su perfeccionamiento, emitidas en el
ámbito de las deficiencias detectadas para el cumplimiento de los objetivos trazados, así
como aumentar el nivel de concreción y de eficiencia de las acciones propuestas para la
transformación cualitativa del proceso de formación interpretativa en la Matemática Superior.
9. Indicadores para la evaluación del proceso de implementación de la
estrategia
En este sentido, se determinan los siguientes indicadores:
· Correspondencia entre las acciones propuestas y las exigencias requeridas para el
fortalecimiento del proceso de formación interpretativa en la Matemática Superior.
· Rol de las acciones propuestas para el desarrollo del pensamiento lógico, investigativo
e interpretativo de los estudiantes universitarios.
· Influencias de las acciones propuestas para el desarrollo del pensamiento reflexivo y
tecnológico del estudiante.
10. Indicadores para la evaluación de las transformaciones deseadas en los
estudiantes universitarios
Consecuentemente con las transformaciones deseadas en los estudiantes
universitarios, se determinan los siguientes indicadores:
· Nivel de precisión en la selección de las alternativas de resolución de los problemas
matemáticos, en correspondencia con las necesidades de aplicación y disponibilidad
tecnológica.
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· Grado de exactitud en la aplicación y argumentación de los métodos, procedimientos y
técnicas seleccionadas para la resolución de los ejercicios y problemas matemáticos
que se les presente.
· Nivel de profundidad en la valoración de los resultados de los ejercicios y problemas
matemáticos, con relación a su aplicación práctica.
· Reconocimiento de las potencialidades y limitaciones que poseen en la resolución e
interpretación de un determinado ejercicio o problema matemático.
11. Evaluación general de la estrategia
En la evaluación general de la presente estrategia, se incluyen aspectos tales como:
· Pertinencia del diagnóstico realizado.
· Cumplimiento del objetivo general de la estrategia.
· Cumplimiento de los objetivos específicos de cada uno de los subprocesos planteados.
· Efectividad de las acciones desarrolladas.
· Rol que desempeñan las acciones implementadas en el proceso de desarrollo del
pensamiento lógico, interpretativo y tecnológico de los estudiantes universitarios.
· Correspondencia entre las acciones implementadas y las perspectivas de desarrollo
del pensamiento lógico, interpretativo y tecnológico de los estudiantes universitarios.
· Facilidades de implementación de la estrategia y expectativas de la comunidad
universitaria.
· Satisfacción de las necesidades específicas del contexto en que se extienda su
aplicación.
12. Ejemplificación práctica de la estrategia
La ejemplificación práctica de la presente estrategia, se realizó en un tema de la
asignatura Análisis Matemático 1, durante el curso 2013, con la participación de 40
estudiantes que constituyen la matrícula del curso regular diurno del primer año de la carrera
de Licenciatura en Matemática del ISCED-Huambo-Angola, por considerar esta una etapa de
tránsito de la enseñanza pre-universitaria a la universitaria, donde se requiere que los
estudiantes utilicen adecuadamente sus experiencias y conocimientos previos, con la
intencionalidad de que estos evolucionen paulatinamente ante la necesidad de resolver e
interpretar problemas concretos de la vida y de la profesión.
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Según el programa elaborado por la Pro-Rectoría para la Reforma Curricular de la
Universidad Agostinho Neto (2007), dirigido a los ISCED, la dinámica del proceso de
enseñanza-aprendizaje del Análisis Matemático 1, tiene en cuenta aspectos tales como:
1. Comprensión de conceptos matemáticos.
2. Reglas de análisis matemático.
3. Desarrollo del razonamiento lógico de los estudiantes.
4. Fortalecimiento progresivo de la formación matemática.
5. Apropiación activa de conocimientos científicos.
6. Relación entre los contenidos programados y la vida real.
7. Profundización de la objetividad de los conocimientos del Análisis Matemático y su
extensión a la resolución de problemas, en correspondencia con las necesidades de
las demás asignaturas que integran el plan curricular.
Igualmente revela la necesidad de utilizar la bibliografía indicada y complementaria;
combinar métodos, medios y técnicas en la resolución de problemas, así como comprobar e
interpretar los resultados.
No obstante a los aspectos destacados en el programa referenciado, se propone la
creación de espacios de intercambio que estimulen el desarrollo del pensamiento de los
estudiantes en cuanto a: investigación científica y tecnológica, creatividad, uso racional de
los recursos disponibles, responsabilidad, humildad científica, compromiso social y personal
ante los retos del desarrollo de la educación matemática y socioeconómico de las distintas
regiones del país.
Los aspectos antes mencionados, han sido especificados por las potencialidades
formativas que brindan, por su contribución al desarrollo integral de la personalidad de los
estudiantes; al estímulo de relaciones socio-afectivas, así como al razonamiento lógico ante
la necesidad de encontrar la solución óptima a los problemas que se presentan tanto en la
vida cotidiana, como profesional.
Consecuentemente con el programa de estudio de la asignatura seleccionada en la
carrera de Licenciatura en Matemática del ISCED-Huambo-Angola, sustentado en el análisis
epistemológico y metodológico del proceso que se aborda, la ejemplificación práctica de la
estrategia, se centró en el estudio de Funciones y Derivadas.
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En correspondencia con la estructura de la estrategia didáctica propuesta, se inició su
aplicación mediante el diagnóstico del estado actual de la dinámica del proceso de formación
interpretativa en la Matemática Superior.
Según diagnóstico realizado en el grupo de estudiantes seleccionados, fundamentado
en las observaciones a clases, en el intercambio con profesores, así como en las encuestas
a estudiantes y profesores, se pudo apreciar que existen en la asignatura Análisis
Matemático 1:
· Limitaciones en la concepción de la resolución de problemas contextualizados, como
impulso para el aprendizaje significativo de la Matemática.
· Inconsistencias en la resolución de problemas matemáticos que exigen combinación
con los métodos abordados en los niveles precedentes.
· Insuficiente enfoque en los Asistentes Matemáticos y el rol que desempeñan en la
resolución de problemas, representación gráfica de funciones, comprobación e
interpretación de los resultados.
· Deficiente orientación en la valoración de los resultados de los ejercicios y problemas
matemáticos planteados, en relación con las potencialidades de su aplicación práctica.
Después de esta breve caracterización, se procedió a materializar las orientaciones
metodológicas generales para la instrumentación de la presente estrategia didáctica.
Inicialmente se realizó un análisis de los contenidos del programa y se estableció el
orden de impartición para potenciar el estudio de Funciones y Derivadas tal como: funciones
polinómicas y modulares, funciones racionales, trigonométricas, exponenciales y
logarítmicas, derivada de una función, significado geométrico, cálculo de la derivada
mediante la definición y aplicación de reglas de derivación.
Posteriormente, se desarrollaron actividades metodológicas con el colectivo de
profesores del primer año tales como:
· Taller sobre el rol de la Matemática en el desarrollo socioeconómico del país.
· Taller acerca del enfoque hermenéutico-dialéctico y el papel que desempeña en el
fortalecimiento del proceso de formación matemática en la educación superior.
· Taller sobre la utilidad de los Asistentes Matemáticos en el proceso de resolución de
problemas, comprobación, interpretación de los resultados, representación gráfica de
funciones, así como el rol que desempeñan en la dinamización del proceso de
formación interpretativa en la Matemática Superior.
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Los resultados de las actividades antes mencionadas, permitieron solidificar la
necesidad de seguir perfeccionando el proceso de formación interpretativa del contenido
matemático en la educación superior, ya sea a través de la resolución de problemas donde
se empleen procedimientos tradicionales, o mediante la incorporación de técnicas modernas
de computo, dadas las potencialidades que brindan al desarrollo de habilidades lógicas de
pensamiento matemático, en la optimización del tiempo de cálculo, en la comprobación e
interpretación de los resultados, entre otras aplicaciones prácticas (Cuicas, Debel, Casadei y
Álvarez, 2007).
Se procede a la planificación y ejecución de las acciones encaminadas al
perfeccionamiento del proceso de formación interpretativa en la Matemática Superior, a
través del estudio del tema enunciado con anterioridad. En este sentido, se programaron y
realizaron charlas con los estudiantes sobre la importancia de la Matemática para la vida
cotidiana y su transcendencia en la actividad profesional.
Para el desarrollo de las charlas se empleó el propio espacio de las clases de Análisis
Matemático 1, lo que posibilitó incrementar la participación de los estudiantes y dinamizar
cada vez más el proceso, además, se propició el debate, donde se integraron las
experiencias aportadas por los estudiantes, ideas y ejemplos prácticos.
En este sentido, se planteó la siguiente cuestión al iniciar la primera conferencia del
tema: ¿cuándo se utiliza un teléfono, una tarjeta de crédito, dispositivos electrónicos para
navegar en Internet; calculadoras, computadoras; escucha un Disco Compacto, maneja un
auto, coge un avión, barco o tren, es consciente que estos artefactos funcionan apoyados
por la Matemática?
Esta actividad fue significativa para los estudiantes, visualizada en la reacción
demostrada, fundamentalmente cuando auto-valoraron su nivel de conciencia sobre estos y
demás aspectos concretos de la realidad circundante, donde la Matemática, explícita o
implícitamente, funciona como una herramienta potente en su desarrollo técnico o científico.
En general, en el desarrollo de las conferencias del tema, a través de situaciones similares
se relaciona el concepto de función y de derivada con su significación práctica, lo que
posibilita la contextualización de los contenidos, partiendo para ambos casos, de las
experiencias y conocimientos apropiados en la enseñanza precedente.
En el desarrollo de las clases prácticas, se establece un sistema organizado de manera
tal que favorezca la sistematización, se seleccionaron ejercicios rutinarios, donde
paulatinamente se fue aumentando los grados de dificultades.
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Los problemas de aplicación práctica, se plantearon al final, para permitir a los
estudiantes adquirir confianza en las operaciones matemáticas y las nuevas ideas, antes de
tratar cuestiones que requieren del análisis de situaciones concretas de la vida real.
De esta forma, los autores consideran que se logra elevar el nivel de participación de
los estudiantes en el proceso de resolución de problemas matemáticos, en la comprobación
e interpretación de los resultados; se incrementa la visibilidad del rol de la Matemática y su
transcendencia en la resolución de problemas de otros campos del saber.
Consecuentemente con lo antes planteado, un primer ejercicio fue encontrar la primera
y segunda derivada de la siguiente función:
4)ln(2)( 2 +++= xxxxf
En función de lograr mayor participación de los estudiantes en el proceso de
derivación, se partió de un análisis grupal (estudiantes y profesor) en cuanto a la estructura
matemática de la función en cuestión, lo que contribuyó a facilitar la selección de los
procedimientos a emplear para encontrar la primera derivada.
El %100 de los estudiantes argumentó que la función está compuesta por la suma de
cuatro funciones, es decir, una función polinómica de segundo grado, una lineal, una
logarítmica y una función constante.
Posteriormente se les preguntó: ¿Qué regla se debe aplicar para hallar la derivada de
la función planteada? ¿Explique por qué? Los estudiantes respondieron que se deben aplicar
las reglas de derivación estudiadas para cada caso en aras de encontrar la correspondiente
solución.
21
2)(
1220
1)1(22)(4)ln(2)(
´
12´2
++=
++=+++=Þ+++= -
xxxf
xx
xxxfxxxxf
Encontrada la primera derivada de la función indicada, se les pidió a los estudiantes
que calcularan la segunda derivada basándose en los procedimientos empleados en el caso
anterior. Después de analizada la estructura de la primera derivada, algunos estudiantes se
percataron de la necesidad de integrar la regla del cociente en el proceso de derivación, tal
como se demuestra a continuación:
21
2)(´ ++=x
xxf
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2
´´
22
´´
12)(
1020
)1(1)(0)1(2)(
xxf
xx
xxf
-=
-+=+
´-´+=
Otros estudiantes propusieron calcular la derivada en cuestión, a través de la
transformación del cociente en potencia.
2
211´´
1´´
1220)1(2)(
22)(21
2)(
xxxxf
xxxfx
xxf
-=-=+-=
++=Þ++=
---
-
La propuesta de diferentes alternativas de resolución propició el debate, la
confrontación de ideas, la socialización de métodos, por lo que ambas respuestas fueron
intencionalmente utilizadas.
Al comprobarse la efectividad de los procedimientos empleados en ambos casos, el
%100 de los estudiantes se percató de la importancia de la combinación de métodos y
técnicas en la búsqueda de la solución correspondiente a un determinado ejercicio o
problema matemático, espacio aprovechado para ampliar la explicación del rol que
desempeña la combinación de métodos y técnicas, la socialización de procedimientos, así
como la comprobación de los resultados como parte de la resolución de problemas
matemáticos y alternativa potente para el desarrollo del pensamiento lógico.
Con posterioridad, se planteó el ejercicio que se presenta a continuación:
Dada la función ,42)( 3 ++= xxxf encontrar el valor de la pendiente en el punto .30 =x
Para encontrar el valor de la pendiente en el punto indicado, se empleó el siguiente
procedimiento:
· Calcular la derivada de la función .42)( 3 ++= xxxf
Mediante las reglas de derivación ya empleadas en los casos anteriores se calculó la
derivada de la función indicada, esto es:
230)1(23)( 213´ +=++= - xxxf
· Sustituir el valor de 30 =x en la derivada calculada, para encontrar el valor de la
pendiente, o sea:
292932)3(3)3(23)( 2´2
0
´ =+´=+´=Þ+= fxxf
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A continuación se les pidió a los estudiantes que calcularan la ecuación de la recta
tangente a la curva, en el punto dado, con el propósito de estimular la integración de
conocimientos precedentes en la resolución de situaciones que se puedan presentar en el
desarrollo de un determinado ejercicio o problema matemático.
A partir del valor de 0x se determinó el valor de y , utilizando para ello la función original, es
decir:
37
4627
4)3(2)3()3(
42)(
3
3
0
=
++=
+´+==
++==
y
y
fy
xxxfy
Expresando en forma de coordenadas cartesianas, se obtuvo el punto
)37,3(),( =yxP , el cual permitió calcular y trazar la ecuación de la recta que pasa por un
punto con pendiente dada, es decir, .nmxy +=
En la observación y análisis de la ecuación anterior, los estudiantes se percataron que
el punto )37,3(),( =yxP , unido al valor de la pendiente, )29( =m favorece la
determinación del valor de n mediante la realización de operaciones ya estudiadas en la
enseñanza precedente, esto es, sustituyendo los referidos valores en la ecuación de la recta
como se demuestra a continuación:
50
8737
8737
32937
-=
-=
+=
+´=
+=
n
n
n
n
nmxy
Después de haber calculado el valor de n , se sustituyó este y el de la pendiente
calculada anteriormente, en la ecuación nmxy += para determinar la recta tangente a la
curva en el punto dado, esto es: .5029 -= xy
En la resolución de los ejercicios anteriores, se observaron imprecisiones en los
procedimientos a emplear, ya sea en el cálculo de las derivadas, como para determinar la
ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente dada. Estas deficiencias, unidas a
las exigencias requeridas para el perfeccionamiento continuo del proceso de formación
interpretativa en la Matemática Superior, revelan la necesidad de incluir dentro del sistema
de clases, el tratamiento de problemas contextualizados, gradados de lo simple a lo
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complejo, para que los estudiantes desarrollen una forma de pensamiento, que les permita
ver la Matemática como una ciencia útil, atractiva y fundamental en la resolución de
problemas concretos de la vida y de distintas ramas del saber.
En este sentido, se planteó el siguiente problema:
De una lámina rectangular de cartulina ),3040( cmcm´ se cortan de cada esquina, un
cuadrado. Determine el valor de las dimensiones de los lados del cuadrado para que se
pueda fabricar con el resto una caja abierta de capacidad máxima.
Para la resolución del problema enunciado, se empleó el siguiente procedimiento:
· Explicar la significación práctica del problema a los estudiantes con el propósito de
facilitar la comprensión del mismo.
· Representar gráficamente el problema, (Figura 1).
Figura 1 Ilustración de la lámina rectangular de cartulina
Fuente: Elaboración propia de los autores (2013)
· Representar a cada uno de los lados del cuadrado con una variable determinada ),(x
(Figura 2).
Figura No. 2 Ilustración de la lámina rectangular de cartulina y sus cortes
Fuente: Elaboración propia de los autores (2013)
· Buscar fórmulas que relacionen las cantidades conocidas y las desconocidas.
· Formar una ecuación que relacione la incógnita seleccionada )(x con las cantidades
desconocidas.
· Analizar las alternativas que facilitan la solución de la ecuación formada.
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· Resolver la ecuación obtenida y hallar el valor correspondiente a la incógnita.
· Comprobar e interpretar los resultados en términos del problema original.
El análisis y la interpretación de las dimensiones de la cartulina, conllevaron a la
siguiente expresión matemática: cmx)240( - (largo); cmx)230( - (ancho), donde la altura
)(h equivale al corte de las esquinas, es decir, .cmx
Posteriormente, se intercambiaron con los estudiantes ideas que facilitan la
comprensión de la significación práctica de la capacidad máxima que se expresa en el
problema planteado, para que ellos pudieran emitir criterios propios o colectivos, así como
aportar procedimientos y fórmulas que permitan calcular dicha capacidad con las
dimensiones indicadas, recurriendo para ello, a los conocimientos apropiados en los niveles
precedentes.
Esta actividad permitió apreciar las habilidades de razonamiento lógico que poseen los
estudiantes en cuanto a la aplicación de conocimientos de la enseñanza precedente en la
resolución de problemas que se puedan presentar en determinados entornos sociales.
En correspondencia con el intercambio realizado, el análisis participativo y
contextualizado de la situación problémica planteada, así como de su representación gráfica,
los estudiantes coincidieron que la fórmula adecuada para fabricar la caja abierta de
capacidad máxima, acorde con los requerimientos del problema, es halV ´´= , o sea, la del
volumen de un ortoedro de base rectangular.
Al sustituir los datos emergentes de la interpretación gráfica del problema en la fórmula
seleccionada se obtuvo:
[ ]
[ ]
332
32
3
)41401200(
)460801200(
)230)(240(
cmxxxV
cmxxxxV
cmxxxV
+-=
+--=
--=
La última expresión, representa la función objetivo, y en aras de facilitar su derivación,
se asignó hipotéticamente ,)12001404()( 323 cmxxxVxf +-== donde
cmxxxf )120028012()( 2´ +-= corresponde a la primera derivada. Igualando a cero esta y
multiplicando ambos miembros de la ecuación por un cuarto, úû
ùêë
é4
1 se obtiene:
Revista Electrónica “Actualidades Investigativas en Educación”
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32
0)300703(
4
10)120028012(
2
2
=+-
úû
ùêë
é=+-
cmxx
cmxx
Posteriormente, se les pidió a los estudiantes que identificaran la ecuación recién
transformada, recurriendo para ello, a los conocimientos apropiados en la enseñanza
precedente y revelar con claridad la vía a utilizar para su solución. Unánimemente
contestaron que es una ecuación de segundo grado, la cual se resuelve aplicando la fórmula
general:
cmcycmbcmadondea
acbbx 30070,3
2
42
2,1 =-==-±-
=
[ ]
[ ]
cmx
cmx
cm
cmcmx
cm
cmcmx
úû
ùêë
é +»
úû
ùêë
é +=
±=
-±=
6
055,3670
6
130070
6
130070
6
3600490070
1
1
2,1
2,1
cmx
cmx
cmx
cmx
cmx
657,5
6
945,33
6
055,3670
675,17
6
055,106
2
2
2
1
1
»
úû
ùêë
é»
úû
ùêë
é -»
»
úû
ùêë
é»
Al intercambiar con los estudiantes sobre la significación práctica de las soluciones
encontradas y considerando, que solo una de ellas satisface los requerimientos del problema
en cuestión, se les pidió que argumenten este planteamiento.
El %60 de los estudiantes )24( argumentó, que como ambas soluciones son
positivas, el valor cmx 675,171 » , representa la dimensión de los lados del cuadrado que
posibilita obtener la capacidad máxima de la caja (sin tener en cuenta la limitante
.)230( cmx- Sin embargo, el %40 de los estudiantes )16( expresó sus argumentos,
partiendo de que: al sustituir cmx 675,171 » en la expresión ,)230( cmx- conduciría a un
valor negativo ,)35,5( cm- transformando de esta forma, una de las dimensiones de la
cartulina original (ancho).
La divergencia de criterios producida por este análisis, condujo al debate científico, al
fortalecimiento de los argumentos empleados en la justificación de las soluciones
encontradas, así como al análisis y la comprobación de ambas expresiones mediante la
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sustitución de los valores correspondientes a 1x y a 2x , los cuales permitieron demostrar
que cmx 675,171 » , no es la solución óptima al problema planteado.
Después de analizados los criterios emitidos y llegado al consenso de que son más
coherentes los argumentos presentados por el %40 de los estudiantes, se pidió al grupo
completo, que argumentaran la significación práctica de cmx 657,52 » .
Como resultado de la socialización de criterios, técnicas y procedimientos,
fundamentales para el perfeccionamiento del proceso de formación interpretativa en la
Matemática Superior, el %100 de los estudiantes confirmó, que para fabricar la caja de
capacidad máxima, se debe recortar un cuadrado, cuyos lados miden aproximadamente
.657,5 cm
Esta acción, contribuyó al fortalecimiento de sus argumentos, la apropiación de otros
nuevos, así como la comprensión de los nexos existentes entre la teoría, la práctica y el
contexto social. Contribuyó además, a revelar la necesidad de seguir elevando los niveles de
contextualización de los ejercicios y problemas matemáticos abordados, ya sean en clases
prácticas, como en actividades extra-clases, de modo que se estimule el desarrollo de
nuevas habilidades lógicas de pensamiento matemático.
En aras de seguir equilibrando los niveles de comprensión de los estudiantes, los
niveles de análisis, de interpretación y de argumentación de los resultados; facilitar la
apropiación de los métodos y procedimientos empleados en la resolución de un determinado
ejercicio o problema matemático; revelar la necesidad del uso adecuado de las unidades de
medida en correspondencia con los requerimientos de los ejercicios o problemas planteados;
estimular el desarrollo de nuevas habilidades de pensamiento matemático ante la necesidad
de transformación de la realidad circundante, socioeconómica, así como revelar el rol que
desempeña la Matemática en estos procesos, se planteó el siguiente problema:
En la República de Angola, las ciudades de Caála (A) y Huambo (B), están situadas al
norte de un canal que corre en línea recta, aproximadamente de 6 a 9 kilómetros de este.
Ambas deben obtener su provisión de agua de una misma estación de bombeo. ¿En qué
punto de la orilla del canal debería construirse la estación, para que se use la menor
cantidad de tubería posible, una vez que los puntos más cercanos del canal a las ciudades A
y B, están a 12 kilómetros de distancia?
Para la resolución de este problema, se empleó el siguiente procedimiento:
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· Explicar la significación práctica del problema a los estudiantes con el propósito de
facilitar la comprensión del mismo.
· Representar gráficamente el problema, (Figura 3).
Figura 3 Ilustración de las dos ciudades, la estación de bombeo y el canal
Fuente: Elaboración propia de los autores (2013)
· Centrar la atención de los estudiantes en la incógnita ),(x es decir, enfocarse en la
formulación de la estructura algebraica que define la función objetivo, y analizarla
desde diferentes perspectivas (cambiando la posición de la incógnita ),(x de modo que
se obtenga una variación de la función objetivo), (Figura 4).
Figura 4 Ilustración de la interpretación matemática de las dos ciudades, la estación de bombeo y el
canal
Fuente: Elaboración propia de los autores (2013)
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· Buscar fórmulas que relacionen las cantidades conocidas y las desconocidas.
· Formar una ecuación que relacione la incógnita seleccionada )(x con las cantidades
desconocidas.
· Analizar las alternativas que facilitan la solución de la ecuación formada.
· Resolver la ecuación obtenida y hallar el valor correspondiente a la incógnita.
· Comprobar e interpretar los resultados en términos del problema original.
El análisis y la interpretación del problema permitieron seleccionar el teorema de
Pitágoras como alternativa de resolución del mismo tal como se presenta a continuación:
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]kmxkmxxAEB
kmxkmxxAEB
kmBEkmAEAEB
kmxBE
kmxAE
8118024
812414436
)()9(
)12()6(
22
22
22
22
+++-=
+++-+=
+=
+=
-+=
Como se puede observar, el segmento kmAEB representa la función objetivo del
problema, y para su derivación, se asignó hipotéticamente ,)( kmAEBxg = es decir:
[ ] [ ]
kmx
xkm
xx
xxg
kmx
xkm
xx
xxg
kmx
xkm
xx
xxg
kmxkmxxxg
úû
ùêë
é
++ú
û
ùêë
é
+-
-=
úû
ùêë
é
++ú
û
ùêë
é
+-
-=
úû
ùêë
é
+
++ú
û
ùêë
é
+-
+-=
+++-=
--
8118024
12)(
812
2
180242
242)(
812
02
180242
0)1(242)(
8118024)(
22
´
22
´
2
12
2
12´
22
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Igualando a cero la primera derivada y aplicando transformaciones algebraicas se obtiene:
kmx
xkm
xx
x
kmx
xkm
xx
x
kmx
xkm
xx
x
2
2
2
2
22
22
8118024
12
8118024
12
08118024
12
úû
ùêë
é
+-=ú
û
ùêë
é
+-
-
úû
ùêë
é
+-=ú
û
ùêë
é
+-
-
=úû
ùêë
é
++ú
û
ùêë
é
+-
-
0)12962165(
9
10)11664194445(
)18024()1166414419442481(
8118024
14424
2
2
2342324
2
2
2
2
=+-
úû
ùêë
é=+-
+-=++--+
úû
ùêë
é
+=ú
û
ùêë
é
+-
+-
kmxx
kmxx
kmxxxkmxxxxx
kmx
xkm
xx
xx
Basados en los fundamentos y procedimientos empleados en el caso anterior, se
procedió a la resolución de la ecuación 0)12962165( 2 =+- kmxx , aplicando para ello, la
fórmula general.
kmcykmbkmadondea
acbbx 1296216,5
2
42
2,1 =-==-±-
=
[ ]
[ ]
kmx
km
kmkmx
km
kmkmx
úû
ùêë
é +=
±=
-±=
10
144216
10
20736216
10
2592046656216
1
2,1
2,1
kmx
kmx
kmx
2.7
10
144216
36
2
2
1
=
úû
ùêë
é -=
=
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37
Encontradas las soluciones, se intercambiaron criterios y argumentos entorno a su
significación práctica, acción que permitió comprobar que la solución .361 kmx = no se
corresponde con la naturaleza del problema.
Como detalle interesante, se calcularon los ángulos alfa )(a y beta )(b , aplicando
para ello, las definiciones trigonométricas, siendo la función tangente, la que permitió
efectuar dicho cálculo, en correspondencia con la información que se brinda en la Figura 5.
Figura 5 Ilustración de la interpretación matemática de las dos ciudades, la estación de bombeo, el
canal, los ángulos alfa y beta
Fuente: Elaboración propia de los autores (2013)
º25.12.7
9)tan(
º25.18.4
6)tan(
==
==
b
a
Consecuentemente con el análisis y la interpretación de la naturaleza del problema en
cuestión, así como para la determinación de los ángulos mencionados, es decir, en grados,
se han emitido criterios que evidencian que la omisión (al menos explícita) de las unidades
de medida, no alteran los resultados, aspecto que posibilitó su declaración en la solución
final. Además, se explicó a los estudiantes la existencia de artefactos tecnológicos que
posibilitan la conversión directa de determinadas unidades de medida a otras, para la
determinación de ángulos: Teodolito, Software, entre otros.
Como se puede apreciar, los ángulos alfa )(a y beta )(b son iguales, lo que evidencia
que la distancia es mínima en el punto ,E de otra manera, las distancias halladas no serían
las óptimas.
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Después de analizados los procedimientos empleados en la resolución de los casos
anteriores, cuya intención es seguir elevando los niveles de contextualización, se planteó
otra situación problémica que requiere un esfuerzo intelectual de los estudiantes en cuanto a:
abstracción, interpretación y argumentación.
En una Isla de la ciudad de Luanda, Angola, se encuentra situada una escuela
primaria. Se necesita tender una línea eléctrica para llevar electricidad a dicha escuela desde
una termoeléctrica que se sitúa a .20 km del punto más cercano a esta, es decir, .3 km El
costo de instalación en tierra, es de .00,00015 Kz (kwanzas, moneda nacional de Angola) y
.00,00025 Kz por mar. Determine el recorrido óptimo de la línea, para calcular su costo
mínimo de instalación.
Para la resolución del problema enunciado, se empleó el siguiente procedimiento:
· Explicar la significación práctica del problema a los estudiantes con el propósito de
facilitar la comprensión del mismo.
· Representar gráficamente el problema, (Figura 6).
Figura 6 Ilustración de la escuela, el mar y la termoeléctrica
Fuente: Elaboración propia de los autores (2013)
· Buscar fórmulas que relacionen las cantidades conocidas y las desconocidas.
· Formar una ecuación que relacione la incógnita seleccionada )(x con las cantidades
desconocidas.
· Analizar las alternativas que facilitan la solución de la ecuación formada.
· Resolver la ecuación obtenida y hallar el valor correspondiente a la incógnita.
· Comprobar e interpretar los resultados en términos del problema original.
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39
Dada la necesidad de determinar el recorrido óptimo de la línea, o sea, distribuir las
distancias por mar y por tierra, de modo que se obtenga el costo mínimo de instalación, se
recurrió una vez más, a los procedimientos pitagóricos, tal como se demuestra en la Figura
8.
Figura 8 Ilustración de la interpretación matemática de la escuela, el mar y la termoeléctrica
Fuente: Elaboración propia de los autores (2013)
[ ] kmkzxkmkzxADB
kmxkzkmxkzADB
kmxkzDB
kmxkzAD
/)9(000.25/)000.15000.300(
)3()000.25()20()000.15(
)3()000.25(
)20()000.15(
2
22
22
++-=
++-=
+=
-=
Como se observa, el segmento [ ] kmkzxxADB /9000.25000.15000.300 2 ++-=
representa la función objetivo del problema. Para su derivación, se asignó hipotéticamente
ADBxh =)( , es decir:
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40
[ ]
kmkzx
xxh
kmkzx
xxh
kmkzx
xxh
kmkzx
xxh
kmkzxxxh
/000.159
000.25)(
/9
000.25000.15)(
/92
2000.25000.15)(
/92
02000.25)1(000.150)(
/9000.25000.15000.300)(
2
´
2
´
2
´
2
12´
2
úû
ùêë
é-
+=
úû
ùêë
é
++-=
úû
ùêë
é
++-=
úû
ùêë
é
+
++-=
++-=-
Igualando a cero la primera derivada y aplicando transformaciones algebraicas se
obtiene:
[ ]
kmkzx
kmkzx
kmkzkmkzx
kmkzx
kmkzkmkzx
kmkzxkmkzx
kmkzkmkzx
x
kmkzkmkzx
x
kmkzkmkzx
x
kmkzx
x
/25.2
/25.2
/)5.40(/)8(
0/)5.408(
/000.000.50
10/)000.000.025.2000.000.400(
/)000.000.025.2000.000.225(/)000.000.625(
/)000.000.225(/9
000.000.625
/000.15/9
000.25
/000.15/9
000.25
0/000.159
000.25
2
1
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
-=
=
=
=-
úû
ùêë
é=-
+=
=úû
ùêë
é
+
=úû
ùêë
é
+
=úû
ùêë
é
+
=úû
ùêë
é-
+
Como se observa, se han obtenido dos soluciones, que después de haber socializado
su significación práctica acorde a las necesidades declaradas en el problema, se ha tomado
la solución positiva ),/25.2( 1 kmkzx = pues la negativa )/25.2( 2 kmkzx -= carece de
sentido, porque el mismo trata del concepto de distancia. En esta actividad, no solo se valoró
la capacidad argumentativa de los estudiantes, sino el análisis y la interpretación de la
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naturaleza de los problemas o fenómenos en estudio, para fortalecer la comprensión de los
estudiantes; contribuir al desarrollo de su pensamiento lógico, reflexivo, así como desarrollar
habilidades comunicativas que les permita emitir valoraciones en torno a la optimización
interpretativa de los resultados.
Para la determinación del ángulo que posibilita calcular el costo mínimo de la obra,
según las disponibilidades del problema en cuestión, se recorrió a los criterios y
procedimientos empleados para la solución del problema anterior. En este sentido, se ha
tomado 25.21 =x y mediante el empleo del Software Mathcad 2001 Professional, se logró la
determinación del ángulo que determina la distancia mínima por mar (DB), es decir,
,25.2
3tan úû
ùêë
é= aa siendo `.13º.53=a
Consecuentemente con los criterios y procedimientos mencionados, así como el
sistema de relaciones que se pone de manifiesto entre 1x y Mínx , (Min, Mínimo) se sustituyó
este ( 25.21 == Mínxx ) en la función objetivo para calcular el costo mínimo de la obra en .kz
como se demuestra a continuación:
[ ]
.00,000036)(
750.93250.266)(
)75.3(000.25250.266)(
)0625.14(000.25250.266)(
)90625.5(000.25750.33000.300)(
)90625.5(000.25750.33000.300)(
9)25.2(000.25)25.2(00.150000.300)(
)9(000.25000.15000.300
2
2
Kzxh
xh
xh
xh
xh
xh
xh
xxADB
Mín
Mín
Mín
Mín
Mín
Mín
Mín
=
+=
+=
+=
++-=
++-=
++-=
++-=
Al terminar el cálculo del costo mínimo de la obra según las disponibilidades
asignadas, es decir, la suma equivalente a .00,000360 Kz se aprovechó el espacio para
intercambiar con los estudiantes, aspectos relacionados con la necesidad del manejo
adecuado de los recursos públicos. Se generalizó la interpretación de este problema para
analizar situaciones que ocurren en distintos sectores socioeconómicos de la República de
Angola, así como en la vida cotidiana de los ciudadanos debido a una insuficiente gestión de
los bienes y servicios.
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Se orientaron problemas similares, para el trabajo independiente de los estudiantes, a
partir del reconocimiento de las semejanzas analíticas e interpretativas con los anteriores,
para que se desempeñen como constructores de su propio conocimiento y proceso de
aprendizaje.
Uno de los problemas orientados es el siguiente:
Se necesita construir un tanque cilíndrico, sin tapa, en posición vertical en las
proximidades del súper mercado “Nosso Super” en la ciudad de Benguela, Angola. El
mismo debe poseer una capacidad de .100 3m Determine sus dimensiones para que el
material a utilizar en su construcción, sea el mínimo.
En el proceso de resolución de este problema los estudiantes utilizaron símbolos y
figuras que facilitaron la comprensión y la interpretación de los datos. Demostraron el empleo
de un lenguaje matemático preciso en la justificación y en la argumentación de la alternativa
de solución seleccionada. Al finalizar se socializaron, mediante técnicas de confrontación de
ideas, las alternativas de solución, así como los resultados encontrados, lo que contribuyó a
fortalecer los procedimientos de análisis y de interpretación de estos.
A medida que se avanzó en el estudio del tema, desde su sistema de clases, los
problemas contextualizados abordados, estuvieron intencionados a promover el aprendizaje
significativo, las necesidades investigativas y la transcendencia de la Matemática en la
sociedad.
Al finalizar la ejemplificación práctica, se intercambiaron distintos puntos de vista y
criterios con el colectivo de profesores, sobre la necesidad de seguir elevando los niveles de
contextualización de los contenidos, ejercicios y problemas matemáticos abordados en
clases, mediante situaciones concretas del entorno en que se desarrollan los estudiantes y
profesores.
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